選修44坐標系與參數(shù)方程知識點總結及同步練習附答案副本

1、坐標系與參數(shù)方程 知識點1平面直角坐標系中的坐標伸縮變換設點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點,在變換的作用下,點P(x,y)對應到點,稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換,簡稱伸縮變換.2.極坐標系的概念(1)極坐標系如圖所示,在平面內取一個定點,叫做極點,自極點引一條射線,叫做極軸;再選定一個長度單位,一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標系.注:極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景;平面直角坐標系內的點與坐標能建立一一對應的關系,而極坐標系則不可.但極坐標系和平面直角坐標系都是平面坐標系.(2)極

2、坐標設M是平面內一點,極點與點M的距離|OM|叫做點M的極徑,記為;以極軸為始邊,射線為終邊的角叫做點M的極角,記為.有序數(shù)對叫做點M的極坐標,記作.一般地,不作特殊說明時,我們認為可取任意實數(shù).特別地,當點在極點時,它的極坐標為(0, )(R).和直角坐標不同,平面內一個點的極坐標有無數(shù)種表示.如果規(guī)定,那么除極點外,平面內的點可用唯一的極坐標表示;同時,極坐標表示的點也是唯一確定的.3.極坐標和直角坐標的互化(1)互化背景:把直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,如圖所示:(2)互化公式:設是坐標平面內任意一點,它的直角坐標是,極坐標是(),于是

3、極坐標與直角坐標的互化公式如表:點直角坐標極坐標互化公式在一般情況下,由確定角時,可根據(jù)點所在的象限最小正角.4.常見曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點,半徑為的圓圓心為,半徑為的圓圓心為,半徑為的圓過極點,傾斜角為的直線(1)(2)過點,與極軸垂直的直線過點,與極軸平行的直線注:由于平面上點的極坐標的表示形式不唯一,即都表示同一點的坐標,這與點的直角坐標的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點的極坐標的多種表示形式,只要求至少有一個能滿足極坐標方程即可.例如對于極坐標方程點可以表示為等多種形式,其中,只有的極坐標滿足方程.二、參數(shù)方程1.參數(shù)方程的概念一般地,在平面直角坐標系中,如果曲

4、線上任意一點的坐標都是某個變數(shù)的函數(shù),并且對于的每一個允許值,由方程組所確定的點都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù),簡稱參數(shù),相對于參數(shù)方程而言,直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程.2.參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)中的一個與參數(shù)的關系,例如,把它代入普通方程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系,那么就是曲線的參數(shù)方程,在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應用參數(shù)方程解軌跡問

5、題，關鍵在于適當?shù)卦O參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3圓的參數(shù)如圖所示，設圓的半徑為，點從初始位置出發(fā)，按逆時針方向在圓上作勻速圓周運動，設，則。這就是圓心在原點，半徑為的圓的參數(shù)方程，其中的幾何意義是轉過的角度。圓心為，半徑為的圓的普通方程是，它的參數(shù)方程為：。4橢圓的參數(shù)方程以坐標原點為中心，焦點在軸上的橢圓的標準方程為其參數(shù)方程為，其中參數(shù)稱為離心角；焦點在軸上的橢圓的標準方程是其參數(shù)方程為其中參數(shù)仍為離心角，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為0，2）。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點的離心角，要把它和這一點的旋轉角區(qū)分開來，除了在四個頂點處，離心角

6、和旋轉角數(shù)值可相等外（即在到的范圍內），在其他任何一點，兩個角的數(shù)值都不相等。但當時，相應地也有，在其他象限內類似。5雙曲線的參數(shù)方程以坐標原點為中心，焦點在軸上的雙曲線的標準議程為其參數(shù)方程為，其中焦點在軸上的雙曲線的標準方程是其參數(shù)方程為以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點的離心角。6拋物線的參數(shù)方程以坐標原點為頂點，開口向右的拋物線的參數(shù)方程為7直線的參數(shù)方程經過點，傾斜角為的直線的普通方程是而過，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為。注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為，其中表示直線上以定點為起點，任一點為終點的有向線段的數(shù)量，當點在上方時，0；當點在下方時，0；當點與重

7、合時，=0。我們也可以把參數(shù)理解為以為原點，直線向上的方向為正方向的數(shù)軸上的點的坐標，其單位長度與原直角坐標系中的單位長度相同。選修4-4 數(shù)學選修4-4 坐標系與參數(shù)方程 基礎訓練A組數(shù)學選修4-4 坐標系與參數(shù)方程 綜合訓練B組數(shù)學選修4-4 坐標系與參數(shù)方程 提高訓練C組數(shù)學選修4-4 坐標系與參數(shù)方程基礎訓練A組一、選擇題1若直線的參數(shù)方程為，則直線的斜率為（ ）A BC D2下列在曲線上的點是（ ）A B C D 3將參數(shù)方程化為普通方程為（ ）A B C D 4化極坐標方程為直角坐標方程為（ ）A B C D 5點的直角坐標是，則點的極坐標為（ ）A B C D 6極坐標方程表示的

8、曲線為（ ）A一條射線和一個圓 B兩條直線 C一條直線和一個圓 D一個圓二、填空題1直線的斜率為_。2參數(shù)方程的普通方程為_。3已知直線與直線相交于點，又點，則_。4直線被圓截得的弦長為_。5直線的極坐標方程為_。三、解答題1已知點是圓上的動點，（1）求的取值范圍；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍。2求直線和直線的交點的坐標，及點與的距離。3在橢圓上找一點，使這一點到直線的距離的最小值。數(shù)學選修4-4 坐標系與參數(shù)方程綜合訓練B組一、選擇題1直線的參數(shù)方程為，上的點對應的參數(shù)是，則點與之間的距離是（ ）A B C D 2參數(shù)方程為表示的曲線是（ ）A一條直線 B兩條直線 C一條射線 D兩條射線

9、3直線和圓交于兩點，則的中點坐標為（ ）A B C D 4圓的圓心坐標是（ ）A B C D 5與參數(shù)方程為等價的普通方程為（ ）A B C D 6直線被圓所截得的弦長為（ ）A B C D 二、填空題1曲線的參數(shù)方程是，則它的普通方程為_。2直線過定點_。3點是橢圓上的一個動點，則的最大值為_。4曲線的極坐標方程為，則曲線的直角坐標方程為_。5設則圓的參數(shù)方程為_。三、解答題1參數(shù)方程表示什么曲線？2點在橢圓上，求點到直線的最大距離和最小距離。3已知直線經過點,傾斜角，（1）寫出直線的參數(shù)方程。（2）設與圓相交與兩點，求點到兩點的距離之積。數(shù)學選修4-4 坐標系與參數(shù)方程.提高訓練C組一、選

10、擇題1把方程化為以參數(shù)的參數(shù)方程是（ ）A B C D 2曲線與坐標軸的交點是（ ）A B C D 3直線被圓截得的弦長為（ ）A B C D 4若點在以點為焦點的拋物線上，則等于（ ）A B C D 5極坐標方程表示的曲線為（ ）A極點 B極軸 C一條直線 D兩條相交直線6在極坐標系中與圓相切的一條直線的方程為（ ）A B C D 二、填空題1已知曲線上的兩點對應的參數(shù)分別為，那么=_。2直線上與點的距離等于的點的坐標是_。3圓的參數(shù)方程為，則此圓的半徑為_。4極坐標方程分別為與的兩個圓的圓心距為_。5直線與圓相切，則_。三、解答題1分別在下列兩種情況下，把參數(shù)方程化為普通方程：（1）為參數(shù)

11、，為常數(shù)；（2）為參數(shù)，為常數(shù)；2過點作傾斜角為的直線與曲線交于點，求的值及相應的的值。 新課程高中數(shù)學訓練題組參考答案數(shù)學選修4-4 坐標系與參數(shù)方程 基礎訓練A組一、選擇題 1D 2B 轉化為普通方程：，當時，3C 轉化為普通方程：，但是4C5C 都是極坐標6C 則或二、填空題1 2 3 將代入得，則，而，得4 直線為，圓心到直線的距離，弦長的一半為，得弦長為5 ，取三、解答題1解：（1）設圓的參數(shù)方程為， （2）2解：將代入得，得，而，得3解：設橢圓的參數(shù)方程為， 當時，此時所求點為。新課程高中數(shù)學訓練題組參考答案數(shù)學選修4-4 坐標系與參數(shù)方程 綜合訓練B組一、選擇題 1C 距離為2D

12、 表示一條平行于軸的直線，而，所以表示兩條射線3D ，得， 中點為4A 圓心為5D 6C ，把直線代入得，弦長為二、填空題1 而，即2 ，對于任何都成立，則3 橢圓為，設，4 即5 ，當時，；當時，； 而，即，得三、解答題1解：顯然，則即得，即2解：設，則即，當時，；當時，。3解：（1）直線的參數(shù)方程為，即 （2）把直線代入得，則點到兩點的距離之積為新課程高中數(shù)學訓練題組參考答案數(shù)學選修4-4 坐標系與參數(shù)方程 提高訓練C組一、選擇題 1D ，取非零實數(shù)，而A，B，C中的的范圍有各自的限制2B 當時，而，即，得與軸的交點為； 當時，而，即，得與軸的交點為3B ，把直線代入得，弦長為4C 拋物線為，準線為，為到準線的