二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 第三節(jié)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù) 第二章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例引例：變速直線運(yùn)動(dòng)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義.若函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù))(xfy可導(dǎo),或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) ,1n階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù) ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf

2、的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) , 記作y )(xf 的導(dǎo)數(shù)為依次類推 ,分別記作則稱目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè),2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次類推 ,nnany!)(233xa例例1.思考思考: 設(shè), )(為任意常數(shù)xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(問可得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nx)1 ( ,e3xaay 例例2. 設(shè)求解解:特別有:解解:! ) 1( n規(guī)定 0 ! = 1思考思考:,exay .)(ny,exaay ,e2xaay xannaye)(xnxe)(e)(例例3.

3、設(shè), )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 設(shè),sin xy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(類似可證:xxncos()(cos)()2n)2n目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5 . 設(shè)bxyxasine解解:bxayxasine)cossin(exbbxbaxa求為常數(shù)

4、 , ),(ba.)(nybxbxacose)cossin(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay )sin(ebxaxa222)()(nnbayxabae22)arctan(ab)2sin(22bxba)sin(enbxxa)cos(ebxbxa目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 設(shè),3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx06lim200 )0(fx

5、xx012lim200 )(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x階數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 規(guī)律 二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有 n 階導(dǎo)數(shù) , 則)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C為常數(shù))()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu萊布尼茨萊布尼茨(Leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 設(shè)函數(shù)vunn) 1(規(guī)律規(guī)律規(guī)律規(guī)律vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu

6、)( vuvu vu 3vu 用數(shù)學(xué)歸納法可證( )()( )0()Cnnkn kknkuvuv目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. ,e22xxy 求.)20(y解解: 設(shè),e22xvux則xkku2)(e2,2xv ,2 v0)(kv代入萊布尼茨公式 , 得)20(yx220e22xx219e220 x2!219202x220e2)9520(2xxx218e2)20,2,1(k)20,3(k目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0!2) 1() 1(nynn)(nyn例例8. 設(shè),arctan xy 求).0()(ny解解:,112xy即1)1 (2yx用萊布尼茨公式求 n 階導(dǎo)數(shù))1 (2xx

7、22令,0 x得)0() 1()0() 1() 1(nnynny),2, 1(n由,0)0(y得,0)0( y,0)0()4(y,)0() 12( my)0() 12(2) 12(mymm)0(! )2() 1(ymm0)0()2(my ) 1(ny12, ! )2() 1(2,0)0()(mnmmnymn即), 2, 1 , 0(m由, 1)0( y得)0(! )2() 1()0() 12(ymymm目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 逐階求導(dǎo)法(2) 利用歸納法(3) 間接法 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式(4) 利用萊布尼茨公式高階導(dǎo)數(shù)的求法)(1nxa1)(!) 1(nnxa

8、n如下列公式xxnsin()(sin)(xxncos()(cos)()2n)2n目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn1. 如何求下列函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)?xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2312xxy1121xxy11)() 1(1)2(1!) 1(nnnnxxny(3)12) 1)(2(1xBxAxx提示提示: 令)2(xA2x) 1(xB1x11) 1)(2(1xx) 1)(2(1xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxy66cossi

9、n)4(3232)(cos)(sinxxyxxxx4224coscossinsin222)cos(sinxx x2sin431283)(nyn433ba)(ba )(22babax4cos8385)4cos(2nx 22cos1sin2xx22cossin3解解:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1)(2(232xxxx各項(xiàng)均含因子 ( x 2 )1)( !nxfn2. (填空題) (1) 設(shè),cos)23()(1622xnxxxf則)2()(nf)(xf16cos) 1(2xxn)()(xfn16cos) 1(2xxn提示提示:nx)2( ! n22!n(2) 已知)(xf任意階可導(dǎo), 且2

10、n時(shí))()(xfn提示提示:,)()(2xfxf則當(dāng) )(xf)()(2xfxf3)( !2xf )(xf)()(3!22xfxf4)( !3xf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 試從 yyx1dd導(dǎo)出.)(dd322yyyx 解：解：yxyyxdddddd22 y1xddyxdd2)(yy y13)(yy 同樣可求33ddyx(見 P103 題4 ) 作業(yè)作業(yè)P103 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 6 ; 9 ; 10 (2) ; *11 (2) , (3) 第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: 設(shè))(sin2xfxy 求,y 其中 f 二階可導(dǎo).xxfxcos)(si