二次函數(shù)的三種表達(dá)形式

1、二次函數(shù)的三種表達(dá)形式：一般式：x=加一-y=ax2+bx+c(aw0,a、b、c為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為*，船把三個(gè)點(diǎn)代入函數(shù)解析式得出一個(gè)三元一次方程組，就能解出a、b、c的值。頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a0,a>h、k為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為對(duì)稱軸為直線x=h,頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開(kāi)口方向與函數(shù)y=ax2的圖像相同，當(dāng)x=h時(shí)，y最值二k。有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式。例：已知二次函數(shù)y的頂點(diǎn)(1,2)和另一任意點(diǎn)(3,10),求y的解析式。解：設(shè)y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：與點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的平移不同，二次

2、函數(shù)平移后的頂點(diǎn)式中，h>0時(shí)，h越大，圖像白對(duì)稱軸離y軸越遠(yuǎn)，且在x軸正方向上，不能因h前是負(fù)號(hào)就簡(jiǎn)單地認(rèn)為是向左平移。具體可分為下面幾種情況：當(dāng)h>0時(shí)，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到；當(dāng)h<0時(shí)，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到；當(dāng)h>0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；當(dāng)h>0,k<0時(shí)，將拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；當(dāng)h&

3、lt;0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax2向左平行移動(dòng)|川個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；當(dāng)h<0,k<0時(shí)，將拋物線y=ax2向左平行移動(dòng)|川個(gè)單位，再向下移動(dòng)兇個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象。交點(diǎn)式：y=a(x-xi)(x-x2)(a0)僅限于與x軸即y=0有交點(diǎn)時(shí)的拋物線，即b2-4ac>0.已知拋物線與x軸即y=0有交點(diǎn)A(xi,0)和B(x2,0),我們可設(shè)y=a(x-xi)(x-x2),然后把第三點(diǎn)代入x、y中便可求出a。由一般式變?yōu)榻稽c(diǎn)式的步驟：二次函數(shù),.xi+x2=-b/a,xi?x2=c/a(由韋達(dá)定理得)，.y=

4、ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=ax2-(x1+x2)x+xi?x2=a(x-xi)(x-x2).重要概念：a,b,c為常數(shù)，aw0,且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向。a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上；a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。a的絕對(duì)值可以決定開(kāi)口大小。a的絕對(duì)值越大開(kāi)口就越小，a的絕對(duì)值越小開(kāi)口就越大。能靈活運(yùn)用這三種方式求二次函數(shù)的解析式；能熟練地運(yùn)用二次函數(shù)在幾何領(lǐng)域中的應(yīng)用；能熟練地運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。二次函數(shù)解釋式的求法：就一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(其中a,b,c為常數(shù)，且a*0)而言，其中含有三個(gè)待定的系數(shù)a,b,c.求二次函數(shù)的一般式時(shí)，必須要有三個(gè)獨(dú)立的定量條件

5、，來(lái)建立關(guān)于a,b,c的方程，聯(lián)立求解，再把求出的a,b,c的值反代回原函數(shù)解析式，即可得到所求的二次函數(shù)解析式。1 .巧取交點(diǎn)式法：知識(shí)歸納：二次函數(shù)交點(diǎn)式：y=a(xxi)(xX2)(a刈)xi,X2分別是拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。已知拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求二次函數(shù)解析式時(shí)，用交點(diǎn)式比較簡(jiǎn)便。典型例題一：告訴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，和第三個(gè)點(diǎn)，可求出函數(shù)的交點(diǎn)式。例：已知拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2和1,且通過(guò)點(diǎn)(2,8),求二次函數(shù)的解析式。點(diǎn)撥：解設(shè)函數(shù)的解析式為y=a(x+2)(x-1),;過(guò)點(diǎn)(2,8),8=a(2+2)(2-1)。解得a=2,拋物線的解析式為

6、：y=2（x+2）（x-1）,即y=2x2+2x-4。典型例題二：告訴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離和對(duì)稱軸，可利用拋物線的對(duì)稱性求解。例：已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-2）,并且圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4,求二次函數(shù)的解析式。點(diǎn)撥：在已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)的距離和頂點(diǎn)坐標(biāo)的情況下，問(wèn)題比較容易解決.由頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-2）的條件，易知其對(duì)稱軸為x=3,再利用拋物線的對(duì)稱性，可知圖象與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1,0）和（5,0）。此時(shí)，可使用二次函數(shù)的交點(diǎn)式，得出函數(shù)解析式。2 .巧用頂點(diǎn)式：頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（xh）2+k（a*0）,其中（h,k）是拋物線的頂點(diǎn)。當(dāng)已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸

7、，或能夠先求出拋物線頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)頂點(diǎn)式解題十分簡(jiǎn)潔，因?yàn)槠渲兄挥幸粋€(gè)未知數(shù)a。在此類問(wèn)題中，常和對(duì)稱軸，最大值或最小值結(jié)合起來(lái)命題。在應(yīng)用題中，涉及到橋拱、隧道、彈道曲線、投籃等問(wèn)題時(shí)，一般用頂點(diǎn)式方便.典型例題一：告訴頂點(diǎn)坐標(biāo)和另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，直接可以解出函數(shù)頂點(diǎn)式。例：已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,-2）,且通過(guò)點(diǎn)（1,10）,求此二次函數(shù)的解析式。點(diǎn)撥:解頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,-2）,故設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x+1）2-2（aw0）。把點(diǎn)（1,10）代入上式，得10=a（1+1）2-2。-a=3o一二次函數(shù)的解析式為y=3（x+1）2-2,即y=3x2+6x+1。典型例題二：x=-”丁F如

8、果a>0,那么當(dāng)幼時(shí)，y有最小值且y最小二4鼻；x="*如果a<0，那么，當(dāng)2口時(shí)，y有最大值，且y最大=4a0告訴最大值或最小值，實(shí)際上也是告訴了頂點(diǎn)坐標(biāo)，同樣也可以求出頂點(diǎn)式。例：已知二次函數(shù)當(dāng)x=4時(shí)有最小值一3,且它的圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為6,求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。點(diǎn)撥：析解二次函數(shù)當(dāng)x=4時(shí)有最小值一3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,-3）,對(duì)稱軸為直線x=4,拋物線開(kāi)口向上。由于圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為6，根據(jù)圖象的對(duì)稱性就可以得到圖象與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,0）和（7,0）。.拋物線的頂點(diǎn)為（4,-3）且過(guò)點(diǎn)（1,0）。故可設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x4）23。將（

9、1,0）代入得0=a（14）23,解得a=13.y=13（x4）2-3,即y=13x283x+73。典型例題三：告訴對(duì)稱軸，相當(dāng)于告訴了頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，綜合其他條件，也可解出。例如：(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,-2)和B(1,0),且對(duì)稱軸是直線x=3.求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=1,圖象交y軸于點(diǎn)(0,2),且過(guò)點(diǎn)(-1,0),求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.(3)已知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,且通過(guò)點(diǎn)(1,4)和點(diǎn)(5,0),求此拋物線的解析式.(4)二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸x=-4,且過(guò)原點(diǎn)，它的頂點(diǎn)到x軸的距離為4,求此函數(shù)的解析式.典型例題四：利用函數(shù)的頂點(diǎn)式，解圖像的平移等問(wèn)題非常方便。例：把拋物線y=ax2+bx+c的圖像向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖像的解