重點中學(xué)高三第二輪-復(fù)數(shù).

1、高三第二輪復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)一本章知識結(jié)構(gòu)數(shù)的概念的發(fā)展復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的向量表示復(fù)數(shù)的代數(shù)形式復(fù)數(shù)的幾何意義共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的四則運算二學(xué)習(xí)內(nèi)容和要求（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性，數(shù)集的擴展過程及復(fù)數(shù)的分類表；2理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念；3掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；4掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算法則；5能進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算；6掌握某些特殊復(fù)數(shù)的運算特征7能在復(fù)數(shù)集中因式分解、解一元二次方程等。（二）本章知識精要1復(fù)數(shù)的概念：（1）虛數(shù)單位 i；（2）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi， (a, bR)；（3）復(fù)數(shù)的實部、虛部、虛數(shù)與純虛數(shù)。2復(fù)數(shù)集實 數(shù) (b0)復(fù)數(shù)abi ( a , bR )虛數(shù) (

2、b有理整數(shù)數(shù)分?jǐn)?shù)無理數(shù)(無 限不循環(huán)小數(shù) )純 虛數(shù) ( a0)0)數(shù) ( a0)非 純 虛3復(fù)數(shù)的四則運算若兩個復(fù)數(shù) z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i，（1）加法： z121212；+z =(a +a )+(b +b )i（2）減法： z1 z21a21b2 ；=(a)+(b)i2 1 ；（3）乘法： z121 2b1212z =(a ab )+(a b +a b )i（4）除法： z1(a1a2b1b2 )(a2b1a1b2 )i ；z2a2b 222（5）四則運算的交換率、結(jié)合率；分配率都適合于復(fù)數(shù)的情況。（6）特殊復(fù)數(shù)的運算：2n(n 為整數(shù) )的周期性運算； i(1 i)=2

3、i 若 =1332+2i，則 =1，1+ +=0.24共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的模（1）若 z=a+bi，則 za bi ， zz 為實數(shù)， z z 為純虛數(shù) (b0).（2）復(fù)數(shù) z=a+bi 的模， |a|=a2b2, 且 z z| z |2 =a2+b2.三學(xué)習(xí)方法與指導(dǎo)（一）學(xué)習(xí)方法點撥：1數(shù)的概念是從實踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的。隨著生產(chǎn)和科學(xué)的發(fā)展，書的概念也不斷的被擴大和充實，從自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集到實數(shù)集的每一次擴充，推動了生產(chǎn)的進(jìn)一步發(fā)展，也使數(shù)的理論逐步深化和發(fā)展，復(fù)數(shù)最初是由于解方程得需要產(chǎn)生的，后來由于在科學(xué)技術(shù)中得到應(yīng)用而進(jìn)一步發(fā)展。要求熟悉我們已經(jīng)學(xué)過的各種數(shù)集之間的內(nèi)在聯(lián)系

4、。 理解復(fù)數(shù)在其中所起到的重要作用，和各種數(shù)集之間的包含關(guān)系，即 N 苘Z Q 苘R C .2復(fù)數(shù) a+bi(a, bR)由兩部分組成，實數(shù) a 與 b 分別稱為復(fù)數(shù) a+bi 的實部與虛部， 1 與 i 分別是實數(shù)單位和虛數(shù)單位，當(dāng) b=0 時， a+bi 就是實數(shù)，當(dāng) b0 時， a+bi 是虛數(shù)，其中 a=0 且 b0時稱為純虛數(shù)。應(yīng)特別注意， a=0 僅是復(fù)數(shù) a+bi 為純虛數(shù)的必要條件， 若 a=b=0，則 a+bi=0 是實數(shù)。3根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等的定義，設(shè)a, b, c, dR，兩個復(fù)數(shù) a+bi 和 c+di 相等aca0規(guī)定為 a+bi=c+did. 由這個定義得到 a+bi

5、=0.bb0兩個復(fù)數(shù)不能比較大小，只能由定義判斷它們相等或不相等。兩個復(fù)數(shù)相當(dāng)?shù)亩x實際上給出了將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的方法， 是求復(fù)數(shù)值、在復(fù)數(shù)集中解方程得重要依據(jù)。4復(fù)數(shù) a+bi 的共軛復(fù)數(shù)是 abi，若兩復(fù)數(shù)是共軛復(fù)數(shù)，則它們所表示的點關(guān)于實軸對稱。若 b=0，則實數(shù) a 與實數(shù) a 共軛，表示點落在實軸上。5復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運算與實數(shù)的運算基本上沒有區(qū)別，最主要的是在運算中將 i 2=1 結(jié)合到實際運算過程中去。2222 222如(a+bi)(abi)=a (bi)=a b i =a +b .6復(fù)數(shù)的除法是復(fù)數(shù)乘法的逆運算將滿足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi

6、0)的復(fù)數(shù)x+yi 叫做復(fù)數(shù) a+bi 除以復(fù)數(shù) c+di 的商。由于兩個共軛復(fù)數(shù)的積是實數(shù)，因此復(fù)數(shù)的除法可以通過將分母實化得到，即 a bi(a bi )(c di )acbd(bcad )i .c di(c di )(c di )c2d 27復(fù)數(shù) a+bi 的模的幾何意義是指表示復(fù)數(shù)a+bi 的點到原點的距離。（二）典型例題講解1復(fù)數(shù)的概念例 1實數(shù) m 取什么數(shù)值時， 復(fù)數(shù) z=m+1+(m1)i 是（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（ 3）純虛數(shù)？（ 4）對應(yīng)的點 Z 在第三象限？解：復(fù)數(shù) z=m+1+(m1)i 中，因為 mR，所以 m+1，m 1 都是實數(shù)，它們分別是 z 的實部和虛部，

7、（1）m=1 時， z 是實數(shù)；（2）m1時， z 是虛數(shù)；（3）當(dāng) m 10 時，即 m=1時， z 是純虛數(shù)；m10（4）當(dāng) m 10 時，即 m1時， z 對應(yīng)的點 Z 在第三象限。m10例 2已知 (2x1)+i=y(3y)i ，其中 x, yR，求 x, y.解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的意義，得方程組2x1y，得 x= 5, y=4.1(3y)2例 3已知 x 與 y 實部相等，虛部互為相反數(shù)， 且(x+y)23xyi=46i，求 x, y.解：由題意設(shè) x=a+bi，y=abi (a, bR)，則代入原式得(2a)2 3(a2 2bi4a24，a1 或a1 或 a1或+b )i=43(a2b

8、2 )6b1b1b1a1 ，x 1 i 或 x 1i 或 x1 i 或 x1i .b1y 1 iy 1iy1 iy1i例 4當(dāng) m 為何實數(shù)時，復(fù)數(shù) z 2m23m2 +(m2+3m10)i；（1）是實數(shù)；m225（ 2）是虛數(shù)；（ 3）是純虛數(shù)解：此題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及方程（組）的解法2m23m100，（1）z 為實數(shù)，則虛部 m +3m10=0，即25 0m2解得 m=2， m=2 時， z 為實數(shù)。2m23m100，（2）z 為虛數(shù)，則虛部 m0，即+3m1025 0m22m23m20解得 m2且 m 5當(dāng). m2且 m5時， z 為虛數(shù)m23m 100 ，m2250解得 m= 1

9、,當(dāng) 1時， z 為純虛數(shù)2m=2詮釋：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)分別為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)時相應(yīng)必須具備的條件，還應(yīng)特別注意分母不為零這一要求232005例 5計算： i i i + +i.解：此題主要考查in 的周期性i i2 i3 + +i2005=(i+i2+i3+i4)+(i2001+i2002+ i2003i 2004)i2005=(i 1 i+1)+ (i 1i+1)+(i1i+1)+i00 0+i i .或者可利用等比數(shù)列的求和公式來求解（略）n例 6當(dāng) 為何值時， z1 z2，其中：z1 1 sin icos，z21i=sin.1cos解：此題主要考查復(fù)數(shù)相等的充要條件及有關(guān)三角函數(shù)的知識

10、 z1 z2, icos= 1i,即1sin1 sincos1 sin1(1 sin )21sin，1， 無解，即 不存在。1cos21coscos詮釋：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)相等的充要條件例 7已知 x、y、tR，t1 且 t0，求滿足 xyi= t(1t )i 時，點 (x,1tty)的軌跡方程。解：此題主要考查復(fù)數(shù)相等的充要條件，軌跡方程的求法xtt1 t )i ，t ， xy=1, xyi=(11tt1tyt 點(x，y)的軌跡方程為 xy1，它是以 x 軸、 y 軸為對稱軸，中心在 (0，0)的等軸雙曲線詮釋：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)相等的充要條件及消參數(shù)來求點的軌跡方程。例 8 使不等式 m2 (m

11、2 3m)i (m2 4m 3)i 10 成立 的實 數(shù) m.解：此題主要考查復(fù)數(shù)能比較大小的條件及方程組和不等式的解法 m2(m23m)i (m24m3)i 10, 且虛數(shù)不能比較大小，m210| m | 10 m23m0，解得 m0或 m3 ， m=3.m24m3 0m3或 m1當(dāng) m 3 時，原不等式成立詮釋：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)能比較大小時必須都為實數(shù)這一條件。例 9已知 z=x yi(x， y R)，且2x yi log 2x8 (1log 2 y)i，求 z解：本題主要考查復(fù)數(shù)相等的充要條件及指數(shù)方程，對數(shù)方程的解法 2x yi log2x8 (1 log2 y)i ，2x y80， x

12、 y3 ，log 2 x1log 2 yxy2x2x1解得或y, z2i 或 z12iy12詮釋：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)相等的充要條件這一關(guān)鍵，正確、熟練地解方程（指數(shù)，對數(shù)方程）例 10已知 x 為純虛數(shù)， y 是實數(shù)，且 2x 1 iy(3y)i，求 x、y 的值解：本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念， 實數(shù)與 i 的運算，復(fù)數(shù)相等的充要條件，方程組的解法設(shè) xti (tR，且 t 0），則 2x 1 iy(3 y)i 可化為2ti 1i y(3y)i ，即 (2t1)i 1=y(3 y)i， 2t 1(3y) , y= 1, t= 5, x= 5 i.1y222復(fù)數(shù)的四則運算例 1計算：2n（1）(1i

13、 )，nN+；(1i )2( n 1)（2）若 =1333 i6(3i 6；+i， =1，計算 ()2)222（3）( 32i )(52i )(53i )2；(23i )(25i)（4）S=1+2i+3i 2+4i3+100i 99.解：（ 1） (1i )2n=(1i)2n(1i )2(1i) 2( n 1)(1i )2 =2in2k1,k2in2k, k( 2i )n ( 2i ) ( 1)n 1 2i 2iN.N（2） ( 3 i ) 6(3i )6 = ( i13i )6( i13i )6i 6 6( 2)62222=2.（3）由于32ii ,52i,23i2i5i( 32i )(52

14、i )(53i)2= | i i( 53i)2 |(53i )2 |( 53)2(23i )(25i)=8.（4）S=1+2i+3i 2+4i3+100i 9923 4567 969798 99 =(1+2i+3i +4i )+(5i +6i +7i +8i )+ +(97i +98i +99i +100i )=25( 2 2i)=50 50i.例 2已知復(fù)數(shù) z 滿足 |z 2|=2，z+ 4 R，求 z. z解：設(shè) z=x+yi, x, yR，則44z4( xyi )x4x2 ( y4 y2 )i ，z+ =z+x yix2y22yx2yzzzx z+ 4 R，y24 y2=0， 又 2|

15、=2,(x2)2 2zxy|z+y =4,聯(lián)立解得，當(dāng) y=0 時 , x=4 或 x=0 (舍去 x=0, 因此時 z=0)，x1當(dāng) y0時, z=1 3 ,y 3 綜上所得 z1 =4，z2=1+ 3 i ，z3=1 3 i.例 3設(shè) z 為虛數(shù)，求證： z+ 1 為實數(shù)的充要條件是 |z|=1. z證明：設(shè) z=a+bi (a, bR，b0)，于是z+11abiabi(aa) (bb)i ,=(a+bi)+a2b2a2b2a2b2za bi所以 b0, z+( 1)Rb2 =022|z|=1.zba2ba +b =1例 4復(fù)數(shù) z 滿足 (z+1)( z +1)=| z |2，且 z1

16、為純虛數(shù)，求 z.解：設(shè) z=x+yi (x, y R)，則z1(z+1)( z +1)=| z |2+z+ z +1=| z |2， z+ z +1=0，z+ z = 1， x= 1 .2z1 = (z1)(z1)| z |2zz1 = x2y2xyi xyi1 為純虛數(shù)，z1( z1)(z1)| z 1|2| z1|2x2+y2 1=0, y= 3,z= 13i或 1 3i .2+2z=222例 5復(fù)數(shù) z 滿足 (1+2i)z+(310i) z =434i ，求 z.解：設(shè) z=x+yi (x, y R)，則 (1+2i)(x+yi)+(310i)(xyi) =434i ，整理得 (4x

17、 12y)(8x+2y)i=4 34i.4x12 y4, 解得x42 y34y, z=4+i.8x1例 6設(shè) z 是虛數(shù)， =z+ 1 是實數(shù)，且 12，z（1）求|z|的值及 z 的實部的取值范圍； （2）設(shè) u= 1z ，求證 u 為 純虛數(shù)；（3）求 u2 的最小值。1z解：（ 1）設(shè) z=a+bi (a, bR, b0)，則=2a2 )(b2b2 )i，由于 是實數(shù)且 b0， a22，(abb+b =1aa即 |z|=1，由 =2a, 10，則 u當(dāng) a+1= 1,即 a=0 時，上式取等號，所以 u2 的最小值為 1.a1例 7證明： iz1iz解：此題考查復(fù)數(shù)的運算、模的定義，共軛

18、復(fù)數(shù)的性質(zhì)等設(shè) zabi， (a, bR)，則i z = ia bia (1 b)ia2(1b)21 .a2(1 b)2i z ia bia (1 b)i解 2： i z iz i z ，iz =iz(iz)1.iziziz詮釋：此題抓住模的定義或共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)來求解例 8 (2002 年高考 )已知復(fù)數(shù) z 1 i，求實數(shù) a， b 使 az+2b z (a2z)2解：此題主要考查共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的四則運算，復(fù)數(shù)的相等 z1i ， az+2b z (a2b)(a2b)i，(a2z)2 (a2)244(a2)i=(a24a)4(a2)i a2ba24a ，解得 a2或 a4.a2b4(a2)b1

19、b2例 9若復(fù)數(shù) z 滿足 z= 1ti(tR)，求 z 的對應(yīng)點 Z 的軌跡方程1ti解：此題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，點的軌跡方程的求法等設(shè) zxyi， (x, yR)， z= 1ti=(1ti )2ti )1t212t，1ti(1ti )(11t 2t2 ix1t 21t 2，消去參數(shù) t，得 x2 y2，且 2t= 1x1y1t 2 所求方程為 x2y21（x1）詮釋：解此題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)相等的充要條件，從而得到參數(shù)方程，消去參數(shù)，或者利用模的定義和性質(zhì)，求出 |z|即可例 10已知復(fù)數(shù) z 滿足 |z| 5，且 (3+ 4i)z 是純虛數(shù)，求 z解：此題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，復(fù)數(shù)的運算，

20、模的定義及計算設(shè) z x yi（x, yR）, |z|5， x2 y225, 又(3 4i)z=(3 4i)(xyi)(3x4y)+(4x3y)i 是純虛數(shù)，3x4 y0，x4x43y0聯(lián)立三個關(guān)系式解得或y，4xy33 z=4 3i 或 z 43i 詮釋：解此題應(yīng)抓住純虛數(shù)的定義和模的定義而得到方程組， 正確解方程組即可例 11設(shè) z 是純虛數(shù)，求復(fù)數(shù) z 對應(yīng)的點的軌跡方程 z 1解：此題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及性質(zhì)，四則運算和點的軌跡方程的求法z是純虛數(shù)， (z )z0 ，即zz0 ,z1z1z 1z1z12z z zz0 ， 2zz +z+ z =0，(z0， z1)，( z1)(z1

21、)設(shè) z=x yi，(x，yR)， 2(x2y2)2x0（y0） (x 1 )2y2 1 （y0）它為復(fù)數(shù) z 對應(yīng)點的軌跡方程24詮釋：解此題應(yīng)抓住虛數(shù)的定義和共扼復(fù)數(shù)的性質(zhì)，利用運算法則進(jìn)行求解。（三）單元檢測一、選擇題：1設(shè) f(a)= i nin (n N)，則集合 f(n) 中元素的個數(shù)為（）A4B 3C2D 12已知等比數(shù)列的第 100 項為 2i，第 300 項為 200i ，則它的第 200 項為（）A20B 20C 198iD 202i3設(shè)條件甲： x=0，條件乙： xyi（x，y R）是純虛數(shù)，則（）A甲是乙的充分非必要條件B甲是乙的必要非充分條件C甲是乙的充分必要條件D甲

22、是乙的既不充分，又不必要條件）4已知關(guān)于x的方程x2(2i 1)x3mi 0 有實根，則實數(shù) m 應(yīng)取的值是（Am 1Bm 1C m= 1Dm= 14412125有下列命題： 若 zC，則 z2 0； 若 z1， z2 C，z1z20，則 z1z2； 若 ab，則 aibi其中，正確命題的個數(shù)為（）A3B2C 1D 0設(shè)+，R，M 分別表示正實數(shù)集， 負(fù)實數(shù)集，純虛數(shù)集，則集合加 m26R| m M是（）+BCR 0ARRRDR7 (13i )32i 等于（）(1i) 612iA0B1C1Di8設(shè) f(z)|1+z| z ，若 f( z )10 3i ，則 z 等于（）A53iB 5 3iC

23、5 3iD 5 3i9方程 x2 (k+2i)x 2 ki0 至少有一實根的條件是（）A2222 2 或k22kBk2C k=2 2Dk2210若 2 3i 是方程 x2+mx+n0 的一個根，則實數(shù) m，n 的值為（）Am4，n=3Bm=4，n13Cm4，n=21Dm=4， n 5z2 所對應(yīng)點11在復(fù)平面上，復(fù)數(shù) z 所對應(yīng)的點在二、四象限的角平分線上，則的軌跡是（）Ay 軸By 軸正半軸C y 軸負(fù)半軸Dx 軸二、填空題：12計算： i29+i30+ i31 i32+ i250.13設(shè) m R，z (2i)m2 3(1 i)m 2(1 i)，當(dāng) m=時， zR；當(dāng)m=時， z 為純虛數(shù)1

24、4已知下列命題：（1）在復(fù)平面中， x 軸是實軸， y 軸是虛軸；（2）任何兩個復(fù)數(shù)不能比較大??；（3）任何數(shù)的偶次冪都是非負(fù)數(shù)；（4）若 t si=34i，則 t=3、 s=4其中真命題為15若復(fù)數(shù) z 滿足 z+1|=12i，則 z=.|z216設(shè) zC， |z|=1，則 |z+3 +i|的最大值為.三、解答題：設(shè)2a22a 15，試判斷復(fù)數(shù) z 能否為純虛數(shù)？并說明理由z=(a a b)+i17a2418關(guān)于 x 的方程 a(1+ i)x2+(1+a2i)x+a2 i=0 (aR）有實根，求 a 的值及方程的根19已知關(guān)于 t 的一元二次方程 t2(2i)t2xy(x y)i=0（x、 y R），當(dāng)方程有實根時，求點 (x，y)的軌跡方程20已知復(fù)數(shù) z 滿足 |z|13i