隨機(jī)微分方程數(shù)值解的幾乎必然穩(wěn)定區(qū)域

1、第23卷第1期2010年3月紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào)BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIESVo.l23,No.1 March,2010 文章編號(hào):1006 8341(2010)01 0054 05隨機(jī)微分方程數(shù)值解的幾乎必然穩(wěn)定區(qū)域郭海山,胡良劍(東華大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,上海200051)摘要:從研究SDE數(shù)值解入手,證明了線性標(biāo)量SDE的Euler Maruyama方法數(shù)值解的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的幾個(gè)條件,并且找出了Euler Maruyama方法數(shù)值解幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定區(qū)域;通過(guò)與Saito和Mitsui研究的Euler Maruyama方法數(shù)值解的均方穩(wěn)定

2、區(qū)域做比較,可以發(fā)現(xiàn)得到的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定區(qū)域更大,因此也是更有價(jià)值的.關(guān)鍵詞:隨機(jī)微分方程;Euler Maruyama方法;數(shù)值解;幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定中圖分類(lèi)號(hào):O211.63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A近年來(lái),隨著金融工程的發(fā)展,隨機(jī)微分方程(SDE)數(shù)值方法的研究引起了越來(lái)越廣泛的關(guān)注1,數(shù)值穩(wěn)定性是數(shù)值方法非常重要的一個(gè)性質(zhì),不穩(wěn)定的數(shù)值方法往往會(huì)造成舍入誤差的惡性增長(zhǎng)并導(dǎo)致數(shù)值解的失真,從而研究SDE數(shù)值穩(wěn)定性就顯得非常重要,也是非常有價(jià)值的.文獻(xiàn)2分析了線性標(biāo)量SDE漸近穩(wěn)定區(qū)域有界性問(wèn)題;文獻(xiàn)3研究了一類(lèi)簡(jiǎn)單SDE隨機(jī) 方法數(shù)值解的均方穩(wěn)定性,給出了這類(lèi)簡(jiǎn)單SDE隨機(jī) 方法數(shù)值解的漸近穩(wěn)定的

3、充要條件,還介紹了弱隨機(jī) 方法數(shù)值解的均方穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定;文獻(xiàn)4給出了Stratonovich型SDE的隨機(jī)數(shù)值穩(wěn)定和漸近數(shù)值穩(wěn)定的定義,并且舉了幾個(gè)例子說(shuō)明Stratonovich型SDE的隨機(jī)數(shù)值穩(wěn)定和漸近數(shù)值穩(wěn)定;文獻(xiàn)5舉例說(shuō)明了Euler法的漸近均方穩(wěn)定和指數(shù)穩(wěn)定的區(qū)別,并進(jìn)一步證明當(dāng)Euler法用于線性檢驗(yàn)方程時(shí)均方穩(wěn)定和指數(shù)穩(wěn)定是完全一致的;文獻(xiàn)6通過(guò)數(shù)值例子說(shuō)明Euler法求解隨機(jī)微分方程解的二階矩時(shí)插值法的必要性,且研究了Euler法用于均方穩(wěn)定的線性檢驗(yàn)方程時(shí),2種插值方法的均方穩(wěn)定和指數(shù)穩(wěn)定性.通過(guò)數(shù)值例子比較了2種插值的不同,并分析了導(dǎo)致差異的原因;文獻(xiàn)7介紹了多種SDE

4、數(shù)值解方法,研究了各種數(shù)值解方法的均方穩(wěn)定區(qū)域,并通過(guò)作出它們的穩(wěn)定區(qū)域比較得出向后Euler方法的穩(wěn)定區(qū)域最大.本文考慮SDE數(shù)值解的Lyapunov幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性問(wèn)題,證明了Euler Maruyama方法數(shù)值解的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的條件,并且找出了數(shù)值解的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定區(qū)域;最后通過(guò)一個(gè)例子說(shuō)明Euler Maruyama方法數(shù)值解的幾乎必然穩(wěn)定區(qū)域的意義.1 基本概念設(shè)( ,F,Ftt 0,P)是一個(gè)完備的概率空間,Ftt 0是單調(diào)上升左連續(xù)的流,F0包含所有的P 零集,設(shè)B(t)是定義在概率空間上的1維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).考慮1維非線性It 隨機(jī)微分方程dx(t)=f(x(t)dt+g

5、(x(t)dB(t),t 0.8(1)假設(shè)f,g:R R滿(mǎn)足局部Lipschitz條件,因此SDE(1)在0,!)上有惟一解.令Xkx(k t),X0=x(0),則Xk+1=Xk+ tf(Xk)+g(Xk) Bk.這里 t>0是步長(zhǎng), Bk:=B(k+1) t).B(k t)是布朗運(yùn)動(dòng)的增量,服從N(0, t),這就是著名的Euler Maruyama方法.如果取 # 收稿日期:2009 10 15通訊作者:胡良劍(1965 ),男,安徽省涇縣人,東華大學(xué)教授.E mai:lljhu第1期 隨機(jī)微分方程數(shù)值解的幾乎必然穩(wěn)定區(qū)域550,1有下列更為一般的隨機(jī) 方法Xk+1=Xk+ t(1-

6、 )f(Xk)+ f(Xk+1)+g(Xk) Bk.當(dāng) =0時(shí),就是Euler Maruyama方法,當(dāng) =1時(shí),就得到了向后歐拉方法(BE)Xk+1=Xk+ tf(Xk+1)+g(Xk) Bk.考慮線性標(biāo)量SDEdx(t)=!x(t)dt+x(t)dB(t),0x(0)#R,這里!,#R.8SDE(2)的解的Lyapunov指數(shù)limt !和Lyapunovp階矩指數(shù)p2logE(|X(t)|)=p!+p(p-1),(4)t2這里p>0.因此,當(dāng)且僅當(dāng)!-(1/2)<0時(shí),SDE(2)的零解是幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的,簡(jiǎn)記a.s.穩(wěn)定.當(dāng)且僅當(dāng)!+(1/2)(p-1)<0時(shí),SD

7、E(2)的零解是p階矩指數(shù)穩(wěn)定的,特別地p=2時(shí)稱(chēng)為均方穩(wěn)定,簡(jiǎn)記m.s.穩(wěn)定.limt !112log|X(t)|=!- a.s.t2(3)(2)2 SDE數(shù)值解穩(wěn)定性對(duì)于SDE(2), t,Euler Maruyama方法的數(shù)值解是幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定和p階矩指數(shù)穩(wěn)定的.2*定理1 如果線性標(biāo)量SDE(2)的解是m.s.穩(wěn)定的,即!+(1/2)<0,那么 t< t,其中 t22=(-(1/2)-!)/(1/2)!)#(0,1),Euler Maruyama方法的數(shù)值解存在性質(zhì)1limlog|Xk|<0 a.s.,(5)k !k t即數(shù)值解是a.s.穩(wěn)定的.證明 Euler M

8、aruyama方法:Xk+1=Xk+ tf(Xk)+g(Xk) Bk,代入方程(2)得到Xk+1=Xk(1+! t+ Bk).由式(7)知道Xk=x0%(1+! t+ Bj),所以有l(wèi)og|Xk|=log|X0|+j=0k-1(6)(7)&k-1j=0log|1+! t+ Bj|.等式的兩邊同時(shí)除以k t,且令k !,由經(jīng)典強(qiáng)大數(shù)定理得limlog|XE(log|1+! t+ tZ|) a.s.,ZN(0,1).k|=k !k t因此log|1+! t+|=(1/2)log(1+! t+)= tZ+! t+tZ).(8)(1/2)log(1+2! t+由泰勒展式知log(1+u)u,u

9、 -1,所以得到log|1+! t+|(1/2)(2! t+! t+).2n2n-1由于性質(zhì)E(Z)=(2n-)!和E(Z)=0,對(duì)于n=1,2,3,(,可以計(jì)算得到E! t+E(! t+于是得到E(log|1+! t+tZ|)E(!t+tZ=! t,tZ)=! t+ t.tZ+(1/2)! t+(9)tZ)=! t+(1/2)!2 t+(1/2) t=(!+(1/2) t+(1/2)! t.令C1=C1(!,)=!/2,因此得到E(log|1+! t+Z|)(!+(1/2) t+C1 t,(10)56 紡 織 高 校 基 礎(chǔ) 科 學(xué) 學(xué) 報(bào) 第23卷*2*這里C1>0是與 t相互獨(dú)立的

10、常數(shù).取 t=(-(1/2)-!)/C1, t#(1/2)-!),因此 t< t.將式(10)代入式(8),limlog|XElog|1+! t+ tZ|k|=k !k t t2*(0,1),所以C1 t*(-(!+(1/2)+C1 t<!+(1/2)-(!+(1/2)=0.定理2 如果線性標(biāo)量SDE(2)的解是a.s.穩(wěn)定的,即!-(1/2)<1,且 t滿(mǎn)足!-(1/2)+C <0時(shí),則Euler Maruyama方法的數(shù)值解存在性質(zhì)limlog|Xk|<0 a.s.,k !k t其中232243222454C =-! t+! t+! t+! t+! t+ t+

11、! t+23424323421655424152456210! t+15! t+! t+! t+! t+! t.6222證明 Euler Maruyama方法:22222(11)Xk+1=Xk+ tf(Xk)+g(Xk) Bk,代入方程(2)得到Xk+1=Xk(1+! t+ Bk).由式(13)知道Xk=x0%(1+! t+ Bj),所以有l(wèi)og|Xk|=log|X0|+j=0k-1(12)(13)&k-1log|1+! t+ Bj|.j=0等式的兩邊同時(shí)除以k t,且令k !,由經(jīng)典強(qiáng)大數(shù)定理得11limlog|XE(log|1+! t+|) a.s.,ZN(0,1).k|=k !k

12、 t因此log|1+! t+|=(1/2)log(1+! t+(1/2)log(1+2! t+2(14)tZ)=+! t+22).2由泰勒展式log(1+u)u-(1/2)u+(1/3)u,u -1,所以得到log|1+! t+|(1/2)(2! t+(1/2)(2! t+(1/3)(2! t+! t+(1/3)! t+5+! t+ tZ+! t+ tZ+! t+- tZ)+ tZ)=22322-(1/2)! t+tZ+64tZ+(7/4)! t+! t+ tZ+(1/6)! t+ tZ.2n2n-1由于性質(zhì)E(Z)=(2n-1)!和E(Z)=0,對(duì)于n=1,2,3,(,可以計(jì)算得到E! t+

13、E(! t+E(! t+E(! t+E(! t+E(! t+于是得到E(log|1+! t+tZ|)E(! t+tZ-(1/2)! t+5tZ=! t,tZ)=! t+ t,)=! t+3! t,)=! t+6! t+3 t, tZ)=! t+10! t+15! t,tZ)=! t+15! t+45! t+15! t.tZ+tZ+64266642524465552444442242222222(15)(1/3)! t+ tZ+(7/4)! t+! t+ tZ+(1/6)! t+ tZ)=第1期 隨機(jī)微分方程數(shù)值解的幾乎必然穩(wěn)定區(qū)域! t-(1/2)! t-(1/2) t+(1/3)! t+!

14、t+(7/4)! t+(21/2)! t+(21/4) t+! t+10! t+15! t+(1/6)! t+(5/2)! t+(15/2)! t+(5/2) t.425244633244366442234255222332257令C =C (!,)=-323232243222454! t+! t+! t+! t+! t+ t+! t+2342442454242436210! t+15! t+(1/6)! t+(5/2)! t+(15/2)! t+(5/2) t.2又因?yàn)?-(1/2)+C2<0,所以112limlog|XE(log|1+! t+|)(!-(1/2)+C2<0.k|

15、=k !k t2* 推論1 假設(shè)線性標(biāo)量SDE(2)的解是a.s.穩(wěn)定的,如果!-(1/2)+C2<0,取 t=1;如果!-(1/2)+C2>0,取 t=(1/2)-!)/C2,則 t< t,Euler Maruyama方法的數(shù)值解存在性質(zhì)1limlog|Xk|<0 a.s.,(16)k !k t23242245其中 C2=-(1/2)!+(1/3)|!|+|!|+(7/4)!+(21/2)!+(21/4)+|!|+10|!|+15|!|+(1/6)!+(5/2)!+(15/2)!+(5/2).證明 由定理2的證明可以得到E(log|1+! t+|)E! t+! t+4

16、43246422462*2*-(1/2)! t+3+ tZ+632242(1/3)! t+522 tZ+(7/4)! t+233 tZ+(1/6)! t+22 tZ=4255! t-(1/2)! t-(1/2) t+(1/3)! t+! t+(7/4)! t+(21/2)! t+(21/4) t+! t+10! t+15! t+(1/6)! t+(5/2)! t+(15/2)! t+(5/2) t(!-(1/2) t-(1/2)! t+(1/3)|!| t+|!| t+(7/4)! t+(21/2)! t+(21/4) t+|!| t+10|!| t+15|!| t+(1/6)! t+(5/2

17、)! t+(15/2)! t+(5/2) t(!-(1/2) t+(-(1/2)!+(1/3)|!|+|!|+(7/4)!+(21/2)!+(21/4)+|!|+10|!|+15|!|+(1/6)!+(5/2)!+(15/2)!+(4/2) t.令23242245C2=C2(!,)=-(1/2)!+(1/3)|!|+|!|+(7/4)!+(21/2)!+(21/4)+|!|+10|!|+15|!|+(1/6)!+(5/2)!+(15/2)!+(5/2),2*當(dāng)!-(1/2)+C20時(shí),取 t=1, t< t,log|XE(log|1+! t+ tZ|)<0.limk|=k !k t

18、 t2*2*當(dāng)!-(1/2)+C2>0,取 t=(1/2)-!)/C2, t< t,11limlog|XE(log|1+! t+ tZ|)k|=k !k t(!-(1/2)+C2 t<!-(1/2)-(!-(1/2)=0.222324642246464224622245322232442524463324436644223425522233224252446332443663 實(shí) 例根據(jù)Saito和Mitsui的研究7,對(duì)于線性標(biāo)量SDE(2),只要R(h,k)=|1+h|+|kh|<1,這里h=258 紡 織 高 校 基 礎(chǔ) 科 學(xué) 學(xué) 報(bào) 第23卷圖1 m.s.與a

19、.s.穩(wěn)定域的比較(=2) 圖2 m.s.與a.s.穩(wěn)定域的比較(=4)2 t!,k=-/!,則Euler Maruyama方法數(shù)值解均方穩(wěn)定.對(duì)于線性標(biāo)量SDE(2),令=2,4,分別做圖1和圖2,圖中m.s.線是根據(jù)文獻(xiàn)7得到的Euler Maruyama方法數(shù)值解均方穩(wěn)定邊界值 t隨!的變化,則m.s.線下方是Euler Maruyama方法數(shù)值解的均方穩(wěn)定區(qū)域,a.s.線是根據(jù)定理1和定理2作出的Euler Maruyama方法數(shù)值解幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定邊界值 t隨!的變化,相應(yīng)地a.s.線下方是本文研究的Euler Maruyama方法數(shù)值解的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定區(qū)域,由圖1,2清楚地看出幾

20、乎必然指數(shù)穩(wěn)定區(qū)域要更大一些.特別地,當(dāng)=2,!=-2時(shí), t,數(shù)值解都不是m.s.穩(wěn)定的,但從a.s.穩(wěn)定的角度, t的范圍并沒(méi)有明顯變化,他仍然有相當(dāng)大的a.s.穩(wěn)定裕度.參考文獻(xiàn):1 HIGHAMDJ,KLOEDENPE.NumericalmethodsfornonlinearstochasticdifferentialequationswithjumpsJ.NumerMath,2005,101:101 119.2 BRYDENA,HIGHAMDJ.Ontheboundednessofasymptoticstabilityregionsforthestochasticthetametho

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