數(shù)據(jù)分析與方程求解

1、精選課件1數(shù)據(jù)分析精選課件2主要內(nèi)容q一、多項(xiàng)式計(jì)算一、多項(xiàng)式計(jì)算q二、數(shù)據(jù)的導(dǎo)入與導(dǎo)出二、數(shù)據(jù)的導(dǎo)入與導(dǎo)出q三、數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析三、數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析q四、插值和擬合四、插值和擬合q五、五、Mathematica插值插值q六、六、Mathematica擬合擬合精選課件3 一、多項(xiàng)式計(jì)算q多項(xiàng)式可看做是符號(hào)表達(dá)式多項(xiàng)式可看做是符號(hào)表達(dá)式,利用符號(hào)運(yùn)算可進(jìn)行處理利用符號(hào)運(yùn)算可進(jìn)行處理q多項(xiàng)式的向量表示多項(xiàng)式的向量表示n 設(shè)有多項(xiàng)式設(shè)有多項(xiàng)式n 表示為表示為:(1)多項(xiàng)式的加法多項(xiàng)式的加法n對(duì)應(yīng)系數(shù)的加減運(yùn)算對(duì)應(yīng)系數(shù)的加減運(yùn)算 (2)多項(xiàng)式的乘法多項(xiàng)式的乘法 ：conv(P1,P2) (3)多項(xiàng)式除法：

2、多項(xiàng)式除法：Q,r=deconv(P1,P2) n其中其中Q返回相除的商，返回相除的商，r返回余式。返回余式。Q和和r仍是多項(xiàng)式的系數(shù)向量仍是多項(xiàng)式的系數(shù)向量 (4)代數(shù)多項(xiàng)式求值代數(shù)多項(xiàng)式求值 ：Y=polyval(P,x)n若若x為一數(shù)值，則求多項(xiàng)式為一數(shù)值，則求多項(xiàng)式P在該點(diǎn)的值；在該點(diǎn)的值；n若若x為向量或矩陣，則對(duì)向量或矩陣中的每個(gè)元素求多項(xiàng)式為向量或矩陣，則對(duì)向量或矩陣中的每個(gè)元素求多項(xiàng)式P的值的值 (5)矩陣多項(xiàng)式求值矩陣多項(xiàng)式求值 ：Y=polyvalm(P,X) nX為向方陣，結(jié)果為矩陣為向方陣，結(jié)果為矩陣X的乘與和的乘與和(6)多項(xiàng)式的求根多項(xiàng)式的求根 ：x=roots(P

3、) n在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求多項(xiàng)式P的全部根的全部根 1121)(mmmmaxaxaxaxp121,ma aa+精選課件4二、數(shù)據(jù)的導(dǎo)入與導(dǎo)出qMatlab支持的數(shù)據(jù)文件支持的數(shù)據(jù)文件nMatlab特制的數(shù)據(jù)文件：特制的數(shù)據(jù)文件：.mat文件文件n通用數(shù)據(jù)文件：文本文件、通用數(shù)據(jù)文件：文本文件、EXCEL文件、數(shù)據(jù)庫(kù)文件文件、數(shù)據(jù)庫(kù)文件 等等q特制數(shù)據(jù)文件的打開(kāi)與保存特制數(shù)據(jù)文件的打開(kāi)與保存n保存保存n右擊需保存的變量，通過(guò)菜單操作右擊需保存的變量，通過(guò)菜單操作nsave命令保存變量到數(shù)據(jù)文件命令保存變量到數(shù)據(jù)文件n打開(kāi)打開(kāi)n通過(guò)菜單通過(guò)菜單“File|open”nload 命令命

4、令q通用數(shù)據(jù)文件通用數(shù)據(jù)文件n通過(guò)通過(guò)“File|Import Data”打開(kāi)導(dǎo)入向?qū)Т蜷_(kāi)導(dǎo)入向?qū)Ьx課件5三、數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析q求最大值和最小值（求最大值和最小值（max和和min） nY,U=max(A)nA為向量為向量,將將A的最大值存入的最大值存入U(xiǎn),最大值序號(hào)存入最大值序號(hào)存入U(xiǎn)nA為矩陣為矩陣,Y表示每列的最大值表示每列的最大值,U記錄每列最大值的行號(hào)記錄每列最大值的行號(hào) nU=max(A,B)n由由A和和B中對(duì)應(yīng)元素的較大者組成矩陣中對(duì)應(yīng)元素的較大者組成矩陣U。q求和、積、均值、中值、累加和、累乘求和、積、均值、中值、累加和、累乘nsum和和prod、mean和和median、cu

5、msum和和cumprod n例：例：x=1,ones(1,10)*2; y=cumprod(x); sum(y) n求得求得1+2+22+210q排序排序nY,I=sort(A,dim,mode)nY是排序后的矩陣是排序后的矩陣,I記錄記錄Y中的元素在中的元素在A中的位置中的位置.ndim取取1(對(duì)對(duì)列列排序排序);取取2(對(duì)對(duì)行行排序排序);默認(rèn)列排序默認(rèn)列排序.nmode的取值的取值ascend(升序升序); descend(降序降序);默認(rèn)升序默認(rèn)升序. 精選課件6四、插值與擬合q引例引例1:在一天在一天24小時(shí)內(nèi)小時(shí)內(nèi),從零點(diǎn)開(kāi)始每間隔從零點(diǎn)開(kāi)始每間隔2小時(shí)測(cè)得的環(huán)小時(shí)測(cè)得的環(huán)境溫度

6、數(shù)據(jù)分別為境溫度數(shù)據(jù)分別為(度度) 12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13.請(qǐng)推測(cè)中午請(qǐng)推測(cè)中午1點(diǎn)（即點(diǎn)（即13點(diǎn)）時(shí)的溫度。點(diǎn)）時(shí)的溫度。q引例引例2:在化學(xué)反應(yīng)中在化學(xué)反應(yīng)中,為研究某化合物的濃度隨時(shí)間的變化為研究某化合物的濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律規(guī)律,測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下：測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下：q請(qǐng)給出變化規(guī)律請(qǐng)給出變化規(guī)律,由此推測(cè)由此推測(cè)t為為1、1.5、2、2.5、10、10.5、11分鐘時(shí)的值分鐘時(shí)的值.q利用已給出的值利用已給出的值,計(jì)算相關(guān)的值計(jì)算相關(guān)的值q設(shè)有一組實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)設(shè)有一組實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi,yi),i=0,1,n, 如何揭示自變量如何揭示

7、自變量x與因變量與因變量y之間的關(guān)系？之間的關(guān)系？q尋找尋找近似的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式近似的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式y(tǒng)=f(x)q常用的方法常用的方法:插值插值與與擬合擬合t(分分)12345678910y46.48.08.49.289.59.79.8610.010.2精選課件71、插值q設(shè)測(cè)得的設(shè)測(cè)得的n個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)為個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)為(xi,yi) (i=1,2,n) ,構(gòu)造一個(gè)函數(shù)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)y=g(x),使得在使得在xi(i=1,2,n)有有g(shù)(xi)=yi。g(x)稱為插值函數(shù)。稱為插值函數(shù)。 n插值函數(shù)插值函數(shù)自變量的個(gè)數(shù)自變量的個(gè)數(shù)：一維插值、二維插值、多維插值等：一維插值、二維插值、多維插值等n構(gòu)造插

8、值函數(shù)方法構(gòu)造插值函數(shù)方法:線性插值、多項(xiàng)式插值、樣條插值等線性插值、多項(xiàng)式插值、樣條插值等q一維數(shù)據(jù)的插值一維數(shù)據(jù)的插值nY1=interpl(X,Y,X1,mothod)n根據(jù)根據(jù)X和和Y的值插值，并求插值函數(shù)在的值插值，并求插值函數(shù)在X1處的值處的值nY是與是與X等長(zhǎng)的向量等長(zhǎng)的向量,Y1是插值函數(shù)在是插值函數(shù)在X1處的值處的值nY是矩陣是矩陣,X與與Y的每一列分別插值，并分別在的每一列分別插值，并分別在X1的值的值nX1是向量或標(biāo)量是向量或標(biāo)量,若若X1中的元素不在中的元素不在X的范圍內(nèi)的范圍內(nèi),則插值結(jié)果為則插值結(jié)果為NaNnmethod的取值的取值n nearest：最近插值、：最

9、近插值、 linear：線性插值：線性插值 nspline：三次樣條插值、：三次樣條插值、cubic：三次插值：三次插值 q二維數(shù)據(jù)插值二維數(shù)據(jù)插值 nZ1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)n根據(jù)根據(jù)X、Y和和Z的值插值，并求插值函數(shù)在的值插值，并求插值函數(shù)在X1、Y1處的值處的值nX、Y是向量是向量(X:行行,Y:列列),Z為函數(shù)值為函數(shù)值(size(Z)=length(Y)length(X)nX、Y、Z是矩陣是矩陣,X與與Y同維同維, Z(i,j)是在點(diǎn)是在點(diǎn)(X(i,j)，Y(i,j)處的值處的值 精選課件8引例1的求解q在一天在一天24小時(shí)內(nèi)小時(shí)內(nèi),從零點(diǎn)開(kāi)始每間

10、隔從零點(diǎn)開(kāi)始每間隔2小時(shí)測(cè)得的環(huán)境溫度小時(shí)測(cè)得的環(huán)境溫度分別為分別為(度度) 12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13. 請(qǐng)推測(cè)中午請(qǐng)推測(cè)中午1點(diǎn)（即點(diǎn)（即13點(diǎn)）時(shí)的溫度。點(diǎn)）時(shí)的溫度。q解：解： (1)構(gòu)造數(shù)據(jù)構(gòu)造數(shù)據(jù)nh=0:2:24;nT=12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13; (2)了解數(shù)據(jù)的分布了解數(shù)據(jù)的分布n繪出數(shù)據(jù)的圖形：繪出數(shù)據(jù)的圖形：plot(h,T,*) (3)選取適當(dāng)插值方法，計(jì)算結(jié)果選取適當(dāng)插值方法，計(jì)算結(jié)果ninterp1(h,T,13,spline)ninterp1(h,T,13,cubic)q插

11、值函數(shù)的評(píng)價(jià)插值函數(shù)的評(píng)價(jià)nX=0:24; %選取更多的數(shù)據(jù)選取更多的數(shù)據(jù)nY1=interp1(h,T,X,spline);nY2=interp1(h,T,X,cubic);nsubplot(2,1,1);plot(h,T,:,X,Y1);title(spline)nsubplot(2,1,2);plot(h,T,:,X,Y2,r);title(cubic)精選課件9q例：某實(shí)驗(yàn)對(duì)一根長(zhǎng)為例：某實(shí)驗(yàn)對(duì)一根長(zhǎng)為10米的鋼軌進(jìn)行熱源的溫度傳播測(cè)試。米的鋼軌進(jìn)行熱源的溫度傳播測(cè)試。如下表，其中如下表，其中x表示測(cè)量點(diǎn)，表示測(cè)量點(diǎn)，h表示測(cè)量時(shí)間，表示測(cè)量時(shí)間，T表示測(cè)得的溫表示測(cè)得的溫度。試用線性

12、插值求出在一分鐘內(nèi)每隔度。試用線性插值求出在一分鐘內(nèi)每隔20秒、鋼軌每隔秒、鋼軌每隔1米處的米處的溫度。溫度。q解：解：x=0:2.5:10;h=0,30,60;T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41;x1=0:10;h1=0:20:60;T1=interp2(x,h,T,x1,h1)q等價(jià)于等價(jià)于X,H=meshgrid(0:2.5:10,0:30:60);T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41;X1,H1=meshgrid(0:10,0:20:60);T1=interp2(X,H,T,X1,H1)

13、xTh 02.557.5100951400030884832126606764544841精選課件102、擬合q根據(jù)一組數(shù)據(jù)根據(jù)一組數(shù)據(jù)(xi,yi) (i=1,2,n) ，要求確定一個(gè)函數(shù)，要求確定一個(gè)函數(shù)y=f(x)，使這些數(shù)據(jù)點(diǎn)與曲線，使這些數(shù)據(jù)點(diǎn)與曲線y=f(x)總體來(lái)說(shuō)盡量接近，總體來(lái)說(shuō)盡量接近，稱為稱為曲線擬合曲線擬合。q擬合的原理：擬合的原理：n最小二乘法最小二乘法 最小最小q若擬合函數(shù)若擬合函數(shù)f(x)是一個(gè)多項(xiàng)式是一個(gè)多項(xiàng)式,稱為稱為多項(xiàng)式擬合多項(xiàng)式擬合.qMatlab中多項(xiàng)式擬合命令：中多項(xiàng)式擬合命令：nP=polyfit(X,Y,m)n求數(shù)據(jù)求數(shù)據(jù)X與與Y的的m階擬合多項(xiàng)

14、式階擬合多項(xiàng)式nP為擬合多項(xiàng)式的系數(shù)為擬合多項(xiàng)式的系數(shù),長(zhǎng)為長(zhǎng)為m+1的向量的向量nX與與Y是等長(zhǎng)的向量是等長(zhǎng)的向量q通過(guò)通過(guò)polyval求擬合函數(shù)在自變量處的值求擬合函數(shù)在自變量處的值21( ( )niiif xy=-精選課件11引例2的求解q引例引例2:在化學(xué)反應(yīng)中在化學(xué)反應(yīng)中,為研究某化合物的濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律為研究某化合物的濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律,測(cè)得一測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下：組數(shù)據(jù)如下：q請(qǐng)給出變化規(guī)律請(qǐng)給出變化規(guī)律,推測(cè)推測(cè)t為為1、1.5、2、2.5、10、10.5、11分鐘時(shí)的值分鐘時(shí)的值.q解：解：(1)構(gòu)造數(shù)據(jù)構(gòu)造數(shù)據(jù)qt=1:10;qy=4, 6.4, 8, 8.4,9.28

15、,9.5,9.7, 9.86, 10, 10.2;(2)選取擬合多項(xiàng)式的階選取擬合多項(xiàng)式的階qplot(t,y,o)(3)構(gòu)造擬合多項(xiàng)式構(gòu)造擬合多項(xiàng)式q p=polyfit(t,y,2)qp =q -0.1109 1.7922 2.9467(4)計(jì)算相關(guān)的值計(jì)算相關(guān)的值q t1=1:0.5:11; y1=polyval(p,t1);t(分分)12345678910y46.48.08.49.289.59.79.8610.010.2精選課件12q擬合函數(shù)的評(píng)價(jià)擬合函數(shù)的評(píng)價(jià)n選取不同的階做擬合選取不同的階做擬合n根據(jù)散點(diǎn)圖直觀判斷根據(jù)散點(diǎn)圖直觀判斷n計(jì)算最小二乘指標(biāo)計(jì)算最小二乘指標(biāo)q例例nt=1:

16、10;ny=4, 6.4, 8, 8.4,9.28,9.5,9.7, 9.86, 10, 10.2;np=polyfit(t,y,2); ny2=polyval(p,t);nplot(t,y,:o,t,y2,-*)nsum(y-y2).2)q類似做類似做3次、次、4次次多項(xiàng)式擬合，從中進(jìn)行比較多項(xiàng)式擬合，從中進(jìn)行比較精選課件13q例：在彩色顯影中，由經(jīng)驗(yàn)得知，形成染料的光學(xué)密度與析出銀的光學(xué)密例：在彩色顯影中，由經(jīng)驗(yàn)得知，形成染料的光學(xué)密度與析出銀的光學(xué)密度由公式度由公式q確定，試驗(yàn)測(cè)得如下一批數(shù)據(jù)：確定，試驗(yàn)測(cè)得如下一批數(shù)據(jù)：q求求y關(guān)于關(guān)于x的擬合函數(shù)。的擬合函數(shù)。q解：由給定的經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)

17、求擬合函數(shù)，無(wú)法直接用解：由給定的經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)求擬合函數(shù)，無(wú)法直接用polyfit函數(shù)，我們換一種函數(shù)，我們換一種思路，將經(jīng)驗(yàn)公式兩邊取對(duì)數(shù)，得思路，將經(jīng)驗(yàn)公式兩邊取對(duì)數(shù)，得 q令令Y=lny，X=1/xq只需求只需求Y關(guān)于關(guān)于X的線性擬合的線性擬合qx=0.05,0.06,0.07,0.10,0.14,0.20,0.25,0.31,0.38,0.43,0.47;qy=0.10,0.14,0.23,0.37,0.59,0.79,1.00,1.12,1.19,1.25,1.29;qX=1./x;qY=log(y)qP=polyfit(X,Y,1)qP =q -0.1459 0.5476則則Y=-0

18、.1459X+0.5476y=exp(Y)=exp(0.5476)e(-0.1459X)=exp(0.5476)e(-0.1459/x),整理即可整理即可x0.050.060.070.100.140.200.250.310.380.430.47y0.100.140.230.370.590.791.001.121.191.251.29,(0)bxyaeb=nq功能：功能：n對(duì)數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)據(jù)data進(jìn)行插值進(jìn)行插值,并可設(shè)置插值多項(xiàng)式的次數(shù)并可設(shè)置插值多項(xiàng)式的次數(shù)n, 默認(rèn)默認(rèn)值為值為3。q注注:n生成一個(gè)生成一個(gè)InterpolatingFunction插值范圍，插值范圍，目標(biāo)目標(biāo)n所得目標(biāo)為近似函

19、數(shù)所得目標(biāo)為近似函數(shù),不顯示所構(gòu)造的函數(shù)。不顯示所構(gòu)造的函數(shù)。n數(shù)據(jù)表示：數(shù)據(jù)表示：x0,f0,x1,f1,xn,fn (平面點(diǎn)的坐標(biāo)平面點(diǎn)的坐標(biāo))q引例引例1求解解：求解解：ndata=0,12,2,9,4,9,6,10,8,18,10,24,12,28,14,27,16,25,18,20,20,18,22,15,24,13nListPlotdatanf=Interpolationdatanf(13)精選課件15六、Mathematica擬合q格式：格式：nFit數(shù)據(jù)，擬合函數(shù)的基，變量數(shù)據(jù)，擬合函數(shù)的基，變量q功能：功能：n用數(shù)據(jù)用數(shù)據(jù)data，按給定的變量和擬合函數(shù)的基構(gòu)造擬合函數(shù)。，按

20、給定的變量和擬合函數(shù)的基構(gòu)造擬合函數(shù)。q常用的幾種格式：常用的幾種格式：nFitdata,1,x,xn用數(shù)據(jù)用數(shù)據(jù)data作線性擬合函數(shù)作線性擬合函數(shù)a+bxnFitdata,Tablexi,i,0,n,xn作作n次多項(xiàng)式擬合次多項(xiàng)式擬合q引例引例2的求解：的求解：q構(gòu)建數(shù)據(jù)表：構(gòu)建數(shù)據(jù)表：ndata=1,4,2,6.4,3,8.0,4,8.4,5,9.28,6,9.5,7,9.7,8,9.86,9,10,10,10.2q選取擬合的基。選取擬合的基。n畫(huà)圖，分別作畫(huà)圖，分別作3次、次、4次、次、5次、次、6次多項(xiàng)式擬合，求出其誤差，比次多項(xiàng)式擬合，求出其誤差，比較、判斷幾次擬合較為合適。較、判

21、斷幾次擬合較為合適。精選課件16q插值與擬合插值與擬合n插值插值要求函數(shù)在每一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)處一定要滿足要求函數(shù)在每一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)處一定要滿足yi=f(xi).n擬合擬合主要考慮到觀測(cè)數(shù)據(jù)受隨機(jī)誤差的影響主要考慮到觀測(cè)數(shù)據(jù)受隨機(jī)誤差的影響,尋求尋求整體整體誤誤差最小、較好反映觀測(cè)數(shù)據(jù)的近似函數(shù)差最小、較好反映觀測(cè)數(shù)據(jù)的近似函數(shù).q插值與擬合一般過(guò)程：插值與擬合一般過(guò)程：n構(gòu)造數(shù)據(jù)構(gòu)造數(shù)據(jù)n確定插值多項(xiàng)式的階（可采用經(jīng)驗(yàn)公式或畫(huà)圖）確定插值多項(xiàng)式的階（可采用經(jīng)驗(yàn)公式或畫(huà)圖）n選取命令插值選取命令插值n求出并分析所得結(jié)果求出并分析所得結(jié)果q數(shù)據(jù)擬合的一般過(guò)程：數(shù)據(jù)擬合的一般過(guò)程：n考察數(shù)據(jù)來(lái)源考察數(shù)據(jù)來(lái)源,

22、確定有無(wú)經(jīng)驗(yàn)公式；確定有無(wú)經(jīng)驗(yàn)公式；n若有經(jīng)驗(yàn)公式若有經(jīng)驗(yàn)公式,則可直接進(jìn)行擬合（必要時(shí)可對(duì)數(shù)據(jù)作些變換則可直接進(jìn)行擬合（必要時(shí)可對(duì)數(shù)據(jù)作些變換處理）處理）;n若無(wú)經(jīng)驗(yàn)公式若無(wú)經(jīng)驗(yàn)公式,選擇擬合函數(shù)的類型（畫(huà)圖）選擇擬合函數(shù)的類型（畫(huà)圖）n求出擬合函數(shù)求出擬合函數(shù)n從數(shù)據(jù)、圖形等途徑對(duì)擬合結(jié)果分析從數(shù)據(jù)、圖形等途徑對(duì)擬合結(jié)果分析;n確定結(jié)果或調(diào)整擬合函數(shù)確定結(jié)果或調(diào)整擬合函數(shù)精選課件17方程求解精選課件18主要內(nèi)容q符號(hào)方程的求解符號(hào)方程的求解 n符號(hào)代數(shù)方程求解符號(hào)代數(shù)方程求解 n符號(hào)常微分方程求解符號(hào)常微分方程求解 q線性方程組求解線性方程組求解 n利用左除運(yùn)算符利用左除運(yùn)算符 n利用矩陣

23、的分解利用矩陣的分解 q非線性方程求解非線性方程求解 n單個(gè)自變量的非線性方程求解單個(gè)自變量的非線性方程求解 n非線性方程組求解非線性方程組求解 q微分方程求解微分方程求解 qMathematica方程的求解方程的求解精選課件19一、符號(hào)方程的求解q符號(hào)代數(shù)方程求解符號(hào)代數(shù)方程求解 n代數(shù)方程是指未涉及微積分運(yùn)算的方程代數(shù)方程是指未涉及微積分運(yùn)算的方程 q求解命令求解命令qsolve(s)n求解符號(hào)代數(shù)方程，求解變量是默認(rèn)變量。求解符號(hào)代數(shù)方程，求解變量是默認(rèn)變量。qsolve(s1,s2,.,sn,v1,v2,.,vn)n求解符號(hào)表達(dá)式求解符號(hào)表達(dá)式s1,s2,.,sn所組成的代數(shù)方程組的解

24、，求解變量分所組成的代數(shù)方程組的解，求解變量分別為別為v1,v2,.,vn。 q例：例：nsolve (x2-a*x-b=0) nsolve (x2-a*x-b)nsolve (x2-a*x-b=0 , x )nsyms x a bn f=x2-a*x-b; solve(f,x); solve(f) n syms x y zn x y z=solve(x+2*y-z=27,x+z=3,x2+3*y2=12,x,y,z) n f=x5-a*x-b=0;solve(f,x) %無(wú)法求出解析解無(wú)法求出解析解 n f=x5-x-3;solve(f) %求近似解求近似解精選課件20q符號(hào)常微分方程求解符

25、號(hào)常微分方程求解q方程的表示：方程的表示：nDy表示表示y，D2y表示表示y q求解命令求解命令qdsolve(e,c,v)n求解微分方程求解微分方程e在初始條件在初始條件c下的特解下的特解,參數(shù)參數(shù)v描述方程中描述方程中的自變量的自變量. q例：例：(1)求求 當(dāng)當(dāng)y(0)=1時(shí)的特解。時(shí)的特解。n y=dsolve(Dy=2*y*y2,y(0)=1,x) (2)求求 的通解。的通解。n x,y=dsolve(Dx=4*x-2*y,Dy=2*x-y,t) 22xydxdyyxdtdyyxdtdx224精選課件21二、線性方程組求解q若有線性方程組若有線性方程組q利用左除運(yùn)算符利用左除運(yùn)算符n

26、A=2,1,-1,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;nb=13,-9,6,0; nx=Ab q利用矩陣的分解利用矩陣的分解nLU分解分解：將矩陣表示為一個(gè)下三角矩陣與一個(gè)上三角矩陣的乘積。：將矩陣表示為一個(gè)下三角矩陣與一個(gè)上三角矩陣的乘積。nL,U=lu(X): 產(chǎn)生產(chǎn)生L和和U ,使得使得X=LU。n A=2,1,-1,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;n b=13,-9,6,0;n L,U=lu(A);n x=U(Lb) nQR分解分解:是將矩陣分解為一個(gè)正交矩陣和一個(gè)上三角矩陣的乘積是將矩陣分解為一個(gè)正交矩陣和一個(gè)上三角矩陣的乘積. ：

27、nQ,R=qr(X): 產(chǎn)生產(chǎn)生Q和和R,使得使得X=QR。1234124234123421 357926640 xxxxxxxxxxxxxx+-+=-+=+-=+-=精選課件22三、非線性方程求解(近似解)q例：考察函數(shù)例：考察函數(shù)n作圖觀察其根的分布作圖觀察其根的分布n嘗試用嘗試用solve求解求解q單個(gè)自變量的非線性方程求解單個(gè)自變量的非線性方程求解 nz=fzero(fun, x0) nz=fzero(fname,x0)n在在x0附近尋找函數(shù)附近尋找函數(shù)fun的近似根的近似根(fname是待求根的函數(shù)名是待求根的函數(shù)名)q求上述函數(shù)在區(qū)間求上述函數(shù)在區(qū)間-3,1內(nèi)的根內(nèi)的根（1）畫(huà)圖確

28、定根的范圍）畫(huà)圖確定根的范圍n f=abs(x*sin(x)-exp(x)-1;nfplot(f,-3,1)n觀察圖形得出在觀察圖形得出在x=0、-1.2、-2.6附近有根附近有根（2）調(diào)用）調(diào)用fzero函數(shù)分別求出其根函數(shù)分別求出其根n fzero(f,0)n fzero(f,-1.2)n fzero(f,-2.6)1)sin(xexxy精選課件23q上述問(wèn)題也可這樣求解上述問(wèn)題也可這樣求解(1)定義函數(shù)文件定義函數(shù)文件 funx.m,nfunction y=funx(x)ny=abs(x.*sin(x)-exp(x)-1;(2)畫(huà)圖確定根的位置畫(huà)圖確定根的位置n fplot(funx,-

29、3,1) %funx為函數(shù)為函數(shù)funx的句炳的句炳n觀察圖形得到出在觀察圖形得到出在x=0、-1.2、-2.6附近有根附近有根(3)調(diào)用調(diào)用fzero函數(shù)分別求出其根函數(shù)分別求出其根n fzero(funx,0)n fzero(funx,-1.2)n fzero(funx,-2.6)q上述問(wèn)題還可這樣求解上述問(wèn)題還可這樣求解(1)定義內(nèi)聯(lián)（匿名）函數(shù)定義內(nèi)聯(lián)（匿名）函數(shù)nff=(x)abs(x.*sin(x)-exp(x)-1;(2)畫(huà)圖確定根的位置畫(huà)圖確定根的位置n fplot(ff,-3,1)(3)調(diào)用調(diào)用fzero函數(shù)分別求出其根函數(shù)分別求出其根n fzero(ff,-2.5)n fz

30、ero(ff,-1.5)n fzero(ff,0)精選課件24非線性方程組求解q求解方程組求解方程組 初始值為初始值為-5,5qMATLAB的優(yōu)化工具箱（的優(yōu)化工具箱（Optimization Toolbox） q對(duì)于非線性方程組對(duì)于非線性方程組F(x)=0,求解命令為：求解命令為：qX = fsolve(fname, X0, options)q解解q(1)定義函數(shù)文件定義函數(shù)文件myfun.m function f = myFun(x) f(1) = 2*x(1) - x(2) - exp(-x(1); f(2)= -x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2);q(2) 提交給求解方

31、程的函數(shù)提交給求解方程的函數(shù) -5,-5 %初始值初始值 op=optimset(display,off); %修改參數(shù)選項(xiàng)修改參數(shù)選項(xiàng),中間結(jié)果不顯示中間結(jié)果不顯示 x=fsolve(myfun, x0, op) x = 0.5671 0.567112121222xxxxexxe-=-+=精選課件25四、微分方程求解 q求解微分方程：求解微分方程：qMATLAB提供了多個(gè)求常微分方程數(shù)值解的函數(shù)提供了多個(gè)求常微分方程數(shù)值解的函數(shù),格式為格式為:qt,y=solver(fname,tspan,y0)qsolver為求常微分方程數(shù)值解的函數(shù)為求常微分方程數(shù)值解的函數(shù)qt和和y分別給出時(shí)間向量和相

32、應(yīng)的狀態(tài)向量。分別給出時(shí)間向量和相應(yīng)的狀態(tài)向量。qfname是定義是定義f(t,y)的函數(shù)文件名，該函數(shù)文件必須返回一個(gè)列向量。的函數(shù)文件名，該函數(shù)文件必須返回一個(gè)列向量。qtspan為求解區(qū)間形式為為求解區(qū)間形式為t0,tf,y0是初始狀態(tài)列向量。是初始狀態(tài)列向量。q解：解：q建立函數(shù)文件建立函數(shù)文件funt.mfunction yp=funt(t,y)yp=(y2-t-2)/4/(t+1);q求解微分方程求解微分方程t,y=ode23(funt,0,10,2); %求數(shù)值解求數(shù)值解求解函數(shù)采用方法適用場(chǎng)合ode232-3階龍格-庫(kù)塔算法，低精度非剛性ode454-5階龍格-庫(kù)塔算法，中精度

33、非剛性ode113Adms算法，精度可達(dá)到10-310-6非剛性，計(jì)算速度比ode45快ode23t梯形算法適度剛性22, 0104(1)(0)2ytytty- -=+=精選課件26五、Mathematica方程的求解q方程的表示方程的表示n方程中的等號(hào)（方程中的等號(hào)（=）應(yīng)用邏輯等號(hào)（）應(yīng)用邏輯等號(hào)（= =）n根的表示：邏輯量、轉(zhuǎn)換規(guī)則根的表示：邏輯量、轉(zhuǎn)換規(guī)則q多項(xiàng)式方程求解多項(xiàng)式方程求解nSolve方程或方程組方程或方程組,變量列表變量列表nNSolve方程或方程組方程或方程組,變量列表變量列表q注：注：nSolve主要是主要是處理多項(xiàng)式方程處理多項(xiàng)式方程，盡可能給出精確解，若，盡可能給

34、出精確解，若給不出顯示公式解，給出隱式公式解。給不出顯示公式解，給出隱式公式解。n例：求方程例：求方程x5-x+11=0的根。的根。nNSolve求出的是求出的是近似數(shù)值解近似數(shù)值解(可求任意多項(xiàng)式方程可求任意多項(xiàng)式方程)q方程組的表示：方程組的表示：n方式方式1：lhs1= =rhs1, lhs2= =rhs2n方式方式2：lhs1= =rhs1 & lhs2= =rhs2 &n方式方式3：lhs1,lhs2,= = rhs1,rhs2.精選課件27Mathematica方程的求解q一般方程的求解一般方程的求解nFindRoot方程方程,變量變量,初值初值nFindRoot方

35、程方程,變量變量,min,maxq在初值附近或區(qū)間內(nèi)找方程的根，一次只在初值附近或區(qū)間內(nèi)找方程的根，一次只能算出一個(gè)能算出一個(gè)近似數(shù)值解近似數(shù)值解。q求求y=|x*sin(x)-ex|-1在區(qū)間在區(qū)間-3,1內(nèi)的根。內(nèi)的根。精選課件28最優(yōu)化問(wèn)題求解精選課件29主要內(nèi)容一、無(wú)約束問(wèn)題求解（求極值、求最值）一、無(wú)約束問(wèn)題求解（求極值、求最值）n模型模型: minxf(x)n求一組求一組x( x=x1,x2,xnT)使得目標(biāo)函數(shù)使得目標(biāo)函數(shù)f(x)為最小為最小二、有約束問(wèn)題求解二、有約束問(wèn)題求解n模型：模型：n求一組求一組x ( x=x1,x2,xnT)使得目標(biāo)函數(shù)使得目標(biāo)函數(shù)f(x)為最小為最小

36、,且且x滿足約束條件滿足約束條件G(x)0.n約束條件可表示為：約束條件可表示為：線性不等式約束：線性不等式約束：Ax b線性等式約束：線性等式約束：Aeqx =beq非線性不等式約束：非線性不等式約束：Cx b非線性等式約束：非線性等式約束： Ceqx =0X的上界和下界：的上界和下界：Lbnd x Ubng 三、線性規(guī)劃問(wèn)題求解三、線性規(guī)劃問(wèn)題求解n線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)的極值問(wèn)題線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)的極值問(wèn)題( ) 0min( )x st G xf x精選課件30一、無(wú)約束問(wèn)題求解（求極值、最值）q若函數(shù)可導(dǎo)若函數(shù)可導(dǎo),換轉(zhuǎn)為求導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。換轉(zhuǎn)為求導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。q例例:求求y

37、=x*sin(x)-ex在區(qū)間在區(qū)間-3,2內(nèi)的極值點(diǎn)。內(nèi)的極值點(diǎn)。q解解: fplot(x*sin(x)-exp(x),-3,2) %圖形顯示在圖形顯示在x=-2附近有一極大值點(diǎn)附近有一極大值點(diǎn) syms x f=x*sin(x)-exp(x); g=diff(f) %求導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)函數(shù) sin(x)+x*cos(x)-exp(x) fzero(sin(x)+x*cos(x)-exp(x),-2)結(jié)果：結(jié)果： -2.0745故在故在x-2.0745處函數(shù)取得極大值。處函數(shù)取得極大值。q上述問(wèn)題也求解如下：上述問(wèn)題也求解如下：n syms xn f=x*sin(x)-exp(x);n fplot

38、(char(f),-3,2); %將符號(hào)表達(dá)式轉(zhuǎn)換為字符串將符號(hào)表達(dá)式轉(zhuǎn)換為字符串n x0=fzero(char(diff(f),-2);n y0=subs(f,x,x0); %將符號(hào)表達(dá)式將符號(hào)表達(dá)式f中的中的x替換為替換為x0,求得極大值求得極大值. nx0,y0 -2.0745,1.6912 精選課件31qMatlab專門(mén)提供了求極小值的函數(shù)，格式為：專門(mén)提供了求極小值的函數(shù)，格式為：(1) x,fval=fminbnd(fname,x1,x2,option)n求一元函數(shù)在區(qū)間求一元函數(shù)在區(qū)間(x1,x2)中的極小值點(diǎn)中的極小值點(diǎn)x和極小值。和極小值。(2) x,fval=fminsea

39、rch(fname,x0,option)n用單純形法求多元函數(shù)在用單純形法求多元函數(shù)在x0附近的極小值點(diǎn)附近的極小值點(diǎn)x和極小值和極小值.(3) x,fval=fminunc(fname,x0,option)n用擬牛頓法求多元函數(shù)在用擬牛頓法求多元函數(shù)在x0附近的極小值點(diǎn)附近的極小值點(diǎn)x和極小值和極小值.q例例:求求y=x*sin(x)-ex在區(qū)間在區(qū)間-3,2內(nèi)的極值點(diǎn)。內(nèi)的極值點(diǎn)。n(1)建立函數(shù)文件建立函數(shù)文件myfin.m,命令如下：命令如下： function y=myfin(x) y=-(x.*sin(x)-exp(x); n(2)調(diào)用調(diào)用fminbnd函數(shù)求極大值函數(shù)求極大值,命令如下：命令如下： x,fval=fminbnd(myfin,-3,-1.5)n結(jié)果：結(jié)果：x = -2.0745，fval = -1.6912ny=x*sin(x)-ex在在x = -2.0745處取得極大值處取得極大值1.6912。q等價(jià)于等價(jià)于nf=(x)-(x*sin(x)-exp(x);nx,fval=fminbnd(f,-3,-1.5)精選課件32二、有約束問(wèn)題求解q模型：模型：q求一組求一組x ( x=x1,x2,xnT)使得目標(biāo)函數(shù)使得目標(biāo)函數(shù)f(x)為最小為最小,且且x滿足約束條件滿足約束條件G(x)0.q約束條件可表示為：約束條件可表示為：n線性不