空間幾何體知識點歸納

1、第一章 空間幾何體1.1柱、錐、臺、球的結構特征（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點字母，如五棱

2、錐幾何特征：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等表示：用各頂點字母，如五棱臺幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形 側面是梯形 側棱交于原棱錐的頂點（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側面展開圖是一個矩形。（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體幾

3、何特征：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點；側面展開圖是一個扇形。（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：上下底面是兩個圓；側面母線交于原圓錐的頂點；側面展開圖是一個弓形。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點到球心的距離等于半徑。1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖1 三視圖： 正視圖：從前往后 側視圖：從左往右 俯視圖：從上往下2 畫三視圖的原則： 長對齊、高對齊、寬相等3直觀圖：斜二測畫法4斜二測畫法的步驟：（1）.在已知圖形中取相互垂直的軸和軸，兩軸相交于。畫直觀圖時，把它們

4、畫成對應的軸與軸，兩軸交于點，且使，它們確定的平面表示水平面。（2）.已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸或軸的線段；（3）.已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于軸的線段，長度為原來的一半。5 用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側棱（4）成圖1.3 空間幾何體的表面積與體積（一 ）空間幾何體的表面積1棱柱、棱錐的表面積： 各個面面積之和2 圓柱的表面積 3 圓錐的表面積4 圓臺的表面積 5 球的表面積（二）空間幾何體的體積1柱體的體積 2錐體的體積 3臺體的體積 4球體的體積基礎練習1選擇題1如圖的組合體的結構特征是()A一個

5、棱柱中截去一個棱柱B一個棱柱中截去一個圓柱C一個棱柱中截去一個棱錐D一個棱柱中截去一個棱臺答案C2有下列命題：圓錐頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；在圓臺上、下底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；圓柱的任意兩條母線所在的直線是平行的其中正確的有()A0個 B1個C2個 D3個答案B3(20132014·南京模擬)經過旋轉可以得到圖1中幾何體的是圖2中的()答案A4圖中最左邊的幾何體由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得現用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是()A(1)(2)B(1)(3)C(1)(4)D(1)(5)答案D5

6、若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的全面積是()A3 B3 C6 D9解析：設圓錐底面半徑為R，·2R·R，R1，母線l長為2，S全R2Rl23.答案：A6長方體三個面的面積分別為2,6和9，則長方體的體積是()A6 B3 C11 D12解析：設長方體長、寬、高分別為a，b，c，不妨設ab2，ac6，bc9，相乘得(abc)2108，Vabc6.答案：A7(2013·湖北卷)一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成，其體積分別記為V1，V2，V3，V4，上面兩個簡單幾何體均為旋轉體，下面兩個簡單幾何體均為多面體，則有()A

7、V1<V2<V4<V3 BV1<V3<V2<V4CV2<V1<V3<V4 DV2<V3<V1<V4答案：C8用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積與底面面積的比是13，這截面把圓錐母線分成的兩段的比是()A13 B1(1)C19 D.2解析：由題意可知，截面面積與底面面積之比為13，截面半徑與底面半徑之比為1，這兩段母線長之比為11.答案：B二、填空題1如圖是一個幾何體的表面展成的平面圖形，則這個幾何體是_答案圓柱2已知一個正方體內接于一個球，過球心作一截面，則下圖中，截面不可能是_(填序號)答案3如圖，已知長方體AB

8、CDA1B1C1D1，過BC和AD分別作一個平面交底面A1B1C1D1于EF、PQ，則長方體被分成的三個幾何體中，棱柱的個數是_解析：三個幾何體都是棱柱答案：34若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其表面積等于_解析：通過三視圖還原三棱柱直觀圖如圖所示，通過正視圖可以得出該三棱柱底面邊長為2，側棱長為1，三個側面為矩形，上下底面為正三角形，S表3×(2×1)2×62.答案：625如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為 cm，高為2 cm，AB、CD分別是兩底面的直徑，AD、BC是母線，若一只小蟲從A點出發(fā)，從側面爬行到C點，則小蟲爬行的最短路線的長度是_cm(

9、結果保留根式)答案：26圓臺的上、下底面半徑分別是10 cm和20 cm，它的側面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180°，圓臺的表面積是（ ）分析：由題目可獲取以下主要信息：求圓臺的表面積應考慮上、下底面及側面積；上、下底面面積易得，主要求側面積解答本題可先把空間問題轉化為平面問題，即在展開圖內求母線的長，再進一步代入側面積公式求出側面積，進而求出表面積解析：如圖所示，設圓臺的上底面周長為C，因為扇環(huán)的圓心角是180°，故C·SA2×10，SA20，同理可得SB40，ABSBSA20，S表面積S側S上S下(r1r2)·ABrr(1020)×2

10、0×102×2021 100(cm2)故圓臺的表面積為1 100 cm2.7 .如右圖所示，在底半徑為2，母線長為4的圓錐中內接一個高為的圓柱，圓柱的表面積為（ ）解析：圓錐高h2，畫軸截面積圖(如右圖)，則.故圓錐內接圓柱的底半徑x1.則圓柱的表面積S2×122×1×(22).答案：(22 )強化提升一 選擇題1在棱柱中()A只有兩個面平行B所有的棱都平行C所有的面都是平行四邊形D兩底面平行，且各側棱也互相平行答案D2下列命題中，正確的是()A有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面C棱柱的側面

11、是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D棱柱的側棱都相等，側面是平行四邊形答案D3(20122013·嘉興高一檢測)如下圖都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩個完全一樣的是()A(1)(2) B(2)(3)C(3)(4) D(1)(4)答案B解析在圖(2)、(3)中，不動，把圖形折起，則為對面，為對面，為對面，故圖(2)、(3)完全一樣，而(1)、(4)則不同解題提示讓其中一個正方形不動，其余各面沿這個正方形的各邊折起，進行想象后判斷4下列說法不正確的是()A圓柱的側面展開圖是一個矩形B圓錐過軸的截面是一個等腰三角形C直角三角形繞它的一條邊旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D

12、圓臺平行于底面的截面是圓面答案C5如右圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉一周，形成的幾何體形狀為()A一個球體B一個球體中間挖出一個圓柱C一個圓柱D一個球體中間挖去一個長方體答案B解析圓旋轉一周形成球，圓中的矩形旋轉一周形成一個圓柱，所以選B.6已知某空間幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體為()A圓臺 B四棱錐C四棱柱 D四棱臺答案D7下列幾何體中，正視圖、側視圖、俯視圖都相同的幾何體的序號是()A(1)(2) B(2)(3)C(3)(4) D(1)(4)答案D8(20122013·安徽淮南高三模擬)下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是()ABCD答案D解析正方體，三視

13、圖均相同；圓錐，正視圖和側視圖相同；三棱臺，三視圖各不相同；圓臺，正視圖和側視圖相同點評熟悉常見幾何體的三視圖特征，對于畫幾何體的直觀圖是基本的要求下圖是最基本的常見幾何體的三視圖.幾何體直觀圖形正視圖側視圖俯視圖正方體長方體圓柱圓錐圓臺球9給出以下關于斜二測直觀圖的結論，其中正確的個數是()角的水平放置的直觀圖一定是角相等的角在直觀圖中仍相等相等的線段在直觀圖中仍然相等若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行A0 B1C2 D3答案C解析由斜二測畫法規(guī)則可知，直觀圖保持線段的平行性，對，對；而線段的長度，角的大小在直觀圖中都會發(fā)生改變，錯10利用斜二測畫法得到：三角形的直觀圖是三角

14、形；平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；正方形的直觀圖是正方形；菱形的直觀圖是菱形以上說法正確的是()A BC D答案B解析根據畫法規(guī)則，平行性保持不變，與y軸平行的線段長度減半二 填空題1如圖，在透明塑料制成的長方體ABCDA1B1C1D1容器中灌進一些水，將容器底面一邊BC置于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，以下命題：水的形狀成棱柱形；水面EFGH的面積不變；水面EFGH始終為矩形其中正確的命題序號是_答案2下列圖形：三角形；直線；平行四邊形；四面體；球其中投影不可能是線段的是_答案解析三角形的投影是線段成三角形；直線的投影是點或直線；平行四邊形的投影是線段或平行四邊形；四面體的投影

15、是三角形或四邊形；球的投影是圓3由若干個小正方體組成的幾何體的三視圖如下圖，則組成這個組合體的小正方體的個數是_答案5解析由三視圖可作出直觀圖，由直觀圖易知共有5個小正方體4(20122013·煙臺高一檢測)已知某一幾何體的正視圖與側視圖如圖所示，則下列圖形中，可以是該幾何體的俯視圖的圖形有_答案5(20122013·湖南高三“十二校聯考”)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖是腰長為4的兩個全等的等腰直角三角形，則用_個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為4的正方體答案3解析該幾何體是四棱錐，其底面是邊長為4的正方形，高等于4，如圖(1)所示的四棱錐AA1B1C1D1

16、，如圖(2)所示，三個相同的四棱錐AA1B1C1D1，ABB1C1C，ADD1C1C可以拼成一個棱長為4的正方體6斜二測畫法中，位于平面直角坐標系中的點M(4,4)在直觀圖中的對應點是M，則點M的坐標為_，點M的找法是_答案M(4,2)在坐標系xOy中，過點(4,0)和y軸平行的直線與過點(0,2)和x軸平行的直線的交點即是點M.解析在x軸的正方向上取點M1，使O1M14，在y軸上取點M2，使OM22，過M1和M2分別作平行于y軸和x軸的直線，則交點就是M.7如右圖，水平放置的ABC的斜二測直觀圖是圖中的ABC，已知AC6，BC4，則AB邊的實際長度是_答案10解析由斜二測畫法，可知ABC是直

17、角三角形，且BCA90°，AC6，BC4×28，則AB10.8如圖，是AOB用斜二測畫法畫出的直觀圖，則AOB的面積是_答案16解析由圖易知AOB中，底邊OB4，又底邊OB的高為8，面積S×4×816.9如圖所示，正方形OABC的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是_答案8解析原圖形為OABC為平行四邊形，OA1，AB3，四邊形OABC周長為8.章節(jié)練習一、選擇題正視圖俯視圖側視圖1右面的三視圖所示的幾何體是( )A六棱臺B六棱錐 C六棱柱D六邊形 (第1題)2已知兩個球的表面積之比為19，則這兩個球的半徑之比為( )A13B1

18、C19D181(第3題)正(主)視圖側(左)視圖3一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正(主)視圖與側(左)視圖分別如右圖所示，則該幾何體的俯視圖為( )4A，B為球面上相異兩點，則通過A，B兩點可作球的大圓(圓心與球心重合的截面圓)有( )A一個B無窮多個正視圖側視圖俯視圖(第5題)C零個D一個或無窮多個5右圖是一個幾何體的三視圖，則此幾何體的直觀圖是( ) )A B C D6下圖為長方體木塊堆成的幾何體的三視圖，堆成這個幾何體的木塊共有( )(第6題)A1塊B2塊C3塊D4塊7關于斜二測畫法畫直觀圖說法不正確的是( )A在實物圖中取坐標系不同，所得的直觀圖有可能不同B平行于坐標軸的線段

19、在直觀圖中仍然平行于坐標軸C平行于坐標軸的線段長度在直觀圖中仍然保持不變D斜二測坐標系取的角可能是135°8如圖，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是( )ABCD9一正方體的各頂點都在同一球面上，用過球心的平面去截這個組合體，截面圖不能是( )A B C D10如果一個三角形的平行投影仍然是一個三角形，則下列結論正確的是( )A原三角形的內心的平行投影還是投影三角形的內心B原三角形的重心的平行投影還是投影三角形的重心C原三角形的垂心的平行投影還是投影三角形的垂心D原三角形的外心的平行投影還是投影三角形的外心二、填空題11一圓球形氣球，體積是8 cm3，再打入一些空氣后

20、，氣球仍然保持為球形，體積是27 cm3則氣球半徑增加的百分率為 12底面是菱形的棱柱其側棱垂直于底面，且側棱長為5，它的體對角線的長分別是9和15，則這個棱柱的側面積是 (第13題)13右圖是一多面體的展開圖，每個面內都給了字母，請根據要求回答問題：如果A是多面體的下底面，那么上面的面是 ；如果面F在前面，從左邊看是面B，那么上面的面是 14一個幾何體的三視圖如下圖所示，則此幾何體的體積是 三、解答題15圓柱內有一個四棱柱，四棱柱的底面是圓柱底面的內接正方形已知圓柱表面積為6p，且底面圓直徑與母線長相等，求四棱柱的體積16下圖是一個幾何體的三視圖(單位：cm)(1)畫出這個幾何體的直觀圖(不

21、要求寫畫法)；(2)求這個幾何體的表面積及體積.俯視圖ABCBAC11正視圖BBAA3側視圖ABC1(第16題)17如圖，在四邊形ABCD中，DAB90°，ADC135°，AB5，CD2，AD2，求四邊形ABCD繞直線AD旋轉一周所成幾何體的表面積及體積(第17題)18已知正方體、球、底面直徑與母線相等的圓柱，它們的表面積相等，試比較它們的體積V正方體，V球，V圓柱的大小(第19題)19如圖，一個圓錐形容器的高為a，內裝有一定量的水如果將容器倒置，這時水所形成的圓錐的高恰為，求原來水面的高度 (第20題)20如圖，四棱柱的底面是菱形，各側面都是長方形兩個對角面也是長方形，面

22、積分別為Q1，Q2求四棱柱的側面積參考答案一、選擇題1B解析：由正視圖和側視圖可知幾何體為錐體，由俯視圖可知幾何體為六棱錐2A解析：由設兩個球的半徑分別為r，R，則 4pr24R219. r2R219，即rR133C解析：在根據得到三視圖的投影關系，正視圖中小長方形位于左側，小長方形也位于俯視圖的左側；小長方形位于側視圖的右側，小長方形一定位于俯視圖的下側， 圖C正確4D解析：A，B不在同一直徑的兩端點時，過A，B兩點的大圓只有一個；A，B在同一直徑的端點時大圓有無數個5D解析：由幾何體的正視圖和側視圖可知，幾何體上部分為圓錐體，由三個視圖可知幾何體下部分為圓柱體， 幾何體是由圓錐和圓柱組成的

23、組合體(第6題)6D解析：由三視圖可知幾何體為右圖所示，顯然組成幾何體的長方體木塊有4塊7C解析：由平行于x軸和z軸的線段長度在直觀圖中仍然保持不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中是原來的一半， C不對8D解析：的三個視圖均相同；的正視圖和側視圖相同；的三個視圖均不相同；的正視圖和側視圖相同有且僅有兩個視圖相同的是9A解析：B是經過正方體對角面的截面；C是經過球心且平行于正方體側面的截面；D是經過一對平行的側面的中心，但不是對角面的截面10B解析：在平行投影中線段中點在投影后仍為中點，故選B二、填空題1150%解析：設最初球的半徑為r，則8pr3；打入空氣后的半徑為R，則27pR3 R3r3278 Rr32氣球半徑增加的百分率為50%12160解析：依條件得菱形底面對角線的長分別是和菱形的邊長為 8棱柱的側面積是5&#