線性代數(shù)向量組的線性相關(guān)性

1、第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性分布圖示例2線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān) 證明線性無(wú)關(guān)的一種方法定理1定理2例3例4例5定理3定理4定理5例7內(nèi)容小結(jié)課堂練習(xí)習(xí)題3-3線性相關(guān)性的判定例6內(nèi)容要點(diǎn)一、線性相關(guān)性概念定義1給定向量組A：宀，2,，s，如果存在不全為零的數(shù)k1, k2 / , ks ,使ki ： 1 k2： 2ks： s =0,（1）則稱(chēng)向量組 A線性相關(guān)，否則稱(chēng)為線性無(wú)關(guān)注： 當(dāng)且僅當(dāng)& =k2二=ks =0時(shí)，（1）式成立，向量組、U2,，'心線性無(wú)關(guān)； 包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的； 向量組只含有一個(gè)向量:-時(shí)，則（1）鳥(niǎo)-W的充分必要條件是:-是線性無(wú)關(guān)的；（2）: =

2、0的充分必要條件是:-是線性相關(guān)的； 僅含兩個(gè)向量的向量組線性相關(guān)的充分必要條件是這兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量成比例； 反之，僅含兩個(gè)向量的向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是這兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量不成比例 兩個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是這兩個(gè)向量共線，三個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是這三個(gè)向量共面、線性相關(guān)性的判定定理1向量組 冷，：2,，亠（S-2）線性相關(guān)的充必要條件是向量組中至少有一個(gè)向量可由其余s-1個(gè)向量線性表示缶"a2j定理2設(shè)有列向量組a j=；j（j=1,2，s）,則向量組W，,線性相關(guān)的充要fnj條件是：是矩陣A Nr，：。，亠）的秩小于向量的個(gè)數(shù) s.矩陣推論1 n個(gè)n維列向量組 W

3、2,，行線性無(wú)關(guān)（線性相關(guān)）的充要條件是A=（x,2,，“）的秩等于（小于）向量的個(gè)數(shù) n.推論2 n個(gè)n維列向量組 、，2，,:-n線性無(wú)關(guān)（線性相關(guān)）的充要條件是：矩陣An、，：？，r）的行列式不等于（等于）零注：上述結(jié)論對(duì)于矩陣的行向量組也同樣成立推論3當(dāng)向量組中所含向量的個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)時(shí)，此向量組必線性相關(guān)定理3如果向量組中有一部分向量 （部分組）線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)推論4線性無(wú)關(guān)的向量組中的任何一部分組皆線性無(wú)關(guān)定理4若向量組 冷，：、，線性相關(guān)，而向量組 冷，2,，:線性無(wú)關(guān)，則向量一：可由1，2，一，亠線性表示且表示法唯一 定理5設(shè)有兩向量組A： ：1，： 2，：s

4、；B：、，2 ，U，向量組B能由向量組A線性表示，若s =：:t，則向量組B線性相關(guān)推論5向量組B能由向量組A線性表示，若向量組B線性無(wú)關(guān)，則s亠t.推論6設(shè)向量組A與B可以相互線性表示，若A與B都是線性無(wú)關(guān)的，則s=t.例題選講例1設(shè)有3個(gè)向量例向量）:nV。1 =0ct2 =2a2 =2'J不難驗(yàn)證21 -3 =0，因此1，一：辺，一：力是3個(gè)線性相關(guān)的3維向量.例2設(shè)有二個(gè)2維向量：&，eP I如果他們線性相關(guān)那么存在不全為零的數(shù)，'2，使恂 2勺=0，也就是打l+）J°=0，I。丿I1丿即1+ 、1=1=0.I。丿£-2丿"-2丿于

5、是，i =0,2=0，這同'1, '2不全為零的假定是矛盾的因此厲（2是線性無(wú)關(guān)的二個(gè)向量.例3 (E01) n維向量組；! =(1,0,0)T, ；2 =(0,1,0)TJ , ；n =(0,0,，1)T稱(chēng)為n維單位坐標(biāo)向量組，討論其線性相關(guān)性 解n維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成的矩陣100010E =(&,名2,務(wù))=.，. Ji Aq. I。01是n階單位矩陣故由推論2知此向量是線性無(wú)關(guān)例4 (E02)已知a1 =a2'01忑丿a37試討論向量組7及.,a2的線性相I7關(guān)性.解 對(duì)矩陣A二（a1,a2, a3）施行初等行變換成行階梯形矩，可同時(shí)看出矩陣B =（冷，：

6、2）的秩，利用定理102 ”卩02 '5 2卩02124T0222 T02257丿e55丿e00丿2即可得出結(jié)論.（1, >2, ：3）二易見(jiàn)，r（A） =2, r（B） =2,故向量組 宀，：2：3線性相關(guān)向量組a1,a2線性無(wú)關(guān).例5判斷下列向量組是否線性相關(guān)42-1-113-1：2：3由E =1工0,知r E = n.即r E等于向量組中向量的個(gè)數(shù)解 對(duì)矩陣（:“：匕，：匕）施以初等行變換化為階梯形矩陣< 124、124<124、2-1305-5011-11-1033000<511b_9-9 /100丿秩（：1，_：l2，_：i3）=2 ：3,所以向量組1

7、,二2,二3線性相關(guān).例6證明：若向量組：，線性無(wú)關(guān)，則向量組：,:.亦線性無(wú)關(guān)證設(shè)有一組數(shù)k1,k2, k3,使&（、| ：，） k2 （1：,） k3（：S）=0（ 1）成立，整理得（峪 k3 " （k-i k2 （k2 k3） = 0 由:,'-,線性無(wú)關(guān)，故k +k3 =0* +k2 =0（ 2）k2 k3 =01 0 1因?yàn)?10 =2 =0,故方程組（2）僅有零解即只有& *2 =k3 =0時(shí)（1）式才成立.0 1 1因而向量組：丄亠L(fēng)：, U ，： J-線性無(wú)關(guān)例7 （E03）設(shè)向量組®,a2,a3線性相關(guān)，向量組a2,a3,a4線性無(wú)關(guān)，證明（1）印能由a2,a3線性表示；（2）a4不能由玄皚忌線性表示.證明（1 ）因：2：34線性無(wú)關(guān)，故23線性無(wú)關(guān)，而：1,：2,：3線性相關(guān)，從而1能由：'2-'3線性表示；（2）用反證法假設(shè)：4能由1，2，3線性表示，而由（1）知：'1能由：'2-'3線性表示，因此：'4能由：'2'3表示，這與2，3,爲(wèi)線性無(wú)關(guān)矛盾證畢課堂練習(xí)1試證明：(1) 一個(gè)向量線性相關(guān)的充要條件是:=0;(2) 個(gè)向量：線性無(wú)關(guān)的充分條件是:0;(3) 兩個(gè)向量:-,:線性相關(guān)的充要條件是k：或者：=k_： (兩