第十三講剛體地運動和動力學(xué)問的題目

1、第十三講 剛體的運動學(xué)與動力學(xué)問題一 競賽內(nèi)容提要1、剛體；2、剛體的平動和轉(zhuǎn)動；3、剛體的角速度和角加速度；4、剛體的轉(zhuǎn)動慣量和轉(zhuǎn)動動能；5、質(zhì)點、質(zhì)點系和剛體的角動量；6、轉(zhuǎn)動定理和角動量定理；7、角動量守恒定律。二競賽擴充的內(nèi)容1、剛體：在外力的作用下不計形變的物體叫剛體。剛體的基本運動包括剛體的平動和剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動，剛體的任何復(fù)雜運動均可由這兩種基本運動組合而成。2、剛體的平動；剛體的平動指剛體內(nèi)任一直線在運動中始終保持平行，剛體上任意兩點運動的 位移、速度和加速度始終相同。3、剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動； 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動指剛體繞某一固定軸的轉(zhuǎn)動，剛體上各點都在與轉(zhuǎn)軸 垂直的平面內(nèi)做圓周運動

2、，各點做圓周運動的角位移、角速度3和角加速度B相同（可與運動I I 學(xué)的s、v、a進行類比）。且有：3 = to t ； 3= t 0 t。當(dāng)b為常量時，剛體做勻加速轉(zhuǎn)動，類似于勻加速運動，此時有：3= 3 0+ 3 ；二o+ 3ot+ 32/2 ；02=2 3（一）。式中，0、30分別是初始時刻的角位移和角速度。對于繞定軸運動的剛體上某點的運動情況，有：v= w R,a t陽， an= 32R=v2/R,式中，R是該點到軸的距離，a t an分別是切向加速度和法向加速度。例1 有一車輪繞輪心以角速度w勻速轉(zhuǎn)動，輪上有一小蟲自輪心沿一根輻條向外以初速度vo、加速度a作勻加速爬行，求小蟲運動的軌

3、跡方程。例2 一飛輪作定軸轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)過的角度B和時間t的關(guān)系式為：B =at+bt 2 ct3，式中，a、b、c都是恒量，試求飛輪角加速度的表示式及距轉(zhuǎn)軸r處的切向加速度和法向加速度。n例3如圖所示，頂桿 AB可在豎直槽K內(nèi)滑動，其下端由凸輪 K推動，凸輪繞0軸以勻角速度3轉(zhuǎn)動，在圖示瞬間， OA=r，凸輪輪緣與 A接觸處, 法線n與0A之間的夾角為a,試求此瞬時頂桿0A的速度。例4 人在電影屏幕上看到汽車向前行駛，車輪似乎并沒有轉(zhuǎn)動時，則汽車運動的可能的最小速度是多少？已知電影每秒鐘放映24個畫面，車輪半徑為0.5m.例5在水平路面上勻速行駛的拖拉機前輪直徑為0.8m ,后輪直徑為1.25m

4、，兩輪的軸的距離為 2m，如圖所示， 在行駛過程中，從前輪邊緣的最高點 A處水平飛出一小石 塊，0.2s后后輪邊緣的最高點 B處也水平飛出一小石塊，VRiR這兩塊石塊先后落在地面上同一處，求拖拉機行駛時速度的大小。例6如圖所示，由兩個圓球所組成的滾珠軸承內(nèi)環(huán)半徑為R2，外環(huán)半徑為Ri，在兩環(huán)之間分布的小球半徑為r。外環(huán)以線速度 vi順時針方向轉(zhuǎn)動，而內(nèi)環(huán)則以線速度 V2順時針方向轉(zhuǎn)動，試求小球中心在圍繞圓環(huán)的中心順時針 轉(zhuǎn)動的線速度V和小球自轉(zhuǎn)的角速度3。設(shè)小球與圓環(huán)間無滑動。例7 一木板從空中下落， 某時刻，板上a、b兩點速度相同，va=v b=v , a、b兩點均位于板面上,同時還發(fā)現(xiàn)板上

5、 c點速度為2v, c點到a和b兩點的距離等于 a和b兩點間的距離。問板上那些點的速度等于3v ？4、力矩 （1 ）對轉(zhuǎn)動軸的力矩如圖，轉(zhuǎn)動軸過0力矩M=Fr。其中，r為力臂。：r= psin 0,/M=Fsin力矩，等于F垂直于0P連線的分力 巳與0P的積:當(dāng)力的作用線不在垂直于軸的直線上時,和垂直于軸的分量F丄，其中,垂直于軸的平面上的投影,此時,（2 ）對參考點的力矩如圖,P點并垂直于紙面，過M=F .p?？蓪⒘分解為平行于軸的分量F /對物體繞軸的轉(zhuǎn)動沒有貢獻，F(xiàn)丄就是FF對軸的力矩可寫成:M= F 丄pn 0oP點的力F對0軸的F/F對0點的力矩M=Fsin.p。5、質(zhì)點的角動量0

6、 =mv如右下圖，質(zhì)點m對點0的角動量L= r x p=r psin動量又叫做動量矩（與力矩類比）。同一質(zhì)點對不同的參考點的角動量 是不同的。特別地，當(dāng) p丄r時，角動量L=mvr 。6、質(zhì)點系（或剛體）的角動量即各質(zhì)點角動量的總和，L=刀m iVii= （Em iri2） w =I 3。其中，I是剛體的轉(zhuǎn)動慣量（I的數(shù)值不 要求會計算）。質(zhì)點對軸的轉(zhuǎn)動慣量為：I=mr 2, r是轉(zhuǎn)動半徑。7、 剛體的轉(zhuǎn)動動能剛體的動能包括質(zhì)心的平動動能（EK=mv 2/2 ）和相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動能，其中，轉(zhuǎn)動動能的大?。篍k= Dm iVi2/2=1/2 （Em iri2）w 2= （1/2 ） I 32。8

7、、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的基本規(guī)律（1 ）力矩M和角加速度B的關(guān)系 M=l B （類比于F=ma ）; （2）合力矩做的功和剛體轉(zhuǎn)動動能 的關(guān)系 W=F S=F 0=M 0= （1/2 ） bt2（ 1/2 ） I so2.（與動能定理類比）。（2）質(zhì)點、質(zhì)點系或剛體的角動量定理L= Emiviri （若是質(zhì)點則不用E符號），二4/ 4= EJ1/ "t= E（Fi + fi） ri，式中，F(xiàn)i表示第i個質(zhì)點受到的外力，fi表示該質(zhì)點受到的系統(tǒng)內(nèi)力。.內(nèi)力矩 為零，UL/ zdt= EFiri=M夕卜，即卩M外zdt=L t Lo （與動量定理類比）。角動量定理可寫成分量式。（3 ）質(zhì)點、質(zhì)

8、點系或剛體的角動量守恒定律當(dāng)M外=0時，L=恒量（與動量守恒類比），即系統(tǒng)的角動量守恒。其中，M外=0有以下三種情況：（i）體系不受外A 力，即Fi=0 （合外力為零工合力矩為零，如力偶矩的情況）；（ii ）所有外力都通過定點（這種外力叫有心力，如衛(wèi)星所受的萬有引力），盡管外力的矢量和不為零，但每個外力的力矩都為零；（iii ）每個外力的力矩不為零，但外力矩的矢量和為零。例8、質(zhì)量為m，長為I的均質(zhì)細桿，繞著過桿的端點且與桿垂直的軸以角速度3轉(zhuǎn)動時，它的 動能和相對端點的角動量的大小分別為Ek=I w2/2 , L=I 3,其中，l=ml 2/3，現(xiàn)將此桿從水平位置由靜止釋放，設(shè)此桿能繞著過

9、A的固定光滑細軸擺下，當(dāng)擺角從0達0時，試求：（1 ）細桿轉(zhuǎn)動的角速度3和角加速度（2 ）固定光滑細軸為桿提供的支持力。繩與圓盤間無相對滑動，滑輪與軸之間無摩擦,mi> m2，試求物體運動的加速度。例9、質(zhì)量為M，半徑為R的均質(zhì)圓盤，繞過圓心且與圓盤垂直的軸以角速 度3旋轉(zhuǎn)時的角動量大小為 L=I 3,其中，l=MR 2/2 ,如圖，細繩質(zhì)量可忽略,例10、在光滑的水平面上，兩個質(zhì)量分別為mi和m2的小球，用長為I的輕線連接，開始時，線正好拉直，mi和m2的速度分別為vi和v2 (vi > v2),它們的方向相同，并垂直于連線，試求:系統(tǒng)相對質(zhì)心的角動量為多大？ (2)線中的張力為

10、多大？例11、如圖所示，在光滑水平面上，質(zhì)量均為M的兩小球用長為I的輕桿相連，另一質(zhì)量為m的小球以vo的速率向著與桿成B角的方向運動，若（1）碰后m以vo/2的速率沿原路線反彈，試求碰后輕桿系統(tǒng)繞其質(zhì)心 轉(zhuǎn)動的角速度3。（2 ）若M=m，且B =45。，小球以某一速率vo與桿上一球發(fā)生彈性碰撞后，沿垂直于原速 度的方向運動，如圖虛線箭頭所示方向，求碰后小球的速度及輕桿繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速度。R=1700km ，月球表面的重力加例12、一質(zhì)量m=1 .40 x 1kg的登陸飛船，在離月球表面高度處繞月球做圓周運動，飛船采用如下登月方式：當(dāng)飛船位于圖中它向外側(cè)（即沿 OA方向）短時間噴氣，使飛船與月

11、球相切地到達 且OA丄OB，試求飛船到達月球表面時的速度。已知月球半徑速度為 g=1.62m/s2。m， L例13、如圖，一長為L,質(zhì)量為m的均質(zhì)棒被兩根細線水平懸掛在天花板上，某時刻，右邊的線斷了，問線斷瞬間，左邊線中的張力是多大？已知棒 繞其一端的轉(zhuǎn)動慣量I=ml 2/3。例14、一顆衛(wèi)星沿橢圓軌道繞地球運行，在近地點，衛(wèi)星與地球中心的距離為地球半徑的3倍,衛(wèi)星的速度為在遠地點時速度的4倍，求在遠地點時衛(wèi)星與地球中心的距離為地球半徑的多少T-O倍。例15、兩個質(zhì)量均為 m的小球，用長為I的繩子連接起來，放在一光滑的水平桌面上，給其中一個小球以垂直于繩子方向的速度V0，如圖所示，求此系統(tǒng)的運

12、I動規(guī)律和繩中的張力大小。_L_q_V0例16、小滑塊A位于光滑的水平桌面上，小滑塊 B位于桌面上的光滑小 槽中，兩滑塊的質(zhì)量都是 m，并用長為I、不可伸長的、無彈性的輕繩相連,如圖所示，開始時，A、B間的距離為I/2，A、B間的連線與小槽垂直，今給滑塊A 一沖擊，使m其獲得平行于槽的速度 vo,求滑塊B開始運動時的速度。例17、如圖所示，質(zhì)量均為 m的兩小球系于輕彈簧的兩端，并置于光滑水平桌面上彈簧原長為a，勁度系數(shù)為k。今兩球同時受沖力作用，各獲得與連線垂直的等值反向的初速度，若在以后運動過程中彈簧的最大長度b=2a，求兩球的初速度 V0。例18、在半頂角為a的圓錐面內(nèi)壁離錐頂h高處以一定

13、初速度沿內(nèi)壁水平射出一質(zhì)量為 m的小球，設(shè)錐面內(nèi)壁是光滑的。（1）為使小球在 h處的水平面上做勻速圓周運動，則初速 vo為多少？（ 2）若初速vi=2v 0,求小球在運動過程中的最大高度和最小高度。例19、（1）質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星作半徑為 ro的圓軌道飛行，地球質(zhì)量為 M，試求衛(wèi)星的 總機械能；（2）若衛(wèi)星運動中受到微弱的磨擦阻力f （常量），則將緩慢地沿一螺旋軌道接近地球，因f很小，軌道半徑變化非常緩慢，每周的旋轉(zhuǎn)都可近似處理成半徑為r的圓軌道運動，但r將逐周縮短，試求在 r軌道上旋轉(zhuǎn)一周，r的改變量"r及衛(wèi)星動能Ek的改變量"Ek。例20、圖中a為一固定放置的半徑為

14、 R的均勻帶電球體,O為其球心，已知取無限遠處的電勢為零時，球表面處的電勢為U=1000V。在離球心0很遠的0 '點附近有一質(zhì)子J 丿b，它以EK=2000eV 的動能沿與O O平行的方向射向a，以L表示b與O O線間的垂直距離。要使質(zhì)子b能夠與帶電球體 a的表面相碰，試求 L的最大值。把質(zhì)子換成電子，再求L的最大值。- m例21、由火箭將一顆人造衛(wèi)星送入離地面很近的軌道，進入軌道時，衛(wèi)星的速度方向平行于地面，其大小為在地面附近做圓運動的速度的3/2倍，試求該衛(wèi)星在運行中與地球中心的最遠距離。例22，如圖所示，在水平光滑平面上開有一個小孔，一條繩穿過小孔，其兩端各系一質(zhì)量為 m的物體，

15、桌上的物體則以vo=3；2gr° 2的速率做半徑為ro （即桌上部分的繩長）的勻速圓周運動，然后放手，求以后的運 動中桌上部分繩索的最大長度和最小長度。例23，一塊半徑為 R的水平輕質(zhì)圓盤，可繞過其圓心 0的豎直軸自由旋 轉(zhuǎn)，在圓盤下面的邊緣處等間隔地系有四個質(zhì)量都為m的小球，如圖所示。開始時，圓盤靜止，一輛質(zhì)量也為 m的玩具汽車從 0出發(fā)，以恒定 的相對于盤的速率 vo沿半徑駛往盤邊，并沿盤邊行駛，試求:(1)當(dāng)玩具汽車沿半徑行駛時，圓盤的轉(zhuǎn)動角速度31 ； ( 2)當(dāng)玩具汽車沿盤邊行駛時，圓盤的轉(zhuǎn)動角速度3 2。例24，若上題中的豎直軸不經(jīng)過圓心，而經(jīng)過某一小球的位置處，玩具汽車

16、從該軸處以恒定的相對于圓盤的速率 V0沿盤邊行駛，試求：(1 )當(dāng)玩具汽車行駛到第二小球位置處(即行駛了半圈)時，圓盤的轉(zhuǎn)動角速度3 1 ; (2 )當(dāng)玩具汽車行駛到第三小球位置處(即行駛了 3/4圈)時, 圓盤的轉(zhuǎn)動角速度3 2； ( 3 )當(dāng)玩具汽車回倒轉(zhuǎn)軸處時，圓盤的轉(zhuǎn)動角速度33。TL0M例25，在一根長為3L的輕桿上打一個小孔，孔離一端的距離為L,再在桿的兩端及距另一端為L處各系一質(zhì)量為 M的小球，然后通過此孔將桿懸掛于一光滑的 水平細軸0上，如圖所示。開始時，輕桿靜止，一質(zhì)量為m的小鉛粒以vo的水平速度射入中間的小球，并留在里面。若鉛粒相對小球靜止時桿的角位移可以忽 略，試求桿在以

17、后擺動中的最大擺角。例26，一質(zhì)量為M a,半徑為a的圓筒A被另一質(zhì)量為M b、半徑為b的圓筒B同軸套在其外，均可繞軸自由旋轉(zhuǎn)。在圓筒A的內(nèi)表面上散布了薄薄的一層質(zhì)量為Mo的砂子，并在壁上開有許多小孔。在t=0時，圓筒以角速度3 o繞軸勻速轉(zhuǎn)動，而圓筒 B則靜止。打開小孔，砂子向外飛出并附著在 B筒的內(nèi)壁上，如圖所示。設(shè)單位時間內(nèi)噴出砂子的質(zhì)量為k ,例27，光滑水平面上有與小球B連接。開始時小球 A被一輕繩拴住，輕繩穿過平面上小孔A球在水平面上繞 O做勻速圓周運動，B球靜止并忽略砂子從 A筒飛到B筒的時間，求t時刻兩筒旋轉(zhuǎn)的角速度。地向下垂掛著，如圖所示。今使小球B的質(zhì)量緩慢增加，直到 A球繞O點做勻速圓周運動的半徑縮短一半，試問此時 B球質(zhì)量為初始質(zhì)量的多少倍？且繼續(xù)做純滾動,例28 ,實心圓柱體從高度為 h的斜坡上由靜止做純滾動到達水平地面上，與光滑豎直墻發(fā)生完全彈性碰撞后返回，經(jīng)足夠長的時