2021學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(解析版)

1、一、選擇題（共10小題）.1 .已知角a終邊上有一點(diǎn)P （ 3 ,4）,則sina的值是（）A . -zB . K . 土 rD ± JJJJ2 . AB + PC + BA-QC的化簡(jiǎn)結(jié)果是（）A , pqB qpC . bqD , cq3 .在 ABC 中，AC =而，BC = 2 , B = 60° ,則角 A 的值為（）A . 75°B , 45 . 45?；?135°D . 135°4 .已知函數(shù)/=se（” +，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A .函數(shù)f（x）最小正周期為2ttB.函數(shù)f （x）在區(qū)間（0 , tt ）上是減函數(shù)C.函數(shù)f （

2、 x ）的圖象關(guān)于（kn, 0）（ keZ ）對(duì)稱口.函數(shù)£（乂）是偶函數(shù)5 ,等比數(shù)列an中,al = l ,a4 = 27，則 a2+a4+a6+.+a2020值為（）A.2020- 1 i（32020-i）C.|（32020-l）D.|（31010-l） 乙乙6 .對(duì)于實(shí)數(shù)a , b , c ,有下列命題：若 a > b ,貝!J ac > be ;若 a > b ,且 a+c > b+d，貝！J c > d ;若a > b ,且沁，則a>0 , b<0 ;若c>a>b>0,則 a b >c 晨 c _ b

3、 其中真命題的是()A.B .C.D.7 .已知 tana ,tanp是方程x2 + 3x+4 = 0 的兩根，且a ,pC( 0 , tt),則a邛的值為(). TT- 371-571771A.臚/ .彳D.彳8 .在等差數(shù)列an中，am + an = a4+a5 ,則：的最小值為( )27 qA . -B . -C . 1JJ9 .已知向量。,b滿足同二聞，聞=1 ,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x ,不等 式1； +向/ +山恒成立,設(shè)0 , b的夾角為6 ,則tane的值為 ( )A ,-2#B . 2*C . 一避D .*10 .數(shù)列an為遞增的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn = anan+lan+2

4、( neN* ),設(shè)Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和,若Qa2 = / ,則當(dāng)Sn取得最小值時(shí)n的值為(A . 14B . 13C . 12D . 11二、填空題（本大題共7小題，多空題每空3分，單空題每空4 分，共36分）11 .已知向量八（1 , 2 ）, £= （ 2 , - 2 ）, |20 +川=，。在力方向 上的投影為.、2515_12 .求值：cosrt + tan（ -, COS275 ° +COS215 ° +COS75 °cosl5° =.13 .在ABC中,三邊長(zhǎng)分別為a - 2 , a , a+2 ,最大角的余弦1值為、，則 a

5、二，SABC=.r左門(mén) "3/" ftii csin2,x + 2,sin x14 .已知cosy + %）=+ 7VM<7 ,貝!J Sin2x= , t-any=15 .等比數(shù)列an的公比為q ,其前n項(xiàng)之積為T(mén)n ,若滿足條。99 1件：al > 1 , a99.al00-l>0 1<o ,當(dāng) Tn 取得最大時(shí),aioo " 1n = .16 .已知函數(shù)f （ x ） = - x2 - 2mx+4 ,若對(duì)于任意xem , m+2,都有f （ x ） > 0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.17 .不共線的向量g , b的夾角為6 ,若

6、向量2。一力與a-。的夾角也 為e,則cose的最小值為.三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)18 .已知函數(shù)f ( x ) =sin ( 2x+(p ), ( 0 < cp < n ),它的圖象的 一條對(duì)稱軸是直線x =5.(1 )求5的值及函數(shù)f(X)的遞增區(qū)間；3 jr rr(2 )若f ( a ),且 ae (技，§)，求 sin2a .19.已知平行四邊形ABCD中，AB = 2 , BC = 4 , zDAB = 60° , 點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn).(1 )求4C YE的值；(2 )若AF5E + MD ,且

7、BD±AFZ求入的值.20 .數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn ,滿足Sn = 2n - 3 ,數(shù)列bn為等 差數(shù)列且 b2 = S3 z b4 - b2 = 4S2 .(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式;(2 )若6 =仄+b+ ； +.+七,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn . 14 Jn21 .在MBC中，內(nèi)角A , B , C所對(duì)的邊分別為a , b , c.若 cosC + (cosA + sinA)cosB = 0 .(1)求角B的大小;(2 )設(shè)BC的中點(diǎn)為D ,且AD =群，求a+2c的取值范圍.22 ,已知數(shù)歹！an滿足 al = 3 , a2 = |,且 2an + l = 3an

8、- an -(1)求證:數(shù)列an + 1 - an是等比數(shù)列，并求數(shù)列an通項(xiàng) 公式；(2 )求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和為T(mén)n ,若Tn > 12 -:對(duì)任意的正 整數(shù)n恒成立,求k的取值范圍.參考答案一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每 小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.)1 .已知角a終邊上有一點(diǎn)P ( 3 ,4),則since的值是()A . -zB . K . ±D . ± z JJ【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義求出sine(的值.解：由角a終邊上有一點(diǎn)P ( 3 , - 4 ),可得x = 3、y = - 4、r = |O

9、P| = 5Z. y 4siny,故選：A .2 . AB + PC BA - QC的化簡(jiǎn)結(jié)果是()A . pqB . qpC . bqD , cq【分析】利用向量加減的幾何意義，直接計(jì)算即可.解：，AB + PC + BA-QC = AB + PC+ （ - AB + CQ = PC + CQ = PQ ； 故選：A .3 .在 aABC 中，AC = #,BC = 2 , B = 60° ,則角 A 的值為（）A . 75°B , 45 . 45?；?135°D . 135°【分析】由已知及正弦定理可得sinA = J ,結(jié)合AC>BC , 由

10、大邊對(duì)大角可得：B > A,A為銳角,從而解得A.解：在MBC 中. AC = ® BC = 2 z B = 60° ;由正弦定理可得：sinA = 吧!£=WZ=衛(wèi)， AC 一而一 2. AC > BC ,可得：B > A , A為銳角,解得A = 45。，故選：B.4 .已知函勒=-n（x +務(wù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.函數(shù)f(x)最小正周期為2ttB.函數(shù)f ( x )在區(qū)間(0 , tt )上是減函數(shù)C.函數(shù)f ( x )的圖象關(guān)于(ku , 0 )( kez)對(duì)稱D.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式可知，/=sig+ 3 =

11、cos# ,再根據(jù)余 弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.解：/(x) = sin(x +1) = cosx ,由余弦函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的最小正周期T = f=27r ,即A正確；在區(qū)間(o , TI )上是減函數(shù)，即B正確；關(guān)于(/五，O)(kez)對(duì)稱，即C錯(cuò)誤；是偶函數(shù)，即D正確.故選：C .5 .等比數(shù)歹Uan中，al = l ,a4 = 27 ,貝！J a2 + a4+a6+. + a2020值為()A.2020-.2020-1) ooC.|(32020-l)D.|(31010-l)乙乙【分析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q ,由析=1 , a4 = 27 ,可 得q3 = 27 ,

12、解得q ,可得an , a2n ,利用等比數(shù)列的求和公 式即可得出.解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q , val = 1,34 = 27,.q3 = 27,解得q = 3 .,.an = 3n - 1 z.*.a2 = 3 , q2 = 9 .*.a2n = 39n - 1 .1Q1010 Q則 a2+a4+a6+.+a2020 = 3x*- = |( 32020 - 1 ).故選：A.6,對(duì)于實(shí)數(shù)a , b , c ,有下列命題：若 a > b ,貝！J ac > be ;若 a > b ,且 a+c > b+d，貝U c > d ;若a > b ,且沁，則a

13、>0 , b<0 ;若c>a>b>0,則a b> c-a' c - b 其中真命題的是()A,B .C.D .【分析】取c = 0即可作出判斷;舉反例，如a = 1 , b=1 , c = 2 , d = 3 ;均結(jié)合作差法和不等式的性質(zhì)即可判斷.解：若c = 0,則ac=be,即錯(cuò)誤；例如d = l,b二l,c = 2,d = 3,則有1+2>1 + 3,即滿 足a+c > b+d，但c < d ,故錯(cuò)誤;1 1lib一口-, r-,.工>石；=/a > b , .b - a < 0 , /.ab < 0，

14、由于 a> b ,因此a > 0 , b < 0 ,即正確；a b ac - b) - bc - a) c(a - b)c-a c - I)- (c - a)(c - b) ' (c- a)(c-2») 9> .c > a > b > 0 ,:.a - b>0zc-a>0zc-b>0,三 工即l a v * u 用工,故正確.> ,真命題有和，故選：D .7 .已知 tana ,tanp是方程x2+3x+4 = 0 的兩根，且a ,pC( 0 , tt),則a邛的值為()A3tt_ 5tt_ 771A . TC

15、 . TD .-【分析】由題意可得 r tanatanp = 4 3,然后結(jié)合兩角和的正切 公式及角的范圍可求.解：由題意可得，2盆鑿然二3 ,故 tana < 0 , tanp < 0 ,10/25因?yàn)閍邛£ ( 0 , n ),故a 邛0(嚴(yán)，n ), n < a+F < 2ti ,>c、 tana + tanB - 3 -故 tan ( a+F ) = t _ tanatanp = x _ 4 = 1，所以a+g%故選：C .8 .在等差數(shù)列an中，am+an = a4+a5 ,則+ ：的最小值為( )27 oA . -B . -C . 1JJ【分

16、析】等差數(shù)歹Uan中，由am+an = a4+a5 ,可得:m + n = 4+5 = 9 .再利用乘1法、基本不等式的性質(zhì)即可得出.解：等差數(shù)列an中,由am+an = a4+a5，可得:m + n = 4+5 =9 .4 1 z 、/ 14、1z - n 4?n x 1 z - n 4m、則一十 =入(m + n )(- + -) = - ( 5 + + )> -(5+2 ) >人n 9M m n )9k m n )9 Kn)一1,當(dāng)且僅當(dāng)n = 2m z解得m=3 , n = 6.故選：D .9 .已知向量。,b滿足同=同，m=i ,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x ,不等 式10+軸.+/

17、；1恒成立，設(shè)0, b的夾角為e ,則tane的值為A . - 2淄B . 2#C . -CD . *【分析】根據(jù)題意，分析可得（Q +b方b垂直，據(jù)此可得有（a +力）b = a9b + b2 = COS0+1 = 0 ,變形可得 cos。的值，解可得 sin9的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案.解：根據(jù)題意，對(duì)任意的實(shí)數(shù)X ,不等式|0 +初N|° + b|恒成立，則（a + b ）與b垂直/則有(a + b >b = «*b + fe2 = /3cose + l = 0 ,解可得 cose=-。,又由 0<9<n，貝J sin0 = i-cos2(9 = 10

18、.數(shù)列an為遞增的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn =anan+lan+2 （ nCN* ），設(shè)Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和,若aa2 =小7,則當(dāng)Sn取得最小值時(shí)n的值為（）A . 14B . 13C . 12D . 11【分析】先根據(jù)條件求得數(shù)列an的通項(xiàng)，得到何時(shí)值為正， 何時(shí)為負(fù)，進(jìn)而得到數(shù)列bn正負(fù)的分界線即可求得結(jié)論.解：因?yàn)閿?shù)列an為遞增的等差數(shù)列，設(shè)其公差為d ,則d > 0 ;12 / 259因?yàn)閍2 = 丁7,949/.al+d = 7 ( al+6d ) =>al=-d ; vJ153 .,.an = al+ ( n - 1) d = ( n-y) d ;當(dāng) nN14

19、時(shí)，an>0 ;當(dāng) n<13 時(shí)，an < 0 ;數(shù)歹lbn滿足bn = anan + lan+2( nN* )設(shè)Sn為數(shù)歹lbn 的前n項(xiàng)和,故數(shù)列bn前13項(xiàng)為負(fù)值；故當(dāng)n = 13時(shí)，Sn取得最小值；故選：B .二、填空題(本大題共7小題，多空題每空3分，單空題每空4分，共36分)11 .已知向量0= ( 1,2 ),( 2 , - 2 ),=24，。在訪向上的投影為-【分析】先根據(jù)線性坐標(biāo)運(yùn)算求出2。+ /；,即可求得其模長(zhǎng)；-> T ah 再由平面向量數(shù)量積的定義可知，。在b方向上的投影為丁，然 網(wǎng)后結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.解：.0= ( 1 , 2 )

20、, £= ( 2 , 2 ),.Z + b= ( 4 , 2 ),|2a + Z| = " + 2Z = 24；。在訪向上的投影為4 =管瓷=4./ +(一2尸 2故答案為：2押；-f .、2515312 .求值：cosit + ta?i(- Jr) = - , cos275° +cos215° +cos75°5cosl5° =-.【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和三角恒等式的 應(yīng)用求出結(jié)果.g 八 257r157r247r n 16rr n 13解：COS亍+ tan ( 一丁) =+ -) - tan(- -= 2 + 1

21、 = 2 - cos275 ° +cos215 ° +cos75 ° cosl5 °221.15=sin 150 + cos 150 + -sin3QQ = 1 + -=-. Z4 4故答案為：I:;13 .在SBC中,三邊長(zhǎng)分別為a - 2 , a , a+2 ,最大角的余弦 值為貝 U a= 5 , SaABC=.【分析】直接利用余弦定理的應(yīng)用求出a的值，進(jìn)一步利用三 角形的面積公式和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換求出結(jié)果.解：在SBC中，三邊長(zhǎng)分別為a2 , a , a+2 ,所以：最大邊長(zhǎng)為a+2 , 最大角的余弦值為-；，222則cosC="

22、; = ° +(；2) ” + 2)，解得 4 二 5 .22(a- 2)a故 sinC = v故：三角形的三邊長(zhǎng)為3,5,7.cr*| 14 3 15.3所以 S力 bc = -x3x5xy= 4故答案為：5 ,甲一 一.Mm幾3 57r14 已知cos叩+ 乃=> -Z<x<IJ .I7n7貝!J sin2x,sin2x + 2sinZx 28一 -1 - tanx - 752【分析】利用三角函數(shù)的恒等變換，化簡(jiǎn)得當(dāng)字?二sin2xTTTTtan ( 4 + x ),依題意，分別求得sin2x與tan (Z + x )的值，即可求得答案.解22sin2x + 2

23、sin x 2sinxcosx + 2sin x 2sinxcosx(cosx + sinx) stn2x(l + tanx)1 - tanx. si7acosx - sinx1 - tanx1-初n2x*tan ( ： + x ).57r7nVT<X<T，3tfn _,-.t<x + ?<2tt ,又.cos ( J + x ) =1,TT4sin (戶)=-s .TT4丁tan ( - + x ) =-§ .7TTT7T7T7T.-.cosx = cos( 戶)-? = cos (4 + x) cos + sin (4 + x)兀3.J24/2 樞sm-

24、= -xy+ ( -) xy=-.sinx = sin ( t + x )= sin ( t + x ) cos：-sin/os (7 + x )L'474 v 4/44'4/,4、也樞 37.J2=(-5)xt-tx5=-i?可得sin2x = 2sinxcosx = 2x (-哈)x (等)=，2_4 一328一75一.sin2x + 2sin x 1(.= x (1 - tanx 25'故答案為：，-II.15 .等比數(shù)列an的公比為q ,其前n項(xiàng)之積為T(mén)n ,若滿足條Clqn - 1件：al > ，a99-al00-l>01 -r<o ,當(dāng) T

25、n 取得最大時(shí), u100 - 1n = 99 .【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得a99>l> alOO ,進(jìn) 而可求.。99 1解：由 al > 1 , a99*al00 - 1 > 0 z 7<o ,可得 a99 > 1 >a100 1alOO ,所以當(dāng)n = 99時(shí)，Tn最大.故答案為：9916 .已知函數(shù)f ( x ) = - x2 - 2mx+4 ,若對(duì)于任意xem ,m+2,都有f(x) > 0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0,【分析】直接利用不等式的性質(zhì)和不等式組的解法的應(yīng)用求出結(jié)果.解：函數(shù) f( x ) = - x2 - 2m

26、x+4，若對(duì)于任意 x£m , m+2, 都有f (x) >0成立，2 耳2,口-亍,3亍80<1n<-只需滿足：U>o即可，整理得：-?n2 - 2m + 4>0-(m + 2)2- 2m(m + 2) + 4>0故m的取值范圍是（0，¥）, O故答案為：（。，V）17 .不共線的向量a , b的夾角為e ,若向量2a2與a-b的夾角也 為e,則cose的最小值為I.【分析】可根據(jù)向量的加減法的幾何意義，作出圖形，可得三 角形相似，利用余弦定理、三角形相似列出方程，表示出cos e,然后求其最小值.解：如圖，不妨令48 =BC = a

27、/ AD = b / |a| = 1, b = x>0則=, DC = 2a-b ，.nA=NBDC = e, NC是公共角，.ADCsaDBC .在3DC 中，DC2 = AD2+AC2 - 2xADxACxcos0 = x2+4 - 4xcos0 .在DBA 中，DB2 = x2 + l 2xcos9 ,結(jié)合可得：22x + 4 - 4xcos0 x2二 21+ 1 - 2xcos022整理得（欠 +6cos8 - （x + -）2+ 8cos 8 = 02_即（% + ：）-3cos6/ = cos% ,所以上2+ - - 3cos9 = cos8或-cosG 大即無(wú) + 7= 4

28、cosJ > 2 'x - - = 212 /所以cos。> .22或x + -=2cos仇因?yàn)?+ -工2/，2COS0<2 ,故舍去. XX26 / 25三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)18 .已知函數(shù)f ( x ) =sin ( 2x+(p ), ( 0 < cp < n ),它的圖象的 一條對(duì)稱軸是直線x = g(1 )求(P的值及函數(shù)f(X)的遞增區(qū)間；3 jr rr(2 )若f ( a ),且 ae (正，§),求 sin2a .【分析】(1)由已知結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性可求5，代入已知

29、函數(shù)解析式后，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解；(2)由已知結(jié)合同角平方關(guān)系及和差角公式即可求解.解：(1 )直線“*是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸, Ttn.*.2 x -+</> = - + /err ,n=,又nnfW =sin(2x + y),nn n2kn < 2x + - < - + 2kn ,57rn.- - + kn<x< + kn ,單調(diào)增區(qū)間為I-工+ , 2 +碗，(叱Z),TT 3(2 )由題意s5(2a + #w ,n nj 6(記,3)，n n.2a + § W(2，“)，n 4cos(2a + n n/.sin2a = sin(2

30、a + -)-n Jrrr Jr 3 + 4.j3=sinZa + -)cos- - cos(2a + -)sin-=- OOO OAw19.已知平彳亍四邊形ABCD中，AB = 2 , BC = 4 , zDAB = 60° , 點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn).（1 ）求AC ye的值；（2 ）若af5e + d ,且BD±AFZ求入的值.【分析】（1 ）根據(jù)條件，可以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在的直線為 x軸，建立平面直角坐標(biāo)系,從而可得出八，我的坐標(biāo)，然后 進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可；（2）可以得出皿=© 2y3），AF = （3 + 2A,、區(qū)+ 28%） ，然后根據(jù)BD

31、 ±AF即可得出BDSF = 0，進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出 入的值.解：（1 ）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立如圖所 示的平面直角坐標(biāo)系，則：A(0,0),C(4,2、5), E(3 ,平)B(2,0)D(2,2,TT4C=(4, 2聞 4E=(3,回 /9 AC AE = 4x3 + 2y/3 x = 18 ；(2 ) bd =(o, 26)/ AF = (3 + 2L / + 2j3jl) /. BD±AF , T T；BD AF = 2/(2 + 2周人)=0 ,1 .z =- 2 .20 .數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn ,滿足Sn = 2n - 3 z數(shù)

32、列bn為等 差數(shù)列且 b2 = S3 , b4 - b2 = 4S2 .(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式;1 (2 )若 cn = b ,b +b , + b ,求數(shù)列cn的前 n 項(xiàng)和 Tn . 14 Jn【分析】(1)先利用an = Sn-Sn-l求得an ,然后設(shè)等差數(shù) 列bn的公差為d ,列出含d的方程組，求出d與首項(xiàng)bl ,即可求得bn ;(2 )先求bl+b2+b3+.bn，再求cn ,然后利用裂項(xiàng)相消法 求出Tn .解：(1)當(dāng) n = l 時(shí)，=-1,當(dāng) n>2 時(shí)，an = Sn - Sn l = 2n ，綜上 an= 2,：工z ； b2 = S3 , M - b2

33、= 4S2 ,，解得：d = 2 , bl = 3 ,.*.bn = bl+ ( n - 1) d = 2n + l .(2 ) ,.,bl + b2 + b3 + .bn = = n ( n+2 ),1 11 1 6 = n(/ + 2)= 2n . + 2)'t % i i /1 i、/ i i、/ 1 i 13 i i Tn =且(§)+( 2Y )+(§*)+( 丁干) = (二中一干)21 .在3BC中，內(nèi)角A , B , C所對(duì)的邊分別為a , b , c.若cosC + (cosA + yj3sinA)cosB = 0 .(1)求角B的大小；(2 )設(shè)BC的中點(diǎn)為D ,且AD =、8 ,求a+2c的取值范圍.【分析】(1 )直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換出結(jié)果.(2)利用正弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換及正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.解：(1 )由題意得-cos(4 + B) + cosAcosB + sinAcosB = 0 ,化簡(jiǎn)得 sinAsinB + 3sinAcosB = 0 .,/sinA#0 ,.sinB + 平cosB = 0 .：.tanB 又BE(0, zr),2n=