廣州市2014屆高三數(shù)學(xué)沖刺查漏補(bǔ)缺試題目理新人民教育出版

1、廣東省廣州市2014屆高三5月高考沖刺階段（查缺補(bǔ)漏）數(shù)學(xué)（理科） 說明：1本訓(xùn)練題由廣州市中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會(huì)高三中心組與廣州市高考數(shù)學(xué)研究組共同編寫，共26題2本訓(xùn)練題僅供本市高三學(xué)生考前沖刺訓(xùn)練用，希望在5月31日之前完成3互為補(bǔ)充四套試題覆蓋了高中數(shù)學(xué)的主要知識(shí)和方法因此，希望同學(xué)們?cè)?月31日至6月6日之間，安排一段時(shí)間，對(duì)這四套試題進(jìn)行一次全面的回顧總結(jié)，同時(shí)，將高中數(shù)學(xué)課本中的基本知識(shí)（如概念、定理、公式等）再復(fù)習(xí)一遍希望同學(xué)們保持良好的心態(tài)，在高考中穩(wěn)定發(fā)揮，考取理想的成績！1在中，C-A=，sinA= （1）求sinC的值；（2）若BC=，求的面積2已知函數(shù)f(x)3sin(x

2、)(>0，)的最小正周期為，且其圖象經(jīng)過點(diǎn).（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）若函數(shù)g(x)，且g()1，g()，求g()的值3已知向量m(sin x,1)，n(Acos x，cos 2x) (A>0)，函數(shù)f(x)m·n的最大值為6（1）求A的值；（2）將函數(shù)yf(x)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g(x)在上的值域4如圖，某測(cè)量人員為了測(cè)量珠江北岸不能到達(dá)的兩點(diǎn)A，B之間的距離，他在珠江南岸找到一個(gè)點(diǎn)C，從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，B；找到一個(gè)點(diǎn)D，從D點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，C；找到一個(gè)點(diǎn)E，從E點(diǎn)可以

3、觀察到點(diǎn)B，C；并測(cè)量得到數(shù)據(jù)：ACD90°，ADC60°，ACB15°，BCE105°，CEB45°，CDCE100m （1）求CDE的面積；（2）求A，B之間的距離5某高校在自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績分組：第一組75，80)，第二組80，85)，第三組85，90)，第四組90，95)，第五組95，100，得到的頻率分布直方圖如圖所示 75 80 85 90 95 100 分?jǐn)?shù)0.010.020.040.060.070.030.05（1）分別求第三，四，五組的頻率；（2）該校決定在筆試成績較高的第3，4，5組中用

4、分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試已知學(xué)生甲和學(xué)生乙的成績均在第三組，求學(xué)生甲和學(xué)生乙同時(shí)進(jìn)入第二輪面試的概率；學(xué)校決定在這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受考官D的面試，設(shè)第四組中有名學(xué)生被考官D面試，求的分布列和數(shù)學(xué)期望6右圖是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量（單位：噸）的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中x的值；（2）若將頻率視為概率，從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望7生產(chǎn)A，B兩種元件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為正品，小于82為次品，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種元件各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：測(cè)試指標(biāo)元件

5、A81240328元件B71840296（1）試分別估計(jì)元件A、元件B為正品的概率；（2）生產(chǎn)一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元；生產(chǎn)一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品則虧損20元，在（1）的前提下求生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤不少于300元的概率；記X為生產(chǎn)1件元件A和1件元件B所得的總利潤，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望8電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.右圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖.將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”（1）根據(jù)已知條件完成下面的

6、列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計(jì)男女1055合計(jì)（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列，期望和方差.（參考數(shù)據(jù)與公式：，其中.）9如圖，直四棱柱中，底面為菱形，且，E為延長線上的一點(diǎn)，面，設(shè)（1）求二面角的余弦值；（2）在上是否存在一點(diǎn)，使面?若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由ABCD10如圖，四棱錐中，/，（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面成角正弦值等于？若存在，指出點(diǎn)位置；若不存

7、在，請(qǐng)說明理由11如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上不同于A、B的一點(diǎn)，BAC=45°，點(diǎn)V是圓O所在平面外一點(diǎn)，且VA=VB=VC，E是AC的中點(diǎn)（1）求證：VO面ABC；（2）已知是平面VBC與平面VOE所形成的二面角的平面角，且0°90°，若OA=OV=1，求的值12如圖1，已知的直徑，點(diǎn)、為上兩點(diǎn)，且，為弧的中點(diǎn)，將沿直徑折起，使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直（如圖2）（1）在弧上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，試指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由；圖1圖2（2）求二面角的正弦值13設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列

8、的及前項(xiàng)和；（3）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)14設(shè)數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，且，（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）把數(shù)列、的公共項(xiàng)從小到大排成新數(shù)列，求證：是等比數(shù)列；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和15已知數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，問是否存在正整數(shù)、且，使得對(duì)一切恒成立？若存在，求出、的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）設(shè)，求證：16已知是首項(xiàng)為，公差不為零的等差數(shù)列，的部分項(xiàng)、恰好為等比數(shù)列，且，（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：17已知函數(shù)，且對(duì)恒成立數(shù)列滿足，（1）求的取值集合；（2）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）數(shù)列中，求證：（為自然對(duì)數(shù)

9、的底數(shù)）18橢圓 C：(ab0)的離心率為 ，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1) 的距離為 F2OxyPABF1A2l（1）求橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線 l：y = kx + m 與橢圓 C 相交于A、B 兩點(diǎn)(A、B不是左右頂點(diǎn))，且以 AB 為直徑的圓過橢圓 C 的右頂點(diǎn)，求證：直線 l 過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)19拋物線 C：x 2 = 4y，直線 AB 過拋物線 C 的焦點(diǎn) F，交 x 軸于點(diǎn) P.FOyxABPGD（1）求證：PF 2 = PA·PB（2）過 P 作拋物線 C 的切線，切點(diǎn)為 D(異于原點(diǎn))，kDA, kDF, kDB是否恒成等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由；ABD 重心

10、 G 的軌跡是什么圖形，請(qǐng)說明理由OyPABF1F2xl20設(shè)點(diǎn) P在以 F1、F2 為左、右焦點(diǎn)的雙曲線 C：= 1(a > 0,b > 0)上，PF2x軸，| PF2 | = 3，點(diǎn) D為其右頂點(diǎn)，且 | F1D | = 3 | DF2 |（1）求雙曲線 C 方程；（2）設(shè)過點(diǎn) F2 的直線 l 與交于雙曲線 C 不同的兩點(diǎn) A、B，且滿足 | OA | 2 + | OB | 2 > | AB | 2(其中 O為原點(diǎn))，求直線 l 的斜率的取值范圍21已知?jiǎng)訄A C 過定點(diǎn)M(0,2)，且在 x 軸上截得弦長為 4.設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線 E.COyAMlx（1）求曲線

11、E 的方程；（2）點(diǎn) A 為直線 l：xy2 = 0 上任意一點(diǎn)，過 A 作曲線 C 的切線，切點(diǎn)分別為 P、Q，求APQ 面積的最小值及此時(shí)點(diǎn) A 的坐標(biāo)22已知橢圓 C 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，橢圓的離心率為 ，且橢圓經(jīng)過點(diǎn) M(1,) F2OyPMQF1x（1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）線段 PQ 是橢圓過點(diǎn) F2 的弦，且 = l，求 PF1Q 內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù) l 的值23已知向量，（為常數(shù)， 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直，（1）求的值及的單調(diào)區(qū)間；（2）已知函數(shù) (為正實(shí)數(shù)),若對(duì)于任意，總存在， 使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍24設(shè)，函數(shù)（1）若，求函數(shù)在

12、區(qū)間上的最大值；（2）若，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不必證明）；（3）若存在，使得關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍25已知函數(shù)在處的切線方程為（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的值；（3）數(shù)列滿足，求的整數(shù)部分26已知，且直線與曲線相切（1）若對(duì)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求最大的正整數(shù)，使得對(duì)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）內(nèi)的任意個(gè)實(shí)數(shù)都有成立；（3）求證：2014年廣州市高考備考沖刺階段數(shù)學(xué)學(xué)科(理科)訓(xùn)練材料參考答案1（1）因?yàn)樵谥?，C-A=，所以A為銳角，且所以sinC=sin(A+)=cosA=（2）由正弦定理得，所以因?yàn)?/p>

13、在中，C-A=，所以C為鈍角，且因?yàn)樵谥?，所以所以的面積為2（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期為，且>0，所以，解得2.所以f(x)3sin(2x)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以3sin0，得k，kZ，即k，kZ.由，得.所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)3sin.（2）依題意有g(shù)(x)3sin=3cos x.由g()3cos 1，得cos ，由g()3cos ，得cos .因?yàn)?，所以sin ，sin .所以g()3cos()3(cos cos sin sin ) 3×.3（1）f(x)m·nAsin xcos xcos 2xAAsin.因?yàn)閒(x)的最大值為6，

14、且A>0，所以A6.（2）由（1）知f(x)6sin.將函數(shù)yf(x)的圖象向左平移個(gè)單位后得到y(tǒng)6sin6sin的圖象；再將所得圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)6sin的圖象因此g(x)6sin因?yàn)閤，所以4x，sin，所以g(x)所以g(x)在上的值域?yàn)?,64（1）在CDE中，DCE360°90°15°105°150°所以CDE的面積為SCDECDCEsin150°100100sin30°2500(m2)（2）連結(jié)AB在RtACD中，ACCD tanADC100tan 60°100(m

15、)在BCE中，CBE180°BCECEB180°105°45°30°由正弦定理得，所以100(m)在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cosACB，又cosACBcos 15°cos(60°45°)cos 60°cos 45°sin 60°sin 45°××，所以AB2(100)2(100)2210010010000(2)所以AB100(m)，所以A，B之間的距離為100 m5（1）第三組的頻率為0.065=0.3，

16、第四組的頻率為0.045=0.2，第五組的頻率為0.025=0.1.（2）由題意知，在第三、四、五組中分別抽取了3，2，1名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，第三組中共有名學(xué)生.設(shè)“學(xué)生甲和學(xué)生乙同時(shí)進(jìn)入第二輪面試”為事件A，則P(A)=為所求.，且，.所以的分布列為：012P數(shù)學(xué)期望為.6（1）依題意得，解得.（2）依題意得，因此，.所以隨機(jī)變量的分布列為：0123的數(shù)學(xué)期望為.7（1）在分別抽取的100件產(chǎn)品中，為正品的元件A有80件，元件B有75件.所以元件A、B為正品的頻率分別為，.根據(jù)頻率可估計(jì)元件A、B為正品的概率分別為，.（2）設(shè)生產(chǎn)的5件元件中正品件數(shù)為，則有次品5件，由題意知，得，即設(shè)“生

17、產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤不少于300元”為事件，則為所求隨機(jī)變量的所有取值為150，90，30，30，則，所以的分布列為：1509030-30的數(shù)學(xué)期望為.8（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有人，從而列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計(jì)男301545女451055合計(jì)7525100假設(shè)：“體育迷”與性別沒有關(guān)系.將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式，計(jì)算得.當(dāng)成立時(shí)，.因?yàn)椋詻]有充分理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)（2）由頻率分布直方圖知，抽到“體育迷”的頻率為，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為.由題意知，.所以的分布列為0123，.9（1）設(shè)=，如圖所示建立空間直

18、角坐標(biāo)系，則設(shè)則平面即設(shè)平面的法向量為，則由 得 令，得平面的一個(gè)法向量為又平面的法向量為二面角的余弦值為（2）設(shè)得 面存在點(diǎn)使面 此時(shí)10（1）取線段中點(diǎn)，連結(jié)因?yàn)?，所以因?yàn)椋杂忠驗(yàn)?，所以，而，所以因?yàn)?，所以，即DPABCFE因?yàn)?，且平面，所以平面?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，設(shè)，則 即，所以設(shè)平面的法向量為，則，所以，所以.因?yàn)橹本€與平面成角正弦值等于，所以所以，即所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn)11（1）VA=VB， ABC為等腰三角形又 O為AB中點(diǎn)， VOAB在VOA和VOC中，OA =OC，VO=VO，VA=VC，所以VOAVOC.

19、 V0A=VOC=90o. VOOC.AB平面ABC, OC平面ABC，ABOC=O，VO平面ABC（2）在圓O內(nèi)，OA=OC，CAO=45o，所以COAO.由（1）VO平面ABC，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系. OA=OB=OC=OV=1， C(1,0, 0),A(0,1,0),B(0,-1,0),V(0,0,1),E(,0).=(-1，-1，0), =(-1，0，1).設(shè)為平面VBC的法向量，則所以令，解得.同理，求得平面VOE的法向量為.所以=，所以為所求12解法一（傳統(tǒng)解法）：（1）取弧的中點(diǎn)，連接，則，故，又為弧的中點(diǎn)，所以平面，故平面平面則平面，因此，在弧上存在點(diǎn)，使得平面，且點(diǎn)為弧的

20、中點(diǎn)（2）過作于，連因?yàn)椋矫嫫矫妫势矫嬗忠驗(yàn)槠矫?，故，所以平面，則是二面角的平面角，又，故由平面，平面，得為直角三角形，又，故，可得=，所以二面角的正弦值為解法二（向量解法）：（1）如圖，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以為原點(diǎn)，作空間直角坐標(biāo)系，則，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即設(shè)在弧上存在點(diǎn)，使得平面，又為弧的中點(diǎn)，即，所以平面平面平面，則有設(shè)，又，解得(舍去)，則為弧的中點(diǎn)因此，在弧上存在點(diǎn)，使得平面，且點(diǎn)為弧的中點(diǎn)（2），點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)二面角的大小為，為平面的一個(gè)法向量由有即取，解得，取平面的一個(gè)法向量，所以二面角的正弦值為13（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得因?yàn)椋?，即又由得，即?lián)

21、立解得，所以（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，.（3）=，令，則故為8的約數(shù)，又是奇數(shù)，的可能取值為當(dāng)時(shí)，是數(shù)列中的第5項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，不是數(shù)列中的項(xiàng)所以滿足條件的正整數(shù)14（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，也滿足上式，得，即.由得：，則.是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以（2）顯然，.假設(shè)，則，不是數(shù)列中的項(xiàng)；是數(shù)列中的第項(xiàng).，從而.所以是首項(xiàng)為8，公比為4的等比數(shù)列（3），數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)組成首項(xiàng)為5，公差為6的等差數(shù)列；數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)組成首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)上式也成立.綜上所述，15（1）由，得數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，即 ， 得，即由知，

22、也滿足上式，故（2）由（1）知，下面用“錯(cuò)位相減法”求 ， .得，又，則數(shù)列單調(diào)遞增，故，從而因此，存在正整數(shù)、且，使得對(duì)一切恒成立（3）由（1）知，.16（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由已知得，成等比數(shù)列，即，而等比數(shù)列的公比，故由，得（2）由（1）知，.當(dāng)時(shí)，（也可用數(shù)學(xué)歸納法證明），. .當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，左邊，不等式也成立.綜上所述，不等式成立17（1）由得，故對(duì)恒成立等價(jià)于對(duì)恒成立設(shè)（），則由于，令，得當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減，又，所以的取值集合為（2）由（1）知，.，.所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列（3）由（2）知，得則，又知，兩邊取自然對(duì)數(shù)，得，由（1）知，即對(duì)恒成立，把以上個(gè)是式子相加，

23、注意到，得當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以18（1）由題：e = = 左焦點(diǎn) (c,0) 到點(diǎn) P(2,1) 的距離為：d = = OxyPABF1F2A2l由可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2c 2 = 3所求橢圓 C 的方程為 （2）設(shè) A(x1,y1)、B(x2,y2)，將 y = kx + m代入橢圓方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 212 = 0x1 + x2 = ，x1x2 = ，且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + mAB為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn) A2(2,0) ，所以 = 0所以 (x12,y1)·(x22,y2) =

24、 (x12) (x22) + y1y2 = (x12) (x22) + (kx1 + m) (kx2 + m)= (k 2 + 1) x1x2 + (km2) (x1 + x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)·(km2)·+ m 2 + 4 = 0 整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0m = k 或 m = 2k 都滿足 > 0若 m = 2k 時(shí)，直線 l 為 y = kx2k = k (x2) ，恒過定點(diǎn) A2(2,0)，不合題意舍去；若 m = k 時(shí)，直線 l 為 y = kxk = k (x)， 恒過定點(diǎn) (,0) 19（1）設(shè)A

25、(2t1,t12)、B(2t2,t22)、D(2t0,t02)、G(x,y)，直線 AB 傾斜角為 a （t00）由拋物線方程x 2 = 4y得 F(0,1)由題意得直線 AB 斜率 k 存在且不為 0，所以 a0設(shè)直線 AB 的方程為 l：y = kx + 1代入C中化簡得x 24kx4 = 0所以 x1 + x2 = 2t1 + 2t2 = 4k，x1 x2 = 2t1 2t2 = 4 Þ t1 + t2 = 2k，t1 t2 = 1所以PF 2 = ( ) 2 = ，PA·PB = ·= = PF 2 = PA·PB（2）l 中令 y = 0 ，得

26、 x = ，所以 P(,0) 因?yàn)閽佄锞€方程為 y = x 2 ，所以 = x 所以D 點(diǎn)處切線斜率為 ·2t0 = t0，D 點(diǎn)處切線方程為 yt02 = t0 (x2t0) 把 P 代入得 t0 = ，所以 D(, )kDA + kDB = + = (t1 + t2) + t0 = ·2k= k，2kDF = 2·= t0= kkDA + kDB = 2kDF 恒成立，即kDA, kDF, kDB恒成等差數(shù)列因?yàn)閤 = = (+ 2k) = (2k)，y = = t02 + (t1 + t2) 22t1 t2 = (+ 4k 2 + 2) = (2k) 2 +

27、 2，所以 y = x 2 + 2G的軌跡圖形是拋物線20（1）由題意，得 = 3，a + c = 3 (ca)，且 c 2 = a 2 + b 2， 解得 a = 1，b = ，c = 2所以雙曲線 C 的方程為 x 2= 1（2）設(shè) A(x1,y1)，B(x2,y2)，由 | OA | 2 + | OB | 2 > | AB | 2，有 0° < AOB < 90° ，所以 0 < cosAOB < 1顯然，、不同向 ，所以 · > 0 ，所以 x1x2 + y1y2 > 0當(dāng) ABx軸時(shí)，A(2,3)，B(2,3)，

28、· = 5，不合題意當(dāng) AB 與 x軸不垂直時(shí)，F(xiàn)2(2,0)，設(shè) l：y = k (x2)，由 消去 y，整理得(3k 2) x 2 + 4k 2x4k 23 = 0則 = (4k 2) 24(3k 2) (4k 23) > 0 Þ k 2 > 0，且3k 20， x1 + x2 = ，x1x2 = 由 x1x2 + y1y2 > 0 ，得 x1x2 + k (x12) k (x22) > 0 ，即 (1 + k 2) x1x22k 2(x1 + x2) + 4k 2 > 0，即(1 + k 2)·+ 2k 2·+ 4k

29、2 > 0 ，解得 < k 2 < 3所以 l 斜率的取值范圍是 (,)(,)21（1）設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為 C(x,y)，根據(jù)題意得 = 化簡得 x 2 = 4y，所以曲線 E 的方程為x 2 = 4y（2）設(shè)直線 PQ 的方程為 y = kx + b由 消去 y 得 x 24kx4b = 0設(shè) P(x1,y1)、Q(x2,y2)，則 x1 + x2 = 4k，x1x2 = 4b，且 = 16k 2 + 16b以點(diǎn) P 為切點(diǎn)的切線的斜率為y | x=x1 = x1，OyQAPMlxC其切線方程為 yy1 = x1 (xx1)，即 y = x1xx12 Þ x122x

30、1x + 4y = 0由切線過 A(x0,y0) 得 x122x1x0 + 4y0 = 0，同理 x222x2x0 + 4y0 = 0x1、x2 是方程 x 22x0 x + 4y0 = 0的兩個(gè)解x1 + x2 = 2x0，x1x2 = 4y0所以 所以 A(2k,b) 由 A(x0,y0) 在直線 xy2 = 0 上，則 2k + b2 = 0，即 b = 22k代入 = 16k 2 + 16b = 16k 2 + 3232k = 16 (k1) 2 + 16 > 0| PQ | = | x1x2 | = 4A(2k,b) 到直線 PQ 的距離為 d = ，SAPQ = | PQ | d = 4 | k 2 + b | = 4 (k 2 + b) = 4 (k 22k + 2) = 4 (k1) 2 + 1 當(dāng) k = 1 時(shí)，SAPQ 最小，其最小值為 4，此時(shí)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (2,0) 22（1）由e = = ，M(1,) 滿足 + = 1，又 a 2 = b 2 + c 2 ，a 2 = 4，b 2 = 3橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + = 1（2）顯然直線 PQ不與 x軸重合當(dāng)直線 PQ與 x軸垂直時(shí)，| PQ | = 3，| F1F2 | = 2，SPF1Q = 3當(dāng)直線 PQ不與 x 軸垂直時(shí)，設(shè)直線 PQ：y = k