第(16)次作業(yè)答案——二次型.

1、班級(jí)學(xué)號(hào)姓名第五章相似矩陣及二次型，作業(yè)第(16)次 第五節(jié)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形第七節(jié)正定二次型1寫出二次型的矩陣A,并求二次型的秩f(x21,x2,x3)=x21-5x3+2x1x2+6x1x3 ?解:二次型的矩陣 A= 113?100? 30-5? 113? 10A= 100? 0? 013? 30-5? ? 00-5?故二次型的矩陣的秩為R(A)=32 若二次型 f(x=2x2221,x2,x3)1+2x2-6x1x2+x3，(1) 寫出二次型的矩陣A；(2)寫出一個(gè)正交矩陣P,化矩陣A為對(duì)角陣；(3)求一個(gè)正交變換x=Qy，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.? 2-30?解：(1)A= -320?001?

2、(2) 由A-入E=(可得 入仁1入2=1,入3=5解(A-入E)x=0可得 入仁1 p仁(0,0,1)T5入 T2=1, p2=(1,1,0),入 3=5 p3=(-1,1,0)T 取? 0 A =?1-1?,P=,? 0? 5? 100?P-1AP=A ? 0 取 Q=P=0? ?,則Q為正交陣，100?滿足Q-1AQS =QTAQ。令 x=Qy，貝Uf(T1x,2x,xxAx)=yTy A y=2y22-5y。 +33已知二次型f=5x2+5x2x212-21x2+cx3+6x1x3-6x2x3的秩為2.(1)求參數(shù)c及此二次型矩陣的特征值；指出方程f=1表示何種二次曲面 ？5-13?

3、-15-解：(1)A= -15-3? 3? 023-3c?，? ? 00c-3?-1? R(A)=2，故 c=3。由 A-入 E=0S得入仁0 入 2=4 入 3=9(3) 由特征值可知，A與對(duì)角陣diag (0,4, 9) 相似，即存在正交陣P,當(dāng)x=Py時(shí)，f(x,x2212,x3)=4y2+9y3所以f=1即4y222+9y3=1，表示一個(gè)橢圓。4判定下列二次型的正定性(1) f=-2x2-6x22 12+2x1x2-4x3+2x1x3(2) f=x2x221+22+2x1x2+3x3-4x2x3?-1?解：(1)A= 211-60?中，a11=-2<0,? 10-4?a11a12

4、-21 aa=11>0，21221-6-2111-60=-38<0,故為負(fù)定矩陣。10-4? 11(2)A= 0? 12-2?中，a1仁 1>0,? 0-23? a11a12a=1=1>0，A=-1>0，故既不21a222是正定矩陣也不是負(fù)定矩陣。5 設(shè) f=x2221+x2+2ax1x2+5x3-2x1x3+4x2x3 為正定二次型，求 a. ?a-1?解：A=1 a12?中，順序主子式均正，則？-125? a11a12aaa=2122a=1-a2>0? -1<a<1班級(jí)學(xué)號(hào)姓名第五章相似矩陣及二次型，作業(yè)第（16）次1a-1A=a12=-5a2-4a>0? -4<a<0 -1255故-45<a<06設(shè)A為正定矩陣，證明AT,A-1,A*也是正定矩陣.證明：A為正定矩陣則A特征值入均正。AT的特征值與A相同，故均正，AT為正定矩陣