解題技巧直線與圓的題型與方法

1、解題技巧：直線與圓的題型與方法一、考試要求：直線和圓的方程1理解直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程2掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系3了解二元一次不等式表示平面區(qū)域4了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用5了解解析幾何的基本思想，了解坐標法6掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程二、教學過程：（）基礎(chǔ)知識詳析 (一)直線的方程1點斜式：；2 截距式：； 3兩點式：；4 截距式：；5一般式：，其中A、B不同時為0(二)兩

2、條直線的位置關(guān)系兩條直線，有三種位置關(guān)系：平行（沒有公共點）；相交（有且只有一個公共點）；重合（有無數(shù)個公共點）在這三種位置關(guān)系中，我們重點研究平行與相交設(shè)直線：=+，直線：=+，則的充要條件是=，且=；的充要條件是=-1(三)線性規(guī)劃問題1線性規(guī)劃問題涉及如下概念：存在一定的限制條件，這些約束條件如果由x、y的一次不等式（或方程）組成的不等式組來表示，稱為線性約束條件都有一個目標要求，就是要求依賴于x、y的某個函數(shù)（稱為目標函數(shù)）達到最大值或最小值特殊地，若此函數(shù)是x、y的一次解析式，就稱為線性目標函數(shù)求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題滿足線性約束條件的解

3、（x，y）叫做可行解所有可行解組成的集合，叫做可行域使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解，叫做這個問題的最優(yōu)解2線性規(guī)劃問題有以下基本定理： 一個線性規(guī)劃問題，若有可行解，則可行域一定是一個凸多邊形 凸多邊形的頂點個數(shù)是有限的 對于不是求最優(yōu)整數(shù)解的線性規(guī)劃問題，最優(yōu)解一定在凸多邊形的頂點中找到3線性規(guī)劃問題一般用圖解法 (四)圓的有關(guān)問題1圓的標準方程（r0），稱為圓的標準方程，其圓心坐標為（a，b），半徑為r特別地，當圓心在原點（0，0），半徑為r時，圓的方程為2圓的一般方程（0）稱為圓的一般方程，其圓心坐標為（，），半徑為當=0時，方程表示一個點（，）；當0時，方程不表示任何圖形3圓的參

4、數(shù)方程 圓的普通方程與參數(shù)方程之間有如下關(guān)系： （為參數(shù)） （為參數(shù)）（）高考數(shù)學直線與圓題選一、選擇題（共17題）1（安徽卷）如果實數(shù)滿足條件 那么的最大值為 A B C D解：當直線過點(0，-1)時，最大，故選B2（安徽卷）直線與圓沒有公共點，則的取值范圍是A B C D 解：由圓的圓心到直線大于，且，選A3（福建卷）已知兩條直線和互相垂直，則等于A2B1C0D解析：兩條直線和互相垂直，則， a=1，選D4（廣東卷）在約束條件下，當時，目標函數(shù)的最大值的變化范圍是A B C D 解析：由交點為，（1）當時可行域是四邊形OABC，此時，（2）當時可行域是OA此時，故選D5（湖北卷）已知平面

5、區(qū)域D由以為頂點的三角形內(nèi)部邊界組成若在區(qū)域D上有無窮多個點可使目標函數(shù)zxmy取得最小值，則A2 B1 C1 D4解析：依題意，令z0，可得直線xmy0的斜率為，結(jié)合可行域可知當直線xmy0與直線AC平行時，線段AC上的任意一點都可使目標函數(shù)zxmy取得最小值，而直線AC的斜率為1，所以m1，選C6（湖南卷）若圓上至少有三個不同點到直線:的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是 ( )A B C D解析：圓整理為，圓心坐標為(2，2)，半徑為3，要求圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于， ， ， ， ，直線的傾斜角的取值范圍是，選B7（湖南卷）圓上的點到直線的最大距

6、離與最小距離的差是A36 B 18 C D 解析：圓的圓心為(2，2)，半徑為3，圓心到直線的距離為>3，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是2R =6，選C8（江蘇卷）圓的切線方程中有一個是Axy0Bxy0Cx0Dy0【正確解答】直線ax+by=0，則，由排除法，選C,本題也可數(shù)形結(jié)合，畫出他們的圖象自然會選C,用圖象法解最省事【解后反思】直線與圓相切可以有兩種方式轉(zhuǎn)化(1)幾何條件:圓心到直線的距離等于半徑(2)代數(shù)條件:直線與圓的方程組成方程組有唯一解,從而轉(zhuǎn)化成判別式等于零來解9（全國卷I）從圓外一點向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為A B C D解析：圓的圓心為M(

7、1，1)，半徑為1，從外一點向這個圓作兩條切線，則點P到圓心M的距離等于，每條切線與PM的夾角的正切值等于，所以兩切線夾角的正切值為，該角的余弦值等于，選B10（山東卷）某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y須滿足約束條件則z=10x+10y的最大值是A80 B85 C90 D95解：畫出可行域：易得A（55，45）且當直線z10x10y過A點時， z取得最大值，此時z90，選C11（山東卷）已知x和y是正整數(shù)，且滿足約束條件則x2x3y的最小值A(chǔ)24 B14 C13 D115解：畫出可域：如圖所示易得B點坐標為（6，4）且當直線z2x3y過點B時z取最大值，此時z24，點C的坐標為（35，

8、15），過點C時取得最小值，但x，y都是整數(shù)，最接近的整數(shù)解為（4，2），故所求的最小值為14，選B12(陜西卷)設(shè)直線過點(0,a),其斜率為1, 且與圓x2+y2=2相切,則a 的值為( ) A± B±2 C±2 D±4解析：設(shè)直線過點(0，a)，其斜率為1， 且與圓x2+y2=2相切，設(shè)直線方程為，圓心(0，0)道直線的距離等于半徑， ， a 的值±2，選B 13（四川卷）某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料A和原料B分別為、千克，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料A和原料B分別為、千克甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤分別為、元月初一次性購進本月用原料A、B各、千

9、克要計劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤總額達到最大在這個問題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為千克、千克，月利潤總額為元，那么，用于求使總利潤最大的數(shù)學模型中，約束條件為A B C D解析：設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為千克，千克，月利潤總額為元，那么，用于求使總利潤最大的數(shù)學模型中，約束條件為，選C14（天津卷）設(shè)變量、滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為（ ）A BC D 解析：設(shè)變量、滿足約束條件在坐標系中畫出可行域ABC，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，則目標函數(shù)的最小值為3，選B 15（浙江卷）在平面直角坐標系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是A B4 C D2

10、【考點分析】本題考查簡單的線性規(guī)劃的可行域、三角形的面積解析：由題知可行域為， ，故選擇B16(重慶卷)過坐標原點且與x2+y2 + 4x+2y+=0相切的直線的方程為Ay=-3x或y=x B y=-3x或y=-x Cy=-3x或y=-x D y=3x或y=x 解析：過坐標原點的直線為，與圓相切，則圓心(2，1)到直線方程的距離等于半徑，則，解得， 切線方程為，選A 17(重慶卷)以點（2，1）為圓心且與直線相切的圓的方程為A BC D解：r3，故選C二、填空題（共18題）18（北京卷）已知點的坐標滿足條件，點為坐標原點，那么的最小值等于_,最大值等于_解：畫出可行域，如圖所示： 易得A（2，

11、2），OAB（1，3），OB，C（1，1），OC，故|OP|的最大值為，最小值為19（福建卷）已知實數(shù)、滿足則的最大值是_解析：已知實數(shù)、滿足在坐標系中畫出可行域，三個頂點分別是A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)， 的最大值是420（湖北卷）已知直線與圓相切，則的值為 解：圓的方程可化為，所以圓心坐標為（1，0），半徑為1，由已知可得，所以的值為18或821（湖北卷）若直線ykx2與圓(x2)2(y3)21有兩個不同的交點，則k 的取值范圍是 解：由直線ykx2與圓(x2)2(y3)21有兩個不同的交點可得直線與圓的位置關(guān)系是相交，故圓心到直線的距離小于圓的半徑，即<1，解得k&#

12、206;(0，)22（湖南卷）已知則的最小值是 解析：由，畫出可行域，得交點A(1，2)，B(3，4)，則的最小值是523（江蘇卷）設(shè)變量x、y滿足約束條件，則的最大值為【正確解答】 畫出可行域，得在直線2x-y=2與直線x-y=-1的交點A(3,4)處，目標函數(shù)z最大值為1824（江西卷）已知圓M：（xcosq）2（ysinq）21，直線l：ykx，下面四個命題：A對任意實數(shù)k與q，直線l和圓M相切；B對任意實數(shù)k與q，直線l和圓M有公共點；C對任意實數(shù)q，必存在實數(shù)k，使得直線l與和圓M相切D對任意實數(shù)k，必存在實數(shù)q，使得直線l與和圓M相切其中真命題的代號是_（寫出所有真命題的代號）解：

13、選（B）（D）圓心坐標為（cosq，sinq），d25（全國卷I）設(shè)，式中變量滿足下列條件，則z的最大值為_解析：在坐標系中畫出圖象，三條線的交點分別是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在ABC中滿足的最大值是點C，代入得最大值等于1126（全國II）過點（1，）的直線l將圓(x2)2y24分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k 解析：(數(shù)形結(jié)合)由圖形可知點A在圓的內(nèi)部, 圓心為O(2,0)要使得劣弧所對的圓心角最小,只能是直線,所以27(上海卷)已知圓440的圓心是點P，則點P到直線10的距離是 解：由已知得圓心為：，由點到直線距離公式得：；28(上海卷)已知兩條直線

14、若，則_解：兩條直線若，則229(上海卷)已知實數(shù)滿足，則的最大值是_解析：實數(shù)滿足，在坐標系中畫出可行域，得三個交點為A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，則的最大值是030（四川卷）設(shè)滿足約束條件：，則的最小值為 ;解析：設(shè)滿足約束條件：，在直角坐標系中畫出可行域ABC，其中A(1，)，B(1，8)，C(4，2)，所以的最小值為631（天津卷）設(shè)直線與圓相交于、兩點，且弦的長為，則_解析：設(shè)直線與圓相交于、兩點，且弦的長為，則圓心(1，2)到直線的距離等于1，0 32（天津卷）若半徑為1的圓分別與軸的正半軸和射線相切，則這個圓的方程為解析：若半徑為1的圓分別與軸的正半軸和射線相切，則圓

15、心在直線y=x上，且圓心的橫坐標為1，所以縱坐標為，這個圓的方程為33(重慶卷)已知變量x,y滿足約束條件1x+y4,-2x-y2若目標函數(shù)z=ax+y(其中a0)僅在點(3,1)處取得最大值，則a的取值范圍為_解析：變量滿足約束條件 在坐標系中畫出可行域。如圖為四邊形ABCD，其中A(3，1)，目標函數(shù)（其中）中的z表示斜率為a的直線系中的截距的大小，若僅在點處取得最大值，則斜率應(yīng)小于，即，所以的取值范圍為(1，+)34(重慶卷)已知變量，滿足約束條件若目標函數(shù)（其中）僅在點處取得最大值，則的取值范圍為 解：畫出可行域如圖所示，其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），若目標函數(shù)取得最大

16、值，必在B，C，D三點處取得，故有3a>a1且3a>1，解得a>35（上海春）已知圓和直線 若圓與直線沒有公共點，則的取值范圍是 解：由題意知，圓心(-5,0) 到直線 l:3x+y+5=0 的距離 d 必須小于圓的半徑 r 因為 ，所以 從而應(yīng)填 直線和圓的方程練習一、 選擇題1、在直角坐標系中，直線的傾斜角是（）ABCD2、若圓C與圓關(guān)于原點對稱，則圓C的方程是（ ）ABCD3、直線同時要經(jīng)過第一、第二、第四象限，則應(yīng)滿足（ ）ABCD4、已知直線，直線過點，且到的夾角為，則直線的方程是（）ABCD5、不等式表示的平面區(qū)域在直線的（ ）A左上方B右上方C左下方D左下方6、

17、直線與圓的位置關(guān)系是（ ）A相交且過圓心B相切C相離D相交但不過圓心7、已知直線與圓相切，則三條邊長分別為的三角形（）A是銳角三角形B是直角三角形C是鈍角三角形D不存在8、過兩點的直線在x軸上的截距是()ABCD29、點到直線的距離為()ABCD10、下列命題中，正確的是( )A點在區(qū)域內(nèi)B點在區(qū)域內(nèi)C點在區(qū)域內(nèi)D點在區(qū)域內(nèi)11、由點引圓的切線的長是 ( )A2BC1D412、三直線相交于一點，則a的值是()ABC0D113、已知直線 ，若到的夾角為，則k的值是 ( )A B CD14、如果直線互相垂直，那么a的值等于()A1BCD15、若直線 平行，那么系數(shù)a等于()ABCD16、由所圍成的較小圖形的面積是( )ABCD17、動點在圓 上移動時，它與定點連線的中點的軌跡方程是( )ABCD18、參數(shù)方程 表示的圖形是()A圓心為，半徑為9的圓B圓心為，半徑為3的圓