鐘表上的追及問題

1、20! =24329O2OO8Y7664XOO0 請問 X-Y=?多謝回復(fù)!解：5*1O*15*2O*2=3OOOO = X=O此數(shù)能被99整除=2+43+29+O2+8Y+76+64是99的倍數(shù) = 丫=1鐘表上的追及問題一個n（n2）位正整數(shù)M中的相鄰的一個、兩個、.（n-1個數(shù)碼組成的數(shù)叫的片段數(shù) （新課標提倡，數(shù)學(xué)走進生活，教科書中出現(xiàn)了與日常生活密切相關(guān)的鐘表問題。例如：在3點和4點之間的哪個時刻，鐘表的時針與分針：（1）重合；（2 ）成平角；（3）成直角。許多同學(xué)面對此題，束手無策，不知如何解決。實際上，因為分針旋轉(zhuǎn)的速度快，時針旋轉(zhuǎn)的速度慢而旋轉(zhuǎn)的方向卻是一致的。因此上面這類問題

2、也可 看做追及問題。通常有以下兩種解法：一.格數(shù)法1鐘表面的外周長被分為 6O個“分格”，時針1小時走5個分格，所以時針一分鐘轉(zhuǎn) 分格，分針一分鐘轉(zhuǎn) 1 12個分格。因此可以利用時針與分針旋轉(zhuǎn)的“分格”數(shù)來解決這個問題。x解析 （1）設(shè)3點x分時，時針與分針重合，則分針走x個分格，時針走個分格。因為在3點這一時刻，12時針在分針前15分格處，所以當分針與時針在3點與4點之間重合時，分針比時針多走15個分格，于是得方程x”4x15，解得 x 16 12 114所以3點16 分時，時針與分針重合。11（2） 設(shè)3點x分時，時針與分針成平角。因為在3點這一時刻，時針在分針前 15分格處，而在 3點到

3、4點x之間，時針與分針成一平角時， 分針在時針前3O分格處，此時分針比時針多走了 45分格，于是得方程x45 ,12解得x 49 111所以3點49 分時，時針與分針成平角。11（3） 設(shè)3點x分時，時針與分針成直角。此時分針在時針前15分格處，所以在 3點到4點之間，時針與分x8針成直角時，分針比時針多走了3O分格，于是得方程x3O ,解得x 32。12118所以3點32 分時，時針與分針成直角。11二.度數(shù)法對鐘表而言，時針12小時旋轉(zhuǎn)一圈，分針 1小時旋轉(zhuǎn)一圈，轉(zhuǎn)過的角度都是36O,所以時針1分鐘轉(zhuǎn)過的角度是O.5，分針1分鐘轉(zhuǎn)過的角度是 6故也可以利用時針與分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)來解決這道題。

4、解析 （1）設(shè)3點x分時，時針與分針重合，則時針旋轉(zhuǎn)的角度是0.5x，分針旋轉(zhuǎn)的角度是 6x。整3點時，時針與分針的夾角是 90,當兩針重合時，分針比時針多轉(zhuǎn)了 90,于是得方程6x 05x 90，解得x 16。11（2 ）設(shè)3點x分時，時針與分針成平角。此時分針比時針多轉(zhuǎn)了90 +180 =270。，于是得方程”e16x 0.5x 270，解得 x 49-。11（3）設(shè)3點x分時，時針與分針成直角。 此時分針比時針多轉(zhuǎn)了 90 90 180，于是得方程6x 0.5x 180，8解得x 32 -。11練一練1. 鐘表上9點到10點之間，什么時刻時針與分針重合？2. 鐘表上5點到6點之間，什么時

5、刻時針與分針互相垂直？3. 鐘表上3點到4點之間，什么時刻時針與分針成40的角?4. 鐘表上2點到3點之間，什么時刻時針與分針成一直線？1（參考答案：1.9點49 分;11I 73. 3點9 分或3點23 分;II 112. 5點43上或5點1010分;11 114. 2 點 43?分。）11時鐘指針重合問題的公式根據(jù)鐘表的構(gòu)造我們知道，一個圓周被分為12個大格，每一個大格代表1小時；同時每一個大格又分為5個小格，即一個圓周被分為60個小格，每一個小格代表1分鐘。這樣對應(yīng)到角度問題上 即為一個大格對應(yīng)36 0 /12=30 一個小格對應(yīng)360 /60=6 現(xiàn)在我們把12點方向作為角的始邊，把兩

6、指針在某一時刻時針所指方向作為角的終邊，則m時n分這個時刻時針所成的角為30（m+n/60）度，分針所成的角為6n度，而這兩個角度的差即為兩指針的夾角。若用a表示此時兩指針夾的度數(shù)，則a =30（ m+n/60） -6n?？紤]到兩針的相對位置有前有后，為保證所求的角恒為正且不失解，我們給出下面的關(guān)系式:a =|30 （m+n/60） -6n|=|30m-11 n/2|。這就是計算某一時刻兩指針所夾角的公式，例如：求5時40分兩指針所夾的角。把 m =5, n =4代入上式，得 a =|150-220|=70 （度）利用這個公式還可計算何時兩指針重合問題和兩指針成任意角問題。因為兩指針重合時，他

7、們所夾 的角為0,即公式中的a為0,再把時數(shù)代入就可求出n。例如：求3時多少分兩指針重合。解：把a =0, m=3代入公式得：0=130*3-11 n/2| ，解得n=180/11，即3時180/11分兩指針重合。又如： 求1點多少分兩指針成直角。解：把 a =90 0 , m=1代入公式得：90=|30*1-11 n/2|解得n=240/11。（另一解為 n=600/11）上述公式也可寫為|30m+0.5n-6n|。因為時針1小時轉(zhuǎn)過30度，1分鐘轉(zhuǎn)過0.5度，分針1分鐘轉(zhuǎn) 過6度.時鐘問題是研究鐘面上時針和分針關(guān)系的問題。鐘面的一周分為60格。當分針走60格時，時針正好走5格，所以時針的速

8、度是分針的 5 - 60=1/12,分針每走60 - （1-5/60） =65+5/11 （分）， 于時針重合一次，時鐘問題變化多端，也存在著不少學(xué)問。這里列出一個基本的公式：在初始時刻 需追趕的格數(shù)-（1 1/=追及時間（分鐘）,其中，1 1/12為每分鐘分針比時針多走的格數(shù)。時鐘問題解法與算法公式發(fā)表時間：2009-08-28 編輯：Jakie 來源：培優(yōu)教育編者按：時鐘問題屬于行程問題中的追及問題。鐘面上按“時”分為12大格，按“分”分為60小格。解題關(guān)鍵：時鐘問題屬于行程問題中的追及問題。鐘面上按時”分為12大格，按 分”分為60小格。每小時，時針走1大格合5小格，分針走12大格合60

9、小格，時針的轉(zhuǎn)速是分針的，兩針速度差是分針的速度的，分針每小 時可追及。1、二點到三點鐘之間，分針與時針什么時候重合？分析：兩點鐘的時候，分針指向12，時針指向2，分針在時針后5 X2= 10 （小格）。而分針每分鐘可追及1 =（小格），要兩針重合，分針必須追上10小格，這樣所需要時間應(yīng)為（10十）分鐘。解：（5X2） - （1 ）= 10 -= 10 （分）答：2點10分時，兩針重合。30 X 2-（6-0.5）=60 - 5.5=120/11=10 又 10/11 分即2時10又10/11分分針和時針重合追問我要解釋回答這是另一種追擊問題追擊時間=路程差十速度差分針每分鐘走6度，時針每分鐘

10、走0.5度2時整分針與時針相差 30 X 2=60度在三點與四點鐘之間，時針和分針什么時候重合，什么時候成一條直線？這個就是一個追擊問題唄分針的速度是時針速度的12倍又時針的速度是30度/小時（即0.5度/分），則分針的速度是 360度/小時（即6度份）則重合時（6-0.5 ） t仁90,解得t1=180/11,所以在大約3點17分的時候重合成直線時（6-0.5 ） t2=90+180解得t2=540/11 ,所以在大約3點49分的時候成一條直線分針每分行6度，時針每分行0.5度，以12時為0度，3點鐘時時針在90度，分針為0度，設(shè)需要x分鐘 重合，根據(jù)追及問題得方程：6x=0.5x+905.

11、5x=90x=180/11=16 又 11 分之 4即分針在3點16又11分之4分的時候與時針重合分針和時針在一條直線上有2種情況：第一種情況：重合分針和時針在3點整時相差15個小格 分針每分鐘追時針11/12個小格（分針前進1小格,時針前進5 W0 = 1/12小格）那么分針追上時針需要:15 （ 11/12 ） = 180/11 （分）=16又4/11 （分）在3點與4點之間，3點16又4/11分時分針與時針在一條直線上（化成代分數(shù)可以讓你知道大概的重合時間，所以這種題化成代分數(shù)較好）第二種情況：分針超前時針 180度分針和時針在3點整時相差15個小格分針要超前時針180度，也就是要超前3

12、0個小格分針要追時針：15 + 30 = 45 （格）一共需要：45-（11/12 ）= 540/11 （分）=49 又 1/11 （分）在3點與4點之間，3點49又1/11分時分針與時針在一條直線上2、在4點鐘至5點鐘之間，分針和時針在什么時候在同一條直線上？分析：分針與時針成一條直線時，兩針之間相差30小格。在4點鐘的時候，分針指向12，時針指向4，分針在時針后5 X4 = 20 （小格）。因分針比時針速度快，要成直線，分針必須追上時針（20小格）并超過時針（30小格）后，才能成一條直線。因此，需追及（ 20 + 30）小格。解：（5 X4 + 30） - （1 1/12 ）= 50 -=

13、 54 （分）答：在4點54分時，分針和時針在同一條直線上。3、在一點到二點之間，分針什么時候與時針構(gòu)成直角？分析：分針與時針成直角，相差15小格（或在前或在后），一點時分針在時針后5X1 = 5小格，在成直角，分針必須追及并超過時針，才能構(gòu)成直角。所以分針需追及（5X1 + 15）小格或追及（5X1 + 45 ）小格。解：（5 X1 + 15） - （1 1/12 ）= 20 -11/12 = 21 （分）或（5 X1 + 45） - （1 1/12 ）= 50 -11/12 = 54 （分）答：在1點21分和1點54分時，兩針都成直角。4、星期天，小明在室內(nèi)陽光下看書，看書之前，小明看了一

14、眼掛鐘，發(fā)現(xiàn)時針與分針正好處在一條直線上。看完 書之后，巧得很，時針與分針又恰好在同一條直線上?？磿陂g，小明聽到掛鐘一共敲過三下。（每整點，是幾 點敲幾下；半點敲一下）請你算一算小明從幾點開始看書？看到幾點結(jié)束的？分析：連半點敲聲在內(nèi)，一共敲了三下，說明小明看書的時間是在中午12點以后。12點以后時針與分針：第一次成一條直線時刻是：（0 + 30 ） - （1 1/12 ）= 30 +11/12 = 32 （分）即12點32分。第二次成一條直線時刻是：（5 X1 + 30） + （1 1/12 ）= 35 +11/12 = 38 （分）即1點38分。第三次成一條直線的時刻是：（5 X2 +

15、30） + （1 1/12 ）= 40 +11/12 = 43 （分）即2點43分。如果從12點32分開始，到1點38分，只敲2下，到2點43分，就共敲5下（不合題意）如果從1點38分開始到2點43分，共敲3下。因此，小明應(yīng)從 1點38分開始看書，到 2點43分時結(jié)束的。5、一只掛鐘，每小時慢 5分鐘，標準時間中午 12點時，把鐘與標準時間對準?，F(xiàn)在是標準時間下午5點30分,問，再經(jīng)過多長時間，該掛鐘才能走到5點30分？分析：1、這鐘每小時慢5分鐘，也就是當標準鐘走 60分時，這掛鐘只能走 60 5= 55 （分），即速度是標準鐘 速度的=。2、因每小時慢5分，標準鐘從中午12點走到下午5點3

16、0分時，此掛鐘共慢了 5 X （17 12）= 27 （分），也就 是此掛鐘要差27分才到5點30分。比較分數(shù)大小的若干方法與技巧比較分數(shù)大小問題是初中數(shù)學(xué)競賽的一類常見問題，現(xiàn)介紹幾種常用解法，以供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考。一、巧加數(shù)字例1.（1992年第九屆“縉云杯”初中數(shù)學(xué)邀請賽試題）打 199191199292把199292199393解：將每個分數(shù)都加上1,可得：1991,191 1111992199292921992,192 111199319939393十11 11所以199319929392所以199219919291199319929392二、巧減數(shù)字例2.（1996年第七屆“希望杯”

17、全國數(shù)學(xué)邀請賽初二試題）1996199519961995 ,則下列不等式關(guān)系中成立的是1996、幾 19961995,1995199619951996,設(shè) a, b, c, d199519961995（ ）D.acdbC. dbca解：設(shè)每個分數(shù)都減去1,可得19960000 , b 1199519950000199619950001,d 19951 19959999 1996顯然 acdb故選D三、巧乘數(shù)字例3.（ 1995年第六屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽初二培訓(xùn)題）1994 i 1993設(shè)a，b，則a、b的大小有()1995 1994A. abB. ab故應(yīng)選A四、巧除數(shù)字卄1995199

18、5,1996199619971997 血 /若a，bc則（）199619961997199719981998A. abcB.bcBCB. CBAC. BACD. BCA解：因為19992研1所以AB，同理可求得B所以CB A，故選B八、巧代換法例8.(江蘇省泰州市初中數(shù)學(xué)競賽試題)口血 八19971996廠19961995少嚴八口帖+i已知：A，B，比較A、B的大小。1998199719971996解：設(shè)1997 a，貝Ua a 11Aa 1 a a(a 1)Ba 21a a 1 a(a 1)因為 a(a 1) a(a 1)0所以AB一元一次不等式解題技巧大放送解一元一次不等式，教材中介紹的是

19、基本方法，但題目千變?nèi)f化，遇到每一個題目要善于觀察所給不等式的特點，結(jié)合其他知識，靈活巧妙地變通解題步驟，才可收到事半功倍的效果。1、巧去括號3 4 113例1 解不等式x8 x 14 3 2423 4分析：因為1，所以先去中括號比先去小括號簡便。4 31 13解：先去中括號，得丄x16-x12 421 1兩邊同時減去2x 1，得x 7：2、巧添括號例2解不等式111x-3x(x17)51(x17)172 34分析：不等式兩邊都有(X- 17),因此我們不是去括號，而是添括號，將各項整理出(X- 17)。解：原不等式可化為：111(x 17)- 3(x17)(x 17)(x 17)02 341

20、81即(x 17)(x 17) (x 17)02 34411(x 17)0, x 170, x 173 43、巧用分式基本性質(zhì)解不等式3x 0.60.22x 1.50.5x 4.20.1分析：直接去分母較繁，若先用分式的基本性質(zhì)，可以使化小數(shù)為整數(shù)和去分母一次到位。解：由分式的基本性質(zhì)，得5 (3x0.6)2 (2x1.5)10 (x 4.2)5 0.22 0.510 0.1即 15x3 4x 3 10x4221x42, x 2。4、巧化分母為14 6x0.02 2x例4 解不等式6.57.50.01 0.02分析：此題按常規(guī)應(yīng)先利用分數(shù)的基本性質(zhì)將不等式中的小數(shù)化為整數(shù)，然后按步驟求解。但我

21、們發(fā)現(xiàn)7.5 6.54 6x1 0.01100(46x)，0.02 2x0.021100x。巧妙地去掉分母，從而簡化了解題過程。解：原式可化為 100(4 6x)6.5 1100x7.5。移項合并，得500400，即x5、巧湊整例5解不等式2x 2 4x 3 9x 137 3x3 54599 一457 3 )3 - 52 - 31，因此把各項拆開分析：觀察各項未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項，注意到 移項湊整，比直接去分母簡便。解：原不等式可化為2 24311371xXXx。3 355545931移項合并，得2x 1。所以x丄。26、巧組合x 5解不等式3x 3 2x 34 93，左邊的第二項和右邊的第一

22、項的分母有公約分析：注意到左邊的第一項和右邊的第二項中的分母有公約數(shù) 數(shù)4,移項局部通分化簡，可簡化解題過程。解：移項通分，得3x 15 2x 3 2x 6 x 5 。98化簡，得x 189x 118去分母，得8x 144 9x 99。解得x7、巧變形例7解不等式1 12(x 1)3(x 2)13 ;(x 3)。解：原不等式可化為(x1) 00，即x”的運算技巧算感到無所適從，在初中數(shù)學(xué)競賽的有理數(shù)運算中，本文說明：可通過觀察尋找規(guī)律,經(jīng)常碰到含省略號“”的有理數(shù)計算問題，不少同學(xué)對這種題型的計 問題即迎刃而解，下面舉例說明。1.分組結(jié)合例1計算:9 20042005解：原式(123)(4 5

23、6)(20022003 2004)2005(3 62001)2005667 (3 2001)200526703392.化積約分例2計算:122132192解：原式81573992021324 182019212233191920201212202140另解：由a2b2(a b)(ab)，知,1 ,111 1-1 -nnn所以，原式1 1 11 111 11 1123419202,1,1,111 1 113419203452021123181923 41920234192021122021403.用奇偶性例3計算:(12)(3 4)(20052006)解：原式(1)( 1)(1)1003(1)1

24、0031例 4計算：(1) ( 1)2( 1)3(1)2004解：原式 1111114. 去絕對值相消1 1211113220062005111. 1122320052006例5計算:解：原式 11丄2006200520065. 裂項相消例6.計算:20052006解：原式20052006解：設(shè)S 12006(1)則 S 2006200520041丄2006200520066. 逆序相加2006例7.計算：1由（1）+ （2），得2S2007 200720062007200720062013021113135解：設(shè)S -244666132005/ 八(1)200620062006 113135

25、132005例8.計算：一244666200620062006則有S131531.20052003.1(2)24466 6200620062006由( 1)+ (2),得2S 12310031003 10042所以S2517537.錯位相減例9計算:222 232006 2解：設(shè)S222 232006 2(1)則有2S22232 20062 2007(2)由（ 2）-(1),得 2S S 2 20072即 S 2 200728.整體換元1 11 1 1 11例10.計算：12 3200523420061丄2111 111320062 342005解：設(shè)A111 1232005B丄211 134

26、2005則原式 A B20062006例11.計算：2解：原式2 20062 20052 200422 2小200520042 (2 1) 222A B2006200620061 121 1 1111320052342005120062006ABAABB9. 逐級降次小2005小 20062222 210. 用運算律2 2例12.已知：1222326n(n222o1)(2n1)，那么 246+502=解：原式 (12)2(22)2(23)22(2 25)22 (12 221425(25622100252)1)(2251)11. 公式運用例13計算：122232422200522006(2005

27、 2006)(2005 2006)解：原式(12)(1 2)(3 4)(3 4)(3 7114011)(3 4011)10332201302112.湊整求和例 14計算：19 2993999499998999999999999999999解：原式(201)(300 1)(40001)(500001)(10000000000 1)10000000000 900000000800000007000000 20 9練習(xí)：1.計算：1 23 45 67820052006200720082.計算：11111 22 33 499 1003.計算：12339891995199519951995答案：1.20082993. 3989100乘法公式的用法本文向同學(xué)們介紹乘法公式的一些常見用法。一、套