現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法(第二章 優(yōu)化設(shè)計(jì))

1、1.直接搜索法。它只利用目標(biāo)函數(shù)值構(gòu)成的搜索方法,如POWELL,單純形法;2.梯度法。它需要有目標(biāo)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的解析式。對(duì)于非線性的顯函數(shù),且變量數(shù)較少或中等的問題,用復(fù)合形法或罰函數(shù)法(其中尤其是內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法的求解效果一般都比較理想,前者求得全域最優(yōu)解的可能性較大。建議當(dāng)找不到一個(gè)可行的初始點(diǎn)時(shí),才用外點(diǎn)罰函數(shù)法。在用罰函數(shù)法解優(yōu)化問題時(shí),必須選用一個(gè)合適的無約束優(yōu)化方法。如果目標(biāo)函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)易于計(jì)算(用解析法,且設(shè)計(jì)變量不是很多(如n 20時(shí),建議用擬牛頓法;若n>20,且每一步的Hessian 矩陣求解變得很費(fèi)時(shí)時(shí),則選用變尺度法較好。若目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算困難(用解析法

2、或者不存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則用Powell共軛方向法效果是最好的。對(duì)于一般工程設(shè)計(jì)問題,由于維數(shù)都不很高(n<50,且函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算都存在不同程度的困難,因此用內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法調(diào)用Powell無約束優(yōu)化方法求序列極小化。優(yōu)化設(shè)計(jì):它是以數(shù)學(xué)規(guī)劃理論為基礎(chǔ),以電子計(jì)算機(jī)為輔助工具的一種設(shè)計(jì)方法。它首先將設(shè)計(jì)問題按規(guī)定的格式建立數(shù)學(xué)模型,并選擇合適的優(yōu)化方法,選擇或編制計(jì)算機(jī)程序,然后通過電子計(jì)算機(jī)自動(dòng)獲得最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。兩類優(yōu)化方法:1.直接法:直接計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值,比較目標(biāo)函數(shù)值,并以之作為迭代、收斂根據(jù)的方法。2.求導(dǎo)法:以多變量函數(shù)極值理論為基礎(chǔ),利用目標(biāo)函數(shù)的性態(tài),并以之作為尋優(yōu)、迭代、

3、收斂根據(jù)的方法。綜合設(shè)計(jì)法:以程序設(shè)計(jì)、優(yōu)化技術(shù)、仿真技術(shù)及自動(dòng)繪圖技術(shù)的綜合為基礎(chǔ),以計(jì)算機(jī)工作站為工具,將工業(yè)設(shè)計(jì)方法提高到更新的階段,使產(chǎn)品設(shè)計(jì),換代、創(chuàng)新更趨于自動(dòng)化,并展示了有可能向智能化發(fā)展的前景。優(yōu)化問題的分類:按照目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)和約束條件可分為無約束問題和有約束問題。無約束問題按照目標(biāo)函數(shù)包含的單變量或多變量來分類。(直接搜索法:它只利用目標(biāo)函數(shù)值構(gòu)成的搜索方法,如POWELL法,單純形法等。梯度法:它需要有目標(biāo)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的解析式。有約束問題有三類:1.線性目標(biāo)函數(shù)和線性約束(線性規(guī)劃,整數(shù)規(guī)劃2.非線性的目標(biāo)函數(shù)和線性約束(二次規(guī)劃,凸規(guī)劃,線性分式規(guī)劃3.非線性目標(biāo)函數(shù)和

4、非線性約束條件(變換法,線性逼近法,直接搜索法建立數(shù)學(xué)模型有哪三個(gè)基本步驟?1識(shí)別要確定的未知變量,并用代數(shù)符號(hào)表示它們。2識(shí)別目標(biāo)或判別標(biāo)準(zhǔn),并將其表示為要最大化或最小化的函數(shù)。3識(shí)別問題的約束條件或限制,并將它們表示成未知變量的線性或非線性的等式或不等式組。優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型一般由設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件三個(gè)基本要素組成。其含義為在一定的約束條件下,追求目標(biāo)函數(shù)的極小值(或極大值,而求得一組設(shè)計(jì)變量值。設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)空間:設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)決定了設(shè)計(jì)空間的維數(shù),設(shè)計(jì)空間的維數(shù)又表征設(shè)計(jì)的自由度,設(shè)計(jì)變量越多,則設(shè)計(jì)的自由度越大,可供選擇的方案越多,設(shè)計(jì)越靈活,但難度亦越大,求解越復(fù)雜。通常

5、在保證必要的設(shè)計(jì)精度的前提下,設(shè)計(jì)變量應(yīng)盡可能取少些。約束條件可分為邊界約束和性能約束。在二維設(shè)計(jì)空間中,不等式約束條件的可行域,是各約束線所圍的平面,比較直觀。三維和三維以上的設(shè)計(jì)問題,約束條件是曲面或超曲面,約束曲面圍成的可行域,是多曲面或超越曲面圍成的空間。等值線有哪些特點(diǎn):不同值的等值線不相交;除極值點(diǎn)外,等值線在設(shè)計(jì)空間內(nèi)不會(huì)中斷;等值線反映了目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律,愈內(nèi)層的等值線,其函數(shù)值愈小,其中心點(diǎn)為極值點(diǎn);等值線間隔越密,表示該處函數(shù)變化率越大;極值點(diǎn)附近的等值線近似橢圓族,極值點(diǎn)為中心點(diǎn)。線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃有何區(qū)別?當(dāng)目標(biāo)函數(shù)F(x和約束條件都是設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)時(shí),列出這種

6、數(shù)學(xué)模型并求解的過程,稱為線性規(guī)劃,只有一個(gè)公用算法,稱為“單純形法”。在所有的優(yōu)化模型中,線性規(guī)劃應(yīng)用的最廣。如果目標(biāo)函數(shù)F(x和約束條件中有一個(gè)或多個(gè)是設(shè)計(jì)變量的非線性函數(shù)時(shí),列出這種數(shù)學(xué)表達(dá)式并求解的過程,稱為非線性規(guī)劃。解非線性規(guī)劃問題有許多算法。什么是約束條件?約束條件和可行域有何關(guān)系?等式約束和不等式約束有何區(qū)別與聯(lián)系?設(shè)計(jì)變量的取值范圍有限制或必須滿足一定的條件,這種對(duì)設(shè)計(jì)變量取值的限制稱為約束條件。不等式約束條件將設(shè)計(jì)空間劃分為可行域和非可行域,設(shè)計(jì)方案只能在可行域內(nèi)選取。等式約束條件只允許設(shè)計(jì)方案在可行域的等式約束線(或面上選取。不等式約束將設(shè)計(jì)變量限制在一個(gè)區(qū)間或區(qū)域,約束

7、不嚴(yán)格;而等式約束設(shè)計(jì)變量限制在一個(gè)點(diǎn)、線或面上,約束嚴(yán)格。等式約束起到降低自由度的作用,有一個(gè)等式約束可以降低一個(gè)設(shè)計(jì)自由度,一個(gè)等式約束可以用兩個(gè)不等式約束表示。約束極值點(diǎn)存在的條件:庫恩-塔克條件:一個(gè)約束極值點(diǎn)存在的必要條件為目標(biāo)函數(shù)的梯度可表示成諸約束面梯度純屬組合的負(fù)值。其幾何意義為:起作用約束的梯度矢量,在設(shè)計(jì)空間構(gòu)成一個(gè)錐體,目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度應(yīng)包含在此錐體內(nèi)。這個(gè)條件是約束優(yōu)化問題極值的必要條件,而不是充分條件。只有當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù),約束函數(shù)也是凸函數(shù)時(shí),即凸規(guī)劃問題時(shí),其局部最優(yōu)點(diǎn)就是全局最優(yōu)點(diǎn),剛庫恩-塔克條件是該極值的必要充分條件。數(shù)值方法:根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值的變化規(guī)律,以

8、適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)沿著能使目標(biāo)函數(shù)值下降的方向,逐步向目標(biāo)函數(shù)值的最優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行探索,逐步逼近目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn),直至達(dá)到最優(yōu)點(diǎn)。常用迭代終止準(zhǔn)則有哪三種?1點(diǎn)距準(zhǔn)則:當(dāng)設(shè)計(jì)變量在相鄰兩點(diǎn)之間的移動(dòng)距離以充分小時(shí),可以相鄰兩點(diǎn)的矢量差的摸作為終止迭代的判據(jù)。2 值差準(zhǔn)則:當(dāng)相鄰兩點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)之差已達(dá)到充分小時(shí),可用兩次迭代的目標(biāo)函數(shù)之差作為終止判據(jù)3梯度準(zhǔn)則:當(dāng)?shù)c(diǎn)逼近極值點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)在該點(diǎn)的梯度已達(dá)到充分小時(shí),可用梯度的模作為終止判據(jù)。0.618法的基本思想:0.618法又稱黃金分割法,要求定義區(qū)間a,b上的函數(shù)為單峰值函數(shù)通過不斷割舍左端或右端的一部分,逐步把區(qū)間縮小之至極小點(diǎn)所在區(qū)間到給定誤差范圍內(nèi)

9、,從而得到近似的最優(yōu)解,并且每次縮短的新區(qū)建長(zhǎng)度與元區(qū)間長(zhǎng)度的比值始終是一個(gè)常數(shù)。二次插值法的基本思想是:在選定的單峰區(qū)間內(nèi)選一點(diǎn),連同兩端點(diǎn),利用這三點(diǎn)的函數(shù)值構(gòu)成一個(gè)二次多項(xiàng)式,作為原函數(shù)的近似,求近似二次多項(xiàng)式的極小點(diǎn)作為原函數(shù)的近似最優(yōu)點(diǎn)。Powell法在每一輪形成新的搜索方向時(shí)會(huì)存在何種問題導(dǎo)致不收斂?如何修正?Powell法在每一輪形成新的搜索方向替換原來矢量組中的第一個(gè)方向形成新的搜索方向組,可能存在新的方向組線性相關(guān)的情況,從而導(dǎo)致算法不收斂的問題。修正方法:選代過程中,形成一個(gè)新的方向后,先判別一下新方向是否有效,如果有效則替換原來的搜索方向組中的第一個(gè)搜索方向,否則,不替換

10、,仍然按原來的方向組搜索。梯度法的基本原理和特點(diǎn)是什么1梯度法的基本原理:梯度法又稱最速下降法,基本原理是在迭代點(diǎn)附近采用使目標(biāo)函數(shù)值下降最快的負(fù)梯度方向作為搜索方向,求目標(biāo)函數(shù)的極小值。2梯度法的特點(diǎn):迭代計(jì)算簡(jiǎn)單,只需求一階偏導(dǎo)數(shù),所占用存儲(chǔ)單元少,對(duì)初始點(diǎn)要求不高,在接近極小點(diǎn)位置時(shí)收斂速度很慢。1.共軛梯度法的特點(diǎn)是什么?在梯度法靠近極值點(diǎn)收斂速度減慢的情況下,共軛梯度法可以通過構(gòu)造共軛方向,使其收斂速度加快,具有一次收斂速度,使得計(jì)算過程簡(jiǎn)便,效果又好:在每一步迭代過程中都要構(gòu)造共軛方向,比較繁瑣。2.為什么選項(xiàng)用共軛方向作為搜索方向可以取得良好的效果?選用共軛方向作為搜索方向可以取

11、得良好的效果,主要是由共軛方向的性質(zhì)所決定。共軛方向的性質(zhì)為: 對(duì)于n維正定二次型函數(shù),從任意初始點(diǎn)出發(fā),依次沿著與矩陣A為共軛的n個(gè)線性無關(guān)的方向進(jìn)行一維搜索,則能在第n或第n步以前達(dá)到極小點(diǎn)。3.變尺度法:為了得到既快速收斂的性質(zhì),又能避免計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)矩陣及其逆矩陣,減少計(jì)算工作量。變尺度矩陣必須是對(duì)稱正定矩陣,才能保證變尺度算法的搜索方向是函數(shù)值下降的方向,而且從一次迭代到另一次迭代是變化的,故稱變尺度矩陣。4.有約束優(yōu)化方法根據(jù)對(duì)約束條件的處理方法不同,可分為直接法和間接法兩大類。直接法的基本思想是設(shè)法使每一次的迭代點(diǎn)都能在可行域內(nèi),并逐步降低目標(biāo)函數(shù)值,直至最后得到一個(gè)在可靠域內(nèi)的約

12、束最優(yōu)解。即在迭代過程中,搜索方向和迭代步長(zhǎng)都要經(jīng)過可靠性和適用性條件的檢查。屬于直接法的有:復(fù)合形法、簡(jiǎn)約梯度法等。間接法的基本思想是把有約束問題通過一定形式的變換,轉(zhuǎn)化成無約束優(yōu)化問題,然后用無約束方法求解,屬于此類常見的有罰函數(shù)法等。5.簡(jiǎn)述復(fù)合形法的優(yōu)化過程的基本原理。復(fù)合形法的優(yōu)化過程為:在可行域內(nèi)選擇是個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn),作為初始復(fù)合形的頂點(diǎn),構(gòu)造一個(gè)多面體;然后對(duì)多面體各頂點(diǎn)的函數(shù)值逐個(gè)進(jìn)行比較,目標(biāo)函數(shù)最大的為壞點(diǎn),按照一定規(guī)則去掉壞點(diǎn)而代以新點(diǎn),構(gòu)成一個(gè)新的多面體;依次步驟進(jìn)行多次,使復(fù)合形的位置逐步調(diào)向鄰近最優(yōu)點(diǎn),最后以頂點(diǎn)中目標(biāo)函數(shù)值最小的點(diǎn),作為近似最優(yōu)點(diǎn)而得到解。特點(diǎn):由于在迭

13、代計(jì)算中不必計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),也不用一維搜索,所以程序結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單,適用性較廣。對(duì)設(shè)計(jì)變量增加,維數(shù)高或約束條件多的優(yōu)化問題,為了得到較好的新頂點(diǎn),往往要向中心點(diǎn)多次收縮,因而計(jì)算效率顯著降低。6.簡(jiǎn)約梯度法:解決線性約束非線性規(guī)劃問題。7.簡(jiǎn)述罰函數(shù)法的基本原理,罰函數(shù)法分為哪幾種?基本思想是把一個(gè)有約束的問題轉(zhuǎn)化為一系列無約束問題求解,逐漸逼近于目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值。在原目標(biāo)函數(shù)中添加一些與約束函數(shù)有關(guān)的項(xiàng),形成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)以取代原目標(biāo)函數(shù),然后用無約束融洽優(yōu)化方法求新目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。有內(nèi)點(diǎn)法、外點(diǎn)法、混合法。內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法、外點(diǎn)罰函數(shù)法及混合罰函數(shù)法的基本思想:內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法:是把新目標(biāo)函數(shù)定義于可行域內(nèi),因此其初始點(diǎn)和后面產(chǎn)生的迭代點(diǎn)序列也必然在可行域內(nèi),這種方法是求解不等式約束最優(yōu)化問題的一種十分有效的方法,但不能處理等式約束。缺陷:一是不能處理等式約束問題,因?yàn)樵谶吔缟闲履繕?biāo)函數(shù)的函數(shù)值無窮大,迭代點(diǎn)無法達(dá)到;二是初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi),造成許多不便。外點(diǎn)罰函數(shù)法:將罰函數(shù)定義于約束可行域之外,且求解無約束問題搜索點(diǎn)是從