實(shí)數(shù),無理數(shù)常見形式

1、 中國(guó)領(lǐng)先的個(gè)性化教育品牌精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào)：xxxxx 年 級(jí)：xx 課 時(shí) 數(shù)：xx學(xué)員姓名：xxxx 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：xx 授課類型C(數(shù)的開方)C （實(shí)數(shù)及其運(yùn)算）T （實(shí)數(shù)應(yīng)用）授課日期及時(shí)段Xxxx年x月x日xxxx-xxxx教學(xué)內(nèi)容 一、專題講解平方根定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，或叫a的二次方根。特點(diǎn)：一個(gè)正數(shù)有正負(fù)兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根。表示方法：一個(gè)整數(shù)a的正的平方根表示為“”或“”，其中a叫做被開方數(shù);“”中的2叫做根的指數(shù)（一般可省略不寫）；“”或“”讀作“二次根號(hào)a”或“根號(hào)

2、a”；正數(shù)a的負(fù)的平方根表示為“”或“”；正數(shù)a的平方根為 ± ，讀作“正負(fù)根號(hào)a”我們把a(bǔ)的正的平方根稱為a的算術(shù)平方根。開平方運(yùn)算定義：求一個(gè)非負(fù)數(shù)a的平方根的運(yùn)算叫做開平方，其中數(shù)a叫做被開方數(shù)；平方運(yùn)算與開平方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算的關(guān)系平方根（或算術(shù)平方根）的幾個(gè)公式：式子±有意義的條件為a0； 表示a的算術(shù)平方根，是非負(fù)數(shù)，即0； =a（a0），=a（a0）；=a，a0或；a，a0例題：1、使式子有意義的x的取值范圍是 。2. 使等式成立的x 的值（ ） A、是正數(shù) B、是負(fù)數(shù) C、是0 D、不能確定3.的平方根是（）AB CD非負(fù)性：A非負(fù)數(shù)：若a0，則稱a為非負(fù)數(shù)

3、，初中階段有三種非負(fù)數(shù)：， B若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0 ，在這幾個(gè)非負(fù)數(shù)均為0.例題：1. 已知 。2. 已知實(shí)數(shù) 。3.ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，a和b滿足，求c的取值范圍。立方根定義：如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即=a，那么就稱這個(gè)數(shù)x為a的立方根或三次方根。表示法：a的立方根表示為，其中a為被開方數(shù)，“”中的3為根指數(shù)（根指數(shù)3不能省略）；讀作“三次根號(hào)a”或“a的立方根”。性質(zhì)：任意數(shù)都有立方根，任意一個(gè)數(shù)都有唯一的立方根。正數(shù)有一個(gè)正的立方根；負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；0的立方根仍為0.有關(guān)立方根的補(bǔ)充說明和公式1）在中，被開方數(shù)a可為正數(shù)，負(fù)數(shù)，0；且的正負(fù)與a一致2）= ； 3）=a4）

4、開立方運(yùn)算：求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫做開立方運(yùn)算。（開立方運(yùn)算與立方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算的關(guān)系）練習(xí)：1、已知實(shí)數(shù)a滿足 。2. 立方根等于的數(shù)是（）ABCD3. 設(shè)開平方與開立方的聯(lián)系與區(qū)別在遇到開方開不盡的情況時(shí)，如無特殊說明，計(jì)算結(jié)果一律保留四位有效數(shù)字。在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，被開方數(shù)如果是帶分?jǐn)?shù)，要先化為假分?jǐn)?shù)，然后再進(jìn)行計(jì)算二、專題達(dá)標(biāo)一、細(xì)心填一填（每空2分，共32分）1、125的立方根是_ ，9的算術(shù)平方根是 。的平方根是 ；2、如果，那么x_；如果，那么_3、要使有意義，則x可以取的最小整數(shù)是 .4、平方根等于本身的數(shù)是_ ； 立方根等于本身的數(shù)是_5、如果，那么 若，則x 6、若是實(shí)數(shù)

5、，則7、的立方根是 。計(jì)算： 8、若和互為相反數(shù)，求的為 9式子中的的取值范圍是 15+2的相反數(shù)是_；絕對(duì)值是_。10、已知正數(shù)a和b，有下列命題：（1）若，則（2）若則（3）若則，根據(jù)以上的規(guī)律猜想：若，則_16若13，化簡(jiǎn)+=_。20已知實(shí)數(shù),在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是 _0acb二、精心選一選（每小題3分，共21分）1、的算術(shù)平方根是（ ） A、9 B、3 C、 D、32、下列敘述正確的是（ ） A、0.4的平方根是 B、的立方根不存在 C、是36的算術(shù)平方根 D、27的立方根是33、下列等式中，錯(cuò)誤的是（ ） A、 B、 C、 D、4、下列各數(shù)中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有（ ） A、

6、1 B、2 C、3 D、45、化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ） A、 B、 C、2 D、8下列說法正確的個(gè)數(shù)是（ ） 兩個(gè)無理數(shù)的和一定是無理數(shù) 兩個(gè)無理數(shù)的和一定是有理數(shù) 兩個(gè)無理數(shù)的積一定是無理數(shù) 兩個(gè)無理數(shù)的積一定是有理數(shù)A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)三、認(rèn)真答一答（共47分）2、求下列各式中的x的值：（8分） 3、已知滿足，求的平方根. （6分）4、若，求yx的值。（5分）5、代數(shù)式的最大值為 。6、，求a+b的值四、實(shí)踐與探究:（12分） 先計(jì)算下列各式：=_，=_，=_，=_，=_，=_.根據(jù)計(jì)算結(jié)果，回答：一定等于a嗎？你發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律了嗎？請(qǐng)你用自己的語言描述出來.利用你總結(jié)的規(guī)律，計(jì)算 若

7、，則 =_ 一、專題精講 實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。三種常見的無理數(shù)：1）所有開不盡的方根都是無理數(shù)，2）一些含的數(shù)是無理數(shù)，3）無限不循環(huán)的小數(shù)例題：1、下面5個(gè)數(shù)：，其中是有理數(shù)的有（ ）A、0個(gè) B、1個(gè) C、2個(gè) D、3個(gè) 2. 在下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A無限小數(shù)都是無理數(shù)B實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)C無理數(shù)都是無限小數(shù)D帶有根號(hào)的數(shù)不都是無理數(shù)實(shí)數(shù)a的相反數(shù)為-a；0的相反數(shù)是其本身，若a與b互為相反數(shù)，則a+b=0實(shí)數(shù)a的倒數(shù)為（a0）若a與b互為倒數(shù)，則有ab=1實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值表示為，正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，0的絕對(duì)值為0，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是

8、它的相反數(shù)，即=a，a0；-a，a0例題：1.的倒數(shù)是；的絕對(duì)值是；的相反數(shù)是實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，數(shù)軸上每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)；反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示。在數(shù)軸上，右邊對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大；正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，0大于一切負(fù)數(shù)，正實(shí)數(shù)大于0。實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序和有理數(shù)一樣練習(xí)：1.若（ ）A、0 B、1 C、-1 D、2實(shí)數(shù)的大小比較方法：1）數(shù)軸比較法：2）代數(shù)比較法；3）差值比較法；4）商值比較法；5）倒數(shù)比較法：若，a0，b0，則a b6）平方比較法：若a0，b0， 則ab7）開方比較法：若a0，b0， 則ab8）估算法。5.實(shí)數(shù)中的非負(fù)數(shù)即性質(zhì)（1）任意

9、實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，即 0；任意實(shí)數(shù)a的平方是非負(fù)數(shù)，即0.（0，n為正整數(shù)）；任意非負(fù)數(shù)a的n次算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（a0），常用的是0（2）性質(zhì)：若+ =0，則a=0，b=0，反之亦然，若+=0，則a=0，b=0，反之亦然若+=0則 a=0，b=0，非負(fù)數(shù)有最小值，最小值為0，有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和仍然是非負(fù)數(shù)。例題：1若，則的值等于（）ABCD2. 已知m，n是有理數(shù)，且，求m，n的值。二、專題過關(guān)（一）填空題1、的算術(shù)平方根是_。2、 _。3、2的平方根是_。4、實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示化簡(jiǎn)_。5、若m、n互為相反數(shù)，則_。6、若0，則m_，n_。 7、若 ，則a_0。

10、8、的相反數(shù)是_。9、 _，_。10、絕對(duì)值小于的整數(shù)有_。（二）選擇題11、代數(shù)式，,中一定是正數(shù)的有（ ）。A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)12、若有意義，則x的取值范圍是（ ）。A、x B、x C、x D、x13、若x，y都是實(shí)數(shù)，且，則xy的值（ ）。A、0 B、 C、2 D、不能確定14、下列說法中，錯(cuò)誤的是（ ）。A、4的算術(shù)平方根是2 B、的平方根是±3C、8的立方根是±2 、立方根等于的實(shí)數(shù)是15、64的立方根是（ ）。A、±4 B、4 C、4 D、1616、已知，則的值是（ ）。A、 B、 C、 D、17、計(jì)算的值是（ ）。A、1 B、&#

11、177;1 C、2 D、718、有一個(gè)數(shù)的相反數(shù)、平方根、立方根都等于它本身，這個(gè)數(shù)是（ ）。A、1 B、1 C、0 D、±119、下列命題中，正確的是（ ）。A、無理數(shù)包括正無理數(shù)、0和負(fù)無理數(shù) B、無理數(shù)不是實(shí)數(shù)C、無理數(shù)是帶根號(hào)的數(shù) D、無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)20、下列命題中，正確的是（ ）。A、兩個(gè)無理數(shù)的和是無理數(shù) B、兩個(gè)無理數(shù)的積是實(shí)數(shù)C、無理數(shù)是開方開不盡的數(shù) D、兩個(gè)有理數(shù)的商有可能是無理數(shù)（三）、解答題：21、求的平方根和算術(shù)平方根。 22、計(jì)算的值。23、解方程x80。 24、若，求的值。25、計(jì)算26、若，求3xy的值。四、綜合應(yīng)用：（本題共10小題，每小題2

12、分，共20分）27、若a、b、c滿足，求代數(shù)式的值。 28、已知，求7（xy）20的立方根。 1、實(shí)數(shù)應(yīng)用題例7.(1)檢修小組從A地出發(fā)，在東西路上檢修線路.如果規(guī)定向東行駛為正,向西行駛為負(fù),一天中行駛記錄如下(單位:km): -4,+7,-9,+8,+6,-4,-3(1)求收工時(shí)距A地多遠(yuǎn)? (2)若每千米耗油0.3L,問從出發(fā)到收工共耗油多少升? (2)小麗想用一塊面積為400cm2正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積位300 cm2的長(zhǎng)方形紙片，使它的長(zhǎng)寬之比為3：2，不知能否裁出來，正在發(fā)愁.小明見了說“別發(fā)愁,一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片”,你同意小明的說法嗎?小

13、麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎?(3)已知某商品價(jià)格逐年下降,到第四年銷售價(jià)已經(jīng)變成原來的80%.假設(shè)每年下降的百分比是一樣的,試求該商品每年下降的百分比(已知,結(jié)果精確到0.1%).2.技巧性實(shí)數(shù)運(yùn)算（1） （2） 例8計(jì)算：（1）（2）（3）練習(xí)：（1） （2）3.實(shí)數(shù)規(guī)律,探索性問題例9.(1)觀察下列數(shù)2,5,10,26,37,50,根據(jù)規(guī)律其中 . (2)觀察下面三行數(shù) -3,9,-27,81,-243,729, 0,12,-24,84,-240,732, -1,3,-9,27,-81,243, (a)第行數(shù)按什么規(guī)律排列?(b)第行數(shù)與第行數(shù)分別有什么關(guān)系?(c)取每行數(shù)的第1

14、0個(gè)數(shù),計(jì)算這三個(gè)數(shù)的和.(2)已知:若(都是正整數(shù)),則的最小值是 . (3)由猜想= . (4)觀察下列式子:,請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)律計(jì)算:2002+2004+2006+2008+2100.（5）觀察下列各式：請(qǐng)你將猜想到的規(guī)律用含自然數(shù)的代數(shù)式表示出來是 課堂檢測(cè)1、小明買了一個(gè)體積為4100的球形禮物，商店里有15×15×15、20×20×20、40×40×40的三種規(guī)格的包裝盒，盒越大，價(jià)格越高。小明選擇哪種包裝盒比較合適（）？2、設(shè)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求的值。3、已知甲數(shù)是的平方根，乙數(shù)是的平方根，求甲、乙兩個(gè)數(shù)的積

15、。4、火星有兩個(gè)非常小的衛(wèi)星，較大的一顆直徑為27km，較小的一顆的體積是較大衛(wèi)星的，求較小衛(wèi)星的直徑。5、求與這兩個(gè)數(shù)的小數(shù)部分的差（結(jié)果精確到0.01）6如圖，在數(shù)軸上1，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、B， A是線段BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是 ( )A B C D7細(xì)心觀察圖表，認(rèn)真分析各式，然后解答問題。OS2S4S3S5A2A1A3A4A5A611111 （）2+1=2， S1= ； （）2+1=3， S2= ；（）2+1=4， S3=； （1） 請(qǐng)用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律；（2） 推算出OA10的長(zhǎng)；（3） 推算出S12+ S2 2+ S32+S102 的值。8.已知的平方根是

16、,4是的算術(shù)平方根,求的值.9.已知，求的平方根.10.已知是的整數(shù)部分, 是的小數(shù)部分, 求的值.11、已知實(shí)數(shù) a、b 在數(shù)軸上的位置如圖所示：ba0試化簡(jiǎn)：ab12、若(2x3)2和互為相反數(shù)，求 xy 的值。13、如果A的平方根是2x1與3x4，求A的值？14、已知與互為相反數(shù)，求的值。15、已知是的算術(shù)平方根，是的立方根的平方根。16、已知x、y都是實(shí)數(shù)，且，求的平方根17、如果一個(gè)數(shù)的平方根是和，求這個(gè)數(shù)。18、已知a、b滿足，解關(guān)于的方程。19、一個(gè)正方形的表面積為2400，求這個(gè)正方形的體積。20（1） （2） （3）21、化簡(jiǎn) 22、已知a、b滿足，解關(guān)于的方程。課后作業(yè)一、

17、選擇題：1.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，下列判斷正確的是（ ）A.若 B.若C.若 D.若2.以下四個(gè)命題:若是無理數(shù)，則是實(shí)數(shù)；若是有理數(shù)，則是無理數(shù)；若是整數(shù)，則是有理數(shù)；若是自然數(shù)，則是實(shí)數(shù)其中，真命題的是（） 3.當(dāng)，下列關(guān)系式成立的是（） .， .， .， .，4.已知：0<x<1,則的大小關(guān)系是（ ） A.B. C.D.5.如圖，以數(shù)軸的單位長(zhǎng)線段為邊做一個(gè)正方形，以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，正方形對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（ ） A. B.1.4 C. D.6.如圖，數(shù)軸上表示1，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C表示的數(shù)是（ ）A1 B1

18、 C2 D27.如果一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是n，則下一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是（ ） A.n+1 B.+1 C. D.8.若的小數(shù)部分是a，的小數(shù)部分是b，則a+b的值為（ ）A.0 B.1 C.-1 D.2二、填空題：9.實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如下：則= 10.的平方根是 11.若12.若和都是5的立方根，則=，=13.估計(jì)與0.5大小關(guān)系是 0.5（填“”“=”或“）。14.比較大小: ; ; 2.35.(填“>”或“<”)15.使式子有意義的x的取值范圍是 16.大于，小于的整數(shù)有_個(gè)。17.點(diǎn)在數(shù)軸上和原點(diǎn)相距個(gè)單位，點(diǎn)在數(shù)軸上和原點(diǎn)相距個(gè)單位，則，兩點(diǎn)之間的距離是_18.點(diǎn)A在x軸上，且到y(tǒng)軸的距離為，B與A點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）19.若，其中、為整數(shù)，則 20.如果是的整數(shù)部分，是的小數(shù)部分， =_21.若有意義，則a能取的最小整數(shù)值為 22.是個(gè)整數(shù),那么最小正整數(shù)a是_23.已知x、y是有理數(shù)，且x、y滿足，則x+y= 24.我們知道，黃老師又用計(jì)算器求得：、， 則計(jì)算等于 25.請(qǐng)你觀察、思考