費(fèi)馬定理介紹

1、.費(fèi)馬定理費(fèi)馬原理是光學(xué)中最為基礎(chǔ)的原理，它在物理學(xué)發(fā)展的歷程中有著至關(guān)重要的作用。它用一種新的看法將幾何光學(xué)的三個(gè)基本實(shí)驗(yàn)定律（光的反射定律和折射定律、光的獨(dú)立傳播定律光的直線傳播定律直線傳播）進(jìn)行統(tǒng)一，并表述了三者的聯(lián)系。通過研究幾何光學(xué)問題，能彰顯出費(fèi)馬定理的重要性， 能更加系統(tǒng)化光學(xué)理論。 可見通過費(fèi)馬原理推導(dǎo)上述三個(gè)基本實(shí)驗(yàn)定律，能使我們更加系統(tǒng)的理解光學(xué)理論，這對廣大學(xué)者都有著不可或缺的意義。費(fèi)馬原理的直觀表達(dá): 光從空間的一點(diǎn)到另一點(diǎn)的實(shí)際路徑是沿著光程為極值的路徑傳播的?；蛘哒f ,光沿著光程為極大、極小或者常量的路徑傳播。tl i1vini li光線從 Q 點(diǎn)傳播到P 點(diǎn)所需的

2、總時(shí)間：i 1c i 11tQP ndlc費(fèi)馬原理：在所有可能的光傳播路徑中，實(shí)際路徑所需的時(shí)間取極值。 t1QP ndl 0c在光傳播的所有可能存在的路徑中，其實(shí)際路徑所對應(yīng)的光程取極致。 直線傳播定律：兩點(diǎn)間的所有可能連線中，線段最短光程取極小值。 內(nèi)橢球面的反射：橢球面上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)連線的角平分線即過該點(diǎn)的面法線，且兩線段長度之和相等。用費(fèi)馬原理導(dǎo)出反射定律如下圖， PQ 為兩個(gè)介質(zhì)間的平面反射鏡 , 從 A點(diǎn)發(fā)射出的光線照射到經(jīng)過反射到達(dá) B 點(diǎn)。假設(shè)光線所處的介質(zhì)為均勻介質(zhì)。 光線的透射點(diǎn) O到足 P 的長度為 x。那么點(diǎn) A 到點(diǎn) B 的光程為：LQP ndl0PQ平面上的 O

3、點(diǎn)，A 點(diǎn)與反射平面垂L nAOnOBn H 12x2H 22a x 2.很明顯，光程 L 是關(guān)于變量 x 的函數(shù)，由費(fèi)馬原理分析， 真實(shí)的光程是固定的，在均勻介質(zhì)中的一階導(dǎo)數(shù)是 0，即dLnxn axdx0H12x2H 22a x 2即有 n sin In sin - I 即 II反射定律由上面推導(dǎo)出來了。進(jìn)一步可以證明d2 L>0 ,這說明滿足反射定律的光線具有dx2最短光程。從費(fèi)馬原理導(dǎo)出折射定律下圖中，兩個(gè)介質(zhì)均為均勻介質(zhì)，它們的折射率分別為n1 、 n2 ，光線從 n1 介質(zhì)投射到折射面的 O點(diǎn)，光線折射后進(jìn)入n2 介質(zhì)，然后通過B 點(diǎn)。設(shè) O點(diǎn)到 A 點(diǎn)垂足的距離是 x，由下

4、圖可以得出A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)的光程為Ln1 AOn2 OBn1 H12x2n2 H 22a x 2根據(jù)費(fèi)馬原理 ,有 dLn1xx2n2 ax0 因而有 n1 sin I1 n2 sin I 2dxH12H 22a x 2.這就是折射定律。同理可得,可證明 d 2 L0，這說明滿足折射定律的光線有最短的光dx程。利用費(fèi)馬原理導(dǎo)出單球面折射成像公式如上圖所示，在一個(gè)半徑為r 的單球面的分界面，其兩側(cè)的折射率分別為n 和 n' 。主光軸上的一點(diǎn) P 發(fā)出一條光線PA，光線進(jìn)入 n' 介質(zhì)時(shí)會發(fā)生折射，折射后的折射光線與主光軸相交于點(diǎn) P'。光線 PAP'的光程 LnPA'n' AP '，通過上圖的幾何關(guān)系，有L n r 2r s 21r 2s'2122r rs cosnr cos2'rsr s'光程 L 是關(guān)于變量的函數(shù)，通過費(fèi)馬原理dLn rsn' s'r0 推導(dǎo)出，AP'，又由于dPA.它們處于條件為近軸，的角度近視于0， cos1，我們可以得出