中學(xué)數(shù)學(xué)基本能力的培養(yǎng)（Word）

1、第十八講中學(xué)數(shù)學(xué)基本能力的培養(yǎng)教學(xué)目的：通過學(xué)習，使學(xué)生掌握在教學(xué)中如何培養(yǎng)三種能力，即如何培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，思維能力和空間想象能力，并在此基礎(chǔ)上如何進一步培養(yǎng)一般能力，如觀察能力，理解能力，記憶能力和運用能力等。教學(xué)內(nèi)容：1、運算能力的培養(yǎng)。2、空間想象能力的培養(yǎng)。3、分析和解決實際問題的能力培養(yǎng)。4、邏輯思維能力的培養(yǎng)。教學(xué)重、難點：三種能力的培養(yǎng)既是重點又是難點。教學(xué)方法：講授法教學(xué)過程： 一、 運算能力的培養(yǎng)181.1 什么是運算能力運算的意義不僅局限于通常的加、減、乘、除、乘方開方等代數(shù)運算，還包括初等函數(shù)的運算和求值，各種幾何量的測量和計算，求數(shù)列與函數(shù)極限以及微分、積分等分析運

2、算，還有概率、統(tǒng)計的初步計算等特別要指出的是幾何的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱、伸縮等“變換”也可稱為“幾何運算”在一些高中數(shù)學(xué)教材和中等專業(yè)技術(shù)學(xué)校使用的數(shù)學(xué)課本中，還簡單介紹了邏輯代數(shù)知識，“與”，“或”、“非”這是“邏輯運算”對于集合求其交集、并集及全集，是進行集合運算如果對于運算作上述廣義的理解，那么我們就不會再片面地說運算只是算術(shù)和代數(shù)的事了因此，培養(yǎng)學(xué)生正確和迅速的運算能力是整個中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的任務(wù)18.1.2 培養(yǎng)學(xué)生運算能力的基本途徑怎樣才能使學(xué)生具有正確迅速的運算能力呢？在小學(xué)、初中與高中這幾個階段中，都必須有計劃有步驟地進行培養(yǎng)，由算術(shù)運算到代數(shù)運算；由代數(shù)運算到分析運算、幾何運算、集

3、合運算、邏輯運算，由口算、筆算到表算、工具算等都要切實抓好.總之，一要學(xué)習,即學(xué)習與運算有關(guān)的知識；二要訓(xùn)練，即精心選擇一部分習題，讓學(xué)生獨立完成下面談一談培養(yǎng)學(xué)生運算能力的基本途徑1、牢固掌握基礎(chǔ)知識，弄通算理、法則243 / 67要使運算正確而又迅速就要牢固地掌握與運算有關(guān)的概念、公式法則以及變形化簡等思維方法同時要多練習，常反復(fù)，形成熟練的技能技巧但也不能“死練”，在練之前，要使得學(xué)生懂得“算理”使其懂得“怎樣算”，“為什么這樣算”只有“計有據(jù)”，才能“算有準”如果教師只教給學(xué)生“怎樣算”，而學(xué)生并不明白“為什么這樣算”，“為什么這樣算就正確”，那么學(xué)生的運算能力就不會始終保持其正確性，

4、也形成不了什么運算能力例1 講異分母分數(shù)的加減時，如果只教給學(xué)生要先通分，變成同分母的分數(shù)之后，再按同分母的分數(shù)進行加減運算，而不講清為什么要這樣算，有的學(xué)生對運算的方法是記不牢的，時間一長，往往會遺忘，甚至會出現(xiàn)之類的笑話因此，教師必須在學(xué)生學(xué)習通分算法之初，就教學(xué)生“算理”，讓學(xué)生清楚地懂得：如果兩個分數(shù)分母不同，分數(shù)的單位就不同，每份的大小也就不同，而單位不同的分數(shù)是不能直接相加減的只有經(jīng)過通分之后，它們的分母相同了，即分數(shù)的單位相同了，每份的大小是一樣的，從而就可以直接進行加減運算了例2 如化簡，則需要靈活運用和角三角函數(shù)公式來進行推理，計算如下： 原式這里，三角函數(shù)公式的應(yīng)用，恒等變

5、形的使用都給培養(yǎng)正確的、迅速的運算能力提供了前提例3 如解方程，首先應(yīng)該知道方程的解域是，再進行同解變形得從而有（x-1）2100，解此方程得x11或x= -9但要注意，如果把原方程變?yōu)椋河捎谖粗獢?shù)取值范圍縮小為x1，于是產(chǎn)生減根顯見這種解法是錯的在例2和例3的運算過程中，每步推導(dǎo)都是依理進行的事實上，在培養(yǎng)運算能力的過程中，邏輯思維能力的培養(yǎng)也在其中了例4 實系數(shù)方程的三根在復(fù)平面上構(gòu)成正三角形的三個頂點，則m的值的是：（A）1； （B）0； （C）1； （D）2 答案（ ）解 因為三點不可能都在實數(shù)軸上，所以方程至少有一個虛根，又因為實系數(shù)為一元三次方程，故必有一個實根設(shè)三根為，a+bi，

6、a-bi（、a、bR，0）它們的對應(yīng)點分別為A（,0），B（a,b），C（a,-b），其中A在實軸上由韋達定理，可得 +（a+bi）（a-bi）0所以：-2a故A與B、C位于y軸兩側(cè)設(shè)B、C連線交x軸于D點，則有|OD|=|a|OA|-2a|2|a|所以O(shè)為ABC的中心|OB|2|a|，a2+b24a2 b±a所以三根為-2|a|，a（1+i），a（1-i）又因為（-2a）a（1+i）a（1-i）-1解得a=，則-2a-1將-1代入原方程，得（-1）3m（-1）10，故m=0，故選擇（B）本題推理絲絲入扣，邏輯嚴謹各步判斷有根有據(jù)，然而各步判斷均和計算結(jié)果直接相關(guān)由此可見運算能力的培

7、養(yǎng)有助于推理判斷能力的培養(yǎng)除此，運算能力的培養(yǎng)在運算型的證明題中也能得到較好的體現(xiàn)總而言之，在運算過程中，“言之有據(jù)”是應(yīng)該遵循的重要原則之一下面再舉一例，以說明在邏輯運算中，也必須弄通算理，才能使運算達到正確迅速例5 某年級先后舉行數(shù)、理、化三種競賽，學(xué)生中至少參加一科的：數(shù)學(xué)201人，物理177人，化學(xué)163人；參加兩科的：數(shù)學(xué)、物理141人，數(shù)學(xué)、化學(xué)114人，物理、化學(xué)95人；三科都參加的87人問參加競賽的學(xué)生總數(shù)是多少？ACABBCABCBAC圖18-1解 這是一道涉及到邏輯運算的運算題如學(xué)生弄不通算理，如學(xué)生弄不通算理，不懂邏輯運算法則，還照以往代數(shù)中的運算一樣去運算，即將各類競賽

8、者一加求和了事，那就出現(xiàn)錯誤了所以說，一些與運算相關(guān)的新的數(shù)學(xué)概念、法則、公式的引入都需要加以格外留意，以免在運算過程中，因算理不通，鑄成謬誤對本題可作如下解答：設(shè)A、B、C分別表示參加數(shù)學(xué)、物理化學(xué)每一科競賽學(xué)生的集合（如圖5-1）,并且以n（S）表示有限集合S的元素個數(shù)則有n（ABC）=n（A）+n（B）+n（C）-n（AB）-n（AC）-n（BC）+n（ABC）=201+177+163-141-114-95+87=2782、提高記憶能力，加強運算基本功訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生運算能力，還要提高學(xué)生的記憶能力，牢固掌握一些常用的數(shù)據(jù)、常用的公式和法則尤其要加強運算基本功訓(xùn)練，籍以形成熟練的技能技巧（1

9、）在小學(xué)階段，作為運算的基本功主要是：i）熟練掌握整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則運算；ii）20以內(nèi)的口算加減法與表內(nèi)乘法、相應(yīng)的除法，要達到“直呼”的程度：熟悉分數(shù)、小數(shù)互化運算，熟悉一些分數(shù)互化的數(shù)值例如：、等等（2）在初中階段，作為運算的基本功主要是：i）熟練掌握有理數(shù)的四則運算和有理指數(shù)、常用對數(shù)、銳角三角函數(shù)的運算，特別還要加強整式、分式與根式的運算訓(xùn)練ii）要熟記一些重要數(shù)據(jù)，講究記憶方法和規(guī)律，最好能達到“直呼”的程度：a、多位數(shù)與一位數(shù)相乘，直接得積；b、120的平方數(shù)，110的立方數(shù)c、將被開方數(shù)化為質(zhì)因數(shù)乘積求方根；d、特殊角的三角函數(shù)值；角度制與弧度制互換e、乘法公式（3）在高中

10、階段，要通過復(fù)習以鞏固上述初等運算的能力要學(xué)習一些初等函數(shù)的恒等變形；學(xué)習行列式和復(fù)數(shù)的運算；學(xué)習極限與微積分運算；還要學(xué)會集合的運算、邏輯運算這階段的運算基本功主要是：i）熟練掌握指數(shù)、對數(shù)式與三角函數(shù)式的恒等變形，初步掌握極限與微積分運算ii）熟記基本公式、重要的極限等、以提高計算速度例如：，（且）； ； ；微積分基本公式等為了使學(xué)生練習基本功，一要理解運算所依據(jù)的道理；二要記住常用的公式、法則；三要通過練習才能落實到學(xué)生身上下面選一組指數(shù)、對數(shù)的基礎(chǔ)練習和一組心算練習題，供參考i）化簡計算：；ii）比較大小，； ，；，； ，；，； ，iii）求函數(shù)的定義域； ； iv）求值：已知lgx6

11、，lgy3，求的值已知lg20.3010，lg30.4771，求的值已知ABC中，C90°，三邊長a、b、c，求v）解方程：； 心算練習題：a為實數(shù)，a2永遠為正數(shù)，對嗎？代數(shù)式2+x2的值，最小可能是幾？代數(shù)式1y2的值，最大可能是幾？的值能否大于1？為什么？下列哪些式子相等，哪些不相等；a、62·64與68； b、（24）3與212；c、（2·3·5）2與22·32·52； d、（-7·14）4與-74·144“a加b平方”與“a與b和的平方”意思一樣嗎？分別寫出表達式來若3x<x，x的值會怎樣？想出一個

12、數(shù)c，使c2c而2c<c方程與是否同解？為什么方程組無解？練好運算的基本功，并使運算具有一定的速度，是培養(yǎng)學(xué)生正確迅速的運算能力不可缺少的3、加強運算練習，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力我們知道任何能力都是可以有計劃、有目的地訓(xùn)練出來的，提高學(xué)生運算能力必須加強練習，嚴格訓(xùn)練加強練習就要按規(guī)律進行多練、巧練、反復(fù)練題目由淺到深，基本題、引伸題、創(chuàng)新題依次出現(xiàn)，這樣不但可訓(xùn)練學(xué)生的運算技能技巧，而且可培養(yǎng)學(xué)生的運算能力嚴格訓(xùn)練就要做到高質(zhì)量、高效率，即學(xué)生練習要做到正確、迅速、合理從某種意義上講，運算能力的培養(yǎng)實際上就是對合理進行計算的能力培養(yǎng)而這種合理性的發(fā)現(xiàn)，“簡捷算法”的尋得，首先就需要有很好的

13、觀察力和對基礎(chǔ)知識的良好掌握例如計算有觀察習慣的人絕不一見題就用乘法分配律展開，而是對、都含有具有“好奇心”，并接著會想從第一個因式中提取公因式，從第二個因式中提取公因式，看它們會變成什么樣子？即原式至此，就容易進一步想到用乘法公式作進一步的化簡了由于每個人在觀察時，抓住問題的特點不同，或者運用的知識不同，對同一個問題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”，“多解”之中一般總有較為簡捷的解法經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生重視“簡捷算法”與“一題多解”的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性和靈活性只有思想上“迅速”了，行動上才能“迅速”起來；只有解法上“合理”了，即在應(yīng)有的水平上達到了“最佳選擇”，才能獲得最快的速

14、度當然“簡捷算法”與“一題多解”的訓(xùn)練必須緊密結(jié)合教學(xué)內(nèi)容進行；必須從小學(xué)到中學(xué)，一貫重視這種能力的培養(yǎng)，循序漸進地提高要求，才能使學(xué)生學(xué)到運算技能和技巧，得到系統(tǒng)的鞏固和提高，從而形成一種運算能力，進而去探索未知領(lǐng)域，獲得新知識當然這種未知領(lǐng)域?qū)τ趯W(xué)生來說是先前未曾感知過的，而對教師來說是可能感知過的在低年級，一般宜進行“簡捷運算”的訓(xùn)練因為學(xué)生年齡尚小，所學(xué)知識也不多，他們往往會為獲得一種“簡捷運算”而歡欣鼓舞，可以說簡捷運算容易引起學(xué)生的學(xué)習興趣當然在高年級也要尋求“簡捷算法”，即使搞“一題多解”訓(xùn)練，最后也要比較，看哪種解法最為簡捷例6 化簡分析 這是一道根指數(shù)，分數(shù)指數(shù)的綜合運算題，

15、首先要確定統(tǒng)一成哪種指數(shù)形式進行運算較為簡捷原式例7 已知直角三角形兩直角邊的長分別為5cm和12cm，求斜邊上的高解 若用射影定理計算高就繁了所以先求斜邊長，得，再由面積相等求出斜邊上的高為例8 已知，求的值分析 若用直接代入求值就太繁了所以，我們改變一個角度，由得，所以，所以，把它代入原式，則問題就解決了解 由，得，所以，所以 原式 以上三例都顯示了簡捷運算的優(yōu)點但這種簡捷運算的獲得，是經(jīng)過認真分析，進行選擇的結(jié)果，這個過程，一題多解的思想已包含在其中了采用多樣化方法解題，不但可以發(fā)展學(xué)生的思維能力與運算能力，而且還可以提高學(xué)生的學(xué)習積極性，培養(yǎng)創(chuàng)造精神為了提倡“一題多解”，在教學(xué)中教師要

16、經(jīng)常進行“一題多解”的典型示范，同時引導(dǎo)學(xué)生判斷哪種方法較簡捷，從而進行選擇，加強解題的預(yù)見性，做到解題時思維敏捷，避繁就簡，達到正確迅速的要求對于學(xué)生有創(chuàng)見的解法，也要善于引導(dǎo)，愛護他們獨立思考的積極性，同時幫助他們分析具體錯誤的癥結(jié)例9 計算解原式；原式；原式；原式 顯然解法是最簡捷的，但解法也很巧妙例5 已知ax4+bx3+1能被（x-1）2整除，求a、b之值解法一用豎式除法，即得余式為 （3b+4a）x+（1-2b-3a）0解得 a=3，b=-4解法二用比較系數(shù)法令 將等號右邊展開，兩邊比較系數(shù)，解方程組得： a=3，b-4，p3，q2，r1，例4、例5 在完成運算之后可知有較簡捷算法

17、存在，而例1、例2、例3是在未完成運算之前就作出合理選擇，從而采用了簡捷算法，實質(zhì)上，前3例也進行了“一題多解”的思維過程，只不過表述成文字的是一種簡捷的算法 運算能力形成的重要性，不僅僅在于它能夠從事一系列的運算，甚至具有一定的技能技巧，而更重要地在于它能幫助人們?nèi)ラ_拓新知識領(lǐng)域 例10 計算 123100 這是歷史上很有名的一道題據(jù)說高斯在六歲的時候，就以老師不敢相信的速度得出了正確的答案5050高斯是如何進行運算的呢？我們可以推測，他可能是觀察之后，發(fā)現(xiàn)了11002995051，然后利用加法的交換律、結(jié)合律及乘法的定義進行運算的，即123100（1100）+（299）+（5051）101

18、101101101×505050所用知識是有限的，是人所共知的，然而他將這些知識選擇，組合的方法是別有洞天的再朝前走一步，自然數(shù)列求和公式不就應(yīng)運而生了嗎？例11 求自然數(shù)倒數(shù)平方的級數(shù)和：解 這是數(shù)學(xué)家伯努利（Bernoulli，16541705）的一個級數(shù)求和難題，伯努利是17世紀杰出的數(shù)學(xué)家，他是古典概率論的創(chuàng)始人，對古典微積分學(xué)以及級數(shù)求和等問題都有貢獻，但是他卻沒有辦法算出自然數(shù)倒數(shù)平方的級數(shù)和于是他公開征解，可惜直到他逝世時還未見到有人解出此難題這個難題過了數(shù)十年之后才由歐拉解答出來在這里歐拉巧妙地利用了類比推理完成了一項非常有趣的發(fā)現(xiàn)，給出了伯努利所未能找到的級數(shù)和首先

19、，對于只含偶數(shù)次項的2n次代數(shù)方程，（）假設(shè)有2n個互不相同的根：則得 把乘積展開出來，易見x2項的系數(shù)為：以上所述為一般代數(shù)方程式論中的初等知識歐拉又考慮了三角方程：他把它看成是只含有偶次項的無窮次代數(shù)方程由于此方程含有相異根，于是歐拉采用了類比法，即仿照上述2n次多項式分解成乘積的形式，把這里出現(xiàn)的所謂無限次多項式也照樣分解成因式乘積形式：這便是著名的“歐拉乘積公式”這樣一來，再把右邊的乘積展開，便發(fā)現(xiàn)x2項的系數(shù)是：即奇跡出現(xiàn)了在數(shù)學(xué)中經(jīng)常給學(xué)生出一些創(chuàng)新題去運算，對學(xué)生的運算能力培養(yǎng)是十分有益的當然這些創(chuàng)新題應(yīng)是學(xué)生力所能及的，那種一提“創(chuàng)造”就認為是讓學(xué)生解答數(shù)學(xué)家所未能解答的問題的

20、態(tài)度，顯然是不可取的二、 空間想象能力的培養(yǎng)1821、 什么是空間想象能力想象是一種特殊的思維活動，即在頭腦中表象出某種未曾感知的東西，或者創(chuàng)造某種未曾感知過的物體和現(xiàn)象的形象，或者專門產(chǎn)生某些新事物的概念空間想象不應(yīng)只局限于三維空間如果我們認為空間想象乃是全部數(shù)學(xué)中的形象思維，它就和邏輯思維相輔相成了通過邏輯思維，由具體到抽象，又通過空間想象，由抽象到具體，波浪式地發(fā)展著實際上，在平面幾何中，特別是在平面解析幾何中，時常要想象圖象的運動在代數(shù)和三角中，空間想象也扮演著重要的角色例如由函數(shù)的圖像，便易于掌握函數(shù)的性質(zhì)代數(shù)和分析中的許多概念，如果明確了它們的幾何解釋，就能使本來很抽象的概念變得生

21、動、直觀、形象起來，例如導(dǎo)數(shù)和定積分概念就是這樣，特別是復(fù)數(shù)的幾何意義的獲得，對復(fù)數(shù)的研究更起了重大的作用總之，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力應(yīng)是整個中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)其中立體幾何教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力方面所起到的特殊作用是明顯的空間想象能力的培養(yǎng)應(yīng)當包括哪些要求？一般認為大體上包括下列三個方面的要求：1、對于客觀存在的空間形式，能在頭腦中反映出正確的形象來，即形成空間概念2、能將空間形式，按照統(tǒng)一規(guī)定，繪成平面圖形，反之，能從已知的平面圖形想象出它所表達的空間形式3、不但能進行邏輯思維，而且能進行形象思維，也就是說能運用圖形的幾何直覺去研究某些問題18.2.2 培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的基本途徑如

22、同培養(yǎng)學(xué)生的運算能力一樣，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力也需要認真學(xué)習，牢固掌握基礎(chǔ)知識，要會繪圖會看圖，還要進行一系列的關(guān)于加強空間想象能力的訓(xùn)練具體地說，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的基本途徑可有以下幾條：1、學(xué)好有關(guān)空間形式的基礎(chǔ)知識想象是客觀現(xiàn)實在人腦中的一種反映，所以學(xué)生學(xué)好有關(guān)空間形式的數(shù)學(xué)知識是提高學(xué)生空間想象能力的根本中學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)空間形式的知識不僅是幾何的知識，還有數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容如數(shù)軸、坐標法、函數(shù)圖象、三角函數(shù)的幾何意義、方程與曲線，幾何量的度量與計算等內(nèi)容都可以通過數(shù)量分析的方法對幾何圖形加強理解，掌握這些有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力從研究數(shù)量之間的關(guān)系，到研究圖形之間的關(guān)系，數(shù)形之間的

23、關(guān)系，這是一個很大的變化，雖然在小學(xué)里學(xué)生已接觸過一些幾何圖形，數(shù)形結(jié)合的知識，但是學(xué)生的空間概念還是很薄弱的，要使學(xué)生熟悉圖形之間的關(guān)系、數(shù)形間的關(guān)系，還是較為困難的問題，需要有一個逐步培養(yǎng)的過程對于某一圖形所反映的空間形式，怎樣使學(xué)生形成關(guān)于它的空間概念呢？一般認為，大致需要經(jīng)過如下過程（1）運用實物、模型等進行直觀教學(xué)，使學(xué)生在頭腦中形成空間概念的整體形象（2）通過教師和學(xué)生繪制草圖和示意圖，使頭腦中形成的空間概念的形象“具體化”（3）研究圖形的組成元素及其性質(zhì)，深入了解空間形式的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和特性（4）根據(jù)給定條件，運用畫圖工具作圖，切實掌握空間形式的常用表達方法總之，空間概念的形成必須經(jīng)

24、過由畫圖到看圖的一系列訓(xùn)練例如：在“直線和平面”這一章的教學(xué)中，為了有步驟地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，首先要著重向?qū)W生指出現(xiàn)在研究的圖形是在空間里，是空間圖形，它和平面幾何中學(xué)習的圖形有著本質(zhì)的區(qū)別其次在教學(xué)中，應(yīng)盡可能多地利用模型實物的直觀性，并結(jié)合模型繪制草圖；往后則逐漸有意識地減弱模型的作用，增強圖形的作用；再后則完全不要模型，只利用圖形，以培養(yǎng)學(xué)生通過圖形來想象實際各種元素在空間的位置關(guān)系最后，再進一步既不用模型，也不用圖形，而能解決一些比較簡單的問題（包括計算題、證明題和作圖題），從而不斷發(fā)展學(xué)生的空間想象能力2、從事數(shù)學(xué)實習活動通過對實物的觀察、解剖、分析或者制作模型、實地測量、作圖

25、等數(shù)學(xué)實習活動也是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的重要途徑人們以現(xiàn)實世界中客觀事物為觀察研究對象，通過抽象，通過抽象概括，舍棄了諸多的特性，保留了數(shù)量關(guān)系和空間形式，這種數(shù)量關(guān)系和空間形式在人們給出了相應(yīng)的表達方式之后，使人們能夠見數(shù)、形就能想象出客觀事物或者見到客觀事物可抽象出數(shù)、形人們經(jīng)常從事這種數(shù)學(xué)實習活動，無疑會加強空間想象能力例如，在立體幾何教學(xué)中，對物體或模型的直觀分析，在機械制圖的教學(xué)中通過活動影片來分析視圖的性質(zhì)，在解三角形的教學(xué)中測量不可及物體的“高深遠近”，凡此種種，對培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力都會收到良好的效果3、加強空間想象能力的訓(xùn)練，不斷發(fā)展空間想象能力在中學(xué)數(shù)學(xué)課里，不僅要研究圖

26、形及其性質(zhì)，還要研究作圖方法，而且要研究圖形之間的聯(lián)系以及數(shù)、形之間的聯(lián)系這些研究不僅要在一維空間中進行，而且要在二維、三維或高維抽象空間中進行因此對學(xué)生加強下面的訓(xùn)練，將可以發(fā)展學(xué)生的空間想象能力（1）研究同類圖形之間的聯(lián)系，豐富學(xué)生的空間想象能力在平面幾何課里，最重要的圖形是三角形和圓，在立體幾何里最重要的基本圖形是直線和平面在教學(xué)中，在同類圖形之間，研究其線面位置和量的關(guān)系，會有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力事實上，對各種位置和量的關(guān)系理解得越清楚，空間想象能力就越強現(xiàn)舉例如下：DEFABC圖18-2例12 延長等邊ABC的各邊BA、CB、AC到D、E、F，使ADCFBE求證：DEF也為等邊

27、三角形（如圖52所示）證 因為ABBCCA， ADBECF， 所以AFBDCE， ADBECF，又因為DAFEBD FCE180°60°120°所以DAFEBDFCE （SAS）所以DFEDEF，即DEF為正三角形例13 已知兩圓相切，求證連心線垂直于過切點的公切線已知：如圖53，O1和O2外切于P點AB為過P點的公切線O1ABO2P圖18-3求證：O1O2AB證 分別連O1P，O2P，因為P為切點，所以O(shè)1PAB，O2PAB，所以O(shè)1PA+ O2PA=180°，故O1，P，O2共線，所以O(shè)1O2AB討論：本題兩圓相內(nèi)切的情形，讀者可以自己證明例14 多

28、面體中，線面間的位置和量的關(guān)系解 正棱柱a、上下底面是對應(yīng)邊互相平行的全等的正多邊形b、側(cè)面是全等的矩形c、側(cè)棱互相平行且相等d、兩底面中心連線垂直于底面平行六面體a、對面平行且平等b、對角線交于一點且在這點互相平分c、對角線的平方和等于各棱的平方和長方體a、對角線的平方等于長寬高的平方和b、體積等于長寬高之積正棱錐a、各側(cè)棱相等b、側(cè)面為全等的等腰三角形c、斜高都相等d、頂點和底面中心的連線段和底面垂直e、高上任一點到底面各頂點、到各側(cè)面的距離分別相等f、相鄰側(cè)面所成二面角都相等g、側(cè)面和底面所成二面角都相等h、側(cè)棱、高、底面半徑組成一個以側(cè)棱為弦的直角三角形i、斜高、高、底面邊心距組成一個

29、以斜高為弦的直角三角形j、側(cè)棱、斜高、底面邊長之半組成一個以側(cè)棱為弦的直角三角形正棱臺a、上下底面是相似正多邊形b、側(cè)棱都相等c、側(cè)面為全等的等腰梯形d、斜高都相等e、兩個底面中心連接線段和兩底面垂直f、側(cè)棱、高、上下底面半徑組成一個直角梯形g、斜高、高、上下底面邊心距組成一個直角梯形h、側(cè)棱、斜高、上下底面邊長之半組成一個直角梯形（2）研究不同類圖形之間的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力圓和多邊形的聯(lián)系是平面幾何中最主要的內(nèi)容之一，大量的習題都與它們有關(guān)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當引導(dǎo)學(xué)生重視這類問題的分析，并加以訓(xùn)練例 15 已知：如圖54所示，四邊形ABCD內(nèi)接于OADCBE圖18-4求證：AC

30、83;BDAB·CDAD·BC證 如圖，作DAEBAC，E在BD上在DAE和CAB中，DAECAB，又因為EDABCA，所以DAECAB，所以，即AC·DE=AD·BC （1）在ABE和ACD中，ABEACD，BACDAE，所以BAECAD，所以ABECAD，所以，即AC·BE=AB·CD （2）（1）（2）得AC（DEBE）AB·CDAD·BC所以 AC·BDAB·CDAD·BC本題證明過程中，同弧上的圓周角相等這種關(guān)系的應(yīng)用是十分重要的例16 直線a和平面內(nèi)內(nèi)的直線b垂直，直線a和

31、平面的位置關(guān)系如何？畫出圖來ba（b）aab（d）a與斜交ba（a）a在內(nèi)ba（c）a圖18-5解 位置有四種，如圖55所示分析和解答這類例題有利于鞏固空間概念，培養(yǎng)分析問題的能力，不斷發(fā)展空間想象能力，在教學(xué)中應(yīng)當選編這類例題和練習題，加強對學(xué)生的訓(xùn)練例17 四個半徑為1的等球，每一個與其余三個皆相切，三球在下，置一平面上，求最上一個球的球心到平面的距離OBCAO¹圖18-6D解 由題意，可想象出四球的位置關(guān)系，四球連心線組成一個正四面體如圖56所示，通過觀察，可構(gòu)出上球心O到下三球中心A、B、C所確定平面ABC的距離所在平面，于是運用勾股定理求得，由于平面ABC距平面為1，所以O(shè)

32、O¹加1即為所求ODOCsin60°OD這類題目，由于空間想象能力和運算能力的有效結(jié)合，使得解題進展順利，如缺乏空間想象能力和運算能力，是無法下手的所以，在培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的過程中，宜和其它能力的培養(yǎng)結(jié)合起來，以求融會貫通（3）研究數(shù)形之間的聯(lián)系，鍛煉學(xué)生的空間想象能力在中學(xué)階段，數(shù)與形緊密聯(lián)系起來學(xué)習的內(nèi)容主要有兩處：一是學(xué)習銳角三角函數(shù)與勾股定理；二是學(xué)習坐標法學(xué)習這兩部分內(nèi)容時，要加強訓(xùn)練有目的地發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，并進行唯物辯證法的教育例18 如圖57，在ABC中，已知C90°，a9，A60°，圖18-7CBAbca 求B及b、c的長 解

33、 B90°60°30°， 因為tanB=，所以因為，所以例2 在任意ABC中，ADBC，求證：（ACAB）（ACAB）（DCBD）（DCBD）BCAD圖18-8證 如圖57在直角ABD中，AB2BD2AD2在直角ACD中，AC2DC2AD2所以AB2BD2AC2DC2，即AC2AB2DC2BD2所以 （ACAB）（ACAB） （DCBD）（DCBD）解直角三角形是解一般三角形的基礎(chǔ)，因為任何一個三角形都可分成兩個直角三角形正是通過這種聯(lián)系，我們可以得到一般三角形中邊角關(guān)系的基本定理：正弦定理、余弦定理xy圖18-9這兩個定理，在一定條件下定量地決定三角形中所有的邊

34、和角的大小余弦定理可以看成是勾股定理在一般三角形中的推廣；而在直角三角形中，正弦定理就轉(zhuǎn)化為銳角正弦函數(shù)的定義了例19 在O的內(nèi)接正方形ABCD所在平面上任取一點P，連PA、PB、PC和PD求證：PA2PC2PB2PD2證 建立直角坐標系如圖59所示，其中圓心O為原點，OD在X軸正半軸設(shè)O的方程為x2+y2=r2則點A、B、C、D四點的坐標分別為（0，r）、（-r，0）、（0，-r）、（r，0）又該點P的坐標為P（x1，y1），則有PA2PC2x12+（y1-r）2x12+（y1+r）22x12+2y12+2r2PB2+PD2=(x1+r)2+y12+(x1-r)2+y122x12+2y12+

35、2r2所以 PA2PC2PB2PD2本題采用解析法，方法簡捷，足見數(shù)形結(jié)合在培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力方面有獨到之處所以，加強這方面的訓(xùn)練是必不可少的（4）借助圖形解決問題，增強學(xué)生的空間想象能力數(shù)與形之間建立緊密聯(lián)系之后，可以運用代數(shù)方法去解決幾何問題；反過來，借助圖形，也能幫助解決代數(shù)問題我們知道，對空間想象能力高一級的要求，就是使學(xué)生“不但能進行邏輯思維，而且能進行形象思維，也就是說能運用圖形的幾何直覺去研究某些問題”下面分三個方面略加討論借助圖形，理解概念在教學(xué)中，學(xué)習一個數(shù)學(xué)概念之后，往往要研究它的幾何意義，這樣做的目的是為了借助圖形，利用其幾何直觀性加深對概念的理解，同時也便于記憶概念

36、或進行幾何應(yīng)用在微積分課程中，更是隨時指出所研究數(shù)學(xué)概念的幾何意義需要指出的是，借助圖形的幾何直觀性雖可加深對于概念的理解和記憶，但絕不可以利用圖形的幾何直觀性代替證明，代替對于概念的深刻分析圖18-10CBDFAE例20 證明直角三角形中斜邊的長度等于兩直角邊長度之和證 如圖510，在直角ABC中，D為AB的中點，DEBC，DFAC，則DEFC，DFEC，故四段折線有AFDEBACBC類似地對DBE和ADF作如圖所示折線，則八段折線長也為ACBC，這個過程可無限地進行下去；把AB依次分為2、4、8個相等的部分，并可依次得到鋸齒形的折線，而它們的長度均為ACBC從幾何直觀可以看出，這個“鋸齒形

37、”折線的序列是以斜邊AB為極限的，因此我們可推得“鋸齒形”折線的長度ACBCAB，即斜邊AB的長度就應(yīng)當?shù)扔趦芍苯沁呴L度之和這個命題顯然是荒謬的問題出在什么地方呢？分析之后我們會發(fā)現(xiàn)，原來是“極限”概念用得不正確，從幾何直觀就斷定鋸齒形折線的長度的極限等于斜邊的長度是毫無道理的借助圖形，分析題意培養(yǎng)學(xué)生良好的畫圖習慣，并依圖去分析題意，從而可以達到解題的目的也就是說，如果一個問題可以畫圖來分析題意，就應(yīng)當畫出圖來幫助解題例21 求正方體二對角線的交角圖18-11ABCDABCDO 解 如圖511，正方體ABCDABCD的棱長為a，二對角線之交角為，連接在ODB中 （1）因為，代入（1）得：所以

38、，即從本例的解題過程中可以看出，借助圖形，有利分析題意，否則便會增加解題難度借助圖形分析題意，要力求圖畫得精確一些，否則由于圖形畫得不正確、將會導(dǎo)出錯誤的結(jié)果例22 證明任意的三角形是等腰三角形證 如圖512所示，ABC的A平分線和對邊BC的垂直平分線相交于O點，連接OB、OC，則OBOC，過O點作OEAC，垂足為E，作OFAB，垂足為F，則OEOFC圖18-12DBFEAO 在RtOBF和RtOCE中，因為OBOC，OEOF，所以，RtOBFRtOCE，所以，F(xiàn)BEC （1）在RtAFO和RtAEO中，OFOE，OAOA，所以RtAFORtAEO，所以，AFAE （2）（1）（2）得 AFF

39、BAEEC，即ABAC 這就是說，任意的三角形是等腰三角形 問題出在什么地方？原來角平分線AO和垂直平分線OD的交點不在ABC內(nèi)，而在ABC的外部所以畫圖萬萬不可草率從事 借助圖形解決問題圖18-13xyoy=x3y=sin x 圖解法就是利用圖形解決計算問題、作圖問題和證明題在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，它雖不是重點內(nèi)容，但在生產(chǎn)實際中，卻是一種重要的方法 例23 用圖象法解方程組： 解 在同一直角坐標系中，作與的圖象，如圖513 觀察圖象有三個交點，一個交點是（0，0），另二個交點分別近似地得到為（m，n），（-m，-n），其中0<m<1，0<n<1 圖解法在數(shù)學(xué)課的學(xué)習中是要

40、遇到的，在實際中也有許多應(yīng)用，所以在數(shù)學(xué)中有必要加以訓(xùn)練總之，為培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，我們總結(jié)了一些行之有效的方法，尋求了一些基本途徑，只要在教學(xué)實踐中，聯(lián)系實際情況，加在應(yīng)用，一定會取得好的效果三、 邏輯思維能力的培養(yǎng)18.3.1 什么是邏輯思維能力 所謂邏輯思維能力是指在一定的邏輯法則下進行思考活動的一種思維能力邏輯思維在教學(xué)中常常表現(xiàn)為從已知條件中導(dǎo)出結(jié)論；從某些一般情況中找出個別例子；從理論上預(yù)示具體結(jié)果，并將所獲得的結(jié)果進行推廣等等 在教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維是發(fā)展學(xué)生思維的中心環(huán)節(jié)和主要標志學(xué)生的邏輯思維常常表現(xiàn)在各種數(shù)學(xué)結(jié)論的推導(dǎo)、歸納、演繹，以及證明定理和證題的過程之中，在

41、這個過程中學(xué)生的邏輯思維能力得到發(fā)展18.3.2 培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的基本途徑 數(shù)學(xué)中的邏輯思維能力已如上所述，它是指根據(jù)正確的思維規(guī)律和形式對數(shù)學(xué)對象的屬性進行綜合分析，抽象概括，推理證明的能力培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力有如下基本途徑： 1、教師要作出示范 中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容是通過邏輯論證來敘述的數(shù)學(xué)中的運算、證明、作圖都蘊含著邏輯推理的過程數(shù)學(xué)中的概念的形成，命題的判斷，都與邏輯思維緊密相連所以，教師在傳授數(shù)學(xué)知識的過程中要嚴格遵守邏輯規(guī)律，正確運用邏輯思維形式，作出示范，循序漸進，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力 數(shù)學(xué)論證都是在一定的邏輯系統(tǒng)中進行的，所以教師必須在給定的邏輯系統(tǒng)中向?qū)W生傳授知識

42、例24 已知實數(shù)、，滿足求的值解 因為、為實數(shù)，所以0，0， 0又因為，所以 解得所以 本題是在實數(shù)范圍內(nèi)進行推演的，但是如果在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，這樣推導(dǎo)出來的結(jié)果就不正確了 例25 二次函數(shù)yx2的反函數(shù)是什么？ 解 對于這個問題，首先必須清楚函數(shù)的概念，才可討論反函數(shù)有的中學(xué)數(shù)學(xué)課本采用集合的“單值對應(yīng)”的觀點來定義函數(shù)即自變量的每一個值按一定對應(yīng)規(guī)律對應(yīng)因變量的唯一確定值根據(jù)這種觀點，二次函數(shù)y=x2在實數(shù)集中沒有反函數(shù)，只有當把定義域縮小為0或0時，才有反函數(shù)至于有的課本不是采用“單值對應(yīng)”的觀點來定義函數(shù)，那就自當別論了 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中進行邏輯論證時，必須使學(xué)生首先搞清楚這個問題是在哪

43、個范圍（即條件）內(nèi)考慮的，然后再用正確思維規(guī)律和形式去進行推理論證顯然教師的示范作用會給學(xué)生帶來潛移默化的作用 教師對于思維規(guī)律的使用不能有半點差錯，否則他（或她）的學(xué)生思維便會發(fā)生混亂教師對思維形式的使用也應(yīng)是規(guī)范的，不然學(xué)生無章可循，也會無所適從 2、教會學(xué)生運用邏輯常識 培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的另一個途徑是教會學(xué)生運用邏輯思維常識進行推理論證，并通過此過程提高他們抽象概括、分析綜合、推理證明的能力 眾所周知，在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，運用了許多與邏輯知識有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容的推理證明方法因此，應(yīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，結(jié)合具體數(shù)學(xué)內(nèi)容通俗地講授一些必要的邏輯常識，當然應(yīng)該包括一些數(shù)理邏輯常識，使學(xué)生能運用它們

44、來指導(dǎo)推理、證明這樣會有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力圖18-1412BCDA3EF6 例如，在學(xué)生學(xué)習了概念的從屬關(guān)系以及“屬概念加種差”的定義方法之后，在根據(jù)某概念的定義進行推理時，就不會只單單考慮定義中的種差，而且同時也會考慮被定義概念還具有它的屬概念的一切屬性這樣，在推理證明中的思路就會暢通得多 例26 如圖1814所示，延長矩形ABCD的邊BA至E，連結(jié)CE，交AD于F，已知AE3，AB6，BC12，求FC之長 解 如圖514所示，因為ABCD是矩形，故、都是直角，所以欲求EF，但AF是未知，怎么辦呢？如果思維僅局限在矩形的特殊性質(zhì)方面，則思路就受阻，倘考慮矩形還具有平行四邊形的一切屬性

45、時，則思路頓時暢通 因為ADBC，所以，所以，所以AF4 所以，所以FCECEF15510此題若在解題過程中，由，得，直接求得，則又簡捷一些 又如學(xué)生如果掌握了概念的分類方法和要求，當他們運用窮舉法證明問題時，就不會遺漏或重復(fù)某種情況ACBD12圖18-15例27 求證直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半已知：如圖1815，CD是RtABC斜邊上的中線，D是AB的中點 求證：CDAB 證 假設(shè)CDAB，則有 CDAB，或CDAB （1）假設(shè)CDAB 因為ADDBAB，所以CDAD，CDDB，所以A1，B2，所以A+B1+2 又因為1+2=90°，所以A+B90° 所以 A+

46、B+C180° 這與三角形內(nèi)角和等于180°相矛盾所以，CDAB是不可能的 （2）類似地可以證明，CDAB也是不可能的 所以 CDAB 本題用反證法證明并不復(fù)雜，所用知識不多若用直接證法則需添加輔助線或增加一些知識，足見一些證題方法若選擇得當可補償知識的不足 所以，學(xué)生若能運用邏輯知識來指導(dǎo)推理證明，就容易做到思維暢通，正確無誤 3、加強邏輯思維能力的訓(xùn)練 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過加強對數(shù)學(xué)概念形成的認識，來加強對數(shù)學(xué)命題推理證明的訓(xùn)練，是提高學(xué)生邏輯思維能力的更有效的途徑因此數(shù)學(xué)內(nèi)容的講授應(yīng)加強邏輯的嚴謹性講授的例題，布置的習題應(yīng)增加思考題、證明題、討論題，借以加強邏輯思維能力

47、的訓(xùn)練不僅需在幾何內(nèi)容中加強邏輯推理的訓(xùn)練，還要在代數(shù)、三角、解析幾何等內(nèi)容中也要加強推理證明的訓(xùn)練，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力一些學(xué)校在課外活動中也加強邏輯思維能力的培養(yǎng)，同樣是值得提倡的 例28 有兩個人玩這樣一種游戲，第一個人說出一個個位數(shù)（即從1至9的整數(shù)）；第二個人對該數(shù)加上另一個個位數(shù)（也是從1至9的整數(shù)）；說出和數(shù)，不加數(shù)不行接著第一個人對這個和數(shù)再加上一個個位數(shù)，并說出和數(shù)，如此下去誰先說到66，誰便得勝試問，如果玩法正確，勝者是誰？先開頭的呢，還是其對手，要想得勝，應(yīng)當怎樣玩這種游戲呢？ 解 若玩法正確，先開頭說者得勝這是因為二人競賽，均想先說到66而要想先說到66，必須先說

48、到56，此時不論其對手說1至9中的哪一個，并加在56上，其和只能是57至65中的一個，均達不到66，先說者只需將1至9中的一數(shù)加到57至65中一數(shù)之上即可得66依此類推，欲先說到56，又須先說到46、36、26、16、6，所以先說者開始只須講6，然后控制16、26、36、46、56，作為每次加法的和數(shù)，則勝利定可在握 這類題對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力是很有益的若本題所給條件均不變，最后改變?yōu)椤罢l先說到66誰便輸試問，如果玩法正確，勝者是誰？先開頭的呢？還是其對手，要想得勝，應(yīng)當怎樣玩這樣游戲？”這個題目留給讀者去做 利用推理證明以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力在平面幾何中的例子是非常多的，這里不再列舉由

49、于代數(shù)、三角、解析幾何諸學(xué)科利用推理證明培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力也具有自身的作用，今特舉數(shù)例以說明 例29 設(shè)、為三個互不相等的數(shù)，且，求證：證 由，得 （1）由，得 （2）由，得 （3）（1）×（2）×（3）得 因為 ，所以，故 本題解題關(guān)鍵在于將已知連等式看成三個等式，將已知條件進行恒等變換使之出現(xiàn)兩個數(shù)乘積的形式 例30 過點垂直于軸的直線與橢圓交于P、Q，求證：過P、Q的兩切線互相垂直（圖1816）圖18-16oQPxyR 證 過點垂直于x軸的直線與橢圓兩交點P、Q的坐標為：，過P、Q的兩切線方程為： （1） （2）因為，所以，過P、Q兩點的切線互相垂直 例31 證明

50、 乍一看可能以為這是一個錯題，兩個函數(shù)的平方和竟是他們的平方積由觀察而產(chǎn)生懷疑，那么只好求助于證明，或者肯定它，或者否定它事實上，證明是直接的證： 同理，我們還可以證明其它二個類似的恒等式： 在這里，邏輯推理顯示了自己的作用，而憑觀察就作出結(jié)論，有可能就出現(xiàn)錯誤 另外，每一個數(shù)學(xué)概念的定義，它既是一個判定定理，又是一個性質(zhì)定理，我們利用每個數(shù)學(xué)概念可以去判斷，去推理、去證明，對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力也起著重要作用 例32 已知，則函數(shù)的表達式為：（A）；（B）；（C）；（D） 答案（C）解 本題只有在理解函數(shù)的含義之后，才可能動手推理，從而進行判斷選擇，否則，便會亂猜一氣 因為則，所以，故選擇

51、C 例33 化簡： 解：原式 本題在化簡過程中，涉及了冪的對數(shù)、對數(shù)的定義及算術(shù)根等數(shù)學(xué)概念，每步推導(dǎo)都以相應(yīng)的概念作為邏輯依據(jù)，所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強基本概念訓(xùn)練的教學(xué)有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力 這一節(jié)和前兩節(jié)學(xué)習了基本能力的培養(yǎng)，在學(xué)習中，我們可以看出，上述三種能力的培養(yǎng)是不可分割的所以，我們應(yīng)該在教學(xué)過程中，把三種能力的培養(yǎng)有機地結(jié)合起來，互相促進我們知道，各部分中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，一般都同時包含有運算、推理和作圖，這也從根本上給我們在教學(xué)中將三種能力有機地結(jié)合起來培養(yǎng)提供了依據(jù)和條件但是中學(xué)各部分數(shù)學(xué)內(nèi)容都有自己的重點，因此，我們在傳授各部分數(shù)學(xué)知識時，既要考慮到培養(yǎng)各種能力的因素，同時

52、還要考慮培養(yǎng)能力的重點和相互配合的問題，有計劃地培養(yǎng)學(xué)生的各種能力四、 分析和解決實際問題的能力培養(yǎng)18.4.1 什么是分析和解決實際問題的能力 數(shù)學(xué)課程標準在數(shù)學(xué)教學(xué)目的中明確指出，要培養(yǎng)并“逐步形成運用數(shù)學(xué)知識來分析和解決實際問題的能力”，“使他們能夠運用所學(xué)知識解決簡單的實際問題”，“進一步培養(yǎng)解決問題的能力”，這里的實際問題一方面是指現(xiàn)實生活中一些具體問題，另一方面是指數(shù)學(xué)學(xué)習中的一些具體問題，而現(xiàn)實生活中的一些具體問題往往要抽象成數(shù)學(xué)問題加以解決所以說“逐步形成運用數(shù)學(xué)知識來分析和解決實際問題的能力，”歸根結(jié)蒂，就是要培養(yǎng)學(xué)生分析和解決實際問題的能力 現(xiàn)實世界中存在的一切，莫不與數(shù)量關(guān)系和空間形式相關(guān)人們要想從數(shù)形方面去認