二階微分方程

1、第三節(jié) 二階線形微分方程 4.3.1 二階線形齊次微分方程 4.3.2 二階線形非齊次微分方程第三節(jié) 二階線形微分方程 一、引例 二、概念和公式的引出 三、案例 第三節(jié) 二階微分方程 一、引例 彈簧的運動方向設(shè)一彈簧放于油中，其運動滿足以下微分方程02322sdtdsdtsd 二階線形齊次微分方程第三節(jié) 二階微分方程 二、概念和公式的引出二階線性微分方程二階線性微分方程 形如 )(xfyxQyxPy 的方程稱為二階線性微分方程如果 0 xf，方程稱為齊次的；如果 ( )f x 0，方程稱為非齊次的。第三節(jié) 二階微分方程1y2y齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程解的結(jié)構(gòu) 如果函數(shù)與是二階齊次線性微

2、分方程 0 yxQyxPy的兩個解，那么 2211yCyCy1C2C也是該方程的解，其中、是任意常數(shù)如果 1y2y與之比不為常數(shù)2211yCyCy1C2C、是任意常數(shù) 是該方程的通解求二階常系數(shù)齊次線性微分方程0 qyypy的通解步驟如下：kyy21常數(shù)），則 （即 第三節(jié) 二階微分方程第一步寫出對應的特征方程02qprr1r2r第二步求出特征根、；出了三種不同特征根對應的方程的通解1r2r第三步根據(jù) 的三種不同情況，寫出對應的通解下表給 特征方程02qprr的根 微分方程0 qyypy的通解 兩個相異實根21rr xrxreCeCy2121兩個相等的實根12rrrrxexCCy21一對共軛復

3、根ir 2, 1xCxC第三節(jié) 二階微分方程 三、案例三、案例 案例案例1 質(zhì)量為10千克的物體懸于彈簧下,使之比自然狀態(tài)伸長了0.7米.物體以1米/秒的初始速度從平衡位置開始向上運動.若空氣阻力是 90dxdt牛,求解9.8g 98mg取米/秒 ,有牛 140kl90a 牛/米,而 ( )0F t (沒有外力).由公式 22( )d xa dxkF txdtm dtmm得： 229140d xdxxdtdt物體隨后的運動.研究研究第三節(jié) 二階微分方程相應的特征方程的根是122,7, 他們都是實的單根;因此(1)的解是2712ttxc ec e初始條件是(0)0 x(物體從平衡位置開始運動)和

4、 (0)0 x初始速度在負方向上.應用這些條件有121;5cc 于是, 721().5ttxee注意當 t 時, 0 x 因此運動是瞬時的.第三節(jié) 二階線形微分方程 一、引例 二、概念和公式的引出 三、案例 第三節(jié) 二階微分方程180R280/1C20L一個RLC串聯(lián)回路由電阻歐姆，電容法拉，電感 一、引例 電路問題電流是1安培，求隨后電容上的電量解由基爾霍夫定律，得)(1122tELqLCdtdqLRdtqd將已知條件代入上式，得tqdtdqdtqdsin2114922初始條件為 1, 0)0(0tdtdqqttEsin10)(亨利和電源構(gòu)成假設(shè)在初始時刻 0t，電容上沒有電量第三節(jié) 二階微

5、分方程 二、概念和公式的引出二階線性.非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu) 設(shè)y是二階非齊次線性 xfqyypy 的一個特解，Y是該方程所對應的齊次線性方程(6-10)的通解，則 yYy是非齊次線性方程（6-9）的通解微分方程 第三節(jié) 二階微分方程 三、案例tqdtdqdtqd100sin50041010422FC400HL110RtE100sin500案例案例1 設(shè)某一RLC回路中，,則滿足以下微分方程設(shè)其特解為tBtAq100cos100sin求導，得tBtAdtdq100sin100100cos100tBtA第三節(jié) 二階微分方程tBtA100cos410100sin41044t100sin500tABtBA100cos)101075. 0(100sin)101075. 0(3434t100sin50031073. 8B3105 .65Attq100cos