人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第18章 平行四邊形 專項(xiàng)訓(xùn)練2（含答案）

1、第18章 平行四邊形 專項(xiàng)訓(xùn)練專訓(xùn)1.矩形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金：矩形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)，同時(shí)還具有一些獨(dú)特的性質(zhì)它的性質(zhì)可歸結(jié)為三個(gè)方面：(1)從邊看：矩形的對(duì)邊平行且相等；(2)從角看：矩形的四個(gè)角都是直角；(3)從對(duì)角線看：矩形的對(duì)角線互相平分且相等21*cnjy*com判定一個(gè)四邊形是矩形可從兩個(gè)角度考慮：一是判定它有三個(gè)角為直角；二是先判定它為平行四邊形，再判定它有一個(gè)角為直角或兩條對(duì)角線相等 利用矩形的性質(zhì)與判定求線段的長(轉(zhuǎn)化思想)1如圖，將矩形紙片ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折起，點(diǎn)A，點(diǎn)B落在點(diǎn)M處，點(diǎn)C，點(diǎn)D落在點(diǎn)N處，恰好拼成一個(gè)無縫隙無重疊

2、的四邊形EFGH，若EH3 cm，EF4 cm，求AD的長【出處：21教育名師】(第1題) 利用矩形的性質(zhì)與判定判斷線段的數(shù)量關(guān)系2如圖，在ABC中，A90°，D是AC上的一點(diǎn)，BDDC，P是BC上的任意一點(diǎn)，PEBD，PFAC，E，F(xiàn)為垂足試判斷線段PE，PF，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由(第2題) 利用矩形的性質(zhì)與判定證明角相等3如圖，在ABCD中，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，DFBE，連接AF，BF.(1)求證：四邊形BFDE是矩形；(2)若CF3，BF4，DF5，求證：AF平分DAB.(第3題) 利用矩形的性質(zhì)與判定求面積4如圖，已知點(diǎn)E是ABCD中BC邊的中點(diǎn)

3、，連接AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)F.(1)連接AC，BF，若AEC2ABC，求證：四邊形ABFC為矩形；(2)在(1)的條件下，若AFD是等邊三角形，且邊長為4，求四邊形ABFC的面積(第4題)專訓(xùn)2.菱形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金：菱形具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)，同時(shí)又具有一些特性，可以歸納為三個(gè)方面：(1)從邊看：對(duì)邊平行，四邊相等；(2)從角看：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；(3)從對(duì)角線看：對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角判定一個(gè)四邊形是菱形，可先判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，再判定一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直，也可直接判定四邊相等 利用菱形的性質(zhì)與判定求菱形的高1如圖，在R

4、tABC中，ACB90°，D為AB的中點(diǎn)，且AECD，CEAB.(1)求證：四邊形ADCE是菱形；(2)若B60°，BC6，求菱形ADCE的高(計(jì)算結(jié)果保留根號(hào))(第1題) 利用菱形的性質(zhì)與判定求菱形對(duì)角線長2如圖，在矩形AFCG中，BD垂直平分對(duì)角線AC，交CG于D，交AF于B，交AC于O.連接AD，BC.www-2-1-cnjy-com(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若E為AB的中點(diǎn)，DEAB，求BDC的度數(shù)；(3)在(2)的條件下，若AB1，求菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD的長(第2題) 利用菱形的性質(zhì)與判定解決周長問題3如圖，在RtABC中，ACB90

5、76;，D，E分別為AB，AC邊的中點(diǎn)，連接DE，將ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，得到CFE，連接AF.(1)求證：四邊形ADCF是菱形；(2)若BC8，AC6，求四邊形ABCF的周長(第3題) 利用菱形的性質(zhì)與判定解決面積問題4如圖，在RtABC中，BAC90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AFBC交BE的延長線于點(diǎn)F.21教育名師原創(chuàng)作品(1)求證：AEFDEB；(2)證明四邊形ADCF是菱形；(3)若AC4，AB5，求菱形ADCF的面積(第4題)專訓(xùn)3.正方形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性質(zhì)，判定一個(gè)四邊形是正

6、方形，只需保證它既是矩形又是菱形即可2·1·c·n·j·y 利用正方形的性質(zhì)解決線段和差倍分問題1已知：在正方形ABCD中，MAN45°，MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC(或它們的延長線)于點(diǎn)M，N.(1)如圖，當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時(shí)，易證：BMDNMN.當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時(shí)，如圖，請(qǐng)問圖中的結(jié)論是否還成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由(2)當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時(shí)，線段BM，DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并證明(第1題) 利用正方形的性質(zhì)證明線段位置關(guān)系2如

7、圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別在OD，OC上，且DECF，連接DF，AE，AE的延長線交DF于點(diǎn)M.求證：AMDF.(第2題) 正方形性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用3如圖，P，Q，R，S四個(gè)小球分別從正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D同時(shí)出發(fā)，以同樣的速度分別沿AB，BC，CD，DA的方向滾動(dòng)，其終點(diǎn)分別是B，C，D，A.(1)不管滾動(dòng)多長時(shí)間，求證：連接四個(gè)小球所得的四邊形PQRS總是正方形(2)四邊形PQRS在什么時(shí)候面積最大？(3)四邊形PQRS在什么時(shí)候面積為原正方形面積的一半？并說明理由(第3題)專訓(xùn)4.特殊平行四邊形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金：特殊平行四邊形的性

8、質(zhì)區(qū)別主要從邊、角及對(duì)角線三個(gè)方面進(jìn)行區(qū)分；而判定主要從建立在其他特殊四邊形的基礎(chǔ)上再附加什么條件方面進(jìn)行判定 矩形的綜合性問題a矩形性質(zhì)的應(yīng)用1如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)B的位置，AB與CD交于點(diǎn)E.(1)試找出一個(gè)與AED全等的三角形，并加以證明；(2)若AB8，DE3，P為線段AC上的任意一點(diǎn)，PGAE于點(diǎn)G，PHEC于點(diǎn)H，試求PGPH的值(第1題)b矩形判定的應(yīng)用2如圖，點(diǎn)O是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，DEAC，CEBD，連接OE.求證：(1)四邊形OCED是矩形；(2)OEBC.(第2題)c矩形性質(zhì)和判定的應(yīng)用3如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)P是BC上任

9、意一點(diǎn)(不與B，C重合)，PEAB，PFAC，BDAC.垂足分別為E，F(xiàn)，D.www.21-cn-(1)求證：BDPEPF.(2)當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時(shí)，其他條件不變?nèi)鐖D，BD，PE，PF之間的上述關(guān)系還成立嗎？若不成立，請(qǐng)說明理由(第3題) 菱形的綜合性問題a菱形性質(zhì)的應(yīng)用4已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)是BC上任意一點(diǎn)，連接AF交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，連接EC.(1)求證：AEEC.(2)當(dāng)ABC60°，CEF60°時(shí)，點(diǎn)F在線段BC上的什么位置？并說明理由(第4題)b菱形判定的應(yīng)用5如圖，在RtABC中，B90°，BC5，C30°.點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿

10、CA方向以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t s(t>0)過點(diǎn)D作DFBC于點(diǎn)F，連接DE，EF.21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有(1)求證：AEDF.(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，請(qǐng)說明理由(3)當(dāng)t為何值時(shí)，DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由(第5題)c菱形性質(zhì)和判定的應(yīng)用6(1)如圖，紙片ABCD中，AD5，SABCD15.過點(diǎn)A作AEBC，垂足為E，沿AE剪下ABE，將它平移至DCE的位置，拼成四邊形AEED，則四邊形

11、AEED的形狀為()21·世紀(jì)*教育網(wǎng)A平行四邊形 B菱形C矩形 D正方形(2)如圖，在(1)中的四邊形紙片AEED中，在EE上取一點(diǎn)F，使EF4，剪下AEF，將它平移至DEF的位置，拼成四邊形AFFD.求證：四邊形AFFD是菱形；求四邊形AFFD的兩條對(duì)角線的長(第6題) 正方形的綜合性問題a正方形性質(zhì)的應(yīng)用7如圖，在正方形ABCD中，G是BC上任意一點(diǎn)，連接AG，DEAG于E，BFDE交AG于點(diǎn)F，探究線段AF，BF，EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由(第7題)b正方形判定的應(yīng)用8兩個(gè)長為2 cm，寬為1 cm的矩形擺放在直線l上(如圖)，CE2 cm，將矩形ABCD繞著點(diǎn)C順時(shí)

12、針旋轉(zhuǎn)角，將矩形EFGH繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相同的角度2-1-c-n-j-y(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到頂點(diǎn)D，H重合時(shí)(如圖)，連接AE，CG，求證：AEDGCD；(2)當(dāng)45°時(shí)(如圖)，求證：四邊形MHND為正方形(第8題)答案專訓(xùn)11解：由折疊的性質(zhì)知HEMAEH，BEFFEM，HEFHEMFEM×180°90°.同理可得EHGHGFEFG90°，四邊形EFGH為矩形HGEF，HGEF.GHNEFM.又HNGFME90°，HNGFME.HNMF.又HNHD，HDMF.ADAHHDHMMFHF.HF5(cm)，AD5 cm.點(diǎn)撥：此題利用折疊提

13、供的角相等，可證明四邊形EFGH為矩形，然后利用三角形全等來證明HNMF，進(jìn)而證明HDMF，從而將AD轉(zhuǎn)化為直角三角形EFH的斜邊HF，進(jìn)而得解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想【來源：21cnj*y.co*m】(第2題)2解：PEPFAB.理由：過點(diǎn)P作PGAB于G，交BD于O，如圖所示PGAB，PFAC，A90°，AAGPPFA90°.四邊形AGPF是矩形AGPF，PGAC.CGPB.又BDDC，CDBP.GPBDBP.OBOP.PGAB，PEBD，BGOPEO90°.在BGO和PEO中，BGOPEO.BGPE.ABBGAGPEPF.3證明：(1)四邊形ABCD是平行四邊形，A

14、BCD.BEDF.又BEDF，四邊形BFDE是平行四邊形DEAB，DEB90°.四邊形BFDE是矩形(2)四邊形ABCD是平行四邊形，ABDC，ADBC.DFAFAB.由(1)易得BCF為直角三角形，在RtBCF中，由勾股定理，得BC5，ADBCDF5.DAFDFA.DAFFAB，即AF平分DAB.4(1)證明：四邊形ABCD為平行四邊形，ABDC.ABEECF.又點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，BECE.在ABE和FCE中，ABEFCE.ABCF.又ABCF，四邊形ABFC為平行四邊形AEEF.AEC為ABE的外角，AECABCEAB.又AEC2ABC，ABCEAB.AEBE.AEEFBEEC，

15、即AFBC.四邊形ABFC為矩形(2)解：四邊形ABFC是矩形，ACDF.又AFD是等邊三角形，CFCD2.AC2.S四邊形ABFC2×24.【版權(quán)所有：21教育】專訓(xùn)21(1)證明：AECD，CEAB，四邊形ADCE是平行四邊形，又ACB90°，D是AB的中點(diǎn)，CDBDAD，平行四邊形ADCE是菱形(2)解：如圖，過點(diǎn)D作DFCE，垂足為點(diǎn)F，則DF即為菱形ADCE的高，B60°，CDBD，BCD是等邊三角形，BCD60°.CEAB，BCE180°B120°，21*cnjy*comDCE60°，又CDBC6，在RtCDF中

16、，易求得DF3，即菱形ADCE的高為3.(第1題)2(1)證明：BD垂直平分AC，OAOC，ADCD，ABBC.四邊形AFCG是矩形，CGAF.CDOABO，DCOBAO.CODAOB(AAS)CDAB.ABBCCDDA.四邊形ABCD是菱形(2)解：E為AB的中點(diǎn)，DEAB，DE垂直平分AB.ADDB.又ADAB，ADB為等邊三角形，DBA60°.CDAB，BDCDBA60°.(3)解：由菱形性質(zhì)知，OABBAD30°.在RtOAB中，AB1，OB，OA.21·cn·jy·comBD1，AC.3(1)證明：將ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180&

17、#176;得到CFE，AECE，DEFE.四邊形ADCF是平行四邊形D，E分別為AB，AC邊的中點(diǎn)，DE是ABC的中位線DEBC.ACB90°，AED90°.DFAC.四邊形ADCF是菱形(2)解：在RtABC中，BC8，AC6，AB10.點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AD5.四邊形ADCF是菱形，AFFCAD5.四邊形ABCF的周長為8105528.4(1)證明：E是AD中點(diǎn)，AEDE.AFBC，F(xiàn)AEBDE，又AEFDEB，AEFDEB(ASA)(2)證明：由(1)知，AEFDEB，則AFDB，D是BC的中點(diǎn)，DBDC，AFCD，又AFBC，四邊形ADCF是平行四邊形，BAC90

18、°，D是BC的中點(diǎn)，ADDCBC，四邊形ADCF是菱形(3)解：設(shè)菱形ADCF的DC邊上的高為h，則RtABC斜邊BC上的高也為h，BC，DCBC，h，菱形ADCF的面積為：DC·h×10.專訓(xùn)31解：(1)仍有BMDNMN成立證明如下： 如圖(1)，過點(diǎn)A作AEAN，交CB的延長線于點(diǎn)E, 易證ABEADN，DNBE，AEAN. 又MAN45°，EAMNAM45°，AMAM，EAMNAM.MEMN.MEBEBMDNBM ，BMDNMN .21教育網(wǎng)(2)DNBMMN.證明如下： 如圖(2)，在DN上截取DEBM，連接AE.四邊形ABCD是正方

19、形，ABMD90°，ABAD.又BMDE，ABMADE.AMAE，BAMDAE.DAB90°，MAE90°.MAN45°，EAN45°MAN.又AMAE，ANAN，AMNAEN.MNEN.DNDEENBMMN.DNBMMN.(1)(2) (第1題)2證明：AC，BD是正方形ABCD的兩條對(duì)角線，ACBD，OAODOCOB.DECF，OEOF.在RtAOE與RtDOF中，RtAOERtDOF.OAEODF.DOF90°，DFOFDO90°.DFOFAE90°.AMF90°，即AMDF.3(1)證明：四邊形A

20、BCD是正方形，ABCD90°，ABBCCDDA.又不管滾動(dòng)多長時(shí)間，APBQCRDS，SAPBQCRD.ASPBPQCQRDRS.PSQPRQSR，ASPBPQ.不管滾動(dòng)多長時(shí)間，四邊形PQRS是菱形又APSASP90°，APSBPQ90°.QPS180°(APSBPQ)180°90°90°.不管滾動(dòng)多長時(shí)間，四邊形PQRS總是正方形(2)解：當(dāng)P，Q，R，S在出發(fā)時(shí)或在到達(dá)終點(diǎn)時(shí)面積最大，此時(shí)的面積就等于原正方形ABCD的面積(3)解：當(dāng)P，Q，R，S四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到正方形四邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形PQRS的面積是原正方形ABCD面積

21、的一半理由：設(shè)原正方形ABCD的邊長為a.當(dāng)PS2a2時(shí)，在RtAPS中，ASaSDaAP.由勾股定理，得AS2AP2PS2，即(aAP)2AP2a2，解得APa.同理可得BQCRSDa.當(dāng)P，Q，R，S四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到正方形ABCD各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形PQRS的面積為原正方形面積的一半專訓(xùn)41解：(1)AEDCEB.證明：四邊形ABCD是矩形，BCDA，BD.由折疊的性質(zhì)，知BCBC，BB，BCDA，BD.在AED和CEB中，AEDCEB.(第1題)(2)如圖，延長HP交AB于點(diǎn)M，則PMAB.12，PGAB，PMPG.CDAB，23，13，AECE835.在RtADE中，DE3，AE5，AD4.P

22、HPMAD，PGPHAD4.2證明：(1)DEAC，CEBD，四邊形OCED是平行四邊形四邊形ABCD是菱形，ACBD.DOC90°.四邊形OCED是矩形(2)四邊形ABCD是菱形，BCCD.四邊形OCED是矩形，OECD，OEBC.(第3題)3(1)證明：如圖，過點(diǎn)B作BHFP交FP的延長線于點(diǎn)H.BDAC，PFAC，BHPF，四邊形BDFH是矩形BDHF.ABAC，ABCC.PEAB，PFAC，PEBPFC90°.EPBFPC.又HPBFPC，EPBHPB.PEAB，PHBH，PEBPHB90°.【來源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】又P

23、BPB，PEBPHB.PEPH，BDHFPFPHPFPE.即BDPEPF.(2)解：不成立，此時(shí)PEBDPF.理由：過點(diǎn)B作BHPF交PF的延長線于點(diǎn)H.與(1)同理可得PEPH，BDHF.PEFHFPBDPF.(第4題)4(1)證明：連接AC，如圖BD是菱形ABCD的對(duì)角線，BD是線段AC的垂直平分線，AEEC.(2)解：點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)理由：四邊形ABCD是菱形，ABCB.又ABC60°，ABC是等邊三角形，BAC60°.AEEC，EACACE.CEF60°，EAC30°，EACEAB.AF是ABC的角平分線BFCF.點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)5(1)證明：在DFC中，DFC90°，C30°，DC2t，DFt，又AEt，AEDF.(2)解：能理由如下：ABBC，DFBC，AEDF.又AEDF，四邊形AEFD為平行四邊形在RtABC中，設(shè)ABx，則由C30°，得AC2x，由勾股定理，得AB2BC2AC2，即x2(5)24x2，解得x5(負(fù)根舍去)，AB5.AC2AB10.ADACDC102t.由已知得點(diǎn)D從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的時(shí)間為10÷25(s)，點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的時(shí)間為5÷15(s)若使AEFD為菱形，則需AEAD，即t102t，解得t.符合題意故當(dāng)t s時(shí)，四邊形AE