北交大激光原理諧振腔部分

1、第三章 光學(xué)諧振腔理論一、 學(xué)習(xí)要求與重點(diǎn)難點(diǎn)學(xué)習(xí)要求1 了解光學(xué)諧振腔的構(gòu)成、分類和模式等基本知識(shí)，及其研究方法。2 理解腔的損耗和無(wú)源腔的單模線寬。3 掌握傳播矩陣和光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定條件。4 理解自再現(xiàn)模積分本征方程，了解針對(duì)平行平面腔模的數(shù)值迭代解法，理解針對(duì)球面對(duì)稱共焦腔模式積分本征方程的近似方法及其解。5 掌握等價(jià)共焦腔方法，掌握諧振腔的模式概念和光束特性。6 了解非穩(wěn)腔的模式理論。重點(diǎn)1 諧振腔的作用，諧振腔的構(gòu)成和分類，腔和模的聯(lián)系；2 傳播矩陣分析方法；3 光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定條件；4 模自再現(xiàn)概念；5 自再現(xiàn)模積分本征方程的建立，及其近似；6 球面對(duì)稱共焦腔積分本征方程的近似方法

2、，及其解；7 諧振腔的橫縱模式和光束特性；8 穩(wěn)定諧振腔的等價(jià)共焦腔。難點(diǎn)1 傳播矩陣的近似；2 非穩(wěn)腔；3 模自再現(xiàn)概念；4 自再現(xiàn)模積分本征方程的建立5 球面對(duì)稱共焦腔積分本征方程的近似方法，及其解；6 諧振腔的橫縱模式和光束特性；二、知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 1 諧振腔衍射積分方程推導(dǎo)三、典型問題的分析思路1縱模間隔問題根據(jù)縱模頻率間隔的公式計(jì)算，問題還可以變?yōu)榍婚L(zhǎng)如何選擇，可獲得單縱模輸出等。2分析某一諧振腔的穩(wěn)定性問題這類問題分三種情況，第一種是只由兩個(gè)球面鏡組成的共軸球面鏡腔，可以利用下面的穩(wěn)定腔判據(jù)公式：第二種情況是兩個(gè)球面鏡組成的共軸球面鏡腔中插入其它光學(xué)元件。這時(shí)要首先寫出這個(gè)諧振腔的傳輸

3、矩陣。利用下面的穩(wěn)定判據(jù)公式：分析諧振腔各參數(shù)所應(yīng)滿足的條件。第三種情況是非共軸球面鏡腔，如折疊腔和環(huán)形腔。求環(huán)形腔、折疊腔的往返矩陣時(shí)，要將其化為直腔，如果考慮象散，需要對(duì)往返矩陣的修正。對(duì)于共軸球面鏡腔的近(傍)軸光線。而對(duì)于環(huán)形腔和折疊腔（非共軸球面腔），由于象散，球面鏡在子午面和弧矢面的焦距不共點(diǎn)。其中子午面為環(huán)形回路所在平面，弧矢面為包含回路一邊長(zhǎng)，垂直于子午面的平面。對(duì)于在由光軸組成的平面內(nèi)傳輸?shù)淖游绻饩€，。對(duì)于在與此垂直的平面內(nèi)傳輸?shù)幕∈腹饩€，為光軸與球面鏡法線的夾角。3諧振腔損耗問題光學(xué)諧振腔積分方程的特征值，它的實(shí)部決定腔損耗，特征值的虛部決定光波的單程相移。將特征值代入中得

4、：。即表示腔內(nèi)經(jīng)單程度越后自再現(xiàn)模的振幅衰減。即的實(shí)部決定腔損耗，表示每經(jīng)一次度越的相位滯后，所以的虛部決定的單程相移。單程損耗:單程相移:共焦腔模的諧振條件4共焦腔問題例如求方形鏡或圓形鏡共焦腔面上各階（低階）橫模的節(jié)線位置。對(duì)于方形鏡共焦腔，鏡面上的高階橫模與基模光斑尺寸之比為而圓形鏡共焦腔鏡面上的高階橫模的光斑半徑。只要求得了鏡面上基模光斑的大小，就可求出高階橫模的光斑半徑。我們知道方形鏡和圓形鏡鏡面上基模光斑的大小都為。 方形鏡共焦腔和圓形鏡共焦腔的基模光束的振幅分布、基模光斑尺寸、等相位面的曲率半徑及光束發(fā)散角都完全相同?；?chǎng)振幅分布基模光斑尺寸鏡面上基模的光斑半徑，高斯光束的基模

5、的腰斑半徑，坐標(biāo)原點(diǎn)選在腔的中心。腰斑尺寸： 鏡面上光斑尺寸： 共焦腔基模體積： 高階模體積: (模階次愈高模體積愈大)等相位面（共焦場(chǎng)的等相位面近似為球面）的曲率半徑：等相位面與共焦腔鏡面重合。等相位面為平面 (共焦腔基模光束)遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角：弧度5一般穩(wěn)定球面腔問題可以借助于其等價(jià)共焦腔行波場(chǎng)的解析解的特性表達(dá)出來(lái)，此處可參考教科書。6非穩(wěn)定諧振腔問題關(guān)于非穩(wěn)定諧振腔的問題主要包括求出共軛像點(diǎn)和的位置；計(jì)算非穩(wěn)腔的能量損耗率、幾何放大率等。共軛像點(diǎn)和的位置分別為，由球面鏡成像公式解得：幾何放大率鏡的單程放大率鏡的單程放大率非穩(wěn)腔對(duì)幾何自再現(xiàn)波型在腔內(nèi)往返一周的放大率對(duì)望遠(yuǎn)鏡非穩(wěn)定腔（實(shí)共焦腔和

6、虛共焦腔）平均單程能量損耗往返能量損耗四、思考題1. 光學(xué)諧振腔的作用是什么？2. 光學(xué)諧振腔的構(gòu)成要素有哪些，各自有哪些作用？3. 光學(xué)諧振腔有哪些常用研究方法？4. 什么是光學(xué)諧振腔的模式？對(duì)縱、橫模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？5. 光學(xué)諧振腔的橫模模斑形狀是客觀存在，還是有人為因素，為什么？6. 光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定條件是什么，有沒有例外？穩(wěn)定條件的導(dǎo)出根據(jù)何在？7. 所謂“自洽”在光學(xué)諧振腔模式討論中是如何應(yīng)用的？8. 諧振腔穩(wěn)定條件的推導(dǎo)過程中，只是要求光線相對(duì)于光軸的偏折角小于90度。因此，諧振腔穩(wěn)定條件是不是一個(gè)要求較低的條件，為什么？9. 共焦腔是什么腔？穩(wěn)定性如何？10

7、. 共焦腔是不是穩(wěn)定腔？為什么？11. 什么樣的光學(xué)諧振腔腔內(nèi)存在焦點(diǎn)？12. 試分析ABCD定律在光學(xué)諧振腔分析中的作用。13. 一般穩(wěn)定球面鏡諧振腔與其等價(jià)共焦諧振腔，有什么相同，有什么不同？14. 非穩(wěn)腔的優(yōu)點(diǎn)是什么？15. 幾何損耗存在于哪一類型的諧振腔中？16. 光學(xué)諧振腔的衍射損耗與其什么參數(shù)相關(guān)？17. 穩(wěn)定諧振腔有哪些可能的形式？與非穩(wěn)定諧振腔相比有哪些缺點(diǎn)？ 18. Fox-Li的數(shù)值迭代法解平行平面鏡諧振腔，有哪些結(jié)論，有哪些意義？19. 分別由方形鏡和圓形鏡組成穩(wěn)定諧振腔有沒有區(qū)別，為什么？20. 為什么說(shuō)光學(xué)諧振腔積分方程的特征值的實(shí)部決定腔損耗？21. 為什么說(shuō)光學(xué)諧

8、振腔積分方程的特征值的虛部決定光波的單程相移？22. 穩(wěn)定球面諧振腔旁軸光線的單程相對(duì)功率損耗1-1/2，它與單程衍射損耗因子之間有何關(guān)系？23. 如果使用一個(gè)參數(shù)描述穩(wěn)定諧振腔的衍射損耗大小，你愿意用哪個(gè)，為什么？24. 為什么說(shuō)對(duì)稱共焦腔非常重要？25. 試由行波場(chǎng)導(dǎo)出圓形鏡共焦腔內(nèi)的波前表示。26. 同一個(gè)光學(xué)諧振腔中的不同橫模，有什么異同？27. 高階橫模的不同模斑若相遇，能否干涉，為什么？28. 若A激光器的激光束經(jīng)透鏡變換匹配地射入B激光器，B激光器的激光束能不能匹配地射入A激光器，為什么？29. 能否得到穩(wěn)定諧振腔橫模的解析表示，為什么？四、練習(xí)題1. 光學(xué)諧振腔的作用。是什么？

9、2. 光學(xué)諧振腔的構(gòu)成要素有哪些，各自有哪些作用？3. CO2激光器的腔長(zhǎng)L1.5m，增益介質(zhì)折射率n1，腔鏡反射系數(shù)分別為r10.985，r20.8，忽略其它損耗，求該諧振腔的損耗，光子壽命，Q值和無(wú)源腔線寬。4. 證明：下圖所示的球面折射的傳播矩陣為。折射率分別為的兩介質(zhì)分界球面半徑為R。5. 證明：下圖所示的直角全反射棱鏡的傳播矩陣為。折射率為n的棱鏡高d。6. 導(dǎo)出下圖中1、2、3光線的傳輸矩陣。7. 已知兩平板的折射系數(shù)及厚度分別為n1，d1，n2，d2。(1)兩平板平行放置，相距l(xiāng)，(2)兩平板緊貼在一起，光線相繼垂直通過空氣中這兩塊平行平板的傳輸矩陣，是什么? 8. 光學(xué)諧振腔的

10、穩(wěn)定條件是什么，有沒有例外？諧振腔穩(wěn)定條件的推導(dǎo)過程中，只是要求光線相對(duì)于光軸的偏折角小于90度。因此，諧振腔穩(wěn)定條件是不是一個(gè)要求較低的條件，為什么？9. 有兩個(gè)反射鏡，鏡面曲率半徑，R1=50cm，R2=100cm，試問：(1)構(gòu)成介穩(wěn)腔的兩鏡間距多大?(2)構(gòu)成穩(wěn)定腔的兩鏡間距在什么范圍?(3)構(gòu)成非穩(wěn)腔的兩鏡間距在什么范圍?10. 共焦腔是不是穩(wěn)定腔，為什么？11. 腔內(nèi)有其它元件的兩鏡腔中，除兩腔鏡外的其余部分所對(duì)應(yīng)傳輸矩陣元為ABCD，腔鏡曲率半徑為、，證明：穩(wěn)定性條件為，其中；。12. 試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面鏡腔的穩(wěn)定性條件。13. 激光器諧振腔由一面曲率半徑為1m的凸面鏡

11、和曲率半徑為2m的凹面鏡組成，工作物質(zhì)長(zhǎng)0.5m，其折射率為1.52，求腔長(zhǎng)L在什么范圍內(nèi)是穩(wěn)定腔。14. 如下圖所示三鏡環(huán)形腔，已知l，試畫出其等效透鏡序列圖，并求球面鏡的曲率半徑R在什么范圍內(nèi)該腔是穩(wěn)定腔。圖示環(huán)形腔為非共軸球面鏡腔，在這種情況下，對(duì)于在由光軸組成的平面內(nèi)傳輸?shù)淖游绻饩€，f = Rcosq/2，對(duì)于在于此垂直的平面內(nèi)傳輸?shù)幕∈腹饩€，f = R/(2cosq)，q為光軸與球面鏡法線的夾角。15. 什么樣的光學(xué)諧振腔腔內(nèi)存在焦點(diǎn)？16. 試分析ABCD定律在光學(xué)諧振腔分析中的作用。17. 一般穩(wěn)定球面鏡諧振腔與其等價(jià)共焦諧振腔，有什么相同，有什么不同？18. 非穩(wěn)腔的優(yōu)點(diǎn)是什么

12、？19. 幾何損耗存在于哪一類型的諧振腔中？20. 光學(xué)諧振腔的衍射損耗與其什么參數(shù)相關(guān)？21. 為什么說(shuō)光學(xué)諧振腔積分方程的特征值的模決定腔損耗？22. 為什么說(shuō)光學(xué)諧振腔積分方程的特征值的幅角決定光波的單程相移？23. 穩(wěn)定諧振腔有哪些可能的形式？與非穩(wěn)定諧振腔相比有哪些缺點(diǎn)？24. 光學(xué)諧振腔有哪些常用研究方法？如何理解自再現(xiàn)模？采用衍射積分方程方法研究激光器的模式和采用幾何光學(xué)的辦法研究各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？25. 什么是光學(xué)諧振腔的模式？對(duì)縱、橫模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？26. 諧振腔腔長(zhǎng)L1m，介質(zhì)折射率n1，兩腔鏡反射系數(shù)分別為r11，r20.99，求1500MHz線寬內(nèi)

13、包含的縱模個(gè)數(shù)。27. ，的對(duì)稱腔，相鄰縱模的頻率差為多少？28. 若法卜里珀羅平面干涉儀的腔長(zhǎng)為4.5，它的自由譜寬為多少，能否分辨，Dl=0.01nm的HeNe激光譜線？29. Fox-Li的數(shù)值迭代法解平行平面鏡諧振腔，有哪些結(jié)論，有哪些意義？30. 穩(wěn)定球面諧振腔旁軸光線的單程相對(duì)功率損耗1-1/2，它與單程衍射損耗因子之間有何關(guān)系？31. 試由方形鏡共焦腔內(nèi)行波場(chǎng)，導(dǎo)出腔內(nèi)等相位面表示。32. 同一個(gè)光學(xué)諧振腔中的不同橫模，有什么異同？33. 高階橫模的不同模斑若相遇，能否干涉，為什么？34. 分別由方形鏡和圓形鏡組成的穩(wěn)定諧振腔有沒有區(qū)別，為什么？35. 能否得到穩(wěn)定腔橫模的解析表

14、示，為什么？36. 為什么說(shuō)對(duì)稱共焦腔非常重要？37. 如果使用一個(gè)參數(shù)描述穩(wěn)定諧振腔的衍射損耗大小，你愿意用哪個(gè)，為什么？38. 腔長(zhǎng)L=1m的雙凹穩(wěn)定腔，兩腔鏡的半徑分別為R11.5m，R23m，求其等效共焦腔的腔長(zhǎng)，并畫出等效共焦腔的位置。39. 方形孔徑共焦腔氦氖激光器，腔長(zhǎng)L=30cm，腔鏡反射率分別為r11，r20.96，方形孔邊長(zhǎng)d=2a=0.12cm，其它損耗以每程0.003計(jì)，工作波長(zhǎng)=632.8nm。此激光器能否作單模運(yùn)轉(zhuǎn)？如果想在共焦鏡面附近加一個(gè)方形小孔闌來(lái)選擇模，小孔的邊長(zhǎng)應(yīng)為多大？試根據(jù)公式估算氦氖增益，l為增益介質(zhì)放電管長(zhǎng)度。40. 腔長(zhǎng)L的對(duì)稱雙凹腔，反射鏡曲率

15、半徑為R=2.5L，工作波長(zhǎng)為，求鏡面上的基模高斯光束的光斑半徑。41. 今有一平面反射鏡和一曲率半徑為R=1m的凹面反射鏡，問：應(yīng)如何構(gòu)成一平-凹穩(wěn)定腔以獲得最小的基模遠(yuǎn)場(chǎng)角；畫出光束發(fā)散角與腔長(zhǎng)L的關(guān)系曲線。42. 試導(dǎo)出如下腔型所對(duì)應(yīng)的共軛共焦腔結(jié)構(gòu)和輸出光參數(shù)。43. 試求出方形鏡共焦腔面上模的節(jié)線位置，這些節(jié)線是等距分布的嗎？44. 求圓形鏡共焦腔和模在鏡面上光斑的節(jié)線位置。45. 腔長(zhǎng)L=0.8m的球面腔，腔鏡曲率半徑分別為R1=1.5m和R2=1m。試證明該腔為穩(wěn)定腔；求出它的等價(jià)共焦腔的參數(shù)；在圖上畫出等價(jià)共焦腔的具體位置。46. 某二氧化碳激光器采用平、凹腔，L=50cm，R

16、=2m，2a=1cm，。試計(jì)算、各為多少。47. 試證明，在所有相同而R不同的對(duì)稱球面鏡穩(wěn)定腔中，共焦腔的衍射損耗最低。L表示腔長(zhǎng)，為腔鏡的曲率半徑，a為鏡面半徑。48. 推導(dǎo)出平-凹穩(wěn)定腔基模在鏡面上光斑大小的表示式，做出：（1）當(dāng)R=100cm時(shí)，、隨L而變化的曲線；（2）當(dāng)L=100cm時(shí)，、隨R而變化的曲線。49. 平凹腔中凹面鏡曲率半徑為R，腔長(zhǎng)L=0.2R，光波長(zhǎng)為，求此平凹腔產(chǎn)生的基模高斯光束的束腰半徑。50. 試證明經(jīng)過焦距為F的薄透鏡，高斯光束的q參數(shù)傳播滿足ABCD定律。51. 若A激光器的激光束經(jīng)透鏡變換匹配地射入B激光器，B激光器的激光束能不能匹配地射入A激光器，為什么

17、？52. 已知一高斯光束束腰半徑為w0，束腰與焦距為f的薄透鏡相距為l，經(jīng)透鏡變換后傳輸距離l1，又經(jīng)一折射率為n，長(zhǎng)L的透明介質(zhì)后輸出（如下圖所示），求：1)高斯光束在介質(zhì)出射面處的q參數(shù)和光斑半徑；2)若將介質(zhì)移到薄透鏡處，即l10 (不考慮可能存在的間隙)，求輸出高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角；53. 兩支He-Ne激光器都采用平凹腔，尺寸如圖所示，請(qǐng)問在何處插入焦距為多少的透鏡可以實(shí)現(xiàn)而者的模式匹配。54. 采用方形共焦腔He-Ne激光器的腔長(zhǎng)L=30cm，反射鏡尺寸為2a=0.2cm，如果一個(gè)模式的光斑大小超過鏡面尺寸，則認(rèn)為該模式不可能存在，求此激光器的最高橫模階次。55. 已知高斯光束的束

18、腰半徑為w0，求：1）A點(diǎn)與束腰相距為z，求光斑半徑w(z)；2）如果測(cè)量到A點(diǎn)光斑光強(qiáng)下降到最大值的處的半徑為wp，求wp和w(z)的關(guān)系。六、部分答案1. 光學(xué)諧振腔的作用。是什么？解題思考：關(guān)鍵概念：光學(xué)諧振腔答：一是提供正反饋，二是控制振蕩模式特性。2. 光學(xué)諧振腔的構(gòu)成要素有哪些，各自有哪些作用？解題思考：關(guān)鍵概念：光學(xué)諧振腔，構(gòu)成要素，作用答：光學(xué)諧振腔的構(gòu)成要素有：是否有邊界、是否有反射鏡以外的反射面、反射鏡外形、反射鏡面形狀、鏡曲率半徑與腔長(zhǎng)關(guān)系。是否有邊界，決定光學(xué)諧振腔是否是封閉腔、波導(dǎo)腔或開式腔；是否有反射鏡以外的反射面，決定光學(xué)諧振腔是復(fù)合腔還是簡(jiǎn)單腔；反射鏡面形狀，決

19、定光學(xué)諧振腔是球面腔、非球面腔，以及是否是雙凹腔、平凹腔、平平腔、凹凸腔、雙凸腔；鏡曲率半徑與腔長(zhǎng)關(guān)系，決定光學(xué)諧振腔是穩(wěn)定腔、臨界腔或非穩(wěn)腔。3. CO2激光器的腔長(zhǎng)L1.5m，增益介質(zhì)折射率n1，腔鏡反射系數(shù)分別為r10.985，r20.8，忽略其它損耗，求該諧振腔的損耗，光子壽命，Q值和無(wú)源腔線寬。解題思考：關(guān)鍵概念：諧振腔單程損耗因子、光子壽命、Q值和無(wú)源腔縱模線寬，腔鏡反射系數(shù)，CO2激光器的波長(zhǎng)關(guān)鍵公式： 解：4. 證明：下圖所示的球面折射的傳播矩陣為。折射率分別為的兩介質(zhì)分界球面半徑為R。解題思考：關(guān)鍵概念：折射，傳播矩陣關(guān)鍵公式： q2證：bqiq1qzri rza兩介質(zhì)分界球

20、面光線出射處： (1)由折射定律和旁軸光線近似： (2)以及入射、反射和折射光線間的幾何關(guān)系： (3)式(1) (3)聯(lián)立解得：上式寫成矩陣形式：證畢5. 證明：下圖所示的直角全反射棱鏡的傳播矩陣為。折射率為h的棱鏡高d。解題思考：關(guān)鍵概念：傳播矩陣關(guān)鍵公式：各向同性自由空間傳播傳輸矩陣：，平面鏡反射傳播矩陣：，平面界面透射傳播矩陣：關(guān)鍵點(diǎn)：以光線傳播順序?qū)ο鄳?yīng)光學(xué)元件的傳播矩陣進(jìn)行逆序乘積。解：設(shè)圖中棱鏡材料中光垂直方向傳播距離為2lll=6. 導(dǎo)出下圖中1、2、3光線的傳輸矩陣。解題思考：關(guān)鍵概念：傳播矩陣關(guān)鍵公式：各向同性自由空間傳播傳輸矩陣：，球面界面反射傳播矩陣：，平面鏡反射傳播矩陣

21、：，球面界面透射傳播矩陣：關(guān)鍵點(diǎn)：以光線傳播順序?qū)ο鄳?yīng)光學(xué)元件的傳播矩陣進(jìn)行逆序乘積。解：設(shè)圖中透鏡材料的折射率為n光線1：光線2：=光線3：=7. 已知兩平板的折射系數(shù)及厚度分別為n1，d1，n2，d2。(1)兩平板平行放置，相距l(xiāng)，(2)兩平板緊貼在一起，光線相繼垂直通過空氣中這兩塊平行平板的傳輸矩陣，是什么? 解題思考：關(guān)鍵概念：傳播矩陣關(guān)鍵公式：長(zhǎng)方體傳播傳輸矩陣：,各向同性自由空間傳播傳輸矩陣：，平面界面透射傳播矩陣：關(guān)鍵點(diǎn)：以光線傳播順序?qū)ο鄳?yīng)光學(xué)元件的傳播矩陣進(jìn)行逆序乘積。解：(1) =(2) =另法解：= 8. 光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定條件是什么，有沒有例外？諧振腔穩(wěn)定條件的推導(dǎo)過程中

22、，只是要求光線相對(duì)于光軸的偏折角小于90度。因此，諧振腔穩(wěn)定條件是不是一個(gè)要求較低的條件，為什么？解題思考：關(guān)鍵概念：光學(xué)諧振腔，光學(xué)諧振腔穩(wěn)定條件關(guān)鍵公式：答：光學(xué)諧振腔穩(wěn)定條件是。這是一個(gè)要求很高的條件，沒有例外。這是因?yàn)?，在?dǎo)出這一穩(wěn)定條件時(shí)，盡管只是要求光線相對(duì)于光軸的偏折角小于90度，并沒有限定光線的往還次數(shù)，因此這是一個(gè)嚴(yán)苛的條件。9. 有兩個(gè)反射鏡，鏡面曲率半徑，R1=50cm，R2=100cm，試問：(1)構(gòu)成介穩(wěn)腔的兩鏡間距多大?(2)構(gòu)成穩(wěn)定腔的兩鏡間距在什么范圍?(3)構(gòu)成非穩(wěn)腔的兩鏡間距在什么范圍?解題思考：關(guān)鍵概念：光學(xué)諧振穩(wěn)定條件： 關(guān)鍵公式：穩(wěn)定腔：，介穩(wěn)腔：或，

23、非穩(wěn)腔：或解：(1)由，有，解得：或(無(wú)物理意義，舍棄)由，有，解得：或(無(wú)物理意義，舍棄)構(gòu)成介穩(wěn)腔的兩鏡間距：或(2)由，有，解得：或 (無(wú)物理意義，舍棄)構(gòu)成穩(wěn)定腔的兩鏡間距：(3)由，有，解得：或(無(wú)物理意義，舍棄)由，有，解得：構(gòu)成非穩(wěn)腔的兩鏡間距：或10. 共焦腔是不是穩(wěn)定腔，為什么？解題思考：關(guān)鍵概念：共焦腔、對(duì)稱共焦腔、穩(wěn)定腔關(guān)鍵公式：光學(xué)諧振穩(wěn)定條件：，共焦腔：關(guān)鍵點(diǎn)：腔鏡曲率半徑的正負(fù)解：共焦腔： 若該共焦腔為雙凹腔，令：由： 有：所以：若該共焦腔為凹凸腔：可令：有：綜上所述，由光學(xué)諧振穩(wěn)定條件：判定，共焦腔不是穩(wěn)定腔；只有對(duì)稱共焦腔是介穩(wěn)腔，其它結(jié)構(gòu)類型的共焦腔均是非穩(wěn)腔

24、。11. 腔內(nèi)有其它元件的兩鏡腔中，除兩腔鏡外的其余部分所對(duì)應(yīng)傳輸矩陣元為ABCD，腔鏡曲率半徑為、，證明：穩(wěn)定性條件為，其中；。解題思考：關(guān)鍵概念：光學(xué)諧振腔、穩(wěn)定腔、傳播矩陣關(guān)鍵公式：球面界面反射傳播矩陣：關(guān)鍵點(diǎn)：以光線傳播順序?qū)ο鄳?yīng)光學(xué)元件的傳播矩陣進(jìn)行逆序乘積，并考慮光線在諧振腔中的多次往返。解：光線在諧振腔中的一次往返：其中：由：， 可得：， 則：光線在腔內(nèi)往返諧振n次，由Sylvester定理可得 其中，。若希望旁軸光線不橫向逸出腔外，應(yīng)要求這四個(gè)矩陣元值不能無(wú)限大，即要求：也就是要求：對(duì)于題目所述球面鏡諧振腔：對(duì)于光學(xué)諧振腔來(lái)說(shuō)，光線傳輸矩陣元須滿足： 即：所以：光學(xué)諧振腔穩(wěn)定性

25、條件為：12. 試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面鏡腔的穩(wěn)定性條件。解題思考：關(guān)鍵概念：平凹、雙凹、凹凸共軸球面鏡光學(xué)諧振腔、鏡腔曲率半徑正負(fù)取值規(guī)定、穩(wěn)定性判據(jù)關(guān)鍵公式：解：(1)平凹腔平面鏡曲率半徑為無(wú)窮大：，假設(shè)凹面鏡腔對(duì)應(yīng)正曲率半徑：由穩(wěn)定性條件：可得：可見，凹面鏡腔正曲率半徑超過腔長(zhǎng)的平凹腔，為穩(wěn)定腔。(2) 雙凹腔假設(shè)凹面鏡腔正曲率半徑和，且：，由穩(wěn)定性條件：可得： 或可見，雙凹鏡腔的腔長(zhǎng)取值，或者超過兩凹面腔鏡中曲率半徑較大的曲率半徑，或者小于兩者之中曲率半徑較小的曲率半徑，即為穩(wěn)定腔。(3) 凹凸腔假設(shè)凹面鏡腔正曲率半徑，凸面鏡腔的負(fù)曲率半徑：，由穩(wěn)定性條件：可得： 或進(jìn)一步分析不等

26、式解中對(duì)腔長(zhǎng)取值要求可見，若凹面腔鏡曲率半徑值等于凸面腔鏡曲率半徑值的二倍：，腔長(zhǎng)取值：時(shí)為穩(wěn)定腔；若凹面腔鏡曲率半徑值小于凸面腔鏡曲率半徑值的二倍：，腔長(zhǎng)取值：時(shí)也為穩(wěn)定腔；若凹面腔鏡曲率半徑值大于凸面腔鏡曲率半徑值的二倍：，則兩鏡無(wú)法組成穩(wěn)定腔，即凹面腔鏡曲率半徑值須低于凸面腔鏡曲率半徑值二倍是凹凸鏡組成穩(wěn)定腔的前提。13. 激光器諧振腔由一面曲率半徑為1m的凸面鏡和曲率半徑為2m的凹面鏡組成，工作物質(zhì)長(zhǎng)0.5m，其折射率為1.52，求腔長(zhǎng)L在什么范圍內(nèi)是穩(wěn)定腔。解題思考：關(guān)鍵概念：凹凸面鏡諧振腔、鏡腔曲率半徑正負(fù)取值規(guī)定、等效腔長(zhǎng)、穩(wěn)定性判據(jù)關(guān)鍵公式：解：，由穩(wěn)定性條件：可得： 或 (腔

27、長(zhǎng)小于工作物質(zhì)長(zhǎng)度，不合理，舍棄)腔長(zhǎng)L取值在1.17m, 2.17m范圍內(nèi)是穩(wěn)定腔。14. 如下圖所示三鏡環(huán)形腔，已知l，試畫出其等效透鏡序列圖，并求球面鏡的曲率半徑R在什么范圍內(nèi)該腔是穩(wěn)定腔。圖示環(huán)形腔為非共軸球面鏡腔，在這種情況下，對(duì)于在由光軸組成的平面內(nèi)傳輸?shù)淖游绻饩€，f = Rcosq/2，對(duì)于在于此垂直的平面內(nèi)傳輸?shù)幕∈腹饩€，f = R/(2cosq)，q為光軸與球面鏡法線的夾角。15. 什么樣的光學(xué)諧振腔腔內(nèi)存在焦點(diǎn)？解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、介穩(wěn)腔、非穩(wěn)腔，諧振腔腔內(nèi)行波、束腰、焦點(diǎn)關(guān)鍵公式：解：焦點(diǎn)即諧振腔腔內(nèi)行波束最細(xì)之處，即束腰之處。腔內(nèi)存在行波束，即存在穩(wěn)定模式，是光

28、學(xué)諧振腔內(nèi)存在焦點(diǎn)的前提。光學(xué)諧振腔又分為非穩(wěn)腔、介穩(wěn)腔和穩(wěn)定腔，完整的解答本題需要針對(duì)非穩(wěn)腔、介穩(wěn)腔和穩(wěn)定腔三種情形分別予以討論。但是，本課程對(duì)非穩(wěn)腔和介穩(wěn)腔腔內(nèi)行波束性質(zhì)涉及的較少，所以針對(duì)非穩(wěn)腔和介穩(wěn)腔腔內(nèi)是否存在焦點(diǎn)，也只能根據(jù)本課程已介紹的內(nèi)容來(lái)回答。針對(duì)穩(wěn)定腔則可以通過與等價(jià)的對(duì)稱共焦腔作細(xì)致的討論。對(duì)于非穩(wěn)腔情形，雙凹鏡組成的不對(duì)稱實(shí)共焦腔腔內(nèi)存在焦點(diǎn)。對(duì)于介穩(wěn)腔情形，雙凹鏡組成的對(duì)稱共焦腔腔內(nèi)存在束腰，存在焦點(diǎn)。對(duì)于穩(wěn)定腔情形，其有等價(jià)的對(duì)稱共焦腔腔內(nèi)存在束腰，若該束腰位于穩(wěn)定腔兩腔鏡之間： 則對(duì)應(yīng)穩(wěn)定腔腔內(nèi)存在焦點(diǎn)。由上述方程組解得： 或者分別對(duì)應(yīng)由曲率半徑超過腔長(zhǎng)的雙凹面鏡

29、組成的穩(wěn)定腔，以及由曲率半徑不超過腔長(zhǎng)但兩鏡曲率半徑之和超過腔長(zhǎng)的兩鏡組成的穩(wěn)定腔。16. 試分析ABCD定律在光學(xué)諧振腔分析中的作用。解題思考：關(guān)鍵概念：傳播矩陣、ABCD定律、諧振腔穩(wěn)定性解：在光學(xué)諧振腔分析中，光學(xué)諧振腔中光線n次往返反射傳播所對(duì)應(yīng)的傳播矩陣為：按照ABCD定律，光學(xué)諧振腔中光線的最終坐標(biāo)通過傳播矩陣中的矩陣元素ABCD與初始坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)。在初始坐標(biāo)為近軸光線的情況下，通過要求傳播矩陣中的矩陣元素ABCD為有限量，得到了光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件?？梢?，ABCD定律在在光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性分析中發(fā)揮了重要作用。17. 一般穩(wěn)定球面鏡諧振腔與其等價(jià)共焦諧振腔，有什么相同，有什么不

30、同？解題思考：關(guān)鍵概念：對(duì)稱共焦腔、穩(wěn)定腔、等價(jià)對(duì)稱共焦腔、腔內(nèi)行波場(chǎng)、等相位面答：與穩(wěn)定腔等價(jià)的對(duì)稱共焦腔，是通過以對(duì)稱共焦腔行波等相位面相同曲率半徑反射鏡的插入而獲得這種等價(jià)關(guān)系的，根據(jù)是光線可逆原理。因此，這種等價(jià)關(guān)系是建立在幾何光學(xué)的基礎(chǔ)之上的，而不是建立在波動(dòng)衍射光學(xué)的基礎(chǔ)之上的。穩(wěn)定球面鏡諧振腔與其等價(jià)對(duì)稱共焦諧振腔真正相同的是腔行波的等相位面，即便是等相位面上的光電場(chǎng)大小分布也不一定相同。所以，穩(wěn)定球面鏡諧振腔與其等價(jià)對(duì)稱共焦諧振腔，在諧振腔結(jié)構(gòu)上相同的只有均為球面鏡，不一定相同的有菲涅爾數(shù)，腔鏡的曲率半徑、反射率和尺寸，以及腔長(zhǎng)；在腔內(nèi)行波上相同的有等相位面分布、雙曲線形狀、束

31、腰位置及大小、遠(yuǎn)程發(fā)散角，不一定相同的有縱模間距、衍射損耗、模體積、鏡面光斑大小，以及輸出激光束的束腰位置及大小、遠(yuǎn)程發(fā)散角等輸出激光參數(shù)。18. 非穩(wěn)腔的優(yōu)點(diǎn)是什么？解題思考：關(guān)鍵概念：非穩(wěn)腔、非穩(wěn)腔模式答：非穩(wěn)腔的主要優(yōu)點(diǎn)有：(1)幾何損耗高，容易鑒別和控制橫模，適用于高功率激光器；(2)模式體積大，對(duì)增益介質(zhì)的體積利用率高；(3)有平行光輸出模式，易于得到單端輸出和準(zhǔn)直的平行光束，應(yīng)用方便。19. 幾何損耗存在于哪一類型的諧振腔中？解題思考：關(guān)鍵概念：幾何損耗、衍射損耗，穩(wěn)定腔、介穩(wěn)腔、非穩(wěn)腔答：諧振腔中的損耗主要是指旁軸光線或稱近軸光線的損耗，其中幾何損耗存在于介穩(wěn)腔和非穩(wěn)腔中，穩(wěn)定腔

32、中的旁軸光線不存在幾何損耗。20. 光學(xué)諧振腔的衍射損耗與其什么參數(shù)相關(guān)？解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、衍射損耗、菲涅爾數(shù)、橫模關(guān)鍵公式：，答：光學(xué)諧振腔中的衍射損耗，主要由其菲涅爾數(shù)和橫模模階數(shù)決定。21. 為什么說(shuō)光學(xué)諧振腔積分方程的特征值的模決定腔損耗？解題思考：關(guān)鍵概念：光學(xué)諧振腔、特征值、衍射損耗、自再現(xiàn)模關(guān)鍵公式：答：在光學(xué)諧振腔中，自再現(xiàn)模單程傳播所經(jīng)受的光電場(chǎng)衰減由式中諧振腔積分方程的特征值描述。將光電場(chǎng)換成光強(qiáng)，即對(duì)上式兩邊取平方：與諧振腔單程損耗因子：比較可得：可見，腔損耗由特征值的模決定。22. 為什么說(shuō)光學(xué)諧振腔積分方程的特征值的幅角決定光波的單程相移？23. 穩(wěn)定諧振腔

33、有哪些可能的形式？與非穩(wěn)定諧振腔相比有哪些缺點(diǎn)？解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、非穩(wěn)腔、模式答：穩(wěn)定腔的主要形式有：(1)雙凹腔；(2) 平凹腔；(3) 凸凹腔。與非穩(wěn)定諧振腔相比，穩(wěn)定腔的主要缺點(diǎn)有：(1)損耗小，選模能力差；(2)模式體積小，對(duì)增益介質(zhì)的體積利用率低。24. 光學(xué)諧振腔有哪些常用研究方法？如何理解自再現(xiàn)模？采用衍射積分方程方法研究激光器的模式和采用幾何光學(xué)的辦法研究各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？解題思考：關(guān)鍵概念：光學(xué)諧振腔、自再現(xiàn)模、模式、衍射積分方程方法、幾何光學(xué)辦法答：研究光學(xué)諧振腔常用的方法有兩種，一是幾何光學(xué)辦法，一是衍射積分方程方法。在光學(xué)諧振腔研究中，一般以幾何光學(xué)辦法探討近軸

34、光線在光學(xué)諧振腔中的傳播行為，研究光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性問題；近軸光線在光學(xué)諧振腔中的衍射行為，則采用衍射積分方程方法研究。自再現(xiàn)模則是在考慮了衍射行為的近軸光線，在光學(xué)諧振腔中反復(fù)反射往還后，所形成的有相對(duì)穩(wěn)定函數(shù)分布的光電場(chǎng)分布，即光學(xué)諧振腔模式。幾何光學(xué)處理方法，具有簡(jiǎn)潔易懂的優(yōu)勢(shì)，但只能討論光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性；衍射積分方程方法相對(duì)深?yuàn)W復(fù)雜，但可以提供光學(xué)諧振腔中自再現(xiàn)模的形成、模式光電場(chǎng)的強(qiáng)度和相位分布、腔內(nèi)行波場(chǎng)、衍射損耗等光學(xué)諧振腔模式的所有性質(zhì)。25. 什么是光學(xué)諧振腔的模式？對(duì)縱、橫模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、縱模、橫模答：電磁場(chǎng)理論表明，在

35、具有一定邊界條件的腔內(nèi)，電磁場(chǎng)只能存在于一系列分立的本征狀態(tài)之中，場(chǎng)的每種本征狀態(tài)將具有一定的振蕩頻率和空間分布。通常諧振腔內(nèi)可能存在的電磁場(chǎng)本征態(tài)稱為腔的模式。光學(xué)諧振腔的模式，即是這種能夠自再現(xiàn)的穩(wěn)定的電磁場(chǎng)分布，對(duì)應(yīng)著光學(xué)諧振腔的一系列本征態(tài)。其中包含著模式自再現(xiàn)物理思想。不同的縱模相應(yīng)于不同的q值，對(duì)應(yīng)不同的頻率。不同的橫模，對(duì)應(yīng)于不同的橫向穩(wěn)定的光場(chǎng)分布和頻率。對(duì)縱模要求電磁場(chǎng)在頻域上滿足由駐波條件所要求的諧振條件，對(duì)橫模要求損耗小，主要是衍射損耗。26. 諧振腔腔長(zhǎng)L1m，介質(zhì)折射率n1，兩腔鏡反射系數(shù)分別為r11，r20.99，求1500MHz線寬內(nèi)包含的縱模個(gè)數(shù)。27. ，的對(duì)

36、稱腔，相鄰縱模的頻率差為多少？28. 若法卜里珀羅平面干涉儀的腔長(zhǎng)為4.5，它的自由譜寬為多少，能否分辨，Dl=0.01nm的HeNe激光譜線？29. Fox-Li的數(shù)值迭代法解平行平面鏡諧振腔，有哪些結(jié)論，有哪些意義？解題思考：關(guān)鍵概念：平行平面鏡諧振腔、Fox-Li的數(shù)值迭代法答：主要結(jié)論有：(1). 鏡面上的振幅分布為中央強(qiáng)邊緣弱，偶對(duì)稱；(2). 鏡面上的相位不是等相位面分布；(3). 單程相移由幾何相移和與橫模相關(guān)的附加相移構(gòu)成；(4). 諧振頻率不只由腔長(zhǎng)決定，還與橫模相關(guān)。主要意義有：(1). 首次得到模式，證明模式自再現(xiàn)思想的正確性；它逐次近似計(jì)算直接求出了一系列自再現(xiàn)模，從而

37、第一次證明了開腔模式的存在性，并從數(shù)學(xué)上論證了開腔自再現(xiàn)模積分方程解的存在性； (2). 迭代一次，光在腔內(nèi)傳播一次，是個(gè)針對(duì)光傳輸?shù)木_計(jì)算方法；數(shù)學(xué)運(yùn)算過程與模在腔中往返傳播而形成自再現(xiàn)模的物理過程相對(duì)應(yīng)，能加強(qiáng)理解自再現(xiàn)模形成的物理過程；(3). 原則上可應(yīng)用于任何腔型的自再現(xiàn)模計(jì)算，利用標(biāo)準(zhǔn)化計(jì)算機(jī)程序可以求得任意精確度的數(shù)值解，具有普遍適用性。30. 穩(wěn)定球面諧振腔旁軸光線的單程相對(duì)功率損耗1-1/2，它與單程衍射損耗因子之間有何關(guān)系？31. 試由方形鏡共焦腔內(nèi)行波場(chǎng)，導(dǎo)出腔內(nèi)等相位面表示。32. 同一個(gè)光學(xué)諧振腔中的不同橫模，有什么異同？解題思考：關(guān)鍵概念：橫模、諧振腔積分本征方程

38、答：同一個(gè)光學(xué)諧振腔中不同橫模的相同點(diǎn)有，都是諧振腔積分本征方程的本征解，都是旁軸傳輸?shù)碾姶挪ㄔ谥C振腔中經(jīng)反復(fù)衍射損耗形成的穩(wěn)定的光電場(chǎng)的穩(wěn)定分布。同一橫模的不同模斑具有反相或同相的相位。同一個(gè)光學(xué)諧振腔中不同橫模的不同點(diǎn)有，光斑形狀、大小以及光電場(chǎng)偏振方向，另外，相位無(wú)固定關(guān)系。33. 高階橫模的不同模斑若相遇，能否干涉，為什么？解題思考：關(guān)鍵概念：橫模、橫模的相位關(guān)系答：同一高階橫模的不同模斑間，具有反相或同相的固定的相位關(guān)系。若相遇，則干涉相消或加強(qiáng)。不同高階橫模，相位無(wú)固定關(guān)系。若相遇，不會(huì)干涉。34. 分別由方形鏡和圓形鏡組成的穩(wěn)定諧振腔有沒有區(qū)別，為什么？解題思考：關(guān)鍵概念：方形腔

39、鏡、圓形腔鏡、穩(wěn)定腔、等價(jià)對(duì)稱共焦腔關(guān)鍵公式： 答：有區(qū)別。區(qū)別主要表現(xiàn)在兩者的模式場(chǎng)解上。雖然兩者在模式光束形狀、等相位面的曲率半徑及光束發(fā)散角等方面有相同的表達(dá)式，但卻存在以下明顯的區(qū)別：（1）模斑形狀方形鏡對(duì)稱共焦腔模式場(chǎng)強(qiáng)的解主要由角向長(zhǎng)橢球函數(shù)這種特殊函數(shù)構(gòu)成，在腔的菲涅爾數(shù)N值較大的情況下可以近似為厄米多項(xiàng)式的形式，具有x軸和y軸對(duì)稱性。圓形鏡對(duì)稱共焦腔模式場(chǎng)強(qiáng)的解主要由超橢球函數(shù)構(gòu)成，在腔的菲涅爾數(shù)N值較大的情況下，可以近似表示為拉蓋爾多項(xiàng)式的形式，具有圓對(duì)稱性。無(wú)論是方形鏡或者是圓形鏡組成的穩(wěn)定諧振腔，其模式場(chǎng)模斑形狀軍營(yíng)與其等價(jià)的對(duì)稱共焦腔的模式場(chǎng)相似，所以，方形鏡和圓形鏡穩(wěn)

40、定腔模斑形狀的區(qū)別，應(yīng)為具有x軸和y軸對(duì)稱性的厄米多項(xiàng)式模斑形狀，與具有圓對(duì)稱性的拉蓋爾多項(xiàng)式模斑形狀的區(qū)別。（2）模式頻率方形鏡對(duì)稱共焦腔模式場(chǎng)對(duì)應(yīng)相位的幅角解為：各階橫模的諧振頻率為：圓形鏡對(duì)稱共焦腔模式場(chǎng)對(duì)應(yīng)相位的幅角解為：各階橫模的諧振頻率為：因穩(wěn)定諧振腔與其等價(jià)的對(duì)稱共焦腔在模式場(chǎng)上的相似性，方形鏡和圓形鏡組成的穩(wěn)定諧振腔的模式頻率，也應(yīng)有類似的區(qū)別。35. 能否得到穩(wěn)定腔橫模的解析表示，為什么？36. 為什么說(shuō)對(duì)稱共焦腔非常重要？解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、共焦腔、對(duì)稱共焦腔、等價(jià)對(duì)稱共焦腔答：對(duì)稱共焦腔的衍射積分本征方程，有解析解，因此其腔內(nèi)行波場(chǎng)有解析函數(shù)表示，相關(guān)模式特征和形

41、貌明確。穩(wěn)定腔是一類常用的激光器腔型，但其衍射積分本征方程一直未能獲得解析解，所以，其腔內(nèi)行波場(chǎng)的模式特征和形貌不似對(duì)稱共焦腔中那樣能依靠解析解來(lái)獲得明確的描述。等價(jià)對(duì)稱共焦腔的存在，使得穩(wěn)定腔內(nèi)行波場(chǎng)的模式特征和形貌，能夠通過與其等價(jià)的對(duì)稱共焦腔的解析解，來(lái)獲得較為明確的描述，可見對(duì)稱共焦腔對(duì)于激光器的研制工作具有非常高的重要性。37. 如果使用一個(gè)參數(shù)描述穩(wěn)定諧振腔的衍射損耗大小，你愿意用哪個(gè)，為什么？解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、衍射損耗、損耗描述參數(shù)關(guān)鍵公式： 答：可以描述穩(wěn)定諧振腔中衍射損耗大小的參數(shù)有諧振腔單程損耗因子、平均光子壽命、Q參數(shù)、縱模線寬及菲涅爾數(shù)等參數(shù)。如果須使用一個(gè)參

42、數(shù)來(lái)描述穩(wěn)定諧振腔的衍射損耗大小，我愿意使用菲涅爾數(shù)。這是因?yàn)榉€(wěn)定諧振腔中光電場(chǎng)本征函數(shù)解相對(duì)應(yīng)本征值的模，直接決定穩(wěn)定諧振腔對(duì)應(yīng)模式的衍射損耗，而該模函數(shù)為徑向長(zhǎng)橢球函數(shù)，函數(shù)的自變量C為：它與菲涅爾數(shù)：成正比。38. 腔長(zhǎng)L=1m的雙凹穩(wěn)定腔，兩腔鏡的半徑分別為R11.5m，R23m，求其等效共焦腔的腔長(zhǎng)，并畫出等效共焦腔的位置。解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、等價(jià)對(duì)稱共焦腔關(guān)鍵公式：解： 該雙凹腔為穩(wěn)定腔。因此，可以該雙凹穩(wěn)定腔的等價(jià)對(duì)稱共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、以雙凹鏡面中心連線為z軸建立坐標(biāo)系。假設(shè)該雙凹鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為z1和z2，等價(jià)對(duì)稱共焦腔的腔長(zhǎng)L為2F。由：得：等效共焦腔腔

43、鏡的位置如下圖虛線所示：39. 方形孔徑共焦腔氦氖激光器，腔長(zhǎng)L=30cm，腔鏡反射率分別為r11，r20.96，方形孔邊長(zhǎng)d=2a=0.12cm，其它損耗以每程0.003計(jì)，工作波長(zhǎng)=632.8nm。此激光器能否作單模運(yùn)轉(zhuǎn)？如果想在共焦鏡面附近加一個(gè)方形小孔闌來(lái)選擇模，小孔的邊長(zhǎng)應(yīng)為多大？試根據(jù)公式估算氦氖增益，l為增益介質(zhì)放電管長(zhǎng)度。解題思考：關(guān)鍵概念：橫模、縱模、橫模模斑半徑、縱模頻率、縱模頻率間隔、損耗、增益、單模關(guān)鍵公式： 關(guān)鍵思路：增益大于損耗、孔闌大于模斑半徑的模式能振蕩運(yùn)轉(zhuǎn)解：可見，若不考慮孔闌的作用，腔內(nèi)光獲得的增益大于損耗，能振蕩運(yùn)轉(zhuǎn)?；鶛M模鏡面模斑半徑一階橫模鏡面模斑半徑

44、方形孔邊長(zhǎng)d=2a=1.2cm，大于一階橫模在鏡面上的模斑直徑2，在不附加選橫模措施的情況下，此激光器應(yīng)不會(huì)作單橫基模運(yùn)轉(zhuǎn)。若以在共焦鏡面附近加一個(gè)方形小孔闌來(lái)作選模措施，孔闌邊長(zhǎng)S須超過基橫模鏡面模斑直徑2保證基橫模即可振蕩運(yùn)轉(zhuǎn)，同時(shí)又小于一階橫模鏡面模斑直徑2來(lái)阻止一階以上的高階橫模振蕩運(yùn)轉(zhuǎn)。所以，要求單橫模運(yùn)轉(zhuǎn)的選?？钻@邊長(zhǎng)S的取值范圍應(yīng)為：40. 腔長(zhǎng)L的對(duì)稱雙凹腔，反射鏡曲率半徑為R=2.5L，工作波長(zhǎng)為，求鏡面上的基模高斯光束的光斑半徑。41. 今有一平面反射鏡和一曲率半徑為R=1m的凹面反射鏡，問：應(yīng)如何構(gòu)成一平-凹穩(wěn)定腔以獲得最小的基模遠(yuǎn)場(chǎng)角；畫出光束發(fā)散角與腔長(zhǎng)L的關(guān)系曲線。

45、解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、等價(jià)對(duì)稱共焦腔關(guān)鍵公式：解：假設(shè)該平面反射鏡和凹面反射鏡組成的平凹穩(wěn)定腔腔長(zhǎng)為L(zhǎng)。 穩(wěn)定腔要求： 即：該穩(wěn)定腔的等價(jià)對(duì)稱共焦腔的基模遠(yuǎn)場(chǎng)角： 光束發(fā)散角與腔長(zhǎng)L的關(guān)系曲線如下圖所示：將其視為腔長(zhǎng)L的函數(shù)。由：得：而：所以，最小的基模遠(yuǎn)場(chǎng)角為：42. 試導(dǎo)出如下腔型所對(duì)應(yīng)的共軛共焦腔結(jié)構(gòu)和輸出光參數(shù)。解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定性條件、穩(wěn)定腔、共軛共焦腔、等價(jià)對(duì)稱共焦腔，輸出光參數(shù)：束腰大小和位置、發(fā)散角關(guān)鍵公式：解： 可見，如圖腔型為穩(wěn)定腔。共軛共焦腔即對(duì)稱共焦腔。因此，可以該腔型腔鏡面中心連線為z軸以其等價(jià)對(duì)稱共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，同時(shí)假設(shè)該腔型的兩腔鏡在該

46、坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為z1和z2，等價(jià)對(duì)稱共焦腔的腔長(zhǎng)為2F，束腰為，全發(fā)散角為?？梢?，該腔輸出光束腰大小為米，位于束腰該腔的平面腔鏡上，全發(fā)散角為。與該腔等價(jià)的共軛共焦腔長(zhǎng)為0.92米，腔中心位于平面腔鏡上。43. 試求出方形鏡共焦腔面上模的節(jié)線位置，這些節(jié)線是等距分布的嗎？44. 求圓形鏡共焦腔和模在鏡面上光斑的節(jié)線位置。45. 腔長(zhǎng)L=0.8m的球面腔，腔鏡曲率半徑分別為R1=1.5m和R2=1m。試證明該腔為穩(wěn)定腔；求出它的等價(jià)共焦腔的參數(shù)；在圖上畫出等價(jià)共焦腔的具體位置。解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定腔、等價(jià)對(duì)稱共焦腔關(guān)鍵公式：解： 可見，該腔為穩(wěn)定腔?？梢栽撾p腔的等價(jià)對(duì)稱共焦腔中心為坐標(biāo)原

47、點(diǎn)、以雙凹鏡面中心連線為z軸建立坐標(biāo)系。假設(shè)該雙凹鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為z1和z2，等價(jià)對(duì)稱共焦腔的腔長(zhǎng)L為2F。由：得：等效共焦腔腔鏡的位置如下圖虛線所示：46. 某二氧化碳激光器采用平、凹腔，L=50cm，R=2m，2a=1cm，。試計(jì)算、各為多少。47. 試證明，在所有相同而R不同的對(duì)稱球面鏡穩(wěn)定腔中，共焦腔的衍射損耗最低。L表示腔長(zhǎng)，為腔鏡的曲率半徑，a為鏡面半徑。48. 推導(dǎo)出平-凹穩(wěn)定腔基模在鏡面上光斑大小的表示式，做出：（1）當(dāng)R=100cm時(shí)，、隨L而變化的曲線；（2）當(dāng)L=100cm時(shí)，、隨R而變化的曲線。49. 平凹腔中凹面鏡曲率半徑為R，腔長(zhǎng)L=0.2R，光波長(zhǎng)為，求

48、此平凹腔產(chǎn)生的基模高斯光束的束腰半徑。解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定性條件、穩(wěn)定腔等價(jià)對(duì)稱共焦腔、基模、束腰半徑關(guān)鍵公式：解：假設(shè)第一個(gè)腔鏡為凹面鏡，第二個(gè)腔鏡為平面鏡。 可見，為穩(wěn)定腔。因此，可以該平凹腔兩腔鏡面中心連線為z軸以其等價(jià)對(duì)稱共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，同時(shí)假設(shè)該平凹腔的兩腔鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為z1和z2，等價(jià)對(duì)稱共焦腔的腔長(zhǎng)為2F，束腰為?？梢姡似桨记划a(chǎn)生的基模高斯光束的束腰半徑為米。50. 試證明經(jīng)過焦距為F的薄透鏡，高斯光束的q參數(shù)傳播滿足ABCD定律。51. 若A激光器的激光束經(jīng)透鏡變換匹配地射入B激光器，B激光器的激光束能不能匹配地射入A激光器，為什么？解題思考：

49、關(guān)鍵概念：模式、模式匹配解題關(guān)鍵點(diǎn)：光線可逆答：假若A激光器的激光束經(jīng)透鏡變換匹配地射入B激光器，則B激光器的激光束也能匹配地射入A激光器。這是因?yàn)楣饩€可逆。所謂A激光器的激光束經(jīng)透鏡變換匹配地射入B激光器，實(shí)際上是A激光器的激光束腰，經(jīng)過A和B激光器激光束腰間的光學(xué)元器件的高斯光束變換，被變換到B激光器的激光束腰位置上，且與B激光器的激光束腰大小相等。因?yàn)楣饩€可逆，B激光器的激光束腰，經(jīng)過A和B激光器激光束腰間的光學(xué)元器件的高斯光束變換，應(yīng)被變換到A激光器的激光束腰位置上，且與A激光器的激光束腰大小相等，B激光器的激光束匹配地射入A激光器。52. 已知一高斯光束束腰半徑為w0，束腰與焦距為f

50、的薄透鏡相距為l，經(jīng)透鏡變換后傳輸距離l1，又經(jīng)一折射率為n，長(zhǎng)L的透明介質(zhì)后輸出（如下圖所示），求：1)高斯光束在介質(zhì)出射面處的q參數(shù)和光斑半徑；2)若將介質(zhì)移到薄透鏡處，即l10 (不考慮可能存在的間隙)，求輸出高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角；解題思考：關(guān)鍵概念：高斯光束、q參數(shù)、高斯光束的薄透鏡變換、傳播矩陣、遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角關(guān)鍵公式：各向同性自由空間傳播傳輸矩陣：，透鏡透射傳播矩陣：，平面界面透射傳播矩陣：ABCD定律： 關(guān)鍵點(diǎn)：以光線傳播順序?qū)ο鄳?yīng)光學(xué)元件的傳播矩陣進(jìn)行逆序乘積。解：(1) 高斯光束傳輸通過的對(duì)應(yīng)光器件組的傳播矩陣為：=由ABCD定律，高斯光束在介質(zhì)出射面處的q參數(shù)：而：由：高斯光束

51、在介質(zhì)出射面處的光斑半徑：(2) 將介質(zhì)移到薄透鏡處，即l10，高斯光束傳輸通過的對(duì)應(yīng)光器件組的傳播矩陣為：=由ABCD定律，高斯光束在介質(zhì)出射面處的q參數(shù)：所以由：輸出高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角：53. 兩支He-Ne激光器都采用平凹腔，尺寸如圖所示，請(qǐng)問在何處插入焦距為多少的透鏡可以實(shí)現(xiàn)而者的模式匹配。解題思考：關(guān)鍵概念：穩(wěn)定性條件、穩(wěn)定腔等價(jià)對(duì)稱共焦腔、高斯光束束腰、q參數(shù)、高斯光束的薄透鏡變換、模式匹配、傳播矩陣關(guān)鍵公式：各向同性自由空間傳播傳輸矩陣：，透鏡透射傳播矩陣：， ABCD定律：關(guān)鍵點(diǎn)：第二個(gè)諧振腔的左側(cè)腔鏡對(duì)入射高斯光束也起透鏡變換作用。解：對(duì)于第一個(gè)諧振腔：可見，第一個(gè)諧振腔為

52、穩(wěn)定腔。因此，可以第一個(gè)諧振腔兩腔鏡面中心連線為z軸以其等價(jià)對(duì)稱共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，同時(shí)假設(shè)該平凹腔的兩腔鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為z11和z12，等價(jià)對(duì)稱共焦腔的腔長(zhǎng)為2F1，束腰為?？梢姷谝粋€(gè)諧振腔高斯光束的束腰位于其平面腔鏡上。對(duì)于第二個(gè)諧振腔：可見，第二個(gè)諧振腔也為穩(wěn)定腔。因此，可以第二個(gè)諧振腔兩腔鏡面中心連線為z軸以其等價(jià)對(duì)稱共焦腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，同時(shí)假設(shè)該平凹腔的兩腔鏡在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為z21和z22，等價(jià)對(duì)稱共焦腔的腔長(zhǎng)為2F2，束腰為?？梢姷诙€(gè)諧振腔高斯光束的束腰也位于其平面腔鏡上。假設(shè)在兩個(gè)諧振腔之間、距第二個(gè)諧振腔的左側(cè)腔鏡l處插入焦距為f的透

53、鏡，可以實(shí)現(xiàn)兩者的模式匹配。則兩諧振腔高斯光束束腰間的光器件組的傳播矩陣為：=由ABCD定律：，其中：得：可得實(shí)數(shù)方程組：解得：在兩個(gè)諧振腔之間、距第二個(gè)諧振腔的左側(cè)腔鏡34厘米處插入焦距為45厘米的透鏡，即可實(shí)現(xiàn)兩者模式匹配。54. 采用方形共焦腔He-Ne激光器的腔長(zhǎng)L=30cm，反射鏡尺寸為2a=0.2cm，如果一個(gè)模式的光斑大小超過鏡面尺寸，則認(rèn)為該模式不可能存在，求此激光器的最高橫模階次。55. 已知高斯光束的束腰半徑為w0，求：1）A點(diǎn)與束腰相距為z，求光斑半徑w(z)；2）如果測(cè)量到A點(diǎn)光斑光強(qiáng)下降到最大值的處的半徑為wp，求wp和w(z)的關(guān)系。21 為什么說(shuō)光學(xué)諧振腔積分方程

54、的特征值的虛部決定光波的單程相移？解：由于，代入中得：。即表示腔內(nèi)經(jīng)單程度越后自再現(xiàn)模的振幅衰減。即的實(shí)部決定腔損耗，表示每經(jīng)一次度越的相位滯后，所以的虛部決定的單程相移。22 穩(wěn)定球面諧振腔旁軸光線的單程相對(duì)功率損耗1-1/2，它與單程衍射損耗因子之間有何關(guān)系？解答：23 如果使用一個(gè)參數(shù)描述穩(wěn)定諧振腔的衍射損耗大小，你愿意用哪個(gè)，為什么？解答：選用菲涅爾數(shù)N來(lái)表示。，它與模的表面積和模的光斑面積有關(guān)，它在一定程度上反映了導(dǎo)致衍射損耗的另外兩個(gè)因素：腔的幾何結(jié)構(gòu)和橫模的階數(shù)。所以選用菲涅爾參數(shù)。24 為什么說(shuō)對(duì)稱共焦腔非常重要？解答：對(duì)稱共焦腔不僅能定量地說(shuō)明共焦腔振蕩模本身的特性，更重要的是它能被推廣應(yīng)用到整個(gè)低損耗球面鏡腔系統(tǒng)。共焦腔模式理論表明，任何一個(gè)共焦腔與無(wú)窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)，而任何一個(gè)穩(wěn)定球面腔唯一地等價(jià)于一個(gè)共焦腔。所以研究對(duì)稱共焦腔顯得很