第3章 剛體力學基礎(chǔ)

1、-第第3章章 剛體力學基礎(chǔ)剛體力學基礎(chǔ)3.1 剛體剛體 剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述 3.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 3.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 3.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律守恒定律 - 剛體力學的基礎(chǔ)知識包括剛體繞定軸剛體力學的基礎(chǔ)知識包括剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動力學方程和動能定理，剛體繞轉(zhuǎn)動的動力學方程和動能定理，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理及角動量守恒定定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理及角動量守恒定律。律。-3-1 剛體剛體 剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述 定義：在任何外力的作用下，其形狀和大小

2、完全不變的物體定義：在任何外力的作用下，其形狀和大小完全不變的物體。 二、剛體的基本運動1.剛體的平動剛體的平動剛體是一種剛體是一種理想模型理想模型。一、剛體研究方法：把剛體分解成許多質(zhì)點（研究方法：把剛體分解成許多質(zhì)點（質(zhì)元質(zhì)元），并把這些質(zhì)），并把這些質(zhì)元看成不變質(zhì)點系，運用質(zhì)點系的規(guī)律來研究。元看成不變質(zhì)點系，運用質(zhì)點系的規(guī)律來研究。 剛體上任意兩質(zhì)元間剛體上任意兩質(zhì)元間的連線在運動過程中始終的連線在運動過程中始終平行平行于它們初始位置間的于它們初始位置間的連線，這樣的運動成為剛連線，這樣的運動成為剛體的平動。體的平動。-AA2.剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 若剛體上所有質(zhì)元都繞若剛體上所有質(zhì)元

3、都繞同一直線（軸）同一直線（軸）作圓周運動，這作圓周運動，這樣的運動稱作樣的運動稱作剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動 ，這條直線稱，這條直線稱轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸。非定軸轉(zhuǎn)動非定軸轉(zhuǎn)動：定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動：定軸轉(zhuǎn)動的特點：定軸轉(zhuǎn)動的特點：轉(zhuǎn)軸相對參考系固定，轉(zhuǎn)軸相對參考系固定，剛體內(nèi)所剛體內(nèi)所有點都具有相同的角位移、角速度、角加速度有點都具有相同的角位移、角速度、角加速度。這。這些角量也稱剛體的角量。些角量也稱剛體的角量。- 剛體的一般運動剛體的一般運動質(zhì)心的平動質(zhì)心的平動繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動動+-3-2 剛體剛體 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律FrM 一、力矩1.1.定義：定義：Pz*OMFrdM

4、方向：右手螺旋法則方向：右手螺旋法則單位：單位： NmNm大小大小: :FdFrMsin2.2.物理意義：物理意義： 力矩是決定剛體轉(zhuǎn)動的物理量力矩是決定剛體轉(zhuǎn)動的物理量, ,表明力的大小、方向表明力的大小、方向和作用點對物體轉(zhuǎn)動的影響。和作用點對物體轉(zhuǎn)動的影響。-二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 把剛體看成是由許多質(zhì)元所組把剛體看成是由許多質(zhì)元所組成的質(zhì)點系，對于質(zhì)元成的質(zhì)點系，對于質(zhì)元i i，假設(shè)它，假設(shè)它的質(zhì)量為的質(zhì)量為 ，所受的外力為，所受的外力為 ，內(nèi)力為內(nèi)力為 ，則，則iFifim對對 m mi i 用牛頓第二定律：用牛頓第二定律：iiiiamfF切向分量式為：切向分量式為：iiiiii

5、iirmamfFsinsin兩邊同乘兩邊同乘ir2sinsiniiiiiiiirmrfrF外力矩外力矩內(nèi)力矩內(nèi)力矩-對所有質(zhì)元求和：對所有質(zhì)元求和：)(sinsin2iiiiiiiiiiirmrfrF所有的外力矩的和。，表示作用在剛體上的iiiirFMsin剛體內(nèi)相互作用力的力矩之和為零，令剛體內(nèi)相互作用力的力矩之和為零，令則：則：轉(zhuǎn)動慣量。，成為剛體繞軸轉(zhuǎn)動的iiirmJ2標量式JM 剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動時，所獲得的角加速度的大小與其所受剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動時，所獲得的角加速度的大小與其所受到的合外力矩成正比，與轉(zhuǎn)動慣量成反比；角加速度的方向與到的合外力矩成正比，與轉(zhuǎn)動慣量成反比；角加速度的方向與合

6、外力矩的方向一致。這就是定軸轉(zhuǎn)動剛體的合外力矩的方向一致。這就是定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動定理轉(zhuǎn)動定理。 -JM 1. 與與 地位相當，地位相當，m反映質(zhì)點的反映質(zhì)點的平動慣性，平動慣性，J反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性。反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性。說明：說明：amF2. 力矩是使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。力矩是使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。3. 力矩是矢量，方向沿轉(zhuǎn)軸，對定軸轉(zhuǎn)動只有兩個方向力矩是矢量，方向沿轉(zhuǎn)軸，對定軸轉(zhuǎn)動只有兩個方向,，所以用所以用正負號表示方向正負號表示方向。-三、轉(zhuǎn)動慣量三、轉(zhuǎn)動慣量22,di iJmrJrm1.物理意義物理意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度。：轉(zhuǎn)動慣性的量度。S

7、I單位單位2kg m2.轉(zhuǎn)動慣性的計算方法轉(zhuǎn)動慣性的計算方法: 質(zhì)量質(zhì)量離散離散分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量2221 12 2i iJmrmrm r 質(zhì)量質(zhì)量連續(xù)連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量22di iJmrr m：質(zhì)量元質(zhì)量元md- 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量22di iJmrr m：質(zhì)量元：質(zhì)量元md-1.轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能:剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時的能動。剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時的能動。221222121)(2121JrmrmEniiiiinik221 JEk 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動動能等于剛體的轉(zhuǎn)動慣剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動動能等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量與角速度平方乘

8、積的一半。量與角速度平方乘積的一半。比較比較：JLEk22 mpEk2 2 221 mEk 221 JEk 3-3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理2222121iiiikirmvmE第第i i個質(zhì)元的動能：個質(zhì)元的動能：剛體的動能：剛體的動能：-2.力矩的功力矩的功 ziriFrdd i iiirdFdWiiirdFcosdrFdsFiiiidMi對對i求和，則力矩的元求和，則力矩的元功功 dMdWi MddMi )(M為作用于剛體上為作用于剛體上外力矩之和外力矩之和 (內(nèi)力矩之和為零內(nèi)力矩之和為零) MddW 21 MdW力矩的功率為：力矩的功率為：MdtdMdtdWP當輸出功

9、率一定時當輸出功率一定時,力矩與角速度成力矩與角速度成反比反比。-3. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理： dMW21dJ21 ddtdJ 212122212121JJdJW)21(221JMd 合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動時的動能定理。動能的增量。這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動時的動能定理。-定義定義: 質(zhì)點相對于質(zhì)點相對于O O點的矢徑點的矢徑 與與質(zhì)點的動量質(zhì)點的動量 的矢積定義為的矢積定義為該時刻質(zhì)點相對于該時刻質(zhì)點相對于O O點的角動點的角動量，用量，用 表示表示: : r一.質(zhì)點的角動量rvmL

10、prL 大小大小: L=rpsin 方向：右螺旋方向：右螺旋單位：單位： kgm2s-1特例：特例：Lrm =mr2 當質(zhì)點作圓周運動時，當質(zhì)點作圓周運動時，23-4 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律 -2.定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒0 izM若若則則 L=J = 恒量恒量 外力對某軸的力矩之和為零，則該物外力對某軸的力矩之和為零，則該物體對同一軸的角動量守恒體對同一軸的角動量守恒. 剛體組繞同一軸轉(zhuǎn)動時的角動量守恒剛體組繞同一軸轉(zhuǎn)動時的角動量守恒 總角動量總角動量 L= J1 1 +J2 2 += 常量常量 -角動量守恒定律的兩種

11、情況：角動量守恒定律的兩種情況：(1) 轉(zhuǎn)動慣量保持不變的剛體轉(zhuǎn)動慣量保持不變的剛體00,0 則時，當JJM例：回轉(zhuǎn)儀例：回轉(zhuǎn)儀(2) 轉(zhuǎn)動慣量可變的物體轉(zhuǎn)動慣量可變的物體當當J增大時，增大時， 就減小就減小 當當J減小時，減小時， 就增大就增大 而而 保持不變保持不變 J例：旋轉(zhuǎn)的舞蹈演員例：旋轉(zhuǎn)的舞蹈演員J1 -裝置反向轉(zhuǎn)動的雙旋翼產(chǎn)裝置反向轉(zhuǎn)動的雙旋翼產(chǎn)生反向角動量而相互抵消生反向角動量而相互抵消-例例: 一根質(zhì)量為一根質(zhì)量為m長為長為2l的均勻細棒，可在豎直平面的均勻細棒，可在豎直平面內(nèi)繞通過其中心的水平軸轉(zhuǎn)動，開始時細棒在水平位內(nèi)繞通過其中心的水平軸轉(zhuǎn)動，開始時細棒在水平位置，一質(zhì)量

12、為置，一質(zhì)量為m/的小球，以速度的小球，以速度u垂直落到棒垂直落到棒r端點。端點。設(shè)小球與棒作完全彈性碰撞，求碰撞后，小球的回彈設(shè)小球與棒作完全彈性碰撞，求碰撞后，小球的回彈速度速度u/及棒的角速度及棒的角速度 ？（忽略軸處摩擦）（忽略軸處摩擦）om/u解：桿的角速度解：桿的角速度 如圖示如圖示,假設(shè)小球碰后瞬時的速度假設(shè)小球碰后瞬時的速度u/ 向上向上u/ 系統(tǒng)系統(tǒng)：小球：小球+桿桿條件條件：M外外=0 角動量守恒（軸力無力矩；小球的角動量守恒（軸力無力矩；小球的重力矩與碰撞的內(nèi)力矩相比可以忽略）重力矩與碰撞的內(nèi)力矩相比可以忽略）/)(ulmlmuml 22121 (1)-/)(ulmlmuml 22121 (1)因