北京市各區(qū)2012屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中、期末考試分類解析（3）導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、三、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用xo1. （2012年昌平區(qū)高三期末考試?yán)?）已知定義在上的函數(shù)滿足= 1，為的導(dǎo)函數(shù).已知的圖象如圖所示,若兩個(gè)正數(shù)滿足，則的取值范圍是（ A ）A. ( B. C. D.2.（2012年西城區(qū)高三期末考試文11）若曲線在原點(diǎn)處的切線方程是，則實(shí)數(shù)_答案：。3. （2011年海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期中練習(xí)理9）曲線在處的切線的斜率為 。答案：。考點(diǎn)：8個(gè)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法；導(dǎo)數(shù)的幾何意義。4.（順義區(qū)2012屆高三尖子生綜合素質(zhì)展示10）設(shè)函數(shù)在內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在，且有以下數(shù)據(jù)：12342341342131422413則曲線在點(diǎn)處的切線方程是 ；函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值是 。答案：，12。

2、考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。5.（2011年東城區(qū)高三示范校高三綜合練習(xí)(一)文3）定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足以下條件：在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；是偶函數(shù)；在處的切線與直線垂直. （）求函數(shù)的解析式；（）設(shè)，求函數(shù)在上的最小值. 解：（）. .1分由題意知即解得 4分所以函數(shù)的解析式為. .5分（）， .令得，所以函數(shù)在遞減，在遞增. . 7分當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，. 9分當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，. 10分當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，.12分綜上，在上的最小值 . 13分6.（2011年海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期中練習(xí)文17）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本（單位：萬元）與日產(chǎn)量x（單

3、位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系式，每日的銷售額S（單位：萬元）與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式已知每日的利潤，且當(dāng)時(shí)，.（）求的值；（）當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時(shí)，每日的利潤可以達(dá)到最大，并求出最大值。解：（）由題意可得： 2分因?yàn)闀r(shí)，所以. 4分所以. 5分（）當(dāng)時(shí)，.所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào).10分當(dāng)時(shí)，. 12分所以當(dāng)時(shí)，取得最大值. 所以當(dāng)日產(chǎn)量為5噸時(shí)，每日的利潤可以達(dá)到最大值6萬元.13分7. （2011年海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期中練習(xí)理17）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本（單位：元）與日產(chǎn)量x（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系式，每日的銷售額R（單位：元）與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式，已知每日的利潤，且當(dāng)時(shí)，.（）求的

4、值；（）當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時(shí)，每日的利潤可以達(dá)到最大，并求出最大值.解：（）由題意可得：2分因?yàn)闀r(shí)，所以.4分所以. 5分（）當(dāng)時(shí)，.6分. 8分由可得：（舍）.9分所以當(dāng)時(shí)，原函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，原函數(shù)是減函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，取得最大值. 11分當(dāng)時(shí)，. 12分所以當(dāng)日產(chǎn)量為90噸時(shí)，每日的利潤可以達(dá)到最大值14300元.13分8.（2011年東城區(qū)高三示范校高三綜合練習(xí)(一)理17）已知.（I）求函數(shù)在上的最小值；（II）對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）定義域?yàn)椋?dāng),單調(diào)遞減，當(dāng)，單調(diào)遞增. 2分當(dāng)無解；3分當(dāng)，即時(shí)，； 4分當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，；5分所以 6分（2），則，對(duì)一切恒成

5、立.7分設(shè)，則，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增. 10分在上，有唯一極小值，即為最小值.所以，因?yàn)閷?duì)一切恒成成立，所以. 13分9.（2011年海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期中練習(xí)文19）已知函數(shù).（）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（）求證：曲線總有斜率為的切線；（）若存在，使成立，求的取值范圍.解：（）當(dāng)時(shí)，函數(shù). . 2分 令，解得或. 3分所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，.4分（）令，即.因?yàn)椋院愠闪? 6分所以方程對(duì)任意正數(shù)恒有解.7分所以 曲線總有斜率為的切線. 8分（）由（）可知：.令，解得.9分因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，的變化情況如下表+0-0+因?yàn)?，所以，?duì)于任意，.即此時(shí)不存在，使成立.11分當(dāng)時(shí)，的變化

6、情況如下表+0-因?yàn)?，所以，函?shù)在上的最小值是. 因?yàn)榇嬖?，使成立，所以? 所以，. 13分所以的取值范圍是. 14分10.（2011年海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期中練習(xí)理18）已知函數(shù)（）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：（）函數(shù)的定義域?yàn)? 1分 3分 . 因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以. 5分 所以或. 經(jīng)檢驗(yàn)，或時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn). 所以的值是或. 6分（）由（）知：.若，. 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為； 8分 若，令，解得. 9分 當(dāng)時(shí)， 的變化情況如下表+0-極大值函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；11分當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表+0-極大值函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)

7、間是.13分11.（2011年朝陽區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期中統(tǒng)一考試?yán)?0） 已知函數(shù)（且）.（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）記函數(shù)的圖象為曲線.設(shè)點(diǎn),是曲線上的不同兩點(diǎn).如果在曲線上存在點(diǎn)，使得：；曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則稱函數(shù)存在“中值相依切線”.試問：函數(shù)是否存在“中值相依切線”，請(qǐng)說明理由.解：()顯然函數(shù)的定義域是. 1分 由已知得，. 2分 當(dāng)時(shí), 令,解得; 令,解得. 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. 3分 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，即時(shí), 令,解得或; 令,解得. 所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減4分 當(dāng)時(shí)，即時(shí), 顯然，函數(shù)在上單調(diào)遞增；5分 當(dāng)時(shí)，即時(shí), 令,解得或; 令,解得

8、. 所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.6分綜上所述，當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. 7分 ()假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”. 設(shè),是曲線上的不同兩點(diǎn)，且， 則，. 8分曲線在點(diǎn)處的切線斜率， 9分依題意得：.化簡(jiǎn)可得： ，即=. 11分 設(shè) ()，上式化為：, 即. 12分 令,. 因?yàn)?顯然，所以在上遞增, 顯然有恒成立. 所以在內(nèi)不存在,使得成立. 綜上所述，假設(shè)不成立.所以，函數(shù)不存在“中值相依切線”. 14分12.（順義區(qū)2012屆高三尖子生綜合素質(zhì)展示16）現(xiàn)有

9、10000元資金可用于廣告宣傳或產(chǎn)品開發(fā)當(dāng)投入廣告宣傳和產(chǎn)品開發(fā)的資金分別為和時(shí)，得到的回報(bào)是求投到產(chǎn)品開發(fā)的資金應(yīng)為多少時(shí)可以得到最大的回報(bào).解：由于，所以4分考慮，由得， -8分由于當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， -10分所以是的極大值點(diǎn)，從而也是的極大值點(diǎn)-12分故當(dāng)投到產(chǎn)品開發(fā)的資金為元時(shí)，得到的回報(bào)最大. -13分13.（順義區(qū)2012屆高三尖子生綜合素質(zhì)展示文19）已知，函數(shù)， .（）當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)的切線方程；（）求函數(shù)在的極值;（）若在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍解: 由求導(dǎo)得，. 1分（）當(dāng)時(shí), 3分 所以在點(diǎn)的切線方程是 4分 （）令, 。 (1)當(dāng)即時(shí)(-1,0)0

10、+0-0+極大值極小值 6分故的極大值是;極小值是; 7分 (2) 當(dāng)即時(shí) 在上遞增, 在上遞減, 8分 所以的極大值為,無極小值. 9分 （）設(shè) . 對(duì)求導(dǎo)，得， 10分因?yàn)?，所以，在區(qū)間上為增函數(shù)，則. 12分依題意，只需，即，即，解得或（舍去）.所以正實(shí)數(shù)的取值范圍是. 14分14.（順義區(qū)2012屆高三尖子生綜合素質(zhì)展示18）已知函數(shù)， （）若時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）令，是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng)（是自然對(duì)數(shù)的底）時(shí)，函數(shù) 的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由解：（）當(dāng)時(shí)， 1分所以，又 2分所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；3分（）因?yàn)?/p>

11、函數(shù)在上是減函數(shù)，所以：在上恒成立， 4分令 ，有 得 6分得 7分 （）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使（）有最小值3， 當(dāng)時(shí)，所以：在上單調(diào)遞減，（舍去），當(dāng)時(shí)，在上恒成立所以在上單調(diào)遞減，（舍去）10分 當(dāng)時(shí)，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿足條件 12分綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有最小值3 14分15（2011年朝陽區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期中統(tǒng)一考試?yán)?9）設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，且函數(shù)為偶函數(shù).若函數(shù)滿足下列條件：；對(duì)一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立.（）求函數(shù)的表達(dá)式；（）求證：.（）解：由已知得：. 1分由為偶函數(shù)，得為偶函數(shù)， 顯然有. 2分 又，所以，即. 3分 又因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，即對(duì)

12、一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立. 4分 顯然，當(dāng)時(shí)，不符合題意. 5分 當(dāng)時(shí)，應(yīng)滿足 注意到 ，解得. 7分 所以. 8分（）證明：因?yàn)?，所?9分要證不等式成立,即證. 10分 因?yàn)? 12分 所以 .所以成立. 14分16.（2012年西城區(qū)高三期末考試文18）已知函數(shù)，其中.（）求的單調(diào)區(qū)間；（）若在上的最大值是，求的值.（）解：. 3分當(dāng)時(shí)，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增. 4分當(dāng)時(shí)，令，解得，舍去. 5分此時(shí)，與的情況如下：所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是.7分（） 當(dāng)時(shí)，由（）得函數(shù)在上的最大值為.令，得，這與矛盾，舍去. 9分 當(dāng)時(shí)，由（）得函數(shù)在上的最大值為.令，得，這與矛盾，舍去. 10分

13、當(dāng)時(shí)，由（）得函數(shù)在上的最大值為.令，解得，適合. 12分綜上，當(dāng)在上的最大值是時(shí)，. 13分17.（2012年昌平區(qū)高三期末考試文18）已知函數(shù)（為實(shí)數(shù)）.（I）當(dāng)時(shí)， 求的最小值；（II）若在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.解：() 由題意可知： 1分當(dāng)時(shí) .2分當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， .4分故. .5分() 由 由題意可知時(shí)，,在時(shí)，符合要求 .7分 當(dāng)時(shí)，令故此時(shí)在上只能是單調(diào)遞減 即 解得 .9分當(dāng)時(shí)，在上只能是單調(diào)遞增 即得 故 .11分綜上 .13分18.（2012年豐臺(tái)區(qū)高三期末考試文19）已知函數(shù)（）若函數(shù)在，處取得極值，求，的值；（）若，函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍解：（）， 2分

14、由 ， 4分可得 6分（）函數(shù)的定義域是， 7分因?yàn)椋?8分所以， 9分要使在上是單調(diào)函數(shù)，只要或在上恒成立 當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上是單調(diào)函數(shù)； 11分當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)在上不是單調(diào)函數(shù)； 12分當(dāng)時(shí)，要使在上是單調(diào)函數(shù)，只要，即 13分綜上所述，的取值范圍是 14分19.（2012年朝陽區(qū)高三期末考試文18）設(shè)函數(shù).（）當(dāng)時(shí),試求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;（）當(dāng)時(shí),試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解: （）函數(shù)的定義域?yàn)? 1分當(dāng)時(shí), ，因?yàn)椋?3分所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值 . 5分（）. 6分當(dāng)時(shí),因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；7分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞增

15、； 9分當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由解得， ，或. 10分由解得； 11分所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增. 13分20.（2012年西城區(qū)高三期末考試?yán)?9）已知函數(shù)，其中.（）若是的極值點(diǎn)，求的值；（）求的單調(diào)區(qū)間；（）若在上的最大值是，求的取值范圍.（）解：. 2分依題意，令，解得 . 3分經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，符合題意. 4分 （）解： 當(dāng)時(shí)，.故的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是. 5分 當(dāng)時(shí)，令，得，或.當(dāng)時(shí)，與的情況如下：所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和. 6分當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間是. 7分 當(dāng)時(shí)，與的情況如下：所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和. 8分 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減

16、區(qū)間是. 9分綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是和；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是；減區(qū)間是和.10分（）由（）知 時(shí)，在上單調(diào)遞增，由，知不合題意. 當(dāng)時(shí)，在的最大值是，由，知不合題意. 12分當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，可得在上的最大值是，符合題意. 所以，在上的最大值是時(shí)，的取值范圍是. 14分21.（2012年昌平區(qū)高三期末考試?yán)?9）已知函數(shù)（）. （I）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）若不等式對(duì)恒成立,求a的取值范圍.解: 對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得: 2分()當(dāng)時(shí), 令解得 或 解得所以, 單調(diào)增區(qū)間為和,單調(diào)減區(qū)間為 (-2 ,1) . 5分() 令,即,解得或 6分當(dāng)時(shí)

17、,列表得：x1+00+極大值極小值8分對(duì)于時(shí)，因?yàn)?所以，>0 10 分對(duì)于時(shí)，由表可知函數(shù)在時(shí)取得最小值所以，當(dāng)時(shí)， 11分由題意，不等式對(duì)恒成立，所以得，解得 13分22.（2012年豐臺(tái)區(qū)高三期末考試?yán)?9）設(shè)函數(shù)在處取得極值（）求與滿足的關(guān)系式；（）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若，函數(shù)，若存在，使得成立，求的取值范圍解：（）， 2分由 得 3分 （）函數(shù)的定義域?yàn)椋?4分由（）可得令，則， 6分因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)， 所以，即 7分所以當(dāng)時(shí)，x1+0-0+所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 8分當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 9分 （）當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，所以的最大

18、值為 10分因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以的最小值為11分所以在上恒成立 12分要使存在，使得成立，只需要，即，所以13分又因?yàn)椋?所以的取值范圍是 14分23.（2012年朝陽區(qū)高三期末考試?yán)?8）已知函數(shù)（，為正實(shí)數(shù)）.（）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)的最小值為，求的取值范圍.解：（）當(dāng)時(shí)，則. 2分 所以.又，因此所求的切線方程為. 4分（）. 5分 （1）當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)椋?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增. 6分 （2）當(dāng)，即時(shí)，令，則（）， 所以.因此，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為. 10分（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最小

19、值為，滿足題意. 11分 當(dāng)時(shí)，由（）知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則的最小值為，而，不合題意.所以的取值范圍是. 13分24.（2012年海淀區(qū)高三期末考試文18）已知函數(shù)，其中是常數(shù).（）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；（）求在區(qū)間上的最小值.解：（）由可得 . 2分當(dāng)時(shí), ,. 4分所以 曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即. 6分 （）令，解得或. 8分當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，所以是上的增函數(shù).所以的最小值為; 10分當(dāng)，即時(shí), 隨的變化情況如下表 由上表可知函數(shù)的最小值為.13分25.（2012年海淀區(qū)高三期末考試?yán)?8）已知函數(shù)，其中是常數(shù).()當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.解：()由可得 . 2分當(dāng)時(shí), ,. 4分所以 曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即. 5分（） 令，解得或. 6分當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，所以是上的增函數(shù).所以 方程在上不可能有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.8分當(dāng)，即時(shí)，隨的變化情況如下表 由上表可知函數(shù)在上的最小值為.10分因?yàn)?函數(shù)是上的減函數(shù)，是上的增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有. 11分所以 要使方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，的取值范圍必須是. 13分26.（2012年東城區(qū)高三期末考試文18）已知函數(shù).（）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（）當(dāng)時(shí)，. ， 3分