拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)

1、拋物線的焦點(diǎn)弦【教學(xué)背景】前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的幾何性質(zhì)以及拋物線與直線的位置關(guān)系，通過對(duì)拋物線過焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)研究，達(dá)到優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時(shí)拋物線過焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)又是歷屆模擬考和高考的熱點(diǎn)，女口2001 年的高考題就出現(xiàn)兩個(gè)題目?！締栴}探究】【探究 1】求弦長|AB|。ABAF|BF（xi號(hào)）（X2#）xiX2p?！窘Y(jié)論 1】AB x1x2p。【探究 2】還有沒有其他方法求弦長|AB| ？（1）當(dāng)時(shí)，直線 L 的斜率不存在，此時(shí) AB 為拋物線的通徑2AB 2p結(jié)論得證;【結(jié)論 7】AMiBMi，MiF AB。進(jìn)而可得如下結(jié)論：以 AiBi為直徑的圓與直線 AB

2、相切。【探究 8】點(diǎn)A、0、Bi的位置關(guān)系？當(dāng)時(shí)，設(shè)直線L的方程為:(x少an，即:x y cot-，代入拋2物線方程得：y22 py COt p20，由韋達(dá)定理yiy22p ,yiy2pcot由弦長公式得AB ,1 cot2【結(jié)【探2sin【結(jié)論yiy2【結(jié)yi目22p(1 cot2)2p.2。sin若直線 I 的傾斜角為，則弦長AB過焦點(diǎn)的所有弦中，何時(shí)最短？. 2p _i12P sin過焦點(diǎn)的弦中通徑長最小。從剛才的解題過程中我們能否發(fā)現(xiàn)了AB的最小值為2p，Xi2yix2p2y22px1x24】丫皿2p； (2)xix2=42p.2。sin2p。A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系?2 2(yiy2

3、)P。4P24【探究 5】以 AB 為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系？設(shè) M 為 AB 的中點(diǎn)，過 A 點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線 AAi,過 B 點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線 BBi,過 M 點(diǎn)作準(zhǔn)線的 垂線 MMi，由梯形的中位線性質(zhì)和拋物線的定義知：MMiAA1lBBi竺_竺，所以二者相切。2 2 2【探究 6】連接 AiF、BiF 貝UAiF、BiF 有什么關(guān)系？AAiAF,AAiFAFAiAAi/OFAAiFAiFOAiFOAiFA同理BiF0BiFBAiFBi90AiF BiF?！窘Y(jié)論6】AiFBiF。由“探究 5”知 Mi在以 AB 為直徑的圓上 AMiBMi。由“探究 6”知AiFBi為直角三角形，M

4、i是斜邊 AiBi的中點(diǎn),AiMiMiFMiFAiMiAiFAAiFAFAi，AAiFFAiMAAiMi90，AFAiAiFMi90， MiF AB?！窘Y(jié)論 5】以 AB 為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。【探究 7】剛才我們證得AiFBi為直角三角形，那么圖形中還有哪些直角三角形?【探究 9】FA ?, FB由拋物線的定義得：|FA&少FB X21 1【探究 10】一r是定值嗎？（2001 年高考題）|FA| |FB【法 1】因?yàn)橹本€ I 的傾斜角為，過 A 作 AR 垂直于x軸,垂足為 R,設(shè)準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)為（這實(shí)際上是極坐標(biāo)的觀點(diǎn)，想法不錯(cuò)） 【法 2】可利用平行線分線段的比定理證

5、得。因?yàn)閗oAy122p,koB1y22y2，而y1y22p，Xy1y1Pp2p2所以k2p2y2k所以三點(diǎn)共線。koA20B1，ppy2【結(jié)論 8】點(diǎn)A、0、Bi三點(diǎn)共線。【類似結(jié)論】（1）B、0、Ai三點(diǎn)共線；（2）設(shè)直線 A0 與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為（3）設(shè)直線 B0 與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為Bi,貝 U BBi平行于X軸；（2001 年高考題）Ai,貝 U AAi平行于X軸。【結(jié)論 9】FA xiX2R1,則RR,AA AF R1F同理可1BF1 cospFR - AF cos211 cosAFp|OF|BFOF|AA,|ABBB1AF忑，而AFBF| AB,QF| |OF|AA| |B

6、B1又AA AF , BB1BF1112|FA|FBOFp（數(shù)與形的結(jié)合，這是重要的數(shù)學(xué)思想）IAB2p2p【法 3】11 2sinsin22FAFBFA|FBM1F2p(.p)2 psin(Q FM1B1JM1FI .p）。sin（利用前后知識(shí)的聯(lián)系，不錯(cuò)）【法 4】直接利用“結(jié)論 9”，可得證。此時(shí)，學(xué)生參與熱情還很高，還急于想發(fā)表自己的觀點(diǎn)，但下課鈴聲已想，教師指出：今天我們講的是拋物線過焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)的探究，整堂課中同學(xué)們積極地思考，思維活躍， 探究出拋物線過焦點(diǎn)的弦的很多性質(zhì)，希望同學(xué)們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中要養(yǎng)成善于思考，勇于探究的良好習(xí)慣，此課到此，但探究還沒結(jié)束，其余性質(zhì)請(qǐng)同學(xué)們回去繼續(xù)研究。如：1.A,F與AMi的交點(diǎn)是否在y軸上?2.BMi, AMi,AiF,BiF構(gòu)成的四邊形是什么四邊形?3.線段EF平分角PEQ;AF4. BF5.KAEKBE0;6.當(dāng)一時(shí) AE BE ,當(dāng)一時(shí) AE 不垂直于 BE。2 2【課后反思】i、設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課設(shè)計(jì)主要注重對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)，整堂課要求學(xué)生觀察、思考、猜驗(yàn)證，通過聯(lián)想、 類比，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，數(shù)形結(jié)合的能力，同時(shí)，緊扣拋物線的定義，拋物線與直線的位