概率論與數(shù)理統(tǒng)計第2講

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二第二 講講主講教師：程維虎教授主講教師：程維虎教授北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院1.2 事件的概率事件的概率1.2.1 事件的頻率事件的頻率I. 頻率定義頻率定義 設(shè)設(shè)A是一個事件是一個事件, 在相同條件下進行在相同條件下進行n次試次試驗，驗，A發(fā)生了發(fā)生了m 次。次。 則稱則稱 m為事件為事件A在在 n 次試驗次試驗中發(fā)生的中發(fā)生的頻數(shù)頻數(shù)或或頻次頻次，稱，稱 m與與 n之之比比 m/n 為事為事件件A在在 n次試驗中發(fā)生的次試驗中發(fā)生的頻率頻率，記為，記為 fn(A)。 當(dāng)試驗次數(shù)當(dāng)試驗次數(shù) n充分大時，事件的頻率總在充分大時，事件的

2、頻率總在一個定值附近擺動，而且，試驗次數(shù)越多，一個定值附近擺動，而且，試驗次數(shù)越多，一般說來一般說來擺動的幅度越小。這一性質(zhì)稱頻率擺動的幅度越小。這一性質(zhì)稱頻率的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。 頻率在一定程度上反映了事件在一次試頻率在一定程度上反映了事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小。盡管每進行一連驗中發(fā)生的可能性大小。盡管每進行一連 n次次試驗，所得到的頻率可能各不相同試驗，所得到的頻率可能各不相同,但只要但只要 n足當(dāng)大，頻率就會非常接近一個固定值足當(dāng)大，頻率就會非常接近一個固定值概率概率。 因此因此, 概率可以通過頻率來概率可以通過頻率來“度量度量”, 頻率頻率是概率的近似是概率的近似, 概率是頻率某

3、種意義下的極限。概率是頻率某種意義下的極限。 考慮在相同條件下進行的考慮在相同條件下進行的 k 組試驗組試驗事件事件A在各組試驗中的頻率形成一個數(shù)列在各組試驗中的頻率形成一個數(shù)列. 2211kknmnmnm，頻率穩(wěn)定性是指：頻率穩(wěn)定性是指：各組試驗次數(shù)各組試驗次數(shù) n1, ,n2, nk 充分大時，在各組試驗中事件充分大時，在各組試驗中事件 A 出現(xiàn)的頻率出現(xiàn)的頻率間、或頻率與某定值相差很小間、或頻率與某定值相差很小 。 穩(wěn)定在概率穩(wěn)定在概率 p 附近附近下面我們來說明頻率穩(wěn)定性的含義。下面我們來說明頻率穩(wěn)定性的含義。 在實際問題中，當(dāng)概率不易求出時，人在實際問題中，當(dāng)概率不易求出時，人們在試

4、驗次數(shù)很大情況下，常用事件的頻率們在試驗次數(shù)很大情況下，常用事件的頻率作為概率的估計，并稱此概率為作為概率的估計，并稱此概率為統(tǒng)計概率。統(tǒng)計概率。這種確定概率的方法為這種確定概率的方法為頻率法。頻率法。例如例如: : 若需了解某射箭運動員中若需了解某射箭運動員中1010環(huán)的概率，環(huán)的概率，應(yīng)對該運動員在相同條件下的多次射箭情況應(yīng)對該運動員在相同條件下的多次射箭情況進行觀測、統(tǒng)計。進行觀測、統(tǒng)計。 假設(shè)其射擊假設(shè)其射擊 n 次，中次，中1010環(huán)環(huán)m次，當(dāng)次，當(dāng) n很大很大時，就時，就 m/n 作為其命中作為其命中1010環(huán)的概率。環(huán)的概率。又如：又如：進行產(chǎn)品檢驗時，如果檢驗了進行產(chǎn)品檢驗時，

5、如果檢驗了n 件產(chǎn)品件產(chǎn)品, ,其中其中m 件為次品，則當(dāng)件為次品，則當(dāng) n 很大時，可用很大時，可用 m/n 作作為產(chǎn)品的次品率為產(chǎn)品的次品率( (概率概率) )的估計值。的估計值。(1)(1) 0 0 fn n( (A) )11；(2)(2) fn n( ()=1, )=1, fn n( ( )=0)=0；(3).(3).若若事件事件 A1 1, ,A2 2, , ,Ak k 兩兩互斥，則兩兩互斥，則: :II. 頻率性質(zhì)頻率性質(zhì)。 kiinkiinAfAf11)( 1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家(概率統(tǒng)計學(xué)家概率統(tǒng)計學(xué)家)柯柯爾莫哥洛夫爾莫哥洛夫 (KolmogorovKolm

6、ogorov) 給出了概率如下給出了概率如下公公理化理化定義。定義。1.2.2 事件概率事件概率I. 概率定義概率定義概率的公理化定義概率的公理化定義(2). P()=1 ; (3). 若事件若事件A1, A2 , 兩兩互斥，則有兩兩互斥，則有 設(shè)設(shè)E是隨機試驗，是隨機試驗，是樣本空間，對是樣本空間，對中中的每個事件的每個事件A，賦予一個實數(shù)，賦予一個實數(shù)P(A) ，如果事，如果事件件(集合集合)函數(shù)函數(shù) P(A) 滿足下述三條滿足下述三條:(1). P(A)00；則稱則稱P(A)為事件為事件A 的概率的概率。. )()()(2121APAPAAP 注意：注意：這里的函數(shù)這里的函數(shù)P(A)與以

7、前所學(xué)過的函與以前所學(xué)過的函數(shù)不同。不同之處在于：數(shù)不同。不同之處在于：P(A)的自變量是事件的自變量是事件 ( 集合集合 )。 不難看出：不難看出：這里事件概率的定義是在這里事件概率的定義是在頻率頻率性質(zhì)的基礎(chǔ)之上提出的。性質(zhì)的基礎(chǔ)之上提出的。在在5.1中中, 我們將看我們將看到：到：頻率頻率fn(A)在某種意義下收斂到概率在某種意義下收斂到概率P(A)的的結(jié)論?；谶@一點，我們有理由用上述定義的結(jié)論?；谶@一點，我們有理由用上述定義的概率概率 P(A)來度量來度量事件事件A在一次試驗中發(fā)生的可在一次試驗中發(fā)生的可能性大小。能性大小。II. 概率的性質(zhì)概率的性質(zhì) 1. P(1. P()=0)

8、=0，即不可能事件的概率為零；即不可能事件的概率為零； 2. 2. 若事件若事件 A1 1, ,A2, , An n 兩兩互斥，則有：兩兩互斥，則有： P(P(A1 1A2 2An n)=P()=P(A1 1)+)+P(+P(An n),), 即互斥事件并的概率等于它們各自即互斥事件并的概率等于它們各自 概率之和概率之和( (有限可加性有限可加性) )；4. 對兩個事件對兩個事件A和和B，若，若A B, , 則則有有: : P(P(B- -A)=P()=P(B)-P()-P(A), P(), P(B) )P(P(A) )。);(1)(APAP 3. 對任一事件對任一事件A, 均有均有證明：證明

9、：5.對任意兩個事件對任意兩個事件A, B，有，有)()()()(ABPBPAPBAP 因因 AB，AAB，BAB兩兩互斥，且兩兩互斥，且由概率的可加性，由概率的可加性， 有有 P(AB)=P(AB(AAB) (B AB)=P(AB)+P(A AB)+P(B AB）=P(AB)+P(A AB)+P(B AB)+P(AB) P(AB)=P(A)+P(B) P(AB).AB = AB(A AB) (B AB)，J 說明說明 niiiiiinkknllkkAAAPAP21211111)()1(n個事件并的多除少補公式個事件并的多除少補公式特別地，特別地，n = 3 時，有時，有)()()()()()

10、()()(321323121321321AAAPAAPAAPAAPAPAPAPAAAP 小結(jié)小結(jié)1.3 古典概率模型古典概率模型I. 什么是古典概率模型什么是古典概率模型如果試驗如果試驗 E 滿足滿足 (1).(1).試驗結(jié)果只有有限種；試驗結(jié)果只有有限種； (2).(2).各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。則稱這樣的試驗?zāi)Ｐ蜑閯t稱這樣的試驗?zāi)Ｐ蜑榈瓤赡芨怕誓Ｐ偷瓤赡芨怕誓Ｐ突蚧蚬殴诺涓怕誓Ｐ偷涓怕誓Ｐ停喎Q，簡稱等可能概型等可能概型或或古典概型古典概型。II. 古典概率模型中事件概率求法古典概率模型中事件概率求法 因因試驗試驗E E的結(jié)果只有有限種，即樣本點是的結(jié)果只有有限

11、種，即樣本點是有限個有限個: : 1 1, , 2 2 , n n 。 = 1 1 2 2 n n ， i i 是基本事件，且各自發(fā)生的概率相等。是基本事件，且各自發(fā)生的概率相等。 于是，于是，有有 1=P()=P(1=P()=P( 1 1 2 2 n n) =P( =P( 1 1)+P()+P( 2 2 )+P()+P( n n) = =n P(P( i i), ), i=1,2,=1,2,n。從而，從而， P(P( i i)= 1/n= 1/n，i=1,2,=1,2, ,n. .因此，若事件因此，若事件A 包含包含 k 個基本事件，即個基本事件，即.)()(1基本事件總數(shù)中包含基本事件數(shù)A

12、nkPAPkrir,21kiiiA則則III. 古典概模型舉例古典概模型舉例例例1：擲一顆均勻骰子，設(shè)擲一顆均勻骰子，設(shè)A表示所擲結(jié)果為表示所擲結(jié)果為“四點或五點四點或五點”，B表示所擲結(jié)果為表示所擲結(jié)果為“偶數(shù)偶數(shù)點點”，求，求P(A)和和P(B)。解：解：由由 n=6=6，k kA A=2,=2,得得 P(P(A)=2/6=1/3)=2/6=1/3；再由再由k kB B=3=3，得，得 P(P(B)=3/6=1/2)=3/6=1/2。例例2 2：貨架上有外觀相同的商品貨架上有外觀相同的商品1515件，其中件，其中1212件件來自產(chǎn)地甲來自產(chǎn)地甲, 3, 3件來自地乙?，F(xiàn)從件來自地乙?，F(xiàn)從1

13、515件商品中隨件商品中隨機地抽取兩件機地抽取兩件, ,求這兩件商品來自一同產(chǎn)地的概求這兩件商品來自一同產(chǎn)地的概率。率。解：解：從從1515件商品中取出件商品中取出2 2商品，共有商品，共有C C2 21515= = 105 105種取法，且每種取法都是等可能的，種取法，且每種取法都是等可能的，故故n=105=105。令令 A=兩件商品都來自產(chǎn)地甲兩件商品都來自產(chǎn)地甲,k kA= C= C2 21212=66,=66, B=兩件商品都來自產(chǎn)地乙兩件商品都來自產(chǎn)地乙,k kB= C= C2 23 3 =3 =3，而事件而事件: : 兩件商品來自同一產(chǎn)地兩件商品來自同一產(chǎn)地=AB, , 且且A與與

14、B互斥互斥, , AB包含基本事件數(shù)包含基本事件數(shù)66+3=6966+3=69。故，所求概率故，所求概率=69/105=23/35=69/105=23/35。例例3 3：有外觀相同的三極管有外觀相同的三極管6 6只，按電流放大系只，按電流放大系數(shù)分類，數(shù)分類，4 4只屬甲類，只屬甲類，2 2只屬乙類。按下列兩種只屬乙類。按下列兩種方案抽取三極管兩只：方案抽取三極管兩只：(1).(1).每次抽取一只，測試后放回，然后再抽取下一只每次抽取一只，測試后放回，然后再抽取下一只 ( (放回抽樣放回抽樣) )；(2).(2).每次抽取一只，測試后不放回，然后在剩下的三每次抽取一只，測試后不放回，然后在剩下

15、的三 極管中再抽取下一只極管中再抽取下一只( (不放回抽樣不放回抽樣) )。設(shè)設(shè) A=抽到兩只甲類三極管抽到兩只甲類三極管 ， B=抽到兩只同類三極管抽到兩只同類三極管 , , C=至少抽到一只甲類三極管至少抽到一只甲類三極管 , , D=抽到兩只不同類三極管抽到兩只不同類三極管 。求求 P(P(A),P(),P(B),P(),P(C),P(),P(D) )。解解: : (1).(1).由于每次抽測后放回由于每次抽測后放回, , 因此，每次都因此，每次都是在是在6 6只三極管中抽取。只三極管中抽取。 因第一次從因第一次從6 6只中取一只，共有只中取一只，共有6 6種可能取種可能取法；法；第二次

16、還是從第二次還是從6 6只中取一只，還是有只中取一只，還是有6 6種取種取法。法。故，故，取兩只三極管共有取兩只三極管共有6 6 6=366=36種可能的取種可能的取法。法。從而從而, , n=36=36。 注意：注意：這種分析方法使用的是中學(xué)學(xué)過這種分析方法使用的是中學(xué)學(xué)過的的“乘法原理乘法原理”。 因每個基本事件發(fā)生的可能性相同因每個基本事件發(fā)生的可能性相同。故。故第第一次取一只甲類三極管共有一次取一只甲類三極管共有4 4種可能取法種可能取法, ,第二第二次再取一只甲類三極管還是有次再取一只甲類三極管還是有4 4種可能取法。種可能取法。故故, ,取兩只甲類三極管共有取兩只甲類三極管共有4

17、4 4=16 4=16 種可能的取種可能的取法法, ,即即k kA=16=16。所以，。所以，P(P(A)=16/36=4/9)=16/36=4/9； 令令E=抽到兩只乙類三極管抽到兩只乙類三極管 ，則，則 kE= =2 2 2=42=4。故，故，P(P(E)=4/36=1/9)=4/36=1/9；因因C是是E的對立事件，所以的對立事件，所以 P(P(C)=1-P()=1-P(E)=8/9;)=8/9;因因B= =AE, , 且且A與與E互斥，得互斥，得 P(P(B)=P()=P(A)+P()+P(E)=5/9)=5/9；D是是B的對立事件的對立事件, , 得得 P(P(D)=1-P()=1-

18、P(B)=4/9)=4/9。 (2). (2).由于第一次抽測后不放回由于第一次抽測后不放回, ,所以第一次所以第一次從從6 6只中取一只只中取一只, , 共有共有6 6種可能的取法；第二次種可能的取法；第二次是從剩余的是從剩余的5 5只中取一只，有只中取一只，有5 5種可能的取法。種可能的取法。由乘法原理，知取兩只三極管共有由乘法原理，知取兩只三極管共有n= 6= 6 5=305=30種可能的取法。種可能的取法。 由乘法原理，得由乘法原理，得 kA=4=4 3=123=12。從而。從而P(P(A)=12/30=2/5)=12/30=2/5； 類似地類似地, ,得得kE= =2 2 1=21=

19、2，P(E)=2/30=1/15P(E)=2/30=1/15；由由C是是E的對立事件的對立事件, ,得得 P(P(C)=1-P()=1-P(E)=14/15;)=14/15;由由B= =AE, , 且且A與與E互斥，得互斥，得 P(P(B)=P()=P(A)+P()+P(E)=7/15)=7/15；由由D是是B的對立事件的對立事件, , 得得 P(P(D)=1-P()=1-P(B)=8/15.)=8/15.例例4 4：n個球隨機地放入個球隨機地放入N( (Nn) )個盒子中，若個盒子中，若盒子的容量無限制。求盒子的容量無限制。求“每個盒子中至多有一每個盒子中至多有一球球”的概率。的概率。解解:

20、 因因每個球都可以放入每個球都可以放入N個盒子中的任何一個盒子中的任何一個，個，故故每個球有每個球有N N種放法。種放法。由乘法原理，由乘法原理，將將n個個球放入球放入N個盒子中共有個盒子中共有 Nn 種不同的放法。種不同的放法。 每個盒子中至多有一個球的放法每個盒子中至多有一個球的放法( (由乘法由乘法原理原理得得): ): N(N- -1)(N- -n+1)=ANn 種。種。故，故， P(P(A)= )= Ann / Nn . . 設(shè)每個人在一年設(shè)每個人在一年( (按按365365天計天計) )內(nèi)每天出內(nèi)每天出生的可能性都相同，現(xiàn)隨機地選取生的可能性都相同，現(xiàn)隨機地選取n( (n365)3

21、65)個人，則他們生日各不相同的概率為個人，則他們生日各不相同的概率為 A365n / 365n。于是于是, , n n個人中至少有兩人生日相同的概率為個人中至少有兩人生日相同的概率為 1-1-A365365n / 365/ 365n。 打開書打開書 P13P13，可看到，可看到表表1.3。 許多問題和上例有相同的數(shù)學(xué)模型。許多問題和上例有相同的數(shù)學(xué)模型。如如(生日問題生日問題)： 某人群有某人群有n個人，他們中至少個人，他們中至少有兩人生日相同的概率有多大？有兩人生日相同的概率有多大？ 從上表可以看出從上表可以看出: : 在在4040人左右的人群里人左右的人群里, ,十有八九十有八九會發(fā)生會

22、發(fā)生 兩人或兩人以上生日相同兩人或兩人以上生日相同 這一事件。這一事件。 把把 n 個物品分成個物品分成k組，使第一組有組，使第一組有n1 1個個, ,第二組有第二組有n2 2個個, , ,第第 k 組有組有nk k個，且個，且 n1 1+ + n2 2+ + +nk k= =n，則不同的分組方法數(shù)為則不同的分組方法數(shù)為公式公式!21knnnn例例5：某公司生產(chǎn)的某公司生產(chǎn)的15件產(chǎn)品中，有件產(chǎn)品中，有12件正品件正品, 3件次品。現(xiàn)將它們隨機地分裝在件次品?，F(xiàn)將它們隨機地分裝在3個箱中個箱中, 每每箱裝箱裝5件，設(shè)件，設(shè)A=每箱中恰有一件次品每箱中恰有一件次品, B=三三件次品都在同一箱中件

23、次品都在同一箱中。求。求P(A)和和P(B)。解：解：1515件產(chǎn)品裝入件產(chǎn)品裝入3 3個箱中，每箱裝個箱中，每箱裝5 5件，有件，有種等可能的裝法。種等可能的裝法。故，基本事件總數(shù)為故，基本事件總數(shù)為) !5 !5 !5/(!15) !5 !5 !5/(!15 把三件次品分別裝入三個箱中，共有把三件次品分別裝入三個箱中，共有3!3!種種裝法。這樣的每一種裝法取定以后，把其余裝法。這樣的每一種裝法取定以后，把其余1212件正品再平均裝入件正品再平均裝入3 3個箱中，每箱裝個箱中，每箱裝4 4件，有件，有個基本事件。個基本事件。,) !4!4!4/(!12種種裝裝法法再由乘法原理，可知裝箱總方法

24、數(shù)有再由乘法原理，可知裝箱總方法數(shù)有種種。)/(4!4!4!3!12!即即A包含包含。9125!5!5!5!15!4!4!4!12!3)( AP)/(4!4!4!3!12!從而，從而， 把三件次品裝入同一箱中把三件次品裝入同一箱中, ,共有共有3 3種裝法。種裝法。這樣的每一種裝法取定以后這樣的每一種裝法取定以后, ,再把其余再把其余1212件正品件正品裝入裝入3 3個箱中個箱中( (一箱再裝一箱再裝2 2件件, ,另兩箱各裝另兩箱各裝5 5件件) )又又有有個基本事件。故，個基本事件。故，種種裝裝法法。) !5!5!2/(!12由乘法原理，知裝箱方法由乘法原理，知裝箱方法共有共有種種。) !5!5!2/(!123 即即B包含包含。916!5!5!5!15!5!5!2!123)( BP)!5!5!2/(!123 例例6：設(shè)設(shè)N件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有K件次品，件次品，N- -K件正品件正品, KN。現(xiàn)從?，F(xiàn)從N件中每次任意抽取