第三章-量子力學(xué)中的力學(xué)量lt

1、第三章例題剖析1 一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,它的能量的經(jīng)典表示式是2，L為角動(dòng)量,2I求與此對(duì)應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)。(1) 轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(2) 轉(zhuǎn)子繞一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)解:(1)? - -i2芒疋二2 I 總護(hù)L?L?221 :： ：2h?丄二2I能量的本征方程:f ( )， or22m)22IEAei；：-(：) ，( .：)= o =- ( /)由波函數(shù)的單值性Ae"2"' =Aeei2 =1n =0, 士 1, _2,n22.”En2I1其中 A =2 二(2) * 亠，2I在球極坐標(biāo)系中sin2»體系的能量算符本征方程:用1社H

2、T (h)f ( -:)" d ) sin n _ 、 胡丿1 -()：) .2 a m 2、，)sin-2c二 (二:)(V)八宀(汀)2 IE其中，以上方程在0上川的區(qū)域內(nèi)存在有限解的條件是必須取1（1 1）,Ji(1 =0,1,2,)，即 =1(1 - 1)1=0,1,2于是方程的形式又可寫(xiě)成sin v2:）=（I 1）-：（）此方程是球面方程，其解為n 二 YmdI 二 0,1,2，m = 0,二 1,二2,I2 IE由一 |（| “）及，可解得體系的的能量本征值Eil(l +1)卉22II 71,2,132 氫原子處于r,7l,321C| 亠 “ 211,）狀態(tài)，求：（1）

3、歸一化波函數(shù)（2）能量有無(wú)確定值？如果沒(méi)有，求其可能值和取這些可能值的概率，并求平均值；（3） 角動(dòng)量平方有無(wú)確定值？如果沒(méi)有，求其可能值和取這些可能值的概率，并求平均值;（4）角動(dòng)量的z分量有無(wú)確定值？如果有，求其確定值。解：（1 ）求歸一化波函數(shù)CQ03' 321rc,21=、10（2） 能量無(wú)確定值可能取值：E3一18 年，E2 =2 123概率：C3C210102217平均值：E =2 E3 +C2 E2 一亠444s144 2（3）角動(dòng)量平方無(wú)確定值可能取值：2 (2 +1戸 1 £1 +1 )用概率:平均值:2 1C3=C210102223+ C1（6斤2L =

4、C22 .2 12 2 （井=-h(4) 有確定值。其值為 'o3 .求粒子處在態(tài)丫曲時(shí)角動(dòng)量的x分量和角動(dòng)量y分量的平均值Lx, Ly ;并證明: 丄2*2 辦 22(.：Lx)二CL)二(l -l-m)解(方法一)：(1)先證明兩個(gè)普遍的關(guān)系：(匚 _il?y)Y|m 二 (I 二 m)(l m 1) Y|,m 可以用兩種方法來(lái)證明。（a）從角動(dòng)量算符L?所滿足的對(duì)易關(guān)系出發(fā):? ? ?L L i 'L乜L?x - EE =-吧尼 L? -L? =庇y zz y! L? L? - L? L? = i 衣|?yy xz由一式與二式乘i后相加減可得：己(己兄)一(己農(nóng))一也一吃

5、)或L?z(L?x _iL?y(L?x _iL?y)(L?_ )用算符L?z(L?x -iL?y)對(duì)Ym運(yùn)算得：L?z(L?x - iL?y )Yim =(L?x _il?y)(G -)Ym =(m 一1) (Lx -il?y)Yim另外，注意到L?2和L?x,L?y, L?z均可對(duì)易，故有：L?2(L?x 一il?y) =(l?x il?y)l?所以I? (lZ-iL?y)Ym-(L?x_il?y)l?Yim=1(11)2(L?x-iL?y)Ym從上面二式可見(jiàn)(L?x_il?y)Ym既是Lz的本征函數(shù)，本征值為(m_1廠，又是L?2的本征函數(shù),本征值為l(l +1)氏2，亦即(L?x 土 i

6、 L?y )Y|m，具有Y|,m土的形式。令(L?x -iLy)Ylm 二 C -Yl,m 1它的共軛復(fù)式是(L?x ±il?y)*Ylm* =c£m ±1二式相乘，對(duì) 日,積分，再注意到丫5的正交性，得：C# = J(l?x 土iL?y)Ylm(L?x 土吆)*丫壯門(mén)=YlrULx -iL?y) (L?_iL?y)Ylmd'J(Lx _iLy) =L?x L?yi =(L? -iL?y) c 孑=Ym L?x二 Yl； (L?2 二譏l 1)Q QQ_il?y)(l?x _il?y)Ymd© - i(L?xL?y -L?yL?x)Y|md

7、9;J-L?2 - L?z)Y|md''.1m2 - m ? 2 = ( - m)(l 十 m T)2 -_ . (l 二 m)(l 二 m 1) 'Yl,m _1(b)用直接求微分的方法證明L?x=i卉sin護(hù)aactg v cos - c6Ym其中(L(L?x同樣，對(duì)(L?xLycos- ctg v sin :cQL?x + i L?y =甩勺+ ictg 0(l -m)! (2l - 1)4:. (l m)!+ iL?y) Ym =軋7TictgTm. imP (cosO)e ；Pi(coS)d mms i n1 cosm pl ( c o s)d(cos)d m

8、十-sin m- pl (cos v) sin v ictg v sin J pl cos v )(im )d (cos 日)md (cos 0)mei(m 十沖(l _m)!(2l +1)4二(I m)!+ il?y)Ym =J(l _m)(l +m +1) J(l e1)”21 +1)4兀(I +m +1)!m 1sin1?X -il?y 也有 il?y)Ym =乩dmm “1d-mTPl(cosd)e d(cos v)m 1-m sinPi (cos v) ictg sinm丁d(cos )mi (m 1) :=-J(l - m)(l +m +1護(hù)Y,m 十Pi (cos 旳(im )i

9、(mM (I m)!(2l +1)e ,i4二(l m)!(L? -iL?y)Ylm(I _ m 1)! (2I - 1) .(I - m)(l -m 1) 4 二(I m _1)!sinm -1m 1 .2.d' sinmPi (cos v)d (cos 71 )m_ d2 m c o s-d(c o s)mPl(cos) ei(yJ(l +m)(l _m +1) (l m +1)!(21 +1) binmTL(|+m)(lm+1)4 二(I m -1)!e md (cos 31)p | (cos T1i(mJ-,(I m)(l-m - 1)'Y|,mjm *1m2 dd其中

10、 sinm . P ( c 0®) 2m co sd ( c o s)d -卡=(1 - ImrPi()-2-d©d tmd ( c o s)Pi( cos)Pi()(l -)(|一- SPi()可證明如下：因?yàn)槔障宓露囗?xiàng)式p| (cos 71 p| ()滿足方程1(1 1) pl = 0對(duì)上式求微商m -1次后得到dm(1 "dd m十或(1 - CVTPl -2m -d©d m +d故有(1 - 2).m 1 Pi -2m 'd©m ±dPi-l(l 1)- = 0(2)現(xiàn)在來(lái)求Lx和Ly的正交性，亦即注意到Y(jié)lm.m _

11、1dm -1md plmr -m(m -1) P1 t(i 1)Pl = 0m pld帚=-(1m)(l - m 1) dd.m _1dm -1m -1m _jPl令 Lx Ly(Ylm Ym sin 9d Td ® = 0二 Y|-(L?x - iL?y )Ylm sin Id :二 Yi- L . (I m)(l m -1)'Y|,m ! Bn 為 F ： =0Im同理可知(3)Lx iLy =0Lx = 0 Ly = 0:Ylm =Lx .(Lx +iLy)Ylm +丄(2(22_ h = l?x - (l -m)(l mIL 2-iL?y)Ym一h I1)Yl,m 1

12、 - (l - m)(l -m - 1)YLm=蘭J(l _m)(l +m+1)；"(l +m+2)(l-m+1)Ylm 2 * "m)(l1)Ylm22意到Y(jié)m的正交性，得:J(l +m)(l m 十1)丫怖 +丄丿(1 +m 1)(1 m +2)Y,m2 22 * 2L x = JYm LX-m?)同理可證:sin rdrd(I _m)(l m 1) (I m)(l _m 1)14(I2 I -m2)2一 2 L y 二(I2故 CL)2 二LX -匚 (I2 - I -m2)2h2 2 2 2 2(也 Ly)=Ly _Ly =+I )2（方法二）：在固定z軸不變的情況

13、下，進(jìn)行坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，把原來(lái)的y軸變?yōu)閤軸，仍然保持右旋坐標(biāo)，這時(shí)二角不變，唯一的改變是變?yōu)?quot;，注意到x和y的對(duì)稱(chēng)性，不難由L?x, L?y 在球坐標(biāo)中的算符表示式看出 己iifj2二L： =L： =（L2 _L；）=丄（1 +1）卉2 _m2卉2 = （I2 +1 _m2）2 2 2而Lx = Ly = 022 2 2 2二（也Lx） =Lx Lx = （1 +I m ）22 T -22 22 （My）=Ly -Ly = （I +| - E ）_ _ 2討論：為了證明Lx =0； Ly =0，我們還可以用下面兩種簡(jiǎn)單方法：（a）設(shè)丫怖（K ;：）為E的本征態(tài)，則有?。ǘ。┒?m Ym（

14、）:）而LX -証故 Lx = j；任 L?z - LX L 1 胖 I*m L?y LX d0 - JY； LyYm dO ' J. L?yYIm- .（l?zYIm）*L?yYImd'J=m ' . Yi m L?yYIm di- m 一 Yi； L?yYm0同理，因?yàn)長(zhǎng)?zL?< -L?xL?z i L?y，可以證明Ly =0（b） 利用測(cè)不準(zhǔn)來(lái)證明匚=0，Ly =0令2 = Ly, B? = Ly, C?=衣匚則顯然2?, B都是厄密算符，A, B的對(duì)易關(guān)系為：Re? -b?二 iC?就是角動(dòng)量分量之間所必須滿足的對(duì)易關(guān)系L? L? _ L? L? -Ut

15、?y zz yxC2利用C：A）2IB）2 _ 得出422（ Lx）C：Ly） C：Lz）4Lz在必須是由于態(tài)Ylm U,;:）是L?z的本征態(tài)，在本征態(tài)中測(cè)量力學(xué)量Lz有確定值，即力學(xué)量Yim（K）態(tài)在平均平方偏差 CL）2必須為零。故有（ALz）2=0 . 2 2要保證不等式 ：Ly）2 f ：Lz）2匕L成立，考慮 到（Lx）2為非負(fù)的數(shù)，所以4Lx = 0。 同理，只須利用L?zL?x -L?<l? i L?y，也可以證明Ly =0L：注意到在（方法二）中，不從物理上考慮，直接從對(duì)易關(guān)系出發(fā)，也很容易證明 i 凰？ =L? L? -L? L?xy zz y1L?x =（耳乞-£即左乘L：利用右乘L?y比較L?x 得：1?X( L?x Ly l?z - L?x L?z L?y )i=吉 憶 L?x L?y L?zY m d0 - JY|； L?x L?zL?yY| m dQ 】 J m - 丫花匕仆門(mén)-Y| L?xL?zL?yY| md'J 1 Ly =+(L?zLx - L?xL?z)E(L?zL?xL? LxL?y )