數(shù)學(xué)的三大核心領(lǐng)域之二

1、.數(shù)學(xué)的三大核心領(lǐng)域之二1、初等幾何在希臘語(yǔ)中，“幾何學(xué)是由“地與“測(cè)量合并而來的，本來有測(cè)量土地的含義，意譯就是“測(cè)地術(shù)?！皫缀螌W(xué)這個(gè)名詞，系我國(guó)明代數(shù)學(xué)家根據(jù)讀音譯出的，沿用至今。如今的初等幾何主要是指歐幾里得幾何，它是討論圖形點(diǎn)、線、面、角、圓等在運(yùn)動(dòng)下的不變性質(zhì)的科學(xué)。例如，歐氏幾何中的兩點(diǎn)之間的間隔 ，兩條直線相交的交角大小，半徑是r的某一圓的面積等都是一些運(yùn)動(dòng)不變量。初等幾何作為一門課程來講，安排在初等代數(shù)之后；然而在歷史上，幾何學(xué)的開展曾優(yōu)先于代數(shù)學(xué)，它主要被認(rèn)為是古希臘人的奉獻(xiàn)。幾何學(xué)舍棄了物質(zhì)所有的其它性質(zhì)，只保存了空間形式和關(guān)系作為自己研究的對(duì)象，因此它是抽象的。這種抽象決

2、定了幾何的思維方法，就是必須用推理的方法，從一些結(jié)論導(dǎo)出另一些新結(jié)論。定理是用演繹的方式來證明的，這種論證幾何學(xué)的代表作，便是公元前三世紀(jì)歐幾里得的?本來?，它從定義與公理出發(fā)，演繹出各種幾何定理。如今中學(xué)?平面三角?中關(guān)于三角函數(shù)的理論是15世紀(jì)才開展完善起來的，但是它的一些最根本的概念，卻早在古代研究直角三角形時(shí)便己形成。因此，可把三角學(xué)劃在初等幾何這一標(biāo)題下。古代埃及、巴比倫、中國(guó)、希臘都研究過有關(guān)球面三角的知識(shí)。公元前2世紀(jì)，希帕恰斯制作了弦表，可以說是三角的創(chuàng)始人。后來印度人制作了正弦表；阿拉伯的阿爾巴塔尼用計(jì)算sin值的方法來解方程，他還與阿布爾沃法共同導(dǎo)出了正切、余切、正割、余割

3、的概念；賴蒂庫(kù)斯作了較準(zhǔn)確的正弦表，并把三角函數(shù)與圓弧聯(lián)絡(luò)起來。由于直角三角形是最簡(jiǎn)單的直線形，又具有很重要的實(shí)用價(jià)值，所以各文明古國(guó)都極重視它的研究。我國(guó)?周髀算經(jīng)?一開場(chǎng)就記載了周朝初年約公元前1100年左右的周公與學(xué)者商高的對(duì)話，其中就談到“勾三股四弦五，即勾股定理的特殊形式；還記載了在周公之后的陳子，曾用勾股定理和相似圖形的比例關(guān)系，推算過地球與太陽(yáng)的間隔 和太陽(yáng)的直徑，同時(shí)為勾股定理作的圖注達(dá)幾十種之多。在國(guó)外，傳統(tǒng)稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理，認(rèn)為它的第一個(gè)一致性的證明源于畢氏學(xué)派公元前6世紀(jì)，雖然巴比倫人在此以前1000多年就發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理。到如今人們對(duì)勾股定理已經(jīng)至少提供了370

4、種證明。19世紀(jì)以來，人們對(duì)于關(guān)于三角形和圓的初等綜合幾何，又進(jìn)展了深化的研究。至今這一研究領(lǐng)域仍然沒有到頭，不少資料已引申到四面體及伴隨的點(diǎn)、線、面、球。2、射影幾何射影幾何學(xué)是一門討論在把點(diǎn)射影到直線或平面上的時(shí)候，圖形的不變性質(zhì)的一門幾何學(xué)?；脽羝系狞c(diǎn)、線，經(jīng)過幻燈機(jī)的照射投影，在銀幕上的圖畫中都有相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)線，這樣一組圖形經(jīng)過有限次透視以后，變成另一組圖形，這在數(shù)學(xué)上就叫做射影對(duì)應(yīng)。射影幾何學(xué)在航空、攝影和測(cè)量等方面都有廣泛的應(yīng)用。射影幾何是迪沙格和帕斯卡在1639年開拓的。迪沙格發(fā)表了本關(guān)于圓維曲線的很有獨(dú)創(chuàng)性的小冊(cè)子，從開普勒的連續(xù)性原理開場(chǎng)，導(dǎo)出了許多關(guān)于對(duì)合、調(diào)和變程、透射、

5、極軸、極點(diǎn)以及透視的根本原理，這些課題是今天學(xué)習(xí)射影幾何這門課程的人所熟悉的。年僅16歲的帕斯卡得出了一些新的、深?yuàn)W的定理，并于9年后寫了一份內(nèi)容很豐富的手稿。18世紀(jì)后期，蒙日提出了二維平面上的適當(dāng)投影表達(dá)三維對(duì)象的方法，因此從提供的數(shù)據(jù)能快速算出炮兵陣地的位置，避開了冗長(zhǎng)的、費(fèi)事的算術(shù)運(yùn)算。射影幾何真正獨(dú)立的研究是由彭賽勒創(chuàng)始的。1822年，他發(fā)表了?論圖形的射影性質(zhì)?一文，給該領(lǐng)域的研究以宏大的推動(dòng)作用。他的許多概念被斯坦納進(jìn)一步開展。1847年，斯陶特發(fā)表了?位置幾何學(xué)?一書，使射影幾何最終從測(cè)量根底中解脫出來。后來證明，采用度量適當(dāng)?shù)纳溆岸x，能在射影幾何的范圍內(nèi)研究度量幾何學(xué)。將一

6、個(gè)不變二次曲線添加到平面上的射影幾何中，就能得到傳統(tǒng)的非歐幾何學(xué)。在19世紀(jì)晚期和20世紀(jì)初期，對(duì)射影幾何學(xué)作了多種公設(shè)處理，并且有限射影幾何也被發(fā)現(xiàn)。事實(shí)證明，逐漸地增添和改變公設(shè)，就能從射影幾何過渡到歐幾里得幾何，其間經(jīng)歷了許多其它重要的幾何學(xué)。3、解析幾何解析幾何即坐標(biāo)幾何，包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。解析幾何通過平面直角坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系，建立點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而建立起曲線或曲面與方程之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此就能用代數(shù)方法研究幾何問題，或用幾何方法研究代數(shù)問題。在初等數(shù)學(xué)中，幾何與代數(shù)是彼此獨(dú)立的兩個(gè)分支；在方法上，它們也根本是互不相關(guān)的。解析幾何的建立，不

7、僅由于在內(nèi)容上引入了變量的研究而創(chuàng)始了變量數(shù)學(xué)，而且在方法上也使幾何方法與代數(shù)方法結(jié)合起來。在迪沙格和帕斯卡開拓了射影幾何的同時(shí)，笛卡兒和費(fèi)爾馬開場(chǎng)構(gòu)思現(xiàn)代解析幾何的概念。這兩項(xiàng)研究之間存在一個(gè)根本區(qū)別：前者是幾何學(xué)的一個(gè)分支，后者是幾何學(xué)的一種方法。1637年，笛卡兒發(fā)表了?方法論?及其三個(gè)附錄，他對(duì)解析幾何的奉獻(xiàn)，就在第三個(gè)附錄?幾何學(xué)?中，他提出了幾種由機(jī)械運(yùn)動(dòng)生成的新曲線。在?平面和立體軌跡導(dǎo)論?中，費(fèi)爾馬解析地定義了許多新的曲線。在很大程度上，笛卡兒從軌跡開場(chǎng)，然后求它的方程；費(fèi)爾馬那么從方程出發(fā)，然后來研究軌跡。這正是解析幾何根本原那么的兩個(gè)相反的方面，“解析幾何的名稱是以后才定下

8、來的。這門課程到達(dá)如今課本中熟悉的形式，是100多年以后的事。象今天這樣使用坐標(biāo)、橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)這幾個(gè)術(shù)語(yǔ)，是萊布尼茲于1692年提出的。1733年，年僅18歲的克雷洛出版了?關(guān)于雙重曲率曲線的研究?一書，這是最早的一部空間解析幾何著作。1748年，歐拉寫的?無窮分析概要?，可以說是符合現(xiàn)代意義的第一部解析幾何學(xué)教程。1788年，拉格朗日開場(chǎng)研究有向線段的理論。1844年，格拉斯曼提出了多維空間的概念，并引入向量的記號(hào)。于是多維解析幾何出現(xiàn)了。解析幾何在近代的開展，產(chǎn)生了無窮維解析幾何和代數(shù)幾何等一些分支。普通解析幾何只不過是代數(shù)幾何的一部分，而代數(shù)幾何的開展同抽象代數(shù)有著親密的聯(lián)絡(luò)。4、非歐

9、幾何非歐幾何有三種不同的含義：狹義的，單指羅氏羅巴切夫斯基幾何；廣義的，泛指一切和歐氏歐幾里得幾何不同的幾何；通常意義的，指羅氏幾何和黎曼幾何。歐幾里得的第5公設(shè)平行公設(shè)在數(shù)學(xué)史上占有特殊的地位，它與前4條公設(shè)相比，性質(zhì)顯得太復(fù)雜了。它在?本來?中第一次應(yīng)用是在證明第29個(gè)定理時(shí)，而且此后似乎總是盡量防止使用它。因此人們疑心第五公設(shè)的公理地位，并探究用其它公理來證明它，以使它變?yōu)橐粭l定理。在三千多年的時(shí)間中，進(jìn)展這種探究并有案可查的就達(dá)兩千人以上，其中包括許多知名的數(shù)學(xué)家，但他們都失敗了。羅巴契夫斯基于1826年，鮑耶于1832年發(fā)表了劃時(shí)代的研究結(jié)果，創(chuàng)始了非歐幾何。在這種幾何中，他們假設(shè)“

10、過不在直線上的一點(diǎn)，可以引至少兩條直線平行于直線，用以代替第五公設(shè)，同時(shí)保存了歐氏幾何的其它公設(shè)。1854年，黎曼推出了另一種非歐幾何。在這種幾何中，他假設(shè)“過直線外一點(diǎn)，沒有和直線平行的直線可引，用以代替第5公設(shè)，同時(shí)保存了歐氏幾何的其它公設(shè)。1871年，克萊因把這3種幾何：羅巴契夫斯基鮑耶的、歐幾里得的和黎曼的分別定名為雙曲幾何、拋物幾何和橢圓幾何。非歐幾何的發(fā)現(xiàn)不僅最終解決了平行公設(shè)的問題平行公設(shè)被證明是獨(dú)立于歐氏幾何的其它公設(shè)的，而且把幾何學(xué)從其傳統(tǒng)模型中解放出來，創(chuàng)造了許多不同體系的幾何的道路被翻開了。1854年，黎曼發(fā)表了“關(guān)于作為幾何學(xué)根底的假設(shè)的講演。他指出：每種不同的兩個(gè)無限

11、靠近的點(diǎn)的間隔 公式?jīng)Q定了最終產(chǎn)生的空間和幾何的性質(zhì)。1872年，克萊因建立了各種幾何系統(tǒng)按照不同變換群不變量的分類方法。19世紀(jì)以后，幾何空間概念開展的另一方向，是按照所研究流形的微分幾何原那么的分類，每一種幾何都對(duì)應(yīng)著一種定理系統(tǒng)。1899年，希爾伯特發(fā)表了?幾何根底?一書，提出了完備的幾何公理體系，建立了歐氏幾何的嚴(yán)密的根底，并給出了證明一個(gè)公理體系的相容性無矛盾性、獨(dú)立性和完備性的普遍原那么。按照他的觀點(diǎn)，不同的幾何空間乃是附屬于不同幾何公理要求的元素集合。歐氏幾何和非歐幾何，在大量的幾何系統(tǒng)中，只不過是極其特殊的情形罷了。5、拓?fù)鋵W(xué)1736年，歐拉發(fā)表論文，討論哥尼斯堡七橋問題。他還

12、提出球面三角形剖分圖形頂點(diǎn)、邊、面之間關(guān)系的歐拉公式，這可以說是拓?fù)鋵W(xué)的開端。龐加萊于18951904年建立了拓?fù)鋵W(xué)，采用代數(shù)組合的方法研究拓?fù)湫再|(zhì)。他把歐拉公式推廣為歐拉龐加萊公式，與此有關(guān)的理論如今稱為同調(diào)理論和同倫理論。以后的拓?fù)鋵W(xué)主要按照龐加萊的設(shè)想開展。拓?fù)鋵W(xué)開場(chǎng)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，在二十世紀(jì)它得到了極大的推廣。1906年，弗雷歇發(fā)表博士論文，把函數(shù)作為一個(gè)“點(diǎn)來看，把函數(shù)收斂描繪成點(diǎn)的收斂，這就把康托的點(diǎn)集論和分析學(xué)的抽象化聯(lián)絡(luò)起來了。他在函數(shù)所構(gòu)成的集合中引入間隔 的概念，構(gòu)成間隔 空間，展開了線性間隔 空間的理論。在這個(gè)根底上，產(chǎn)生了點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)。在豪斯道夫的?點(diǎn)集論綱要?一書中

13、，出現(xiàn)了更一般的點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的完好想法。第二次世界大戰(zhàn)后，把分析引進(jìn)拓?fù)?，開展了微分拓?fù)??！皫熤拍睿篌w是從先秦時(shí)期的“師長(zhǎng)、師傅、先生而來。其中“師傅更早那么意指春秋時(shí)國(guó)君的老師。?說文解字?中有注曰：“師教人以道者之稱也?！皫熤x，如今泛指從事教育工作或是傳授知識(shí)技術(shù)也或是某方面有特長(zhǎng)值得學(xué)習(xí)者。“老師的原意并非由“老而形容“師?！袄显谂f語(yǔ)義中也是一種尊稱，隱喻年長(zhǎng)且學(xué)識(shí)淵博者?！袄稀皫熯B用最初見于?史記?，有“荀卿最為老師之說法。漸漸“老師之說也不再有年齡的限制，老少皆可適用。只是司馬遷筆下的“老師當(dāng)然不是今日意義上的“老師，其只是“老和“師的復(fù)合構(gòu)詞，所表達(dá)的含義多指對(duì)知識(shí)淵博者的一

14、種尊稱，雖能從其身上學(xué)以“道，但其不一定是知識(shí)的傳播者。今天看來，“老師的必要條件不光是擁有知識(shí)，更重于傳播知識(shí)。我國(guó)古代的讀書人,從上學(xué)之日起,就日誦不輟,一般在幾年內(nèi)就能識(shí)記幾千個(gè)漢字,熟記幾百篇文章,寫出的詩(shī)文也是字斟句酌,瑯瑯上口,成為滿腹經(jīng)綸的文人。為什么在現(xiàn)代化教學(xué)的今天,我們念了十幾年書的高中畢業(yè)生甚至大學(xué)生,竟提起作文就頭疼,寫不出像樣的文章呢?呂叔湘先生早在1978年就鋒利地提出:“中小學(xué)語(yǔ)文教學(xué)效果差,中學(xué)語(yǔ)文畢業(yè)生語(yǔ)文程度低,十幾年上課總時(shí)數(shù)是9160課時(shí),語(yǔ)文是2749課時(shí),恰好是30%,十年的時(shí)間,二千七百多課時(shí),用來學(xué)本國(guó)語(yǔ)文,卻是大多數(shù)不過關(guān),豈非咄咄怪事!尋根究底,其主要原因就是腹中無物。特別是寫議論文,初中程度以上的學(xué)生都知道議論文的“三要素是論點(diǎn)、論據(jù)、論證,也通曉議論文的根本構(gòu)造:提出問題分析問題解決問題,但真正動(dòng)起筆來就犯難了。知道“是這樣,就是講不出“為什么。根本原因還是無“米下“鍋。于是便翻開作文集錦之類的書大段抄起來,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不參考作文書就很難寫出像樣的文章。所以,詞匯貧乏、內(nèi)容空洞、千篇一律便成了中學(xué)生作文的通病。要解決這個(gè)問題,不能單在布局謀篇等寫作技方面下功夫,必須認(rèn)識(shí)到“死記硬背的重要性,讓學(xué)生積累足夠的“米。