二次函數(shù)應(yīng)用--拱橋問(wèn)題

1、 二次函數(shù)應(yīng)用中“拱橋問(wèn)題”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在中考中所占比例很大。是各地中考重點(diǎn)和熱門考查的知識(shí)點(diǎn)之一。如2008佛山升中數(shù)學(xué)24題（10分）；上海九年級(jí)數(shù)學(xué)統(tǒng)考21題（8分）。占分多，難度大。由于二次函數(shù)所涉及的知識(shí)面非常廣(平面直角坐標(biāo)系、坐標(biāo)、求代數(shù)式的值、待定系數(shù)法、列一元一次方程、解一元一次方程、列二元一次方程組、解二元一次方程組等)，所以能力要求也非常高，從而使“拱橋問(wèn)題”計(jì)算類型的題目成為得分難點(diǎn)之一。 “拱橋問(wèn)題”計(jì)算類型的題目的重點(diǎn)、難點(diǎn)都是確定二次函數(shù)解析式 (占三分之二分)。同學(xué)們一定要抓住重點(diǎn)。1.求拱寬 2.求拱高“拱橋問(wèn)題”的題目分為兩大類:涉及涉及“拱橋問(wèn)題

2、拱橋問(wèn)題”的解題主要有以下幾步：的解題主要有以下幾步： 1建立適當(dāng)坐標(biāo)系，以確定解析式的類型建立適當(dāng)坐標(biāo)系，以確定解析式的類型 2求解析式求解析式 3求特定點(diǎn)的拱寬或拱高求特定點(diǎn)的拱寬或拱高 (橫坐標(biāo)值或縱坐標(biāo)值橫坐標(biāo)值或縱坐標(biāo)值) 解析式的類型大致有以下五種：解析式的類型大致有以下五種： 1把坐標(biāo)原點(diǎn)定在拱橋拋物線的頂點(diǎn)，解析式的類型是y=ax2 (一點(diǎn)式) 2把坐標(biāo)原點(diǎn)定在拱橋拋物線的頂點(diǎn)下方，解析式的類型是: y=ax2 +b(兩點(diǎn)式) 3把拱橋拋物線的頂點(diǎn)定在第一象限（定在其它象限雷同） 解析式的類型是y=ax2 +bx+c (三點(diǎn)式)4.如果已知頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k)用下式比較方便:2(

3、)y a x hk(頂點(diǎn)式)5.當(dāng)拋物線與X軸交點(diǎn)為（x1,0),(x2,0)時(shí)解析式的類型是y=a（x-x1)(x-x2) (交點(diǎn)式)AB=12CD=4ABxCyD求函數(shù)表達(dá)式求函數(shù)表達(dá)式CAB=12CD=4ABDxy求函數(shù)表達(dá)式求函數(shù)表達(dá)式ABCDAB=12CD=4xy求函數(shù)表達(dá)式求函數(shù)表達(dá)式(1)(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(2)(2)根據(jù)題意構(gòu)建二次函數(shù)圖象；根據(jù)題意構(gòu)建二次函數(shù)圖象；(3)(3)問(wèn)題求解；問(wèn)題求解；(4)(4)找出實(shí)際問(wèn)題的答案。找出實(shí)際問(wèn)題的答案。 用拋物線的知識(shí)解決生活中的一些用拋物線的知識(shí)解決生活中的一些實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：實(shí)際問(wèn)題

4、的一般步驟：解一解一解二解二解三解三探究探究 圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在 L L 時(shí)，拱時(shí)，拱頂離水面頂離水面2m2m，水面寬，水面寬4m4m，水面下降，水面下降1m1m時(shí)，水面寬度時(shí)，水面寬度是多少？是多少？L解一解一如圖所示，如圖所示， 以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為 軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系。建立平面直角坐標(biāo)系。y可設(shè)這條拋物線所表示可設(shè)這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為的二次函數(shù)的解析式為:2axy 當(dāng)拱橋離水面當(dāng)拱橋離水面2m時(shí)時(shí),水面寬水面寬4m即拋物線過(guò)點(diǎn)即拋物線過(guò)點(diǎn)(2,-2)22a2 5 .0

5、a 這條拋物線所表示的二這條拋物線所表示的二次函數(shù)為次函數(shù)為:2x5.0y 當(dāng)水面下降當(dāng)水面下降1m時(shí)時(shí),水面的水面的縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo)為y=-3,這時(shí)有這時(shí)有:2x5 . 03 6x m62這這時(shí)時(shí)水水面面寬寬度度為為返回返回解二解二如圖所示如圖所示,以拋物線和水面的兩個(gè)交點(diǎn)的連線為以拋物線和水面的兩個(gè)交點(diǎn)的連線為x軸，以拋物線軸，以拋物線的對(duì)稱軸為的對(duì)稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系軸，建立平面直角坐標(biāo)系.當(dāng)拱橋離水面當(dāng)拱橋離水面2m時(shí)時(shí),水面寬水面寬4m即即:拋物線過(guò)點(diǎn)拋物線過(guò)點(diǎn)(2,0)22a02 5 .0a 這條拋物線所表示的二這條拋物線所表示的二次函數(shù)為次函數(shù)為:2x5.0y2 當(dāng)水面下

6、降當(dāng)水面下降1m時(shí)時(shí),水面的水面的縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo)為y=-1,這時(shí)有這時(shí)有:2x5 . 012 6x m62這這時(shí)時(shí)水水面面寬寬度度為為當(dāng)水面下降當(dāng)水面下降1m時(shí)時(shí),水面寬水面寬度增加了度增加了m)462( 可設(shè)這條拋物線所表示可設(shè)這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為的二次函數(shù)的解析式為:2axy2 此時(shí)此時(shí),拋物線的頂點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)為(0,2)返回返回解三解三 如圖所示如圖所示,以拋物線和水面的兩個(gè)交點(diǎn)的連線為以拋物線和水面的兩個(gè)交點(diǎn)的連線為x軸，以其中軸，以其中的一個(gè)交點(diǎn)的一個(gè)交點(diǎn)(如左邊的點(diǎn)如左邊的點(diǎn))為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.可設(shè)這條拋物線所表示可設(shè)這條拋物

7、線所表示的二次函數(shù)的解析式為的二次函數(shù)的解析式為:2)2x(ay2 拋物線過(guò)點(diǎn)拋物線過(guò)點(diǎn)(0,0)2)2(a02 5 .0a 這條拋物線所表示的二這條拋物線所表示的二次函數(shù)為次函數(shù)為:2)2x(5 . 0y2 當(dāng)水面下降當(dāng)水面下降1m時(shí)時(shí),水面的水面的縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo)為y=-1,這時(shí)有這時(shí)有:2)2x(5 . 012 62x,62x21 m62xx12 當(dāng)水面下降當(dāng)水面下降1m時(shí)時(shí),水面寬水面寬度增加了度增加了m)462( 此時(shí)此時(shí),拋物線的頂點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)為(2,2)這時(shí)水面的寬度為這時(shí)水面的寬度為:返回返回 河北省趙縣的趙州橋的橋拱是拋物線型，河北省趙縣的趙州橋的橋拱是拋物線型，建立如圖所示的坐標(biāo)系，其函數(shù)的解析式為建立如圖所示的坐標(biāo)系，其函數(shù)的解析式為 y= - xy= - x2 2 ， 當(dāng)水位線在當(dāng)水