高中數(shù)學(xué)概率 重點(diǎn)問(wèn)題探討

1、 高中數(shù)學(xué)中古典概率應(yīng)用上之易錯(cuò)處探究一、基本概念（1）分類計(jì)數(shù)原理：（2）分步計(jì)算原理：（3）排列:一般地，從個(gè)元素中取出個(gè)元素（），按照一定的順序排成一列， 叫做從個(gè)元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列。從個(gè)元素中取出個(gè)元素（）的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示，。（4）組合：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素（）并成一組，叫做從個(gè)元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合。從個(gè)元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示。 （5）必然事件：在一定的條件下必然要發(fā)生的事件。（6）不可能事件：在一定的條件下不可能發(fā)生的事件。（7）隨機(jī)事件：在一定的條

2、件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。（8）在相同的條件下，進(jìn)行了次試驗(yàn)，在這次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)。比值稱為事件發(fā)生的頻率。（9）一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的頻率，記作，且一次實(shí)驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件，通常此試驗(yàn)中的某一個(gè)事件由幾個(gè)基本事件組成，如果一次實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有個(gè)，即此實(shí)驗(yàn)由個(gè)基本事件組成。而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是。如果某個(gè)事件包含的結(jié)果有個(gè)，那么事件的概率 。 二、重點(diǎn)問(wèn)題剖析1.“有放回摸球”與“無(wú)放回摸球”“有放回摸球”與

3、“無(wú)放回摸球”主要有以下區(qū)別：（1）無(wú)放回摸球主要是指每次摸出的球放在袋外，下次再摸球時(shí)總數(shù)比前次少一；而有放回的摸球是每次摸出一球放在袋內(nèi)，下次再摸球時(shí)袋內(nèi)球的總數(shù)不變。（2）“無(wú)放回摸球”各次抽取不是相互獨(dú)立的，而“有放回摸球”每次是相互獨(dú)立的。下面通過(guò)一個(gè)例題來(lái)進(jìn)一步的說(shuō)明“無(wú)放回摸球”與“有放回摸球”的區(qū)別。例1 袋中有1，2，3，號(hào)球各一個(gè)，采用無(wú)放回，有放回的兩種方式摸球，試求在第次摸球時(shí)首先摸到一號(hào)球的概率。解：設(shè)為事件“第i次摸到一號(hào)球” 。無(wú)放回摸球若把次摸出的個(gè)球排成一排，則從個(gè)球任取個(gè)球的每個(gè)排列就是一個(gè)基本事件，因此基本事件的總數(shù)為以數(shù)碼1，2，中任取個(gè)數(shù)碼的排列數(shù)，。

4、下面求事件包含的基本事件數(shù)，事件可分兩步完成：先在第個(gè)位置上排上1號(hào)球，只有一種排法，再在前個(gè)位置排其它個(gè)球，共有種排法，由乘法原理知，事件包含的基本事件數(shù)為，從而 。有放回的摸球因?yàn)橛蟹呕孛?，每次袋中都有個(gè)球，共摸次，故共有種可能結(jié)果，既基本事件總數(shù)為。事件可分為兩步完成：前次未摸到1號(hào)球，共有，于是。分析：對(duì)于有放回摸球與無(wú)放回摸球題型，在審題時(shí)一定要注意是有放回還是無(wú)放回，然后根據(jù)題意來(lái)考慮排列與組合的應(yīng)用，總之，一定要抓住題目的隱含條件與已知條件的關(guān)系，所要求的問(wèn)題與已知條件之間的連接點(diǎn)，這樣才能夠很快的解決問(wèn)題而不至于錯(cuò)誤。2.“隔板法”隔板法是插空法的一種特殊情況，它的使用非常廣

5、泛，能解決一大類組合問(wèn)題。下面用一個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō)明它的使用的優(yōu)越性。例2 將9個(gè)相同的小球放到六個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，有多少種不同放法。解法一：先在盒子里各放一個(gè)球，再把剩下的3個(gè)球放到6個(gè)盒子里，分三類： 3個(gè)球放到一個(gè)盒子里，有種放法； 3個(gè)球放到兩個(gè)盒子里，球數(shù)分別為2，1，共種放法； 3個(gè)球放到3個(gè)盒子里，每個(gè)盒子各一個(gè)球，共種放法。根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有種放法。解法二（隔板法）：把 6個(gè)盒子看做由平行的7個(gè)隔板組成的，每一個(gè)滿足要求的放法、相當(dāng)于9個(gè)小球和7個(gè)隔板的一個(gè)排列，其中2個(gè)隔板在兩頭，任何2個(gè)隔板之間至少有1個(gè)球（既任何2個(gè)隔板不相鄰），把兩頭的2個(gè)隔板拿

6、掉，每一個(gè)滿足要求的放法還相當(dāng)于再排成一列的9個(gè)小球間8個(gè)空檔中插入5個(gè)隔板，不同的放球方法即插隔板的方法，共有種。分析：對(duì)于用隔板法解決概率問(wèn)題，一般都是將問(wèn)題的思考角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題從多向思維向單一思維轉(zhuǎn)化，然后把問(wèn)題的本質(zhì)找出來(lái)進(jìn)行剖析，問(wèn)題自然就很好理解了。上述解法2應(yīng)用了對(duì)應(yīng)的方法，轉(zhuǎn)化為插空問(wèn)題，計(jì)算比較簡(jiǎn)單，但不易理解，等理解透徹后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)隔板法是非常好用的，是具有普適性的方法。但一定要注意的是應(yīng)用此法的前提是小球是完全相同（不加區(qū)分），盒子是不同的，每個(gè)盒子至少放一球。例3 要從高一年級(jí)8個(gè)班中產(chǎn)生12學(xué)生代表，每個(gè)班至少產(chǎn)生一名代表，則代表名額的分配的方案至少有多少種?解

7、：這個(gè)問(wèn)題如果用原始的方法來(lái)分析，是比較麻煩的額，但如果轉(zhuǎn)化問(wèn)題的角度，用“隔板法”來(lái)理解，這個(gè)問(wèn)題就容易解決了。把12個(gè)名額看做12個(gè)相同小球，8個(gè)班看做8個(gè)不同的盒子，用隔板法知道名額分配方法共有種。 3. 分組問(wèn)題分組問(wèn)題時(shí)排列組合中的一個(gè)難點(diǎn)，主要有以下兩種情況。（1）非平均分組問(wèn)題在非平均分組問(wèn)題中，不管是給出組名或不給出組名，其分組的方法相同。例4 把12人分成如下三組，分別求出以下各種分組的方法數(shù)：分成甲、乙、丙三組，其中甲組7人、乙組3人、丙組2人。分成三組，其中一組7人、一組3人、一組2人。解：先從12人中任選7人為甲組，余下5人中任選3人為乙組，剩下2人為丙組，則共有種不同

8、的方法。先從12人中任選7人為一組有種選法，再?gòu)挠嘞?人中任選3人有種選法，剩下的兩人為一組，共有種不同的選法。分析：在第一個(gè)問(wèn)題中，學(xué)生很容易受到干擾，就是對(duì)于甲、乙、丙三組，和分成三組時(shí)否需要乘以的問(wèn)題。但是由于各組的人數(shù)不同，這個(gè)問(wèn)題屬于非平均分組問(wèn)題，雖然第一小問(wèn)給出了分組的名稱，但是這個(gè)并不影響最后的結(jié)果，它們的分組方法都是一樣的。（2）平均分分組問(wèn)題。分析：上面的非平均分組問(wèn)題中，是否給出組名對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，但在平均分組問(wèn)題中一定要注意問(wèn)題是否給出了具體的組名，它們的結(jié)果是不同的。 例5 有6本不同的書(shū)，按下列要求分配，各有多少種分發(fā)。分給甲、乙、丙三人，每人2本；平均分成三份。解

9、：從6本書(shū)中任取2本給一個(gè)人，再?gòu)氖Ｏ碌?本中取2本給另外一個(gè)人，剩下的2本給最后一個(gè)人，共有種分法。設(shè)平均分成三堆有x種分法，在分給甲乙、丙三人每人各2本，則應(yīng)有種分法。所以有 種不同的分法。說(shuō)明：上面例子中可以看出：兩個(gè)問(wèn)題都是分成三堆，每堆兩本，屬于平均分組問(wèn)題，而（1）分到甲、乙、丙三人，屬于到位問(wèn)題，相當(dāng)于給出了甲、乙、丙三個(gè)指定的組，但（2）沒(méi)有給出組名，因而是不同的。規(guī)律：一般地，把個(gè)元素平均分到個(gè)不同的位置，有種方法，把個(gè)不同元素平均分成組有種分法。4. 圓排列與重復(fù)組合問(wèn)題（1）圓排列 定義1：從個(gè)不同的元素中任取個(gè)，按照一定的順序排成圓形，叫做一個(gè)圓排列。定義2：從個(gè)不同的

10、元素中取出個(gè)元素的所有圓排列的個(gè)數(shù)，叫做圓排列數(shù)，用符號(hào)表示。例6 5個(gè)朋友坐在圓桌周圍時(shí)，席位排列方法有幾種？解：設(shè)5個(gè)人分別為a，b，c，d，e，把他們排成一排時(shí)，排列的數(shù)目是5！，排成圓形時(shí)，像下圖那樣只是轉(zhuǎn)了一個(gè)地方的排法被看做是一樣的，所以根據(jù)乘法原理得： 所以 答：席位的排列方法有24種。命題1： n個(gè)不同的元素的圓排列數(shù)。例7 有6名同學(xué)做成一圓圈做游戲，有多少種做法？解: 據(jù)命題一，種。答：共有120種。命題2：從個(gè)元素中取出個(gè)元素的圓排列數(shù)。證明：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)為種，而將這個(gè)元素排成圓形由命題1共有種方法，于是由乘法原理得 .（2）重復(fù)組合定義3：從個(gè)不同的

11、元素中任取個(gè)元素，元素可以重復(fù)選取，不管怎樣的順序并成一組，叫做重復(fù)組合。定義4：從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素的所有重復(fù)組合的個(gè)數(shù)，叫做重復(fù)組合數(shù)，用符號(hào)表示。例8 有5個(gè)數(shù)1，2，3，4，5，同一個(gè)數(shù)允許選用任意次，求從中選出3個(gè)的重復(fù)組合數(shù)。解：如果從5個(gè)中選出3個(gè)時(shí)，選的都是不同的數(shù)，那么很明顯組合數(shù)為，但是同一個(gè)數(shù)允許選用任意次，因此像（1，1，1），（1，2，1），（4，4，5），的組合也應(yīng)在算內(nèi)，所以要想辦法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成選取的全是不同元素的問(wèn)題，為了把上述（1，1，1），（1，2，1），（4，4，5）改成全是不同的數(shù)，先把這些數(shù)按從小到大的順序排列起來(lái)得到（1，1，1），（1，2，

12、1），（4，4，5）。然后第一個(gè)數(shù)不 變，在第二個(gè)數(shù)上加1，在第三個(gè)數(shù)上加2，這就變成：（1，2，3），（1，2，4），（4，6，7）。一般地，可以證明左右兩邊是一一對(duì)應(yīng)的（左右各有一組互相對(duì)應(yīng)，一組不能和兩組以上對(duì)應(yīng)）。這樣，中即使有相同的元素，在上述的一一對(duì)應(yīng)中，也能夠改變成沒(méi)有相同的元素組，所以從整體上來(lái)說(shuō)，結(jié)果就成了從1，2，3，4，5，6，7的7個(gè)數(shù)中選取3個(gè)不同的元素的組合問(wèn)題了，即 。答：從1，2，3，4，5中選取3個(gè)數(shù)的重復(fù)組合數(shù)為35。命題3：從n個(gè)不同的元素中選取出m個(gè)元素的重復(fù)組合數(shù)為 。例9 從3，5，7，11這4個(gè)質(zhì)數(shù)中任取兩個(gè)相乘，同一個(gè)數(shù)允許重復(fù)使用，可以得到多少

13、個(gè)不相同的乘積？解：根據(jù)命題3有：個(gè)。答：可以得到10個(gè)不相等的乘積。分析：圓排列和重復(fù)組合問(wèn)題時(shí)高考中的難點(diǎn)，學(xué)生在平時(shí)的理解過(guò)程中往往也存在很多的理解上的問(wèn)題，主要是因?yàn)樗麄冊(cè)谄綍r(shí)的訓(xùn)練當(dāng)中已經(jīng)習(xí)慣性的接受了全排列和不重復(fù)組合的很多的例題，導(dǎo)致了思維的本能反應(yīng)而導(dǎo)致錯(cuò)誤，老師在講解這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候最好能夠重新給學(xué)生建立相應(yīng)的知識(shí)體系，在講完這一個(gè)知識(shí)點(diǎn)以后再與前兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行相應(yīng)的對(duì)照理解和學(xué)習(xí)，這樣可能更好的促進(jìn)教學(xué)，學(xué)生也能夠很好的接受。5.連排與間隔排(1)排列中的“連排”問(wèn)題（我們稱要求某些元素必須排在一起的排列問(wèn)題為“連排”問(wèn)題）：例10 某班有學(xué)生38人，其中男生24人，女生

14、14人，現(xiàn)將他們排成一排，女生必須排在一起的排法有多少種？我們稱要求某些元素必須排在一起的排列問(wèn)題為“連排”問(wèn)題。解：由于14名學(xué)生必須排在一起，所以我們可以將14名學(xué)生看成1個(gè)“人”，把38人的排列問(wèn)題看成24+1=25人的問(wèn)題，共有種，再考慮到14名學(xué)生之間的排法，因此女生必須排在一起的排法種數(shù)為種。一般地，在個(gè)不同的元素中，某個(gè)元素排在一起的排法種數(shù)有種。例11 某班有38名同學(xué)，其中第一組的12名同學(xué)必須排在一起且第一組中的5名女同學(xué)又必須排在一起的排列方法有多少種？解：將第一組的12名同學(xué)看成一個(gè)“人”。將38名同學(xué)的排列問(wèn)題看成27人的排列的問(wèn)題，共有排法種，再考慮到12名同學(xué)的排

15、列方法，依照例1，可知第一組的12名同學(xué)要求5名女生排在一起的排法共有種。因此總的排法種數(shù)有種。命題4：一般地，個(gè)不同元素的排列中，某個(gè)元素必須排在一起的且在這個(gè)元素中的某個(gè)元素有必須排在一起的排法共有種。分析：“連排”問(wèn)題的類型很多，不可能一一例舉，處理“連排”問(wèn)題的基本方法，就是將要求排列在一起的元素看成一個(gè)整體，將它作為一個(gè)元素放到問(wèn)題中去處理，之后再考慮這個(gè)整體的內(nèi)部排列。（2）“間隔排”問(wèn)題我們稱要求某些元素中的任何兩個(gè)都不能排列在一起的排列問(wèn)題為“間隔排”問(wèn)題。例12 某班有59名同學(xué)，其中第一小組有14名，現(xiàn)將他們排成一排且要求第一小組的任何兩名同學(xué)都不排在一起的排法有多少種？解

16、：首先將不要求間隔的同學(xué)先排列有種排法，然后再將要求間隔排的同學(xué)插入已排的45位同學(xué)的46個(gè)空檔（包括兩頭）中去，有種插入方法，所以總的排法種數(shù)共有種。命題5：一般地，在n個(gè)不同元素的排列中，某個(gè)元素中的任何兩個(gè)元素不排列在一起的排法有種。例13 現(xiàn)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，用它們（不重復(fù)）可組成多少個(gè)各位上奇偶相間的六位數(shù)？解：首先將1，3，5先排共有種排法，再將2，4，6插入已排的1，3，5的空檔中去，考慮到奇偶數(shù)字要相間排列，故只有兩大插法。在2，4，6之間還要考慮順序關(guān)系，所以插法共有種，故可組成個(gè)奇偶相間的六位數(shù)。分析：處理“間隔排”問(wèn)題的基本方法是將不要求間排的元素先排，之后再

17、考慮將要求間隔排的元素插入已排元素的空檔中間去。2.3.6 重復(fù)計(jì)算或者漏計(jì)算 求解排列組合問(wèn)題時(shí)，常有遺漏或重復(fù)的情況，導(dǎo)致解答錯(cuò)誤，下面將求解排列組合問(wèn)題時(shí)幾類常見(jiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行分析，以引起注意。(1)對(duì)一些數(shù)學(xué)概念的意義把握不準(zhǔn)，出現(xiàn)遺漏或重復(fù)。例14 數(shù)2310有多少個(gè)正約數(shù)？ 錯(cuò)解：因?yàn)椋詮倪@5個(gè)質(zhì)數(shù)中分別取1個(gè)，取2個(gè)，取3個(gè)，取4個(gè)，取5個(gè)的積都是2310的正約數(shù)，故正約數(shù)有（個(gè)）。分析：上述解法其實(shí)有遺漏，原因?qū)φs數(shù)的概念掌握不深入，所謂的正約數(shù)是指：若有一個(gè)正約數(shù)（此處的整數(shù)指正整數(shù)），使得整數(shù)與之間適合，則稱可整除，記作，這時(shí)稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù)，因?yàn)?2310，所以1

18、也是2310的一個(gè)正約數(shù)，所以正確的解答為（個(gè)）。 (2)對(duì)題意要求或約束條件考慮不周，出現(xiàn)遺漏或重復(fù)或者不符題意的解答。例15 用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的數(shù)，能夠組成多少個(gè)大于240135的正整數(shù)？錯(cuò)解：用這6個(gè)數(shù)字組成比240135大而且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，可按各數(shù)位排數(shù)字分類。首位上數(shù)字從3，4，5中任取一個(gè)安排，取法有種，而后其余數(shù)字在余下的各位數(shù)上全排列，有個(gè)；首位數(shù)字上安排2，萬(wàn)位上數(shù)字分別安排4和5，而后其余數(shù)字在余下的個(gè)位數(shù)字上全排列，有個(gè)，于是，大于240135的正整數(shù)一共有（個(gè)）分析：上述解法的答案其實(shí)不符合題意，原因是考慮不夠周全，因?yàn)?，在第類中，?dāng)首位上安排2，萬(wàn)位上安排4，其余各數(shù)字在余下各數(shù)位上全排列時(shí)，已含有了2640135本身，顯然它不符合“大于240135”的題意要求，應(yīng)去掉，所以正確答案（個(gè)）(3)對(duì)欲求問(wèn)題停留在直覺(jué)或者簡(jiǎn)單直觀的認(rèn)