因式分解解題方法與解題技巧例題與練習題

1、因式分解【定義】把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫 作分解因式。分解因式與整式乘法互為逆變形。【基本方法】一.提公因式法1 .各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。2 .如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩 個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。3 .提公因式法基本步驟：(1)找出公因式；方法：“一看系數(shù)，二看字母，三看指數(shù)”當各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低 的；取相同的多項式，多項式的次數(shù)取最低的。(如果多項式的第

2、一項是負的，提公因式 時一般要同時提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正數(shù)。提出“ -”號時，多項式 的各項都要變號。)(2)提公因式并確定另一個因式：注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一個因式； 注意：提完公因式后，另一因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同。4 .注意事項：(1) 公因式是否提“全”、提“凈”；(2)多項式中某一項恰為公因式，提出后，括號中這一項為1,不漏掉(3)提出“-”號時，多項式的各項都要變號?！纠糠纸庖蚴?1) -am+bm+cm=-m(a-b-c);(2) a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(

3、a-b)。注意：把2a專變成2(a2+：)不叫提公因式 二.公式法如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);完全平方公式：a2±2ab+ b2=(a±b) 2;注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)(或式)的積的2倍。立方和公式：a3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);立方差公式：a3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2);完全立方公式：a3± 3a2b+3ab2± b 3=(a ± b)

4、 3.公式：a3+b3+c3+3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca)【例】分解因式(1) a2 -4ab+4b 244 4(2) x -16y三.十字相乘法這種方法有兩種情況。x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解這類二次三項式的特點是：二次項的系數(shù)是1;常數(shù)項是兩個數(shù)的積；一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)的和。因此，可以直接將某些二次項的系數(shù)是1的二次三項式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).【例】分解因式：(1) x2+3x+2(2) x2-5x+6ax2 +bx+c型的式子的因式分解21C _ C C對于二次三項式ax +bx + c,將a

5、和C分別分解成兩個因數(shù)的乘積，a - a1 '比，a1 C1c=c1 c2,且滿足b = a1c2 + a2cl，往往寫成a2'c2的形式，將二次三項式進行分解2則ax +bx+c=(a1x+c1)(a2x+C2)十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中【例】分解因式(1) 2x 2+8x+6 (2) 6x 2+11x-10四.分組分解法能分組分解的多項式一般有四項或大于四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。分組分解法的關鍵是如何分組，要嘗試通過 分組后是否有公因式 可提，并且可繼續(xù)分解分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式.分組時要注意符號的變化.【例】分解因式

6、：(1) ax+ay+bx+by(2) 5ax+5bx+3ay+3by(3) x3-x2+x-1(4) x 2-x-y 2-y五.換元法;例、分解因式：(x 2+x+1)( x 2+x+2)-12六.拆項、添項、配方法；32例、分解因式(1) x 3x +4解法1拆項。| 解法2添項。原式=x3 +1 3x2 +3| 原式=x3 3x2 4x+4x + 4-=(x 1)(x2 -x 1) -3(x 1)(x -1)= x(x2 - 3x -4) (4x 4)【多項式因式分解的-一般步驟】如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；如果各項沒有公因式，那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；如果用上

7、述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解；分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。也可以用一句話來概括：“ 先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分 組分解要合適?！崩? ABC的三邊a、b、c有如下關系式：-c 2+a2+2ab-2bc=0 ,求證：這個三角形是等腰三角形。【例2】把一a2b2 + 2ab + 4分解因式。提示：如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括號內(nèi)第一項系數(shù)是正的。例3分解因式4x4y2 5x2y2 9y2提示：必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢 的意思。在沒有說明化到實數(shù)時，一般只化到有理

8、數(shù)就夠了【因式分解的應用】1、應用于多項式除法。2、應用于高次方程的求根。3、應用于分式的運算。試一試一.填空題一 2 一、1 .若x -6x+t是完全平方式，則t=.- 2. 2.22 .因式分解：9a -4b +4bc c =, 一 212 一|x 一2| x - xy y = 03 .若4 ，則 x=, y =4 .若a=99，b=98,則 a22ab+b2 _5a+5b=25 .運用平方差公式分解：a = ( a+ 7) (a)6.完全平方式4x29y2 =()2選擇題7 .下列各式從左到右的變形為分解因式的是()A.18x3y2 =3x3y2 6B.2(m2)(m-3)=m - m

9、- 6C.2x 8x - 9 =(x 3)(x -3) 8xD.2m m_6 = (m 2)(m 3)m m8 . (a)+a(a)的值是()A.1B.-1C. 0D.(-儼_ n 2 n - 1_ n9 .把3a +15a-45a分解因式是()A. 3an(a2 +5a -15)C.n 21B. 3an(a2 +5a -15)D. 3an + (a +5-15a)2 210 .若n為任意整數(shù)，(n +11) - n的值總可以被k整除，則k等于()A. 11B. 22C.11 或 22D. 11的倍數(shù)2 33 22 22 2 11.多項式-8m n +10m n +2m n被-2m n除，所得的商為()A.4n 5m -1C.4n -5m -1三.解答題12.把下列各式分解因式2 ,、2、2(1)m (m -n) -4(n -m)B. 4n -5m 1D. 4n 5m2,2 x - 4 - 4xy 4y(3)(3x2 -4x 3)2 -(2x2 -x -7;321xx - x(4)432(5)x(x 1) x(x 1) x(x 1) x 113.計算299 - 2 8-101(1) 2-100-220043 -2 20042 -2002Z3 Z 2 Z(2) 2004 +2004 -2005232 23 ,14 .已知 m + n = 3, mn=3，求 mnmn +mn 的值