固體物理學(xué)答案

1、 第五章 晶體中電子能帶理論 習(xí)題晶體常數(shù)為的一維晶體中，電子的波函數(shù)為（1）,（2）是某一函數(shù)，求電子在以上狀態(tài)中的波矢解 答由固體物理教程（5.14）式可知，在一維周期勢場中運動的電子的波函數(shù)滿足由此得 (1) 于是 因此得 若只取布里淵區(qū)內(nèi)的值： ，則有 (2) 令 得 .由上式知 =1所以有 因此得在布里淵區(qū)內(nèi)的值為2.一維周期勢場為其中，為常數(shù)，試畫出此勢能曲線，并求出勢能的平均值解 答圖5.1一維周期勢場如圖5.1所示，由于勢能具有周期性，因此只能在一個周期內(nèi)求平均即可，于是得 = = =.3.用近自由電子模型求解上題，確定晶體的第一及第二個禁帶寬度解 答根據(jù)教科書（5.35）式知

2、禁帶寬度的表示式為 ， 其中是周期勢場傅里葉級數(shù)的系數(shù)，該系數(shù)可由固體物理教程（5.22）式 = 求得，第一禁帶寬度為=2=2 =2 =.第二禁帶寬度為 =2 =2 =2 =4.已知一維晶格中電子的能帶可寫成 ，式中是晶格常數(shù)是電子的質(zhì)量，求（1）能帶寬度，（2）電子的平均速度，（3）在帶頂和帶底的電子的有效質(zhì)量解 答（1）能帶寬度為 由極值條件 得上式的唯一解是的解，此式在第一布里淵區(qū)內(nèi)的解為 .當(dāng)取極小值，且有 =當(dāng)，E(k)取極大值,且有 由以上可得能帶寬度為（2）由固體物理教程（5.81）式，得電子的平均速度為 （3）由固體物理教程（5.87）式得，帶頂和帶底電子的有效質(zhì)量分別為 對簡

3、立方結(jié)構(gòu)晶體，其晶格常數(shù)為（1）用緊束縛方法求出對應(yīng)非簡并態(tài)電子的能帶；（2）分別畫出第一布里淵區(qū)110方向的能帶電子的平均速度、有效質(zhì)量以及沿110方向有恒定電場時的加速度曲線解 答（1）非簡并態(tài)電子的能帶 式中是晶體參考格點最近鄰格矢對于簡單立方晶體，任一格點有6個最近鄰取參考格點的坐標(biāo)為（0,0,0）,則6個最近鄰點的坐標(biāo)為 簡單立方體非簡并s態(tài)電子的能帶則為（2）在110方向上 能帶變?yōu)?其中 在110方向上,在第一布里淵區(qū)內(nèi),電子的能帶如圖5.2所示. 圖5.2110方向電子的能帶電子的平均速度 平均速度曲線如圖5.3所示. 圖5.3 平均速度曲線電子的有效質(zhì)量 有效質(zhì)量曲線如圖5.

4、4所示. 圖5.4 有效質(zhì)量曲線 在110方向有恒定電場情況下,電子的受力 電子的加速度 .設(shè)電場方向與110方向相反,加速度曲線則如圖5.5所示. 圖5.5加速度曲線6.用緊束縛方法處理面心立方體晶格的s態(tài)電子,試導(dǎo)出其能帶,并求出能帶底的有效質(zhì)量. 解 答 用緊束縛方法處理晶格的s態(tài)電子,當(dāng)只計及最近鄰格點的相互作用時,根據(jù)固體物理教程（5.60）式,其能帶表示式為 ,是最近鄰格矢.對面心立方晶格,取參考點的坐標(biāo)為(0,0,0),則12個最近鄰格點的坐標(biāo)為(,0),( ,0, ),(0, ,).將上述12組坐標(biāo)帶入能帶的表示式,得 .能帶底即的最小值對應(yīng)的為(0,0,0),有固體物理教程(

5、5.87)可得在能帶底處電子的有效質(zhì)量為.同理可得,其它交叉項的倒數(shù)全為零.7.用緊束縛方法處理體心立方晶體,求出（1） s態(tài)電子的能帶為 ;（2） 畫出第一布里淵區(qū)111方向的能帶曲線;（3） 求出帶頂和帶底電子的有效質(zhì)量.【解 答】（1）用緊束縛方法處理晶格的s態(tài)電子,當(dāng)只計及最近鄰格點的相互作用時,其能帶的表示式為是最近鄰格矢.對體心立方晶格,取參考格點的坐標(biāo)為（0,0,0）,則8個最近鄰格點的坐標(biāo)為 （）.將上述8組坐標(biāo)代入能帶的表示式,的 .（2）在111方向上 ,且第一布里淵區(qū)邊界在 ,于是能帶化成 ,其中.圖5.6為第一布里淵區(qū)111方向的能帶曲線. 圖5.6 111方向的能帶曲

6、線（3）由能帶的表示式及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)時,取最小值,即是能帶底,電子的有效質(zhì)量為 同理可得 ,其它交叉項的倒數(shù)全為零.而在布里淵區(qū)邊界上的 處是能帶頂,電子的有效質(zhì)量為 .其它交叉項的倒數(shù)也全為零.8.某晶體電子的等能面是橢球面 ,坐標(biāo)軸1，2，3相互垂.（1） 求能態(tài)密度;（2） 今加一磁場, 與坐標(biāo)軸的夾角的方向余弦分別為,寫出電子的運動方程;（3） 證明電子在磁場中的回旋頻率 ,其中 .【解 答】（1） 由已知條件可將波矢空間內(nèi)電子能帶滿足的方程化為 .將上式與橢球公式 比較可知,在波矢空間內(nèi)電子的等能面是一橢球面.與橢球的體積 比較可得到,能量為的等能面圍成的橢球體積 由上式可

7、得 .能量區(qū)間內(nèi)電子的狀態(tài)數(shù)目 是晶體體積.電子的能態(tài)密度 （2） 根據(jù)固體物理教程中（5.86）式得 , , .將 代入上述三式得運動方程為 .即 . （1）當(dāng)存在磁場時,電子受到洛侖茲力 .其分量形式為 , , 式中 ,.將上述結(jié)果代入運動方程（1）得 （2）(3)上述方程可用不同的方法求解.解法一：對(2)式兩邊作拉普拉斯變換，并采用如下初始條件 ,得 +-=, -+=, -+=.由此解出 .其中.,., .因此得 .上式兩邊取逆拉普拉斯變換得 .同理可得 . , .及 . .可見電子回旋頻率為.解法二：由于電子作周期運動，將試探解 , （這里一般為復(fù)數(shù)，電子的真實速度應(yīng)為的實部或虛部.

8、）代入（2）式得 +-=0, +-=0, -+=0.有不全為零的解的充要條件是 .由此得 .于是 .這樣，兩種方法均給出電子回旋頻率為 .再將 ,代入上式即得,其中.9.求出一維、二維金屬中自由的能態(tài)密度.解 答（1）一維情況自由電子的色散關(guān)系為 .由此得 ,即 .對應(yīng)同一個，在方向各有一個，因此空間中之間的區(qū)間為 ,在該范圍內(nèi)的狀態(tài)數(shù)為 , 其中L是晶格長度.于是，態(tài)密度 .（2）二維情況參照固體物理教程（5.102）式可知，二維情況下態(tài)密度的一般表示式為 .其中S是晶格的面積，積分沿能量為E的等能線進行.由 得 .于是有 .10.二維金屬晶格，晶胞為簡單矩形，晶格常數(shù),，原子為單價的.(1

9、) 試畫出第一、二布里淵區(qū)； (2) 計算自由電子費密半徑；(3) 畫出費密面在第一、二布里淵區(qū)的形狀. 【解 答】（1） 倒格子原胞基矢 .選定一倒格點為原點,原點的最近鄰倒格矢有4個,它們是 這4個倒格矢的中垂線圍成的區(qū)間即是第一布里淵區(qū).即圖5.7中所示區(qū)間.原點的次近鄰倒格矢有4個,它們是 這4個倒格矢的中垂線圍成的區(qū)間與第一布里淵區(qū)邊界圍成的區(qū)間即是第二布里淵區(qū).即圖5.7中所示區(qū)間. 圖5.7 二維矩形晶格第一、二布里淵區(qū)（2）在絕對零度時,二維金屬中導(dǎo)電電子若看成自由電子,電子的能量,能量區(qū)間的電子占據(jù)波矢空間的范圍.在此范圍內(nèi)的波矢數(shù)目為圖5.8二維波矢空間,其中是二維金屬中導(dǎo)

10、電電子的波矢密度,S是金屬面積。由得 .能量區(qū)間的量子態(tài)數(shù)目則為 .能態(tài)密度.在絕對零度時，費米能級以下的量子態(tài)全被電子占據(jù)，所以有 .由上式可得 ，其中n是金屬中導(dǎo)電電子的密度。令 ,可得二維金屬中導(dǎo)電電子的費米半徑為 。對于原胞面積為 的單價金屬， ， （3）圖5.9劃出了費米面在第一、第二布里淵區(qū)的形狀。 圖5.9 費米面在第一、二布里淵區(qū)的形狀11.計算體心和面心一價金屬的比值.其中是自由電子的費米半徑，是原點到第一布里淵區(qū)邊界的最小距離.【解 答】體心立方格子的倒格基矢可取 因為倒格子是面心立方結(jié)構(gòu)，所以離原點最近的有12個倒格點，它們是 由這12個倒格矢的中垂線圍成的區(qū)間就是第一布

11、里淵區(qū).因此，原點到第一布里淵區(qū)邊界的最小距離等于這12個倒格矢中任一個倒格矢模的一半.所以 由固體物理教程（6.4）式可知，自由電子的費米半徑 式中n為單位體積中的電子數(shù).對單價金屬體心立方格子， ，費米半徑 于是可得 .面心立方格子的倒格矢可取為 因為倒格子是體心立方結(jié)構(gòu)，所以離原點最近的有8個倒格點，它們是 原點到第一布里淵區(qū)邊界的最小距離等于這8個倒格矢中任一個倒格矢模的一半.所以 對單價金屬面心立方格子，有 將上式代入自由電子的費米半徑 得到 于是可得 .12.對于六角密積結(jié)構(gòu)，六角形的兩對邊的間距為a，基矢試畫出此晶格的第一布里淵區(qū). 【解 答】六角密積結(jié)構(gòu)原胞的體積 。六角密積結(jié)

12、構(gòu)的倒格矢 在包括和的平面內(nèi)選定一倒格點為原點，原點的最近鄰倒格矢有6個，它們是這6個倒格矢的中垂面圍成的區(qū)間構(gòu)成的正六邊形屬于第一布里淵區(qū).圖5.1 正六邊形屬于第一布里淵區(qū)若考慮整個三維空間，原點的最近鄰倒格矢有8個，它們是 由這8個倒格矢的中垂面圍成的區(qū)間就是第一布里淵區(qū)，它是一個正六棱柱. 圖5.11 第一布里淵區(qū)13.平面正三角形結(jié)構(gòu)，相鄰原子間距為，試求（1）正格矢和倒格矢；（2）畫出第一和第二布里淵區(qū)內(nèi)切圓半徑.解 答（1） 正格原胞的基矢如圖所示取為 .其中和是互相垂直的單位矢量.取單位矢量垂直于和，則和構(gòu)成的體積 圖5.12 平面正三角形結(jié)構(gòu)原胞倒格原胞的基矢為 （2） 選定

13、一倒格點為原點，原點的最近鄰倒格矢有6個，它們是 這6個倒格矢的中垂線圍成的區(qū)間構(gòu)成了兩部分，以原點為對稱心的正六邊形是第一布里淵區(qū).正六邊形外的6個三角形部分是第二布里淵區(qū)，即圖5.13中所示區(qū)間.第一布里淵區(qū)內(nèi)切圓的半徑 圖5.13 第一和第二布里淵區(qū)，第一布里淵區(qū)內(nèi)切圓14.已知某簡立方晶體的晶格常數(shù)為，其價電子的能帶（1）已測得帶頂電子的有效質(zhì)量，試求參數(shù)A;（2）求出能帶寬度；（3）求出布里淵區(qū)中心點附近電子的狀態(tài)密度.【解 答】一、 假定A大于0（1） 對于能帶為 簡單立方晶體中的電子，其能帶頂在布里淵區(qū)中心.在布里淵區(qū)中心，電子的有效質(zhì)量為 由此可知（2） 電子能帶 的能帶底在

14、處.由帶頂和帶底的能量知能帶寬度為4.（3）在布里淵區(qū)中心附近， 令則上式化成 可見在布里淵區(qū)中心附近，等能面是球面.因此，能量和能量兩等能面間的波失空間體積為 相應(yīng)的量子態(tài)數(shù)目 能態(tài)密度 二、 假定A小于0（1） 對于能帶為 簡單立方晶體中的電子，其能帶頂在第一布里淵區(qū)8個角頂處 在這些點，電子的有效質(zhì)量為 由此可知A=-2（2） 電子在能帶頂?shù)哪芰?在布里淵區(qū)中心的能帶底的能量 可見能帶寬度為4.（3） 在布里淵區(qū)中心附近， 令則上式化成 可見在布里淵區(qū)中心附近，等能面是球面.因此，能量和能量兩等能面間波失空間體積為 相應(yīng)的量子態(tài)數(shù)目 能態(tài)密度 15.設(shè)晶格常數(shù)為，原子數(shù)為N的單價一維簡單

15、晶格中，第格點上電子的幾率振幅滿足方程 其中A、B是常數(shù)，為電子在第-1, 和+1格點上的幾率振幅，求（1） 電子的能量與波失的關(guān)系；（2） 帶頂空穴及帶底電子的有效質(zhì)量；（3） 求A0時電子的能態(tài)密度；（4） 求T0時的費米能.【解 答】（1） 設(shè)電子在第個格點上的幾率振幅分別為 則電子在第（1）和（+1）個格點上的幾率振幅分別為 將以上三式代入方程 得到 電子的能量則為 .（2） 是電子的能帶底，在能帶底電子的有效質(zhì)量 是電子的能帶頂，在能帶頂電子的有效質(zhì)量 帶頂空穴的有效質(zhì)量則為 （3） 如圖5.14所示，在能量區(qū)間波失數(shù)目為 圖5.14 能帶曲線相應(yīng)的量子態(tài)數(shù)目 由此得到A0時的能態(tài)密

16、度 （4） 晶體內(nèi)有N個導(dǎo)電電子，在絕對零度時，這些電子都分布在費密能級及以下.采用A0時的能態(tài)密度，得 利用積分公式 得到 16.設(shè)有一維晶體，原胞基矢，晶格的周期勢為 （1）畫出第一、第二布里淵區(qū)；（2）以近自由電子模型求的第一能帶與的第二能帶交迭的條件；（3）若電子的波矢，求引起電子強烈散射的晶列指數(shù).解答（1） 由已知條件可得出倒格子原胞基矢 坐標(biāo)原點的格點有4個最近鄰，它們是.它們的中垂線圍成的區(qū)間就是第一布里淵區(qū).坐標(biāo)原點的格點有4個次近鄰，它們是.它們的中垂線和第一布里淵區(qū)邊界圍成的區(qū)間即是第二布里淵區(qū).圖5.15示出了第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)的分布. 圖5.15 第一布里淵區(qū)

17、和第二布里淵區(qū)（2） 的第一能帶頂?shù)哪芰繛?其中是方向第一能帶與第二能帶間的能隙. 的第二能帶底的能量為 . 圖5.16 第一布里淵區(qū)其中是方向第一能帶與第二能帶間的能隙.E（）的第二能帶與E（）的第一能帶交迭的條件是 即交迭的條件是 .當(dāng)電子所處的點是兩個或兩個以上布里淵區(qū)邊界交匯的點.求電子的能隙必須應(yīng)用平面波方法的中心方程求解.當(dāng)電子所處的點不是布里淵區(qū)邊界交匯的點，求電子的能隙（即是此種情況）可直接采用以下方法（也是由中心方程求得的）： 其中 是與過 點的第一布里淵區(qū)邊界垂直的倒格矢，且該邊界是 的中垂面.由于滿足該條件的倒格矢 所以求出 即求是 而 是周期勢場付里葉級數(shù)的系數(shù).由 可

18、求得 而 與 相類同 所以求出 即求得，而是周期勢場付里葉級數(shù)的系數(shù).由周期勢場付里葉級數(shù)的展式得 于是， 的第二能帶與的第一能帶交迭的條件是 （3） 若電子的波矢末端落在了布里淵區(qū)邊界上，則滿足 設(shè) 將和一并代入上式，得到 即 由上式可得的三個解 上式說明，過末端有三個布里淵區(qū)邊界，它們分別與垂直.這一點從第一布里淵區(qū)的分布圖即可看出.引起電子產(chǎn)生強烈散射的晶面（列）與布里淵區(qū)邊平行，即與垂直.設(shè)與垂直的的晶列為，由 得出引電子產(chǎn)生強烈散射的晶列的指數(shù)分別為010、100和10.17.假定波函數(shù)因子不顯含波矢k，以N個原子構(gòu)成的一維原子為例，證明萬尼爾函數(shù)具有定域性.解 答由固體物理教程（5

19、.50）式可知，一維晶格的萬尼爾函數(shù)為 按照布洛赫定理，晶體中電子的波函數(shù) 上式中調(diào)制因子是晶格的周期函數(shù).將波函數(shù)代入萬尼爾函數(shù)得 若調(diào)制因子不顯含波矢k，則上式化為 上式中 解法一：令 萬尼爾函數(shù)化成 上式最后求和是一等比級數(shù)前N項的和，所以 由上式可知，當(dāng)時 當(dāng)時，利用，得到萬尼爾函數(shù)最大值 可見萬尼爾函數(shù)具有定域性. 解法二： 由于原子數(shù)N是一個很大的數(shù)目，波矢 的取值可看成準(zhǔn)連續(xù)的，所以萬尼爾函數(shù) 的求和項可化成積分，即 由上式可知，當(dāng)時 ；當(dāng)時，得到萬尼爾函數(shù)峰值 可見萬尼爾函數(shù)具有定域性.18.一維晶格，周期勢為 其中為函數(shù).孤立原子中s態(tài)電子的波函數(shù) 求晶格中s態(tài)電子的能帶.解

20、答從已知條件看，周期勢場僅僅在格點處有很大的負值，稍稍偏離格點，周期勢場的值就趨于0.根據(jù)周期勢場的這一特點可以斷定，晶格中的電子被束縛在格點附近的幾率遠遠大于它在偏離格點處的幾率，也就是說，本題是典型的緊束縛模型.用緊束縛方法處理晶格的 態(tài)電子，當(dāng)只計及最近鄰格點的相互用時，由固體物理教程（5.60）式，其能帶表示式為 ,是最近鄰格矢，其中積分 是將參考格點取為原點.如果取參考格點為，則有 根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知，上式積分.而積分 假設(shè)x軸是水平方向，在上式積分中只取了參考格點右邊的最近鄰格點，取左邊的最近鄰格點也有同樣的結(jié)果.由參考點左右兩個最近鄰，又得 于是s態(tài)電子的能帶 19.證明迪·阿哈斯范·阿耳芬效應(yīng)的周期為 其中S是的平面在費密球上所截出的面積.解 答由熱力學(xué)可知，當(dāng)磁感應(yīng)強度B增加dB時，磁場H所作的功 即系統(tǒng)內(nèi)能的微分 （1）其中是晶體體積.由電磁學(xué)可知，磁感應(yīng)強度、磁場和磁化率的關(guān)系是 （2）由（1），（2）兩式可得 （3）其中 是真空中的磁導(dǎo)率.由上式可以看出，磁化率隨磁場的倒數(shù)作振蕩，應(yīng)是系統(tǒng)內(nèi)能的微商隨1/B作振蕩的反映.我們知道，當(dāng)不存在磁場時，能態(tài)在波矢空間分布是均勻的，當(dāng)由磁