數(shù)列基礎(chǔ)知識點和方法歸納1

1、精品文檔數(shù)列基礎(chǔ)知識點和方法歸納1. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義： an 1and （ d 為常數(shù)）， ana1n1 d ，推論公式：等差中項 ： x， A， y 成等差數(shù)列2 A xy ,等差數(shù)列前n 項和： Sna1annna1n n1d22性質(zhì)： an是等差數(shù)列（ ）若 mnpq ，則amana p；1aq （下標和定理） 注意：要求等式左右兩邊項數(shù)相等（ 2）數(shù)列 a2 n1 , a2 n, a2 n 1仍為等差數(shù)列， Sn， S2nSn， S3 nS2n 仍為等差數(shù)列，公差為 n 2 d ；（ ）若三個成等差數(shù)列，可設(shè)為ad，a，ad ；3（ 4）若 an， bn 是等差數(shù)列，且前 n

2、 項和分別為 Sn， Tn ，則 amS2m 1 ；bmT2m 1（ 5）an為等差數(shù)列San2bn （ ，b為常數(shù)，是關(guān)于n 的常數(shù)項為 0的二次函數(shù)）naSn 的最值可求二次函數(shù) Snan 2bn 的最值；或者求出an 中的正、負分界項，即：當 10， dan0可得 Sn達到最大值時的 n 值.a0 ，解不等式組0an1當 a10， d0 ，由an0可得 Sn 達到最小值時的 n 值.an01(6)項數(shù)為偶數(shù) 2n 的等差數(shù)列 an，有S2 nn(a1a2 n ) n(a2a2 n 1 )n(anan 1 )( an , an 1為中間兩項 )S偶S奇nd ，S奇an .S偶an 1（7）

3、項數(shù)為奇數(shù) 2n1的等差數(shù)列 a有 S2n 1(2n 1)an (an為中間項 ),n ，.精品文檔S奇S偶an ，S奇n.n 1S偶2. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義： an 1q （ q 為常數(shù)， q 0）， ana1qn 1an.推論公式：等比 中項： x、 G、 y 成等 比數(shù) 列G2xy ，或 Gxy. 等比數(shù)列中奇數(shù)項同號，偶數(shù)項同號等比數(shù)列前 n 項和公式 ：性質(zhì)： an 是等比數(shù)列（ 1）若 m np q ，則 am· an ap· aq (下標和定理 )注意：要求等式左右兩邊項數(shù)相等。（ 2） Sn， S2nSn， S3n S2n 仍為等比數(shù)列 ,公比為qn

4、。. （ 3） an 是正項等比數(shù)列，則注意：由 Sn 求 an 時應(yīng)注意什么？n 1 時， a1 S1 ；n2 時， anSnSn 1 .精品文檔3. 求數(shù)列通項公式的常用方法（ 1) 定義法求通項公式 ( 已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列）（2）已知 Sn 與 n的關(guān)系 或 sn與 an的關(guān)系時 ，求 an 。ans1 (n 1)sn sn 1(n 2)例：數(shù)列的前項和求數(shù)列的通項公式 ;解：當時，當時數(shù)列的通項公式為練習(xí)：設(shè)數(shù)列的前項和為，且求數(shù)列的通項公式。（3）求差（商）法例：數(shù)列 an， 1 a112a21n an2n5，求 an222解： n 1時， 1a1215， a11421 a

5、112a21n an2n 5222n 211a212n 1 5時，a1222n 1 an 12.精品文檔 得：1an2 ， an2n 1， an14 ( n1)n12n(n2)2練習(xí)：在數(shù)列中，, 求數(shù)列的通項公式。(4)累乘法形如的遞推式由an 1a2a3an1f (n)anf (n) ，則f (1)，f (2)，L L ，a1a2anan1n兩邊分別相乘得，a1f (k)a1k1，an 1n，求 an13例：數(shù)列 an 中， an1an解 a2·a3 an1·2 n 1 ， an1 又 a13， an3a1 a2an 12 3na nn.1練習(xí)：已知, 求數(shù)列的通項公式

6、。（5）累加法形如的遞推式。由 anan 1f ( n)， a1a0 ，求 an ，用迭加法a2a1f (2)n 2時，a3a2f (3)f (2)f (3) f (n) 兩邊相加得 an a1anan1f (n) ana0f (2)f (3)f (n)例：已知數(shù)列滿足,（2）求數(shù)列的通項公式.精品文檔練習(xí)：已知數(shù)列中，（）求數(shù)列的通項公式；（ 6）構(gòu)造法形如 ancan1 d （ c、d 為常數(shù)， c0， c1， d0 ）的遞推式?？赊D(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè) anx c an1xancan 1 c1 x令 (c1)xd ，xd， nd是首項為a1d ，c為公比的等比數(shù)列cac111c anda1d

7、· cn 1 ， ana1cdcn 1dc1c11c1例滿足，.求數(shù)列的通項公式；：已知數(shù)列解：（1），而，故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，因此練習(xí) 1：，求數(shù)列 an的通項公式。練習(xí) 2：已知數(shù)列 an 滿足 an 1 2an35n， a16，求數(shù)列 a的通項公式。n（ 7）倒數(shù)法例： a11， an 12an，求 anan 2由已知得：1an21 1，1112anan 12 anan 1an21為等差數(shù)列，11 ，公差為1， 11n 1·1 1n 1 ， an2ana12an2 2n 1練習(xí)：已知數(shù)列的首項，。.精品文檔總結(jié)：公式法、利用 anS (n 1)1.

8、構(gòu)造等差或等比Sn Sn 1 ( n 2) 、累加法、累乘法an 1 pan q 或an 1panf (n) 、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法。4. 求數(shù)列前 n 項和的常用方法（1）定義法 ：如果已知數(shù)列為等差或者等比數(shù)列，這用對應(yīng)的公式求和a1an nn n1等差數(shù)列前 n項和： Snna1d22等比數(shù)列前 n 項和公式 ：.精品文檔常見公式：,（ 2）錯位相減法給兩邊同乘以一個適當?shù)臄?shù)或者式，然后把所得的等式與原等式相減，對應(yīng)項互相抵消，最后得出前 n 項的和.一般適用于 an 為等差數(shù)列， bn為等比數(shù)列，求數(shù)列 anbn（差比數(shù)列）前 n 項和，可由 SnqSn ，求 Sn ，其中

9、q 為 bn的公比 .例： Sn1 2x 3x24x3 nx n 1x·Snx 2x23x34 x4 n 1 xn 1nx n 1 x Sn1 x x2 xn 1nxn1xnnn n1nx ， x 1 時， Snx 1 時， Snx21 2 3 n11x2練習(xí)：已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，（ 1）求數(shù)列和的通項公式（ 2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和(2) 裂項法把數(shù)列的通項公式拆成兩項差的形式，相加過程中消去中間項，只剩下有限項再求和。常見形式：若an 是公差為 d 的等差數(shù)列，則n1如：an 是公差為 d 的等差數(shù)列，求k 1 ak ak 1.精品文檔解：由11111d 0a

10、k·ak 1ak ak dd akak 1n1nk 1 ak ak 1k 11111111111d akak 1d a1a2a2a3anan 1111da1an1練習(xí)： 已知數(shù)列的前 n 項和，求數(shù)列的通項公式；求數(shù)列的前 n 項和。（ 3）倒序相加法把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加 .Sna1a2 an 1an相加 2Sn a1 ana2 an 1 a1 an Snanan 1 a2a1x2練習(xí)已知f ( x)，則21xf (1)f (2) f1f1f (4)1f (3)3f2412x2x2由 f ( x)1x11f1 x2121 x21 x2x1x原式f (1)1f (3)1111f (2) fff (4) f211132342（ 3）