計算一棵樹樹葉的數(shù)量以及質(zhì)量

1、 計算一棵樹樹葉的數(shù)量以及質(zhì)量，根據(jù)葉鑲嵌原理，我們將一棵樹的樹葉分成n層，并且假設(shè)樹的輪廓近似為一個圓錐形，如圖所示：圓錐側(cè)面展開之后成為一個扇形，假設(shè)每一層的樹葉相鄰排列，并且每片樹葉形狀相同大小相等，那么樹葉覆蓋扇面的方式如下圖所示：，圓錐表面與陽光強度最大時（即正午）直照光相垂直，此時陽光照射方向與水平方向的夾角為（即太陽高度角）。這種關(guān)系可以用下圖來表示：假設(shè)每一層樹葉與圓錐表面平行。這樣每一層樹葉形成了以為底面半徑，為高的圓錐體。假設(shè)每一層的底面半徑從外向內(nèi)等差遞減，即（d為常數(shù)），即。那么每層圓錐體除底表面積為。假設(shè)在陽光最大位置時，照在外層圓錐除底表面的平均光照強度為，那么第一

2、層的光照總強度為。根據(jù)假設(shè)光照到樹葉上被完全吸收和反射，由于從上一層透過來的日光可以看做一個有一個均勻分布的光源群，根據(jù)無影燈原理，可以認為每一層的日光照射都是均勻分布的。從而我們知道由外向內(nèi)的第二層總光照強度為，其中，第一層的葉子數(shù)；第二層總光照強度為，其中，第二層的葉子數(shù)；這樣每一層的光照總強度為，每一層的平均光照強度為.那么我們假設(shè)只要有且第層的圓錐的體積應(yīng)該大于或者等于樹木的體積而第層的圓錐的體積應(yīng)該小于或者等于樹木的體積。那么樹葉就可以生長。下面計算每一層的樹葉數(shù):將每一層圓錐展開，成為一個扇形，扇形半徑為，則每一層的樹葉數(shù)為，其中。那么一棵樹的樹葉的總質(zhì)量為：，其中代表樹的高度，代

3、表樹冠底面距離地面的高度（即主干高）。 模型的關(guān)鍵是得到樹葉的層數(shù)，這個要考慮體積的原因。 這樣就可以得到，樹葉的總質(zhì)量，與樹的尺寸特征（高度、質(zhì)量、體積）是有聯(lián)系的。)女貞葉樹葉成卵形或卵狀披針形，可近似看作為標準橢圓形，長514cm，寬3.56cm，在我們學校中，抽取5棵大致相同的大女貞樹進行測量，得到它們的葉子大小、樹高、主干高、胸徑的平均值為：長8cm、寬4cm，樹高6米，主干2米，胸徑40cm的研究樹：假設(shè)每一層的樹葉的形狀大小沒有變化，只是質(zhì)量（與厚度有關(guān)）發(fā)生了變化，每一片樹葉的質(zhì)量和平均光照強度成函數(shù)關(guān)系。在研究不同平均光照強度對女貞樹的樹葉質(zhì)量的影響時，我們查找資料，得出了不

4、同光照之下，葉子質(zhì)量的數(shù)據(jù)，如下：光照強度葉子質(zhì)量樹木1樹葉質(zhì)量（g）樹木2樹葉質(zhì)量(g)樹木3樹葉質(zhì)量(g)樹木4樹葉質(zhì)量(g)樹木5樹葉質(zhì)量(g)葉子平均質(zhì)量(g)400.420.470.680.520.620.542800.530.520.820.620.650.6281600.610.590.860.690.720.6943200.720.680.960.810.780.796400.680.610.890.740.740.732、則可以擬合出葉子質(zhì)量與平均光照強度的函數(shù)關(guān)系：y =0.5420 0.6280 0.6940 0.7900 0.7320p =0.0000 -0.0000

5、0.0019 0.4786由于在光照強度達到640之后，葉子的質(zhì)量開始變小，這樣不利于研究，我們假設(shè)樹木生活在合適的光照強度下，那么重新對數(shù)據(jù)進行擬合，得到葉子質(zhì)量與平均光照強度的函數(shù)關(guān)系：x=40 80 160 320;y=0.542 0.628 0.694 0.79n=2;p=polyfit(x,y,n)xi=linspace(0,400,10000);z=polyval(p,xi); %多項式求值plot(x,y,'o:',xi,z,'r',x,y,' b ')legend('Raw data','The fitti

6、ng curve ')xlabel('Light intensity ')ylabel('Leaf quality ')y =.5420 0.6280 0.6940 0.7900p =0.0000 0.0018 0.4853其中平均光照強度的單位為，樹葉的質(zhì)量的單位為。 由于西安位于東經(jīng)107°40109°49和北緯33°3934°45之間，為了研究簡單，我們假設(shè)我們學校位于東經(jīng)108°和北緯處。對于太陽高度角即的確定，首先計算處2月11日時太陽直射點的地理緯度，根據(jù)某日太陽直射點的地理緯度位置=23°26N（某日6月22日）*（23°26*4/365）可以計算出2月11日太陽直射點的地理緯度位置為N，則又由正午太陽高度計算的公式：H90°（H為正午太陽高度，為當?shù)鼐暥?，為直射點的緯度）。計算出我們學校的正午時太陽高度：參數(shù)的大小如下圖所示：參數(shù)