人教版數(shù)學(xué)必修一筆記

1、第一章 集合與函數(shù)的概念1.1 集合1.1.1 集合的含義與表示1.集合的性質(zhì)：確定性、互異性（無(wú)重復(fù)）、無(wú)序性（雜亂無(wú)章的）2.集合分類(lèi)：按集合中元素的多少分：有限集、無(wú)限集、空集 按集合中元素的性質(zhì)分：數(shù)集、點(diǎn)集、多項(xiàng)式集、幾何圖形集3.集合的表示方法：列舉法 如：A=a，b，c 描述法：文字描述法 如：B=三角形 式子描述法 如：C=x|x2+2x-304.常用數(shù)集表示方法：非負(fù)整數(shù)集 N 正整數(shù)集 N*或N+ 整數(shù)集 Z 有理數(shù)集 Q 實(shí)數(shù)集R1.1.2 集合間的基本關(guān)系一、子集的概念 見(jiàn)課本P6二、子集的性質(zhì)1.規(guī)定：空集是任何集合的子集；2.任何一個(gè)集合是它本身的子集，即AA3.對(duì)

2、于集合A、B、C，如果AB，且BC，那么AC（傳遞性）1.1.3 集合的基本運(yùn)算一、并集 定義：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作AB（讀作“A并B”），即AB=x|xA，或xB性質(zhì)：A=A；AA=AAB=BA（AB）C=A（BC）ABA且ABB并集的概念還可以推廣到n個(gè)集合并的情形.A1A2An=x|xA1或xA2或或xAn二、交集定義：由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B交集，記作AB（讀作“A交B”），即AB=x|xA，且xBA=；AA=AAB=BA（AB）C=A（BC）ABA且ABB交集的概念也可以推廣到n個(gè)集合交的情形.A1A

3、2An=x|xA1且xA2且且xAn注意：1.要區(qū)別“或”與“且”的不同，集合的并與交從定義上看就是一字之差； 2.集合取并，越并越“大”，集合取交，越交越“小”。三、補(bǔ)集定義：1.全集：如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U。2.補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相當(dāng)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作CUA，即CUA=x|xU，且xA性質(zhì)：CU=U；CUU=CUAA=；CUAA=UCU（CUA）=A例題： 1.設(shè)二次方程：x2-px+15=0，x2-5x+q=0的解集分別為A、B，且AB=2、3、5，

4、AB=3，試求A、B及p、q的值。解：因?yàn)锳B=3 所以3是兩個(gè)方程的公共根，分別代入其方程得： 32-3p+15=032-15+q=0解得p=8，q=6所以原方程分別為x2-8x+15=0，x2-5x+6=0設(shè)它們的另一根分別為和。由一元二次方程的根系關(guān)系得： 3=15 3=6 =5 =2所以A=3，5 B=2，32.已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，9，AB=2，（CUA）（CUB）=1，9（CUA）B=4，6，8，試確定A，B。 解：因?yàn)锳B=2 所以2為A，B的公共元素。 又因?yàn)椋–UA）B=4，6，8，可知B=2，4，6，8 又由（CUA）（CUB）=1，9 所以1，9兩元

5、素在A、B兩集合外 從而可知A=2，3，5，7，B=2，4，6，83.若A=2，4，a3-2a2-a+7，B=-4，a+3，a2-2a+2，a3+a2+3a+7，且AB=2，5， 試求實(shí)數(shù)a的值。 分析：A中已有元素2，另一代數(shù)式的值必為5，故可求a的值分別代入B中的代數(shù)式進(jìn)一步確定a值。解：由已知a3-2a2-a+7=5 即（a+1）（a-1）（a-2）=0 所以a=1或a=2 將a=1，2分別代入B中的元素a+3，a2-2a+2，a3+a2+3a+7 若a=-1得2，5，4這與條件AB=2，5矛盾 若a=1得不到2，5這也與條件AB=2，5矛盾，僅有a=2符合條件。 所以a=2為所求1.2

6、 函數(shù)及其表示1.2.1 函數(shù)的概念一、預(yù)備知識(shí)1.關(guān)于區(qū)間見(jiàn)課本P172.映射的概念設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。二、函數(shù)概念1.定義見(jiàn)課本P162.函數(shù)三要素：定義域（函數(shù)自變量x的取值范圍）、值域（函數(shù)值的取值范圍）、對(duì)應(yīng)法則（自變量x 與函數(shù)值f（x）之間的對(duì)應(yīng)法則）1.2.2 函數(shù)的表示法一、函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖像法和列表法二、復(fù)合函數(shù)若y=f（u），u=g（x），則稱函數(shù)y=fg（x）是函數(shù)y=f（u）與函數(shù)u=g（x）的復(fù)合函

7、數(shù)。例題： 1.已知f（x）=2x-1，g（x）=，求f（x2）、fg（x）、gf（x）+2解：f（x2）=2x2-1fg（x）=2g（x）-1=2（）-1=gf（x）+2=g（2x-1）+2=g（2x+1）=2.下列各組中函數(shù)是否是同一函數(shù)，為什么？分別畫(huà)出它們的圖像。y=x-3與y=S=r2（r0）與y=x2（x0）與y=x2（xR）y=與y=x解：函數(shù)y=x-3與y=|x-3|定義域相同，值域不同，故不是同一函數(shù)。 其圖像如下圖所示： S=r2（r0）與y=x2（x0）的定義域與對(duì)應(yīng)法則相同，因而值域也相同只是變量的字母不同，因此它們是同一函數(shù)。而函數(shù)y=x2（xR）的對(duì)應(yīng)法則雖然與它們

8、相同，但其定義域不同，故不是同一函數(shù)。它們的圖像如下圖：y=與函數(shù)y=x的定義域不同，因而不是同一函數(shù)，其圖像分別為： 3、y= y= 解：要使函數(shù)有意義，須且只須x0，1 所以D=（-，0）（0，1）（1，+）要使函數(shù)有意義，只須x2+2x-30，即x-3或x1 所以D=（-，-31，+）4、已知f（x+1）=x2+3x+1，求f（x）的解析式。 解法1（變量代替法） 另x+1=u，則x=u-1 代入已知f（u）=（u-1）2+3（u-1）+1=u2+u-1 所以f（x）=x2+x-1 解法2（定義法） 因?yàn)閒（x+1）=（x+1）2+x=（x+1）2+（x+1）-1 所以f（x）=x2+x

9、-1 解法3（待定系數(shù)法） 設(shè)f（x）=ax2+bx+c則f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c=ax2+（2a+b）x+c但f（x+1）=x2+3x+1 a=1 a=1所以 2a+b=3 b=1 a+b+c=1 c=-1所以f（x）=x2+x-15、求下列各函數(shù)的值域 y= y=2x-3+解：y=+ 而y1=0 所以y=+y1 所以y（-，）（，+）由4x-130，則已知函數(shù)的定義域?yàn)閤|x 設(shè)t=，則x= 于是y=2（）-3+t=（t+1）2+3 由t0，則（t+1）2 所以y=（t+1）2+3+3= 所以函數(shù)值域?yàn)椋?）1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)1.3.1 單調(diào)性和最大（?。┲狄弧?/p>

10、調(diào)性定義：課本P28注意1：函數(shù)的單調(diào)性是針對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，離開(kāi)了具體的區(qū)間就無(wú)所謂函數(shù)的單調(diào)性。注意2：由定義可以證明y=f（u），u=g（x），當(dāng)它們的增減性相同時(shí)復(fù)合函數(shù)y=fg（x） 在其定義域上為增函數(shù)；當(dāng)它們的增減性相反時(shí)復(fù)合函數(shù)y=fg（x）在其定義域上為減函數(shù)。二、最大值定義：課本P30最小值定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)m滿足： 對(duì)任意的xI都有f（x）m；存在x0I使得f（x0）=m那么，我們稱m是函數(shù)y=f（x）的最小值。三、函數(shù)的極值與最值的區(qū)別：1.在給定區(qū)間上函數(shù)的最值是唯一的，而函數(shù)的極值不是唯一的；2.在給定區(qū)間上函數(shù)的最大值一般大于函數(shù)的

11、最小值，而函數(shù)的極大值不一定大于函數(shù)的極小值；3.函數(shù)的最值揭示的是函數(shù)在整個(gè)給定區(qū)間的性態(tài)，而函數(shù)的極值揭示的是函數(shù)在給定區(qū)間上某個(gè)點(diǎn)附近的性態(tài)。例題： 1、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明：函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a0）在-，+）上是增函數(shù)。證明：任取x1，x2-，+）設(shè)x1x2因?yàn)?x1x2且a0所以-b2ax12ax22ax1+2ax2-2b即a（x1+x2）+b0又因?yàn)閤1-x20所以f（x1）-f（x2）=（ax12+bx1+c）-（ax22+bx2+c） =a（x12+x22）+b（x1-x2） = a（x1+x2）+b （x1-x2）0所以f（x1）f（x2）因此f（x）=a

12、x2+bx+c（a0）在-，+）上是增函數(shù)。2、判斷函數(shù)f（x）=-x3+1在（-，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的判斷；如果x（0，+），函數(shù)f（x）是增函數(shù)還是減函數(shù)？解：在（-，0）上任取x1，x2，且x1x2因?yàn)閒（x1）-f（x2）=（-x13+1）-（-x23+1） =（x2-x1）（x22+x1x2+x12） =（x2-x1）（x2+）2+ x12又因?yàn)閤2-x10（x2+）2+ x120所以f（x1）-f（x2）0即f（x1）f（x2）故f（x）=-x3+1在（-，0）上是減函數(shù)。說(shuō)明：在上述證明中，x22+x1x2+x12是不完全平方項(xiàng)，配方可知其是一個(gè)正數(shù)。事實(shí)上若（x

13、2+）2+ x12=0，則必有x1=x2=0，這與已知矛盾。同理可證：當(dāng)x（0，+）時(shí)，函數(shù)f（x）仍然是減函數(shù)。由以上可知證明函數(shù)單調(diào)性有以下步驟：取點(diǎn)：設(shè)x1、x2是所給函數(shù)在給定區(qū)間兩個(gè)任意值，且x1x2作差：根據(jù)已知函數(shù)的解析式作出f（x1）-f（x2）判斷：判斷f（x1）-f（x2）與0的大小，即比較f（x1）與f（x2）的大小結(jié)論：由函數(shù)單調(diào)性定義得出結(jié)論3、討論函數(shù)的單調(diào)性： f（x）=（-1x1，a0） 解：設(shè)-1x1x21則 f（x1）-f（x2）=- = 由于x2-x10，x1x2+10，（x1+1）（x1-1）（x2+1）（x2-1）0 所以當(dāng)a0時(shí)，f（x1）f（x2）

14、，此時(shí)f（x）為增函數(shù) 當(dāng)a0時(shí)，f（x1）f（x2），此時(shí)f（x）為減函數(shù)。1.3.2 奇偶性一、定義：偶函數(shù)：課本P33奇函數(shù)：課本P35注意：1.由函數(shù)的奇偶性定義可知，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具奇偶性的必要條件。 例如：f（x）=x2（x0）是非奇非偶函數(shù)。2.可以證明若函數(shù)f（x）的圖像為曲線C，那么 f（x）是偶函數(shù)f（x）的圖像曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱。 f（x）是奇函數(shù)f（x）的圖像曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 因此，從本質(zhì)上說(shuō)函數(shù)的奇偶性，反映的是函數(shù)圖像的對(duì)稱性，它的函數(shù)在整個(gè)定義域上的性態(tài)。3.由定義容易證明：在公共定義域上 奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函

15、數(shù)例題：1、判斷下列函數(shù)的奇偶性。f（x）=+f（x）=（x-1）f（x）=f（x）=+解：f（x）的定義域?yàn)?1，1，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 又f（-1）=0=f（1） 所以f（-1）=f（1），且f（-1）=-f（1） 所以，f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。f（x）的定義域?yàn)?1，1），關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故f（x）既非奇函數(shù)又非偶 函數(shù)。由已知1-x20，2-|x+2|0 可知f（x）的定義域?yàn)椋?1，0）（0，1 此時(shí)f（x）= f（x）=-f（x） 所以f（x）是奇函數(shù)。f（x）的定義域?yàn)閤|xR，x0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 又f（x）+f（-x）=+ =+1 =+1 =0所以f（-x）=-f（x）故f（

16、x）是奇函數(shù)。 說(shuō)明： 1.判斷奇偶性宜先檢查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 2.存在著既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)。即：f（x）=0（定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱） 3.如下等價(jià)定義，有時(shí)會(huì)給判定函數(shù)的奇偶性帶來(lái)不小的方便。 f（x）是奇函數(shù)f（x）+f（-x）=0=-1（f（x）0） f（x）是偶函數(shù)f（x）-f（-x）=0=1（f（x）0）2、判斷下列函數(shù)的奇偶性f（x）=f（x）=解：f（x）的定義域?yàn)镽 f（-x）+f（x）=+=0 所以f（-x）=-f（x），所以f（x）為奇函數(shù)。 分析：由于所給函數(shù)為分段函數(shù)，雖然可以用定義法判斷奇偶性，但需要分段討論，觀察到每段區(qū)間上的解析式并不復(fù)雜，很容

17、易畫(huà)出函數(shù)圖像，直觀判斷出奇偶性解：畫(huà)出已知函數(shù)如圖所示利用函數(shù)的圖像很容易判斷f（x）為偶函數(shù)。3、已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0，+）時(shí)f（x）=x（1+），求當(dāng)x-，0）時(shí)f（x）的解析式。解：設(shè)x（-，0），則-x（0，+）所以f（-x）=-x（1+）=-x（1-）又因?yàn)閒（x）是R上的奇函數(shù)所以f（x）=-f（-x）= x（1-）綜合運(yùn)用1、設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意的x、yR都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x0時(shí)f（x）0，f（1）=-2，求f（x）在-3，3上的最大值和最小值。分析：此題未給出具體函數(shù)的解析式，求最大、最小值可考慮利用f（x）的單調(diào)性，而欲

18、證單調(diào)性就要確定f（x1）-f（x2）的符號(hào)，而已知函數(shù)方程中只有f（x）+f（y）=f（x+y），因此又必須處理負(fù)號(hào)，也就是要先確定f（x）的奇偶性。解：令x=y=0，則f（0）=2f（0），即f（0）=0以-x代y則有f（x-x）=f（x）+f（-x）即f（x）+f（-x）=f（0）=0設(shè)x1x2，則x2-x10，此時(shí)f（x2-x1）0f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）=-f（x2-x1）0所以f（x）為減函數(shù)當(dāng)-3x3時(shí)，有f（3）f（x）f（-3）因?yàn)閒（1）=-2所以f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=f（1+1）+f（1）=3f（1）=-6f

19、（-3）=-f（3）=6所以當(dāng)x=-3時(shí)，f（x）有最大值6；當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有最小值-62、已知f（x）是奇函數(shù)，定義域?yàn)椋▁|xR，x0）又f（x）在區(qū)間（0，+）上是 增函數(shù)，且f（-1）=0。則滿足f（x）0的x的取值范圍是（C） A.（1，+） B.（0，1） C.（-1，0）（1，+） D.（-，1）（1，+） 解：因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)所以f（1）=-f（1）=0 利用f（x）在（0，+）上是增函數(shù)，結(jié)合f（1）=0 畫(huà)出f（x）在（0，+）上的圖像，再利用f（x）是 奇函數(shù)，完成整個(gè)定義域上的圖像。如圖所示，由圖像 直觀得到f（x）0的解集為（-1，0）（1，+）3、設(shè)f（x

20、）在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間（-，0）上遞增，且有f（2a2+a+1）f（3a2+a+1）。求a的 取值范圍。解：由f（x）在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間（-，0）上遞增知f（x）在（0，+）上遞減因?yàn)?a2+a+1=2（a+）2+03a2+a+1=3（a-）2+0且f（2a2+a+1）f（3a2+a+1）所以2a2+a+13a2+a+1即a2-3a0解之得0a3練習(xí)：已知y=f（x）是偶函數(shù)，且在0，+）上是減函數(shù)，求函數(shù)f（1-x2）的單調(diào)增區(qū)間。分析：設(shè)u=1-x2，則函數(shù)f（1-x2）是函數(shù)f（u）與函數(shù)u=1-x2的復(fù)合函數(shù)。因此這是一個(gè)判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題，需要用到復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則

21、。解：設(shè)u=1-x2，則函數(shù)f（1-x2）是函數(shù)f（u）與函數(shù)u=1-x2的復(fù)合函數(shù)。因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，且在0，+）上是減函數(shù)所以f（x）在（-，0）上是增函數(shù)因?yàn)楫?dāng)0x1時(shí)，u是減函數(shù)，且u0。如圖所示：而u0時(shí)f（u）是減函數(shù)根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法則，可得f（1-x2）是增函數(shù)。同樣，當(dāng)-x-1時(shí)，u是增函數(shù)，且u0。而u0時(shí)，f（u）是增函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法則，可得f（1-x2）是增函數(shù)。所以在區(qū)間（-，-1或區(qū)間0，1函數(shù)f（1-x2）是增函數(shù)。說(shuō)明：確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)比較困難，比較容易出錯(cuò)的問(wèn)題。確定x的取值范圍時(shí)，必須考慮相應(yīng)的u的取值范圍。例如在上面練習(xí)中

22、x1時(shí)，u仍為減函數(shù)。但此時(shí)u0不屬于f（u）的減區(qū)間。所以不能取x1這是應(yīng)當(dāng)特別注意的，考察u的（有時(shí)還有f（u）單調(diào)性時(shí)，畫(huà)出圖形幫助思考，更為有利。第二章 基本初等函數(shù)（）2.1 指數(shù)函數(shù)2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算一、指數(shù)概念的擴(kuò)充回顧：在初中我們定義了指數(shù)的概念an=aaaaa（n個(gè)a相乘）其中a叫底數(shù)，n叫做指數(shù)。an稱為a的n次方或a的n次冪，于是我們得到：1.正整數(shù)指數(shù)an=aaaaa（n個(gè)a相乘）并且由此我們得到：指數(shù)的運(yùn)算法則aman=am+n；aman=am-n（ab）n=anbn（am）n=amn；其中m、nN*隨著人們對(duì)指數(shù)認(rèn)識(shí)的深化，我們又得到：2.零指數(shù)a0=1

23、（a0）注意：零的零次冪沒(méi)有意義。3.負(fù)整數(shù)指數(shù)a-n=，其中nN*至此我們把指數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)范圍。4.分?jǐn)?shù)指數(shù)=（其中a0，m、nN*，且n1）=（其中a0，m、nN*，且n1）此時(shí)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則對(duì)于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，即：對(duì)任意有理數(shù)r、s均有下面的運(yùn)算性質(zhì)aras=ar+s（a0，r，sQ）；（ar）s=ars（a0，r，sQ）；（ab）r=arbr（a0，b0，rQ）于是指數(shù)的概念擴(kuò)充到有理數(shù)。利用實(shí)數(shù)的理論，我們還可以得到無(wú)理指數(shù)冪的概念：設(shè)是無(wú)理數(shù)，a0，則a是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，并且有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪。二、指數(shù)運(yùn)算法則aman=am+n；（am）n=a

24、mn；（ab）n=anbn。其中m、nR，a0，b02.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)定義：形如y=ax（其中0a1）的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)。定義域：xR，值域：yR+圖像與性質(zhì)：性質(zhì)：對(duì)任意xR，ax0；過(guò)定點(diǎn)（0，1），即x=0時(shí)y=1；當(dāng)0a1時(shí)，在R上是減函數(shù)；當(dāng)a1時(shí)，在R上是增函數(shù)。例題分析1、選擇題236-2+9-233=（D） A. B.9 C. D.解：原式=232-23-2+（32）-233=23-2+3-1=+=設(shè)a=，b=，c=，則a、b、c大小關(guān)系為（C） A.abc B.abc C.bac D.bca 解：因?yàn)閍=，b=，c= 所以523330 所以bac設(shè)x+x-1=2，則

25、x2+x-2的值是（C） A.0 B.4 C.2 D.1 解：x2+x-2 =（x+x-1）2-2xx-1 =22-2 =22=（B） A.0 B.4 C.2 D.1 解：原式=2222=22=4（）+（-88.1）0+（0.008）=（D） A.1 B.3 C.5 D.6 解：原式=+1+ =62、填空題化簡(jiǎn)+= 解：原式= = =已知x+x-1=5，則x3+x-3的值為110 解：因?yàn)閤3+x-3=（x+x-1）（x2-xx-1+x-2） =（x+x-1）（x+x-1）2-3 =5（25-3） =110化簡(jiǎn)=a-2 解：原式=（aa）（a-5）（a）13 =（a0）（aa） =（a-4）

26、=a-2（2）0.5+0.1-2+（2）-30+=100 解：原式=（）+（）-3+ =+100+-3+ =100計(jì)算+= 解法1 原式=+ =-+ = 解法 2 另x=+（x0） 兩邊平方得x2=5-+5+ =12 因?yàn)閤0，所以x=計(jì)算： 解：另x= 則x3=2+2-+3（） 即x3=4+（-3x） 所以x3+3x-4=0 （x-1）（x2+x+4）=0因?yàn)閤2+x+4=（x+）+30所以x-1=0，x=1即=13、化簡(jiǎn)：解：分析：因?yàn)閤-1=（x）3-13=（x-1）（x+x+1）x+1=（x）3+13=（x+1）（x-x+1）x-x=x（x）2-1=x（x+1）（x-1）所以原式=x-

27、1+x-x+1-x-x=-x4、已知a2x=+1，求的值。 解：因?yàn)?令ax=t，則a2x=t2=+1 所以=t2+t-2-1=+1+-1=+1+-1-1=2-15、設(shè)a0，x=（a-a），求（x+）n的值。 解：因?yàn)閤=（a-a） 所以1+x2=1+（a-a）2=（a+a）2 所以（x+）n=（a-a）+（a+a）n=a6、當(dāng)mn0時(shí)，確定下列各組數(shù)的大小。（）m與（）n 解：（）m（）n1.4m與1.4n 1.4m1.4n（）m與（）n （）m（）n（）m與（）n （）m（）n7、根據(jù)下列等式?jīng)Q定m是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？10 m=7 （）m =（）m = （）m =0.6解：10 m=71=10

28、0，且101，所以m0 （）m =1=（）0，且01，所以m0 （）m =1=（）0，且01，所以m0 同理m0。練習(xí)：比較下列各組數(shù)的大?。ǎ?.81與（1）0.921.70.8與0.93.10.8-0.3與4.9-0.1解：因?yàn)椋?）0.92=（）-0.92而指數(shù)函數(shù)y=（）x是減函數(shù)且0.81-0.92所以（）0.81（1）-0.92即（）0.81（1）0.921.70.8與0.93.1解法1：由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有： 1.70.81.70=1 0.93.10.90=1 所以1.70.80.93.1解法2：因?yàn)?.70.810.8=1 0.93.113.1=1 所以1.70.80.93.1

29、0.8-0.3與4.9-0.1由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得：0.8-0.314.9-0.11故0.8-0.34.9-0.18、求證：指數(shù)函數(shù)y=ax，當(dāng)a1時(shí)是增函數(shù)。證明：證法1 對(duì)任意的x1，x2R，且x1x2則f（x1）-f（x2）=因?yàn)閍0，且x2-x10由已知1故1-0又因?yàn)?所以f（x1）-f（x2）=0即f（x1）f（x2）所以y=ax在R上是增函數(shù)。證法2 任取x1，x2R，且x1x2，則x1-x20因?yàn)?，0所以=1所以f（x1）f（x2）即y=ax在R上是增函數(shù)。9、討論函數(shù)f（x）=的增減性（其中0a1）解：在f（x）=中另u=-x2+3x+2=-（x-）2+當(dāng)a1時(shí)，y=au是增

30、函數(shù)故f（x）的增減性與函數(shù)u（x）=-x2+3x+2的增減性相同，即：當(dāng)x時(shí)，f（x）=是增函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，f（x）=是減函數(shù)當(dāng)0a1時(shí)，y=au是減函數(shù)故f（x）的增減性與函數(shù)u（x）=-x2+3x+2的增減性相反，即：當(dāng)x時(shí)，f（x）=是減函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，f（x）=是增函數(shù)10、解下列不等式：1（a1）（0a1）解：原不等式可化為a0（a1）由于a0時(shí)，y=ax為增函數(shù)，所以2x2-7x+30解得x或x3所以不等式的解集為（-，）（3，+）當(dāng)0a1時(shí)，y=ax為減函數(shù)，故由有2x2-3x+1x2+2x-5整理得x2-5x+60，2x3所以不等式的解集為（2，3）2.2 對(duì)數(shù)函數(shù)2.2.1 對(duì)

31、數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算一、對(duì)數(shù)的概念定義：課本P62根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，可以得到指數(shù)與對(duì)數(shù)間的關(guān)系：當(dāng)a0且a1時(shí)，ax=N x=aN由指數(shù)與對(duì)數(shù)的這個(gè)關(guān)系可以得到關(guān)于對(duì)數(shù)的如下性質(zhì)：負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)；a1=0，aa=1顯然a0且a1，a=N二、對(duì)數(shù)的運(yùn)算1.運(yùn)算法則由指數(shù)的運(yùn)算法則我們可以得到對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，如果a0且a1，M0，N0那么：a（MN）=aM+aNa=aM-aNaMN=naM（nR）從對(duì)數(shù)的定義可以知道，任意不等于1的正數(shù)，都可以作為對(duì)數(shù)的底。數(shù)學(xué)史上，人們經(jīng)過(guò)查表就能求出任意正數(shù)的常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)。但是對(duì)于其它不等于1的正數(shù)為底的對(duì)數(shù)怎樣計(jì)算呢？我們可以利用對(duì)數(shù)定義得出下列對(duì)數(shù)換底公式：

32、2.對(duì)數(shù)換底公式ab=（a0 a1，c0 c1且b0）事實(shí)上：設(shè)ab=x，由對(duì)數(shù)定義可知ax=b兩邊取以c為底的對(duì)數(shù)有xca=cb所以x=，即ab=有了對(duì)數(shù)換底公式：我們就可以解決利用已知對(duì)數(shù)求其它數(shù)為底的對(duì)數(shù)計(jì)算問(wèn)題，因而徹底解決了對(duì)數(shù)的計(jì)算問(wèn)題。另外我們利用對(duì)數(shù)換底公式還可以得出下列推論：ab=（0a1且0b1）ab=（0a1且0b1 nR）更一般地有：=ab（0a1且0b1）3.常用對(duì)數(shù)對(duì)于常用對(duì)數(shù)，它除了具有上述運(yùn)算性質(zhì)外，還有以下運(yùn)算性質(zhì)：lg10n=n，其中nR；lg2+lg5=1；若xy0，則lgxlgy，并且反之亦然。2.2.2 對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)一、定義課本P70因?yàn)閥=axx

33、=ay，利用函數(shù)和反函數(shù)的關(guān)系，我們可以看到：對(duì)數(shù)函數(shù)y=ax與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)。即它們具有定義域值域互換，對(duì)應(yīng)法則互逆的特點(diǎn)。并且它們的圖像關(guān)于直線y=x是對(duì)稱的。故我們可以利用指數(shù)函數(shù)的圖像得到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像：由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像我們可以得到它有以下性質(zhì)：負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)；過(guò)定點(diǎn)（1，0），即x=1時(shí)，y=0；當(dāng)a1時(shí)在（0，+）上是增函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)在（0，+）上是減函數(shù)。例題分析1、求下列各式的值。81 9 100.0017 2 （）解：設(shè)81=x，則3-x=81=34，所以x=-4設(shè)9=x，則9x=，即32x=3-3，所以x=-設(shè)100.001=x，則10x=10-3，所以x=

34、-3因?yàn)?=（）-1，故7=-12=（）-1 （） =（） -1 =（2-2） = =（2）-2=2、求下列各式中的x的值。x=- x（-1）=-1 （2x）225解：x=（）=x=+1由已知有2x=5，故x=32或x=3、不查表計(jì)算 lg25+lg50lg2lg35+lg32+3lg5lg2 lg25-lg22-2解：解法1 原式=解法2 原式=原式=lg25+lg（252）lg2 =lg25+（2lg5+lg2）lg2 =（lg2+lg5）2 =1原式=（lg2+lg5）（lg22-lg2lg5+lg25）+3lg2lg5 =lg22+2lg2lg5+lg25 =（lg2+lg5）2 =1

35、另解原式=lg35+lg32+3lg5lg2（lg2+lg5） =lg35+3lg22lg5+3lg2lg25+lg35 =（lg5+lg2）3 =1原式=（lg5+lg2）（lg5-lg2）-2 =lg5-lg2-2（1-lg2）-2 =lg5+lg2-4 =1-4 =-34、選擇題已知32=a，則6=（A） A. B. C. D.解：6 = = =設(shè)a、b、c是不相等的正數(shù)，且ax=by=cz，x-1+y-1=z-1，則a、b、c的關(guān)系是（B） A.a+b=c B.ab=c C.ac=b D.bc=a解：另ax=by=cz=k，則x=ak，y=bk，z=ck因?yàn)?=所以ka+kb=kc即k

36、（ab）=kc所以ab=c5、填空題233445566778=3（43+83）（32+92）=解：原式=3原式=（23+23）（32+32）=2332=6、比較下列各組數(shù)的大小0.34和0.20.71.34.7和1.93.6解：由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得0.340，0.20.70，所以0.340.20.7因?yàn)?.34.71.33.6 又1.93.6=，1.33.6=由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得3.61.93.61.30所以即1.93.61.33.6 由、得1.34.71.93.67、比較下列各組數(shù)的大小m7和n7（其中0m1，0n1，mn）20.3與0.32與20.3解：因?yàn)閙7=，n7=又mn，故分以下情況討

37、論：當(dāng)mn1時(shí)，有7m7n0所以即m7n7當(dāng)0nm1時(shí)，7n7m0所以0所以m7n7當(dāng)m1，0n1時(shí)，7m0，7n0所以0，0所以所以m7n7在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=x2，y=2x，y=2x的圖像如圖所示顯然00.321 20.31 20.31 所以20.30.3220.38、求下列各函數(shù)的定義域y=a（x2-2x-3）（0a1）y=y=5x-2（2x-1）解：由x2-2x-3解得x-1或x3所以函數(shù)y=a（x2-2x-3）的定義域?yàn)閤| x-1或x3由所以x即函數(shù)y=的定義域是（,由已知有：所以函數(shù)y=5x-2（2x-1）的定義域是x| 9、利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像畫(huà)出下列函數(shù)的圖像y=（4x）

38、y=2解：函數(shù)y=（4x）=-2+x 所以把y=x的圖像向下平移2個(gè)單位可得y=（4x）的圖像如圖所示函數(shù)y=2=-2x，故以x軸為對(duì)稱軸做y=2x的圖像的對(duì)稱圖像就得到y(tǒng)=2的圖像如圖所示10、解下列不等式：2（2x+3）2（5x-6）x1解：由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)有：所以不等式的解集為x|x1即xx x當(dāng)x1時(shí)有x，由此有x1當(dāng)0x1時(shí)有0x，由此有0x所以不等式的解集為x|x1或0x2.3 冪函數(shù)冪函數(shù)1.定義：函數(shù)y=x叫做冪函數(shù)，其中是常數(shù)，對(duì)于冪函數(shù)我們只討論=1，2，3，-1時(shí)的情形。2.性質(zhì)：y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定義域RRR0，+）（-，0）（0，+）值域R0，+）R

39、0，+）（-，0）（0，+）奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性R上遞增（-，0）遞減（0，+）遞增R上遞增0，+）上遞增（-，0）和（0，+）遞減定點(diǎn)（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）通過(guò)上表我們得到以上五個(gè)函數(shù)有下列性質(zhì)：函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，y=x和y=x-1的圖像都通過(guò)點(diǎn)（1，1）；y=x，y=x3，y=x-1是奇函數(shù)，函數(shù)y=x2是偶函數(shù)；在第一象限內(nèi)，函數(shù)y=x，y=x2，y=x3和y=x是增函數(shù)，函數(shù)y=x-1是減函數(shù)；在第一象限內(nèi)，函數(shù)y=x-1的圖像向上與y軸無(wú)限接近，向右與x軸無(wú)限接近。例題分析1、比較下列各組數(shù)的大小2303與32021618與1816解

40、：2303=（23）101=81013202=（32）101=9101因?yàn)?9所以81019101說(shuō)明：這是因?yàn)?，則y=x在（0，+）單調(diào)遞增。=162=28=因?yàn)?9，所以1故1因而16181816說(shuō)明：這里使用了作商的辦法來(lái)比較兩個(gè)函數(shù)的大小。2、利用冪函數(shù)的圖像畫(huà)出函數(shù)y=的圖像。 解：把函數(shù)y=，即y=x的圖像向右平移2個(gè)單位，可以得到函數(shù)y=的圖像，如圖所示3、若a=，b=，c=，那么a、b、c的大小關(guān)系為（D）A.abc B.cab C.bca D.bac解：因?yàn)閍=，b=，c=因?yàn)閥=x與y=x3互為反函數(shù)所以y=x與y=x3具有相同的單調(diào)性因?yàn)閥=x3在R上單調(diào)遞增所以y=x

41、在R上也是單調(diào)遞增函數(shù)因?yàn)樗詁ac4、當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)f（x）=ax和y=（a-1）x2的圖像只能是（A）解：因?yàn)閍2所以f（x）=ax為R上的增函數(shù)故排除B、D又因?yàn)閍2時(shí)y=（a-1）x2是開(kāi)口向上的拋物線所以排除C，選A5、分別指出冪函數(shù)y=x的圖像具有下列特點(diǎn)之一時(shí)的的值，其中-1，1，2，3過(guò)原點(diǎn)遞增；不過(guò)原點(diǎn)，不與坐標(biāo)軸相交，遞減；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且通過(guò)原點(diǎn)。解：=，1，3；=-1；=1，36、已知函數(shù)f（x）=-，求證：f（x）在其定義域上為增函數(shù)；滿足等式f（x）=1的實(shí)數(shù)x的值至多只有一個(gè)。分析：用定義證明用反證法證明：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)镽+，任取x1、x2R+，且x1x

42、2則f（x2）-f（x1）=-+（-）=+=（x2-x1）（+）0所以f（x）在R+上為增函數(shù)。假設(shè)滿足f（x）=1的實(shí)數(shù)x的值至少有2個(gè)，設(shè)為x1、x2，且x1x2，則應(yīng)有f（x1）=1=f（x2），這與f（x）在它的定義域?yàn)樵龊瘮?shù)的結(jié)論f（x1）f（x2）相矛盾，故滿足f（x）=1的實(shí)數(shù)x的值至多只有一個(gè)。說(shuō)明：本題中因?yàn)閥1=在（0，+）上單調(diào)遞增，y2=-在（0，+）上也是增函數(shù)，故y=y1+y2在（0，+）上單調(diào)遞增。另外，一般地說(shuō)至多、至少的證明題其證法常常從反面入手用反證法證明。練習(xí)：1.若是負(fù)奇數(shù)，函數(shù)y=x的反函數(shù)是它本身，求的值。解：為奇數(shù)，故y=x的反函數(shù)是y=x因?yàn)?，

43、且0所以=-12.函數(shù)y=xa，y=xb，y=xc的圖像大致如圖所示，且a，b，c=-1，2則a=2，b=，c=-1。解：根據(jù)y=x2，y=，y=的圖像可知a=2，b=，c=-1。本章小結(jié)二、主要題型1.化簡(jiǎn)計(jì)算、2.比較大小、3.解方程、4.解不等式、5.圖像變換例題1、計(jì)算2（2222）-22 n個(gè) n重根號(hào)解：原式=22n-222 =n-2（）n =n+（）n =n+n =2n2、已知189=a，18b=5，試以a、b表示3645。分析：由18b=5得b=185，因此要求出3645首先要換底成18。還要找到45與9或5的關(guān)系及36與9或5間的關(guān)系。解：由189=a可得182=18=1-a

44、又由3645=3、求證+的值介于2與3之間。解：因?yàn)?=713+75=7（135）=765因?yàn)?1，故y=7x是增函數(shù)又因?yàn)?965343，即726573所以772765773即27653亦即+的值介于2與3之間4、比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小3.97-2與0.5 與544與455 25與34解：因?yàn)?.97242，故3.97-24-2=2-40.50.54=2-4所以3.97-20.5因?yàn)?1所以因?yàn)?44=（54）11=62511455=（45）11=102411顯然62511102411所以544455因?yàn)?52434所以25345、比較下列各題中m和n的大小m5n5 m0.6n0.6解：

45、若m5n50，則1mn若0m5n5，則mn1若m50n5，則m1，0n1綜上可知：當(dāng)m5和n5同號(hào)時(shí)，mn；當(dāng)m5和n5異號(hào)時(shí)，mn由可得：當(dāng)m0.6和n0.6同號(hào)時(shí)，mn；當(dāng)m0.6和n0.6異號(hào)時(shí)，mn6、比較，23，32的大小解：因?yàn)?22=22=23又=33=33=32綜上可知32237、已知a0且a1，解不等式aa5x解：當(dāng)a1時(shí)得x2-65x即x2-5x-60解得：x-1或x6當(dāng)0a1時(shí)得x2-65x即x2-5x-60解得：-1x68、填空f(shuō)（10x+1）=x，則f -1（0）=2；方程2（2x+1）2（2x+1+2）=2的解集為0；已知235x=0，則x=125。解：令10x+1

46、=n，則10x=n-1，x=lg（n-1）所以f（n）=lg（n-1）令f（n）=0，即lg（n-1）=0，有n=2即f -1（0）=n=2由已知有2（2x+1）2（2x+1）+1=2所以22（2x+1）+2（2x+1）-2=02（2x+1）+2 2（2x+1）-1=0因?yàn)?（2x+1）+20所以2（2x+1）-1=0，2（2x+1）=1所以x=0由已知有345x=15x=3所以x=53=12510、選擇題當(dāng)a時(shí)，有同一坐標(biāo)系中函數(shù)y=a-x與y=ax的圖像是（A）解：由a1看y=ax圖像排除C、D又因?yàn)閥=a-x=（）x，而01所以y=a-x為減函數(shù)，排除B所以選A將y=2x的圖像（D）再作關(guān)于y=x對(duì)稱的圖像可得到函數(shù)y=2（x+1）的圖像。 A.先向左平行移動(dòng)1個(gè)單位 B. 先向右平行移動(dòng)1個(gè)單位C.先向上平行移動(dòng)1個(gè)單位 D. 先向下平行移動(dòng)1個(gè)單位解：由y=2（x+1）x=2（y+1）即y+1=2xy=2x所以選D3.1 函數(shù)與方程3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)與方程有緊密的聯(lián)系， 一般地設(shè)y=f（x），若令y=0，那么求自變量x的值就是解關(guān)于x的方程f（x）=0。如果解方程：f（x）=g（x），那么本質(zhì)上就是求函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。例題1、已知關(guān)于x