五大模型三角型等積變形共角模型

1、楊秀情六年級(jí)秋季配套練習(xí)【練練1】如圖，長(zhǎng)方形的面積是平方厘米，點(diǎn)、分別是長(zhǎng)方形邊上的中點(diǎn)，為邊上的任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積 【練練2】圖中的、分別是正方形三條邊的三等分點(diǎn)，如果正方形的邊長(zhǎng)是，那么陰影部分的面積是_； 【練練3】(2008年”希望杯”二試六年級(jí))如圖，、分別是四邊形各邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，、及分別表示四個(gè)小四邊形的面積試比較與的大小 【練練4】如圖，三角形中，三角形的面積是平方厘米，三角形的面積是多少？【練練5】（年第一屆“學(xué)而思杯”綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)六年級(jí)試）如圖，被分成個(gè)面積相等的小三角形，那么 【練練6】如右圖，和都是矩形，的長(zhǎng)是厘米，的長(zhǎng)是厘米，那么圖中陰影部分的面積是 平

2、方厘米【練練7】 (2009年四中小升初入學(xué)測(cè)試題)如圖所示，平行四邊形的面積是50平方厘米，則陰影部分的面積是 平方厘米【練練8】如下圖，長(zhǎng)方形和長(zhǎng)方形拼成了長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是20，寬是12，則它內(nèi)部陰影部分的面積是 【練練9】（第三屆“華杯賽”初賽試題）一個(gè)長(zhǎng)方形分成4個(gè)不同的三角形，綠色三角形面積占長(zhǎng)方形面積的，黃色三角形面積是問(wèn)：長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？【練練10】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，1.5，2長(zhǎng)方形EFGH的面積為 【練練11】如圖所示，四邊形與都是平行四邊形，請(qǐng)你證明它們的面積相等【練練12】2008年春蕾杯五年級(jí)決賽 如圖，長(zhǎng)方形的邊上有兩點(diǎn)、,線(xiàn)段、把長(zhǎng)方形分

3、成若干塊，其中三個(gè)小木塊的面積標(biāo)注在圖上，陰影部分面積是 平方米?！揪毦?3】（第八屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題）如下圖，、分別是梯形的下底和腰上的點(diǎn)，并且甲、乙、丙個(gè)三角形面積相等已知梯形的面積是平方厘米求圖中陰影部分的面積【練練14】如圖，已知長(zhǎng)方形的面積，三角形的面積是，三角形的面積是，那么三角形的面積是多少？【練練15】 (2008年仁華考題)如圖，正方形的邊長(zhǎng)為10，四邊形的面積為5，那么陰影部分的面積是 【練練16】 (2008年走美六年級(jí)初賽)如圖所示，長(zhǎng)方形內(nèi)的陰影部分的面積之和為70，四邊形的面積為 【練練17】如圖所示，矩形的面積為36平方厘米，四邊形的面積是3平方厘米，則陰影

4、部分的面積是 平方厘米 【練練18】 (2008年”華杯賽”初賽)如圖所示，矩形的面積為24平方厘米三角形與三角形 的面積之和為平方厘米，則四邊形的面積是 平方厘米【練練19】如圖，三角形的面積是，、的長(zhǎng)度分別為11、3求長(zhǎng)方形的面積 【練練20】如圖，為長(zhǎng)方形內(nèi)的一點(diǎn)。三角形的面積為5，三角形的面積為13.請(qǐng)問(wèn)：的面積是多少？【練練21】如右圖，過(guò)平行四邊形內(nèi)的一點(diǎn)作邊的平行線(xiàn)、，若的面積為8平方分米，求平行四邊形的面積比平行四邊形的面積大多少平方分米？ 【練練22】如圖，在長(zhǎng)方形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，如果厘米，厘米，求三角形的面積【練練23】如圖，平行四邊形的周長(zhǎng)為75厘米。以為底時(shí)高是

5、14厘米，以為底時(shí)高是16厘米。求平行四邊形的面積。【練練24】 (2007年天津“陳省身杯”國(guó)際青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)如圖所示，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12厘米，寬是8厘米，三角形的面積是32平方厘米，則_厘米【練練25】如圖，已知平行四邊形的面積為36，三角形的面積為8。三角形的面積為多少？【練練26】如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為厘米，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為厘米，那么長(zhǎng)方形的寬為幾厘米？ 【練練27】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為12，陰影部分的面積為60，那么四邊形的面積是 【練練28】如圖在中，在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，在上，且，,平方厘米，求的面積 【練練29】如圖在中，分別是上的點(diǎn)，且,平方厘米，求的面積 【練練30】的長(zhǎng)度是的，且

6、三角形的面積是三角形面積的一半。請(qǐng)問(wèn)：是的幾分之幾？【練練31】園林小路，曲徑通幽.如下圖所示，小路由白色正方形石板和青、紅兩色的三角形石板鋪成。問(wèn)：內(nèi)圈紅色三角形石板的總面積大，還是外圈青色三角形石板的總面積大？請(qǐng)說(shuō)明理由.【練練32】如圖以的三邊分別向外做三個(gè)正方形、,連接、，又得到三個(gè)三角形，已知的面積是平方厘米，則另外三個(gè)三角形的面積和是多少？【練練33】如圖以直角三角形的三邊分別向外做三個(gè)正方形、,連接、，又得到三個(gè)三角形，已知厘米，厘米，求六邊形的面積【練練34】已知的面積為平方厘米，求的面積【練練35】如圖，三角形的面積為3平方厘米，其中，三角形BDE的面積是多少？ 【練練36】

7、如圖所示，正方形邊長(zhǎng)為6厘米，,三角形的面積為 平方厘米【練練37】如圖，已知三角形面積為，延長(zhǎng)至，使；延長(zhǎng)至，使；延長(zhǎng)至，使，求三角形的面積【練練38】已知三角形面積為，延長(zhǎng)至，使；延長(zhǎng)至，使；延長(zhǎng)至，使，求三角形的面積【練練39】如圖所示，三角形ABC中，點(diǎn)X，Y，Z分別在線(xiàn)段AZ，BX， CY上，且三角形XYZ的面積等于24，求三角形ABC的面積.【練練40】如圖，平行四邊形，平行四邊形的面積是， 求平行四邊形與四邊形的面積比 【練練41】平行四邊形，求四邊形的面積與平行四邊形面積間的關(guān)系【練練42】如圖所示，正方形邊長(zhǎng)為厘米，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，三角形的面積是多少平方厘米？【

8、練練43】如圖，四邊形中，求四邊形的面積與四邊形面積間的關(guān)系 【練練44】如圖，將四邊形的四條邊、分別延長(zhǎng)兩倍至點(diǎn)、，若四邊形的面積為5，則四邊形的面積是 【練練45】如圖，在中，延長(zhǎng)至,使，延長(zhǎng)至,使，是的中點(diǎn)，若的面積是，則的面積是多少？【練練46】圖中三角形的面積是180平方厘米，是的中點(diǎn)，的長(zhǎng)是長(zhǎng)的3倍，的長(zhǎng)是 長(zhǎng)的3倍那么三角形的面積是多少平方厘米？ 【練練47】如圖是一個(gè)正六角星紙板，其中每條邊的長(zhǎng)為5。現(xiàn)在沿虛線(xiàn)部分剪開(kāi)，那么較小的那部分占到整體面積的幾分之幾？【練練48】如圖，已知陰影部分面積為5平方厘米，的面積是 平方厘米 【練練49】如圖，長(zhǎng)方形的面積是1，是邊的中點(diǎn)，在邊

9、上，且那么，陰影部分的面積等于 【練練50】如圖在中，分別是邊上的點(diǎn)，且，的面積為平方厘米，則的面積是 平方厘米【練練51】如圖以的三邊分別向外做三個(gè)正方形、,連接、，又得到三個(gè)三角形，已知六邊形的面積是平方厘米，三個(gè)正方形的面積分別是9、16、36平方厘米，則三角形的面積是多少？【練練52】如圖，已知三角形面積為，延長(zhǎng)至，使；延長(zhǎng)至，使；延長(zhǎng)至，使，求三角形的面積【練練53】如圖，四邊形的面積是平方米，求四邊形的面積 【練練54】把四邊形ABCD的各邊都延長(zhǎng)2倍，得到一個(gè)新的四邊形EFGH。如果ABCD的面積是5平方厘米，則EFGH的面積是多少？【練練55】在四邊形ABCD中，其對(duì)角線(xiàn)AC、

10、DB交于E點(diǎn)。且AF=CE，DE=BG。已知四邊形ABCD的面積為1，求的面積是多少。【練練1答案】 【分析】 本題是等底等高的兩個(gè)三角形面積相等的應(yīng)用連接、，同理，（平方厘米）【練練2答案】 【分析】 把另外三個(gè)三等分點(diǎn)標(biāo)出之后，正方形的個(gè)邊就都被分成了相等的三段.把和這些分點(diǎn)以及正方形的頂點(diǎn)相連，把整個(gè)正方形分割成了個(gè)形狀各不相同的三角形.這個(gè)三角形的底邊分別是在正方形的個(gè)邊上，它們的長(zhǎng)度都是正方形邊長(zhǎng)的三分之一.陰影部分被分割成了個(gè)三角形，右邊三角形的面積和第第個(gè)三角形相等：中間三角形的面積和第第個(gè)三角形相等；左邊三角形的面積和第個(gè)第個(gè)三角形相等.因此這個(gè)陰影三角形的面積分別是、和的三分

11、之一，因此全部陰影的總面積就等于正方形面積的三分之一.正方形的面積是，陰影部分的面積就是.【練練3答案】 【分析】 如右圖，連接、，則可判斷出，每條邊與點(diǎn)所構(gòu)成的三角形都被分為面積相等的兩部分，且每個(gè)三角形中的兩部分都分屬于、這兩個(gè)不同的組合，所以可知【練練4答案】【分析】 ，,;又,（平方厘米）【練練5答案】【分析】 由題意可知，所以，；又，所以，同樣分析可得，所以【練練6答案】【分析】 圖中陰影部分的面積等于長(zhǎng)方形面積的一半，即(平方厘米)【練練7答案】【分析】 根據(jù)面積比例模型，可知圖中空白三角形面積等于平行四邊形面積的一半，所以陰影部分的面積也等于平行四邊形面積的一半，為平方厘米【練練

12、8答案】【分析】 根據(jù)面積比例模型可知陰影部分面積等于長(zhǎng)方形面積的一半，為【練練9答案】【分析】 黃色三角形與綠色三角形的底相等都等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高相加為長(zhǎng)方形的寬，所以黃色三角形與綠色三角形的面積和為長(zhǎng)方形面積的，而綠色三角形面積占長(zhǎng)方形面積的，所以黃色三角形面積占長(zhǎng)方形面積的已知黃色三角形面積是，所以長(zhǎng)方形面積等于（）【練練10答案】 【分析】 連接DE，DF，則長(zhǎng)方形EFGH的面積是三角形DEF面積的二倍三角形DEF的面積等于正方形的面積減去三個(gè)三角形的面積,所以長(zhǎng)方形EFGH面積為31【練練11答案】【分析】 本題主要是讓學(xué)生了解并會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等和三角形面積等于

13、與它等底等高的平行四邊形面積的一半證明：連接(我們通過(guò)把這兩個(gè)看似無(wú)關(guān)的平行四邊形聯(lián)系在一起)在平行四邊形中，邊上的高，同理，平行四邊形與面積相等【練練12答案】【分析】 根據(jù)題意：，所以（平方米）?！揪毦?3答案】【分析】 因?yàn)橐?、丙兩個(gè)三角形面積相等，底所以到的距離與到的距離相等，即與平行，四邊形是平行四邊形，陰影部分的面積平行四邊形的面積的，所以陰影部分的面積乙的面積設(shè)甲、乙、丙的面積分別為份，則陰影面積為份，梯形的面積為份，從而陰影部分的面積（平方厘米）【練練14答案】【分析】 方法一：連接,由圖知,所以,又由,恰好是面積的一半，所以是的中點(diǎn)，因此,所以方法二：連接對(duì)角線(xiàn) 是長(zhǎng)方形 ，

14、 ，【練練15答案】 【分析】 如圖所示，設(shè)上的兩個(gè)點(diǎn)分別為、連接根據(jù)面積比例模型，與的面積是相等的，那么與的面積之和，等于與的面積之和，即等于的面積而的面積為正方形面積的一半，為又與的面積之和與陰影部分的面積相比較，多了2個(gè)四邊形的面積，所以陰影部分的面積為： 【練練16答案】【分析】 從整體上來(lái)看，四邊形的面積三角形面積三角形面積白色部分的面積，而三角形面積三角形面積為長(zhǎng)方形面積的一半，即60，白色部分的面積等于長(zhǎng)方形面積減去陰影部分的面積，即，所以四邊形的面積為利用圖形中的包含關(guān)系可以先求出三角形、和四邊形的面積之和，以及三角形和的面積之和，進(jìn)而求出四邊形的面積由于長(zhǎng)方形的面積為，所以三

15、角形的面積為，所以三角形和的面積之和為；又三角形、和四邊形的面積之和為，所以四邊形的面積為【練練17答案】【分析】 方法一：,所以空白面積是,所以陰影部分面積為(平方厘米)方法二：因?yàn)槿切蚊娣e為矩形的面積的一半，即18平方厘米，三角形面積為矩形的面積的，即9平方厘米，又四邊形的面積為3平方厘米，所以三角形與三角形的面積之和是平方厘米又三角形與三角形的面積之和是矩形的面積的一半，即18平方厘米，所以陰影部分面積為(平方厘米) 【練練18答案】【分析】 因?yàn)槿切闻c三角形的面積之和是矩形的面積的一半，即12平方厘米，又三角形與三角形的面積之和為平方厘米，則三角形與三角形的面積之和是平方厘米，則四

16、邊形的面積三角形面積三角形與三角形的面積之和三角形面積(平方厘米)【練練19答案】 【分析】 如圖，過(guò)作，過(guò)作，、交于，連接則【練練20答案】【分析】 由于是長(zhǎng)方形，所以，而，所以，則，所以【練練21答案】 【分析】 (法1)設(shè)的邊上的高為，的邊上的高為則，整理得，即，所以(平方分米)(法2)根據(jù)差不變?cè)?，要求平行四邊形的面積與平行四邊形的面積差，相當(dāng)于求平行四邊形的面積與平行四邊形的面積差如右上圖，連接、由于，所以而，所以(平方分米)【練練22答案】【分析】 是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，又是長(zhǎng)方形， (平方厘米)【練練23答案】【分析】 ,根據(jù)面積相等，底的比與高的比成反比例，所以,因此,平行四邊

17、形的面積是平方厘米【練練24答案】【分析】 解法一:要求的長(zhǎng)，可以先求出，而是和的底，兩個(gè)三角形的高的和等于長(zhǎng)方形的寬，并且它們的面積和是的面積所以,所以(厘米) 解法二：可以從圖上得出,連接、如下圖所示： 因此,也就有(平方厘米),而(平方厘米)所以 (平方厘米) 故(厘米)【練練25答案】【分析】 三角形的面積為【練練26答案】 【分析】 本題主要是讓學(xué)生會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半證明：連接.(我們通過(guò)把這兩個(gè)長(zhǎng)方形和正方形聯(lián)系在一起)在正方形中，邊上的高，(三角形面積等于與它等底等高的平

18、行四邊形面積的一半)同理，正方形與長(zhǎng)方形面積相等. 長(zhǎng)方形的寬(厘米)【練練27答案】 【分析】 如圖所示，設(shè)上的兩個(gè)點(diǎn)分別為、連接根據(jù)面積比例模型，與的面積是相等的，那么與的面積之和，等于與的面積之和，即等于的面積而的面積為正方形面積的一半，為又與的面積之和與陰影部分的面積相比較，多了2個(gè)四邊形的面積，所以四邊形的面積為：【練練28答案】如圖在中，在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，在上，且，,平方厘米，求的面積 【分析】 連接, ,所以,設(shè)份，則份,平方厘米,所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比 (

19、建議老師一定要把共角定理的推理過(guò)程講透，防止學(xué)生只記結(jié)果，而不知為什么)【練練29答案】如圖在中，分別是上的點(diǎn)，且,平方厘米，求的面積 【分析】 連接,，所以,設(shè)份，則份,平方厘米,所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比【練練30答案】的長(zhǎng)度是的，且三角形的面積是三角形面積的一半。請(qǐng)問(wèn)：是的幾分之幾？【分析】【練練31答案】園林小路，曲徑通幽.如下圖所示，小路由白色正方形石板和青、紅兩色的三角形石板鋪成。問(wèn)：內(nèi)圈紅色三角形石板的總面積大，還是外圈青色三角形石板的總面積大？請(qǐng)說(shuō)明理由.

20、【分析】 圖中每相鄰兩個(gè)正方形和其間夾著的兩個(gè)三角形都是經(jīng)典精講中的第4類(lèi)鳥(niǎo)頭。以右圖為例，。因此，圖中每一個(gè)紅色三角形和對(duì)應(yīng)的綠色三角形面積都相等。那么內(nèi)圈三角形石板的總面積和外圈三角形石板的總面積一樣大?！揪毦?2答案】如圖以的三邊分別向外做三個(gè)正方形、,連接、，又得到三個(gè)三角形，已知的面積是平方厘米，則另外三個(gè)三角形的面積和是多少？【分析】 因?yàn)?所以,所以(平方厘米)，同理另外兩個(gè)三角形的面積也是平方厘米，所以另外三個(gè)三角形的面積和是平方厘米【練練33答案】如圖以直角三角形的三邊分別向外做三個(gè)正方形、,連接、，又得到三個(gè)三角形，已知厘米，厘米，求六邊形的面積【分析】 因?yàn)?所以,(平方

21、厘米)，所以圖中四個(gè)三角形的面積和是（平方厘米），再根據(jù)勾股定理有兩個(gè)小正方形的面積和等于大正方形的面積，所以三個(gè)正方形的面積和是平方厘米，因此六邊形的面積是（平方厘米）【練練34答案】已知的面積為平方厘米，求的面積【分析】 ，設(shè)份，則份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米【練練35答案】如圖，三角形的面積為3平方厘米，其中，三角形BDE的面積是多少？ 分析 由于,所以可以用共角定理，設(shè)份,份,則份, 份，由共角定理，設(shè)份,恰好是平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，三角形的面積是平方厘米【練練36答案】如圖所示，正方形邊長(zhǎng)為6厘米，,三角形的面積為 平方厘米【分析】 由題意知、，

22、可得根據(jù)“共角定理”可得，而；所以同理得,;,故(平方厘米)【練練37答案】如圖，已知三角形面積為，延長(zhǎng)至，使；延長(zhǎng)至，使；延長(zhǎng)至，使，求三角形的面積【分析】 用共角定理在和中，與互補(bǔ)，又，所以同理可得，所以【練練38答案】已知三角形面積為，延長(zhǎng)至，使；延長(zhǎng)至，使；延長(zhǎng)至，使，求三角形的面積【分析】 設(shè)根據(jù)共角定理,同理, ,所以【練練39答案】如圖所示，三角形ABC中，點(diǎn)X，Y，Z分別在線(xiàn)段AZ，BX， CY上，且三角形XYZ的面積等于24，求三角形ABC的面積.【分析】 根據(jù)鳥(niǎo)頭模型，；，；，?！揪毦?0答案】如圖，平行四邊形，平行四邊形的面積是， 求平行四邊形與四邊形的面積比 【分析】

23、連接、根據(jù)共角定理 在和中，與互補(bǔ)，又，所以同理可得，所以.所以.【練練41答案】平行四邊形，求四邊形的面積與平行四邊形面積間的關(guān)系【分析】 采用例題的方法，可得四邊形的面積.最后得到公式【練練42答案】如圖所示，正方形邊長(zhǎng)為厘米，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，三角形的面積是多少平方厘米？【分析】 連接因?yàn)?。觀察鳥(niǎo)頭如右圖，所以，。另解：梯形中的“一半”模型。，。【練練43答案】如圖，四邊形中，求四邊形的面積與四邊形面積間的關(guān)系 【分析】 由共角定理得,，所以【練練44答案】如圖，將四邊形的四條邊、分別延長(zhǎng)兩倍至點(diǎn)、，若四邊形的面積為5，則四邊形的面積是 【分析】 連接、由于，于是，同理于是再

24、由于，于是，同理于是那么【練練45答案】如圖，在中，延長(zhǎng)至,使，延長(zhǎng)至,使，是的中點(diǎn)，若的面積是，則的面積是多少？【分析】 (法) 利用共角定理在和中，與互補(bǔ)，又，所以同理可得，所以【練練46答案】圖中三角形的面積是180平方厘米，是的中點(diǎn)，的長(zhǎng)是長(zhǎng)的3倍，的長(zhǎng)是 長(zhǎng)的3倍那么三角形的面積是多少平方厘米？ 【分析】 ，等高，所以面積的比為底的比，有,所以=(平方厘米)同理有(平方厘米)， (平方厘米)即三角形的面積是22.5平方厘米【練練47答案】如圖是一個(gè)正六角星紙板，其中每條邊的長(zhǎng)為5。現(xiàn)在沿虛線(xiàn)部分剪開(kāi)，那么較小的那部分占到整體面積的幾分之幾？【分析】 對(duì)圖形進(jìn)行分割，分割過(guò)程如下：即所