均值不等式練習題

1、一、選擇題1若，且，那么的最小值為（ ）A. B. C. D. 2設若的最小值 ( )A. B. C. D. 3若集合，則集合等于（ ）A. B. C. D.4對于函數(shù)(),(),若對任意,存在使得,且,則稱,為“兄弟函數(shù)”,已知,定義在區(qū)間上的“兄弟函數(shù)”,那么函數(shù)在區(qū)間上的最大值為A. B. C. D.5若，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 6若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D.7設，若，則的最小值是（ ）A B C D8正數(shù)滿足，則的最大值為A B C D9已知，則的最小值是()A. B. C. D. 10已知關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的最小值為()A. B

2、. C. D. 11設是半徑為的球面上的四個不同點，且滿足，用分別表示、的面積，則的最大值是.A. B. C. D. 12在實數(shù)集中定義一種運算“”，對任意，為唯一確定的實數(shù)，且具有性質(zhì)：（1）對任意，； （2）對任意，.則函數(shù)的最小值為（ ） A B C D13若直線平分圓： 的周長，則的取值范圍是A. B. C. D. 14已知關于的不等式()的解集是，且，則的最小值是A B C. D 15在上定義運算：對，有，如果 ()，則 的最小值是（ ）A B C D 16若，則代數(shù)式的最小值為()A. B. C. D. 17若，且,則下列不等式恒成立的是()A. B. C. D. 18設正實數(shù)滿足

3、，則當取得最大值時，的最大值為A. B. C. D.19已知，則的最小值是()A. B. C. D. 20已知，則函數(shù)的最小值為（ ）A. B. C. D.21已知直線過點)，且與軸軸的正半軸分別交于兩點，為坐標原點，則面積的最小值為( )A. B. C. D. 22若函數(shù)滿足：，則的最小值為A. B. C. D. 2324已知，且，則下列結(jié)論恒成立的是 ( )A B C D25某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬元購進一臺新設備用于生產(chǎn). 第一年需運營費用萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加萬元，該設備每年生產(chǎn)的收入均為萬元. 設該設備使用了年后，年平均盈利額達到最大值（盈利額等于收入減去成本），

4、則等于（）A. B. C. D.26如圖，有一塊等腰直角三角形的空地，要在這塊空地上開辟一個內(nèi)接矩形的綠地，已知,，綠地面積最大值為A. B. C. D.27設則以下不等式中不恒成立的是 （ ）A BC D28設則以下不等式中不恒成立的是（ ）A BC D29若，則的最小值為( )A. B. C. D. 30下列命題正確的是( )A若，則 B若，則C若，則 D若，則31已知，若實數(shù)滿足，則的最小值為A. B. C. D. 32不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是( )A B C D 二、填空題33已知，函數(shù)的圖象過（0，1）點，則的最小值是_.34若關于的不等式（組）恒成立，則所有這樣的解構(gòu)

5、成的集合是_.35對于實數(shù)和，定義運算“”：，設，且關于的方程為恰有三個互不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是_.36設連接雙曲線與 ()的個頂點的四邊形面積為,連接其個焦點的四邊形面積為，則的最大值為.37已知，且，則的最小值為 38已知實數(shù)滿足，則的最小值是 .39已知向量，若，則的最小值為 40已知，則的最小值為 .41已知是正數(shù)，且，則的最小值為 .42是內(nèi)的一點(不含邊界)，且，若，的面積分別為，記，則的最小值是_43已知函數(shù) 的定義域為，則實數(shù)的取值范為 .44(1）成立當且僅當均為正數(shù).（2）的最小值是（3）的最大值是（4）成立當且僅當.以上命題是真命題的是 45設是內(nèi)一點,且，定義，

6、其中分別是、的面積，若，則的最小值是 .46若實數(shù)滿足，則的最大值是.47在平面直角坐標系中，過坐標原點的一條直線與函數(shù)的圖像交于兩點，則線段長的最小值是48現(xiàn)要用一段長為的籬笆圍成一邊靠墻的矩形菜園（如圖所示），則圍成的菜園最大面積是_49設為兩個正數(shù)，且，則使得恒成立的的取值范圍是_50若，則的最小值為 ；51已知正實數(shù)滿足，則的最小值為_52設常數(shù)，若對一切正實數(shù)成立，則的取值范圍為_53已知函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)的最小值是_54設，且，則的最小值是_55設，則的最小值為_56在等式的值為 57若，且函數(shù)在處有極值，則的最大值等于_. 58一艘輪船在勻速行駛過程中每小時的燃料費與它速度的

7、平方成正比，除燃料費外其它費用為每小時元. 當速度為海里/小時時，每小時的燃料費是元. 若勻速行駛海里，當這艘輪船的速度為_海里/小時時，費用總和最小.59已知正數(shù)滿足，則的最小值為 60已知正數(shù)滿足，則的最大值為 62設均為正實數(shù)，且，則的最小值為_65函數(shù)的圖象恒過定點A,若點A在直線上,其中,則的最小值為_.66已知，且，則的最小值是.67一環(huán)保部門對某處的環(huán)境狀況進行了實地測量，據(jù)測定，該處的污染指數(shù)等于附近污染源的污染強度與該處到污染源的距離之比已知相距的，兩家化工廠(污染源)的污染強度分別為和，它們連線上任意一點處的污染指數(shù)等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和現(xiàn)擬在它們之間的連線上建一

8、個公園，為使兩化工廠對其污染指數(shù)最小，則該公園應建在距化工廠 公里處68設是半徑為的球面上的四個不同點，且滿足，用分別表示、的面積，則的最大值是 .69下列結(jié)論中 函數(shù)有最大值函數(shù)（）有最大值若，則正確的序號是_.70若不等式對于一切正數(shù)恒成立，則實數(shù)的最小值為_三、解答題71某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為的三級污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖所示)，如果池四周圍墻建造單價為元/，中間兩道隔墻建造單價為元/，池底建造單價為元/，水池所有墻的厚度忽略不計 (1)試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過，試設計污水池的長和寬

9、，使總造價最低，并求出最低總造價72已知函數(shù)，. (1)當時，求函數(shù)的最小值；(2)若對任意，恒成立，試求實數(shù)的取值范圍73已知函數(shù)，且的解集為（1）求的值；（2）若，且，求證：74已知正實數(shù)、滿足條件，（1）求證：；（2）若，求的最大值75已知，證明：76(1)求函數(shù)的最大值；(2)若函數(shù)最大值為，求正數(shù)的值77若對任意，恒成立，求的取值范圍78（本小題滿分12分）我國發(fā)射的天宮一號飛行器需要建造隔熱層.已知天宮一號建造的隔熱層必須使用年，每厘米厚的隔熱層建造成本是萬元，天宮一號每年的能源消耗費用（萬元）與隔熱層厚度（厘米）滿足關系式：，若無隔熱層，則每年能源消耗費用為萬元.設為隔熱層建造費

10、用與使用年的能源消耗費用之和.（I）求和的表達式；（II）當陋熱層修建多少厘米厚時，總費用最小，并求出最小值.79(14分)某公司在安裝寬帶網(wǎng)時，購買設備及安裝共花費萬元.該公司每年需要向電信部門交納寬帶使用費都是萬元,公司用于寬帶網(wǎng)的維護費每年各不同，第一年的維護費是萬元，以后每年比上一年增加萬元. （1）該公司使用寬帶網(wǎng)滿年時，累計總費用（含購買設備及安裝費用在內(nèi)）是多少?（2）該公司使用寬帶網(wǎng)多少年時，累計總費用的年平均值最??？80某化工企業(yè)年底投入萬元，購入一套污水處理設備該設備每年的運轉(zhuǎn)費用是萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比

11、上一年增加萬元(1)求該企業(yè)使用該設備年的年平均污水處理費用 (萬元)；(2)為使該企業(yè)的年平均污水處理費用最低，該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設備？81已知，求證：.82設，式中變量滿足下列條件：求的最大值和最小值83設函數(shù).（1）若不等式的解集為，求的值；（2）若存在，使，求的取值范圍.84某校要建一個面積為450平方米的矩形球場，要求球場的一面利用舊墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成，且在矩形一邊的鋼筋網(wǎng)的正中間要留一個3米的進出口（如圖）設矩形的長為米，鋼筋網(wǎng)的總長度為米（1）列出與的函數(shù)關系式，并寫出其定義域；（2）問矩形的長與寬各為多少米時，所用的鋼筋網(wǎng)的總長度最小？（3）若由于地形限

12、制，該球場的長和寬都不能超過米，問矩形的長與寬各為多少米時，所用的鋼筋網(wǎng)的總長度最??？85已知均為正數(shù)，證明：，并確定為何值時，等號成立參考答案1B【解析】由得得，所以，因為，所以當時，有最小值，選B.2C【解析】由題意知，即，所以。所以，當且僅當，即時，取等號，所以最小值為4，選C.3C試題分析：因為，所以，選C.考點：利用基本不等式比較大小4B【解析】g(x)=x+-12-1=1,當且僅當x=1時,等號成立, f(x)在x=1處有最小值1, 即p=-2,12-21+q=1,q=2, f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1, f(x)max=f(2)=(2-1)2+1=2.5B試題分析：

13、，當且僅當時取等號，因此最小值為2，選A.考點：基本不等式求最值【易錯點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號取得的條件）的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.6C試題分析：實數(shù)滿足，可得，所以可設，則，所以，所以時，原式取最大值；所以時，原式取最小值，故選C.考點：圓的方程；圓的最值問題.【方法點晴】本題主要考查了圓的方程及其應用問題，其中解答中涉及圓的標準方程、圓的一般方程、圓的參數(shù)方程、以及三角函數(shù)的最值問題等知識點的的綜合考查，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，

14、以及推理與運算能力，解答中根據(jù)圓表示方程，利用圓的參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的求最值是解答關鍵，屬于中檔試題.7B試題分析：由題意得，當且僅當時等號成立，所以的最小值是，故選B考點：基本不等式求最值8A試題分析：，最大值為考點：不等式性質(zhì)9A【解析】由，得，即，所以，由，當且僅當，即，取等號，所以最小值為4，選A.10B【解析】由題意可知42a7，得，即實數(shù)a的最小值為，故選B.11B試題分析：設則有即的最大值為2.考點：基本不等式12B試題分析：依題意可得，當且僅當時“=”成立，所以函數(shù)的最小值為，選.考點：基本不等式，新定義問題.13B【解析】依題意知直線axby10過圓C的圓心(1，2)，

15、即a2b1，由1a2b2 ，ab，故選B.14A【解析】由已知可知方程ax22xb0(a0)有兩個相等的實數(shù)解，故0，即ab1.(ab)，因為ab，所以(ab)2.15B試題分析：依題意問題轉(zhuǎn)化為已知，求的最小值。因為且，當且僅當時“=”成立。故B正確?？键c：1新概念；2基本不等式。16C【解析】a2+a2+=a2+4,當且僅當即a=,b=時,等號成立.故選C.17D【解析】由2=a+b2得1,ab1,所以選項A、C不恒成立,+=2,選項B也不恒成立,a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab2恒成立.故選D.18C【解析】由題得z+3xy=x2+4y24xy(x,y,z0),即zxy,1.

16、當且僅當x=2y時等號成立,則x+2y-z=2y+2y-(4y2-6y2+4y2)=4y-2y2=-2(y2-2y)=-2(y-1)2-1=-2(y-1)2+2.當y=1時,x+2y-z有最大值2.故選C.19C【解析】由已知可得+=(+)=+2+2=,當且僅當a=,b=時取等號,即+的最小值是.20C試題分析：由于，則，所以，當且僅當，由于，即當時，上式取等號，因此函數(shù)的最小值為，故選C.考點：基本不等式21C試題分析：設，則，依題意可得，所以即也就是（當且僅當即時等號成立），所以，故選C.考點：1.直線的方程；2.基本不等式.22B試題分析：根據(jù),有，由聯(lián)立,消去得，當；當，所以.考點：方

17、程組思想求函數(shù)解析式;均值不等式;23試題分析：根據(jù),有，由聯(lián)立,消去得，當；當，所以.考點：方程組思想求函數(shù)解析式;均值不等式;24C試題分析：當都是負數(shù)時，不成立，當一正一負時，不成立，當時，不成立，因此只有是正確的.考點：基本不等式.25A試題分析：設該設備第的營運費用為萬元，則數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，則該設備到第年的營運費用總和為，設第的盈利總額為萬元，則，因此，該設備年平均盈利額為，當且僅當且當，即當時，該設備年平均盈利額達到最大值，此時，故選A.考點：1.數(shù)列求和；2.基本不等式26C試題分析：設，由條件可知和為等直角三角形，所以，即4，所以，所以綠地面積最大值為4

18、，故選C考點：基本不等式在實際中的應用27B試題分析：，故A恒成立；，取，時B不成立；，故C恒成立；若，則恒成立，若，則，恒成立，故選B考點：1、不等式的性質(zhì)；2、基本不等式28B試題分析：，故A恒成立；，取，時B不成立；，故C恒成立；若，則恒成立，若，則，恒成立，故選B考點：1、不等式的性質(zhì)；2、基本不等式29D【解析】，當且僅當，即，即時取等號，所以最小值為4，選D.30D試題分析：應用基本不等式所具備的條件是：一正、二定、三相等.由，當取等號時.所以不成立，所以選項A不正確. 若則.所以B選項不正確. ，但是可以小于零，所以C選項不正確.由，所以都大于零，所以D正確.故選D.考點：1.基

19、本不等式的應用.2.三角函數(shù)的知識.3.對數(shù)的知識.4.不等式的性質(zhì).31B【解析】由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3,即log2(m-2)(2n-2)=3,因此于是n=+1.所以m+n=m+1=m-2+32+3=7.當且僅當m-2=,即m=4時等號成立,此時m+n取最小值7.32C【解析】不等式x22x對任意a，b(0，)恒成立，等價于x22xmin，由于28(a4b時等號成立)，x22x8，解得4x0,b0), =(當且僅當a=b時取等號).37試題分析：因為，所以，所以.所以答案應填：考點：基本不等式3825試題分析：，當且僅當時等號成立，所以最小值為25考點：不等式性

20、質(zhì)398試題分析：利用向量垂直的充要條件：數(shù)量積為0，得到x，y滿足的等式；利用冪的運算法則將待求的式子變形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意檢驗等號何時取得解：4（x1）+2y=0即4x+2y=4= 當且僅當24x=22y即4x=2y=2取等號故答案為8點評：本題考查向量垂直的充要條件：數(shù)量積為0；考查利用基本不等式求函數(shù)的最值需注意滿足的條件：一正、二定、三相等403試題分析：法一：由可得，所以（當且僅當即時等號成立）；法二：（當且僅當即時等號成立）.考點：基本不等式及其應用.419試題分析：.考點：重要不等式及不等式的解法.4236【解析】根據(jù)2，BAC30，得|4，故ABC的面積是

21、|sin 301，即xyz1.f(x，y，z)(xyz) 1414461236.當且僅當y2x，z3x，3y2z時，等號成立43試題分析：由函數(shù)定義域可知為正數(shù)，根據(jù)均值不等式，恒成立即可.考點：均值不等式求最值.44（3）、（4）【解析】2成立當且僅當a,b均為正數(shù)且時等號成立.故（1）錯；當時等號成立.故（2）錯；當時等號成立.故（3）對；當時等號成立.故（4）對.4518【解析】根據(jù)題意=|cosBAC=2, 可得|=4,所以SABC=|sinBAC=4=1, 則+x+y=1, 即x+y=,所以+=2(x+y)(+)=2(1+4+) 2(5+4)=18. 當且僅當=,即x=,y=時取等號

22、.462-log23【解析】設m=2a,n=2b,x=2c, 則m+n=mn, 即+=1(m0,n0),則由2a+2b+2c=2a+b+c 得mn+x=mnx, (mn-1)x=mn, x=, x=,又+=12, ,-, 1-， x=, 即2c,clog2=2-log23.當且僅當m=n=2,即a=b=1時,c取得最大值為2-log23.47試題分析：因為過坐標原點的一條直線與函數(shù)的圖像交于P、Q兩點，則線段PQ長，由對稱性只要研究部分，設，所以,所以當且僅當時取等號.所以的最小值為.故填.考點：1.直線與雙曲線的關系.2.兩點間的距離.3.基本不等式的應用.48試題分析：依題意可知，其中，由

23、基本不等式可知即（當且僅當時等號成立），所以，所以圍成的菜園最大面積是.考點：基本不等式的應用.49(，4【解析】ab1，且a、b為兩個正數(shù)，(ab)2224.要使得恒成立，只要4.504試題分析：因為所以，當且僅當即時取。考點：基本不等式。51【解析】2x(x)yz，x，x2x52【解析】9x2 6a，所以6aa1，即a536【解析】函數(shù)f(x)x (x2)的圖象過點A(3，7)，即73a，a4.x20，f(x)(x2)2226，當且僅當x4時等號成立，故此函數(shù)的最小值是6.5418【解析】3x3y218，當且僅當xy時等號成立5534【解析】x0，代入不等式得x22tx2a(x2t2x2)

24、，消掉x2得12ta(1t2)，即at22ta10對t0恒成立，顯然a0，故只要44a(a1)0，即a2a10，考慮到a0，得a.方法二：令ytx，則a，令m12t1，則t，則a，故a.71（1）當長為16.2m，寬為10m時總造價最低，最低總造價為38880元（2）當長為16m，寬為10m時，總造價最低，為38882元【解析】(1)設污水處理池的寬為xm，則長為m總造價為f(x)4002482x801621296x12960129612960129621296038880元當且僅當x(x0)，即x10時取等號當長為16.2m，寬為10m時總造價最低，最低總造價為38880元(2)由限制條件知

25、10x16.設g(x)x，由函數(shù)性質(zhì)易知g(x)在上是增函數(shù)，當x10時(此時16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值12961296038882(元)當長為16m，寬為10m時，總造價最低，為38882元72（1）6（2）【解析】(1)由a4，f(x)x26，當x2時，取得等號即當x2時，f(x)min6.(2)x1，)， 0恒成立，即x1，)，x22xa0恒成立等價于ax22x，當x1，)時恒成立，令g(x)x22x，x1，)，ag(x)max1213，即a3.a的取值范圍是.73（1）（2）詳見解析試題分析：（1）根據(jù)絕對值不等式的公式求的解集，因為解集又為，根據(jù)對應相等可得的值.（

26、2）由（1）知.根據(jù)柯西不等式或基本不等式證明即可.試題解析：解：（1）因為，所以等價于， 2分由有解，得，且其解集為 4分又的解集為，故 （5分）（2）由（1）知，又， 7分 9分(或展開運用基本不等式) 10分考點：1絕對值不等式;2柯西不等式;3基本不等式.74（1） 詳見解析;（2）1試題分析：（1） 根據(jù)一般形式的柯西不等式證明.（2）根據(jù)基本不等式可得.可將轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為關于的一元二次不等式.試題解析：證：（1）代入已知 當且僅當 ，取等號。 5分（2）由得，若，則，所以，當且僅當 時，有最大值1。 10分考點：1柯西不等式;2基本不等式.75證明見解析.試題分析：直接利用算術幾何

27、平均不等式可得，兩式相乘即得要證不等式試題解析：，,.【考點】算術平均值幾何平均不等式76（1）2（2）2【解析】(1)()2(11)(x15x)8,2.當且僅當11即x3時，ymax2.(2)(a)22(a24)(x1x)(a24)，由已知(a24)20得a2，又a0，a2.77a【解析】a對任意x0恒成立，設ux3，只需a恒成立即可x0，u5(當且僅當x1時取等號)由u5，知0 ，a.78解：（I）C， ；（II）隔熱層修建5厘米厚時，總費用達到最小值，最小值為70萬元. 【解析】不能直接用均值定理，需把6x轉(zhuǎn)換為3x+5的形式，在用均值定理。解：（I）當時，C=8，所以=40，故C3分

28、6分（II）9分當且僅當時取得最小值.11分即隔熱層修建5厘米厚時，總費用達到最小值，最小值為70萬元.12分79（1）使用5年時累計總費用為9萬元. （2）使用10年時，寬帶網(wǎng)累計總費用的年平均值最少 【解析】第一問中利用等差數(shù)列的求和公式得到。寬帶網(wǎng)維護費組成以0.1萬元為首項，公差為0.1萬元的等差數(shù)列所以使用5年時累計總費用為第二問中，設使用年時，寬帶網(wǎng)累計總費用的年平均值為萬元，可得 結(jié)合均值不等式得到結(jié)論。解：（1）寬帶網(wǎng)維護費組成以0.1萬元為首項，公差為0.1萬元的等差數(shù)列1分所以使用5年時累計總費用為 5分 所以,使用5年時累計總費用為9萬元. 6分（2）設使用年時，寬帶網(wǎng)累

29、計總費用的年平均值為萬元，可得 10分 12分當且僅當，即時等號成立，此時取最小值 13分所以,使用10年時，寬帶網(wǎng)累計總費用的年平均值最少 14分80(1) yx1.5(x0) (2)10年【解析】(1)y，即yx1.5(x0)(2)由均值不等式得yx1.521.521.5，當且僅當x，即x10時取到等號，故該企業(yè)10年后需要重新更換新設備81見解析【解析】原不等式等價于(xy)24xy，即(xy)20，顯然成立故原不等式得證8212 3【解析】變量x、y所滿足的每個不等式都表示一個平面區(qū)域，不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域(如圖)作一組與l0：2xy0平行的直線l：2xyt.tR可知：當l在l0的右上方時，直線l上的點(x，y)滿足2xy0，即t0，而且直線l往