極值點偏移的問題含答案

1、極值點偏移的問題(含答案)1.已知 f (x) = ln x -ax,( a為常數)(1若函數“刈在*=1處的切線與洋由平行，求a的值；1(2當a =1時，試比較f (m)與f()的大小;m(3) f(x)有兩個零點 x1,x2,證明：x1 ,x2> e2變式：已知函數f (x) =ln x-ax2, a為常數。(1)討論f(x)的單調性； 若有兩個零點x1,x2,，試證明：x1 x2>e.2 .已知f (x) =x2+ax +sin葭,x w (0,1);(1)若f(x)在定義域內單調遞增，求a的取值范圍；(2)當 a=-2 時，記f (x)取得極小值為 f (x0)若f (x1

2、) = f (x2)，求證x1+x2>2x0.3 .已知 f (x) =ln x-1ax2 十x,( a w R)2(1)若f (1)=0,求函數f(x)的最大值；(2)令g(x)=f (x)-(ax1),求函數g(x)的單調區(qū)間；(3)若a=-2,正實數為，x2，滿足f( x)十f (x2 )+x1x2 = 0,證明：為十x2至寸5 +12(x-1)x 14 .設a>0,函數 f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx- (1)證明:當x>1時，g(x)>0恒成立;(2)若函數f(x)無零點，求實數a的取值范圍;(3)若函數f(x)有兩個相異零點x1,x2,求證：x1x

3、2 >e25 .已知 f (x) =|x 2a alnx,常數a w R。(1求f(x)的單調區(qū)間;(2) f (x)有兩個零點 x1, x2,且x1 ：x2;(i)指出a的取值范圍，并說明理由；(ii)求證：Xi x2 <8a36.設函數 f (x) =exax+a(a £R),其圖象與 x 軸交于 A(x1，0), B®, 0)兩點，且 x1 < x2.(1)求a的取值范圍；(2)證明：f，(JxiX2 )父0 (f(x)為函數f(x)的導函數)；(3)設點C在函數y = f(x)的圖象上，且 ABC為等腰直角三角形，記叵三1=t,x1 -1求(a 1

4、)(t 1)的值.【解】(1) f (x) =ex -a .若aw。，則f(x)>0,則函數f(x)是單調增函數，這與題設矛盾.所以a>0,令f x) = 0 ,則 x =ln a .當x<lna時，f'(x) <0 , f(x)是單調減函數；x a In a時，f'(x)>0, f(x)是單調增函數；于是當 x = In a時，f (x)取得極小值.因為函數 f (x) =exax+a(a R R)的圖象與 x 軸交于兩點 A(x1，0) , B(x2, 0) (x1< x2),所以£(皿2)=2(2一皿2)<0,即2>

5、;32.此時，存在 1 <ln a , f(1)=e>0;存在 3ln a In a , f (3ln a) = a3 -3a In a a a3 - 3a2 a 0 ,又由f (x)在(-oo, lna)&(lna,十a)上的單調性及曲線在R上不間斷，可知 ae2為所求取值范圍.(2)因為F一叫+”0，兩式相減得a= 戌-ax2 +a = 0,x2 x1x，xx1 "2記 2-Z2xL=S(S>0)貝u f xxL eT -exle =- -2s-(es -e) I ,設22x2 -x12s-g(s) =2s(ese。，則 gr(s) =2 -(es +e

6、) <0 ,所以 g(s)是單調減函數，x1 x2則有 g(s) <g(0) =0 ,而 1- >0 ,所以 f一 ；x2 )<0 .又f (x) =ex a是單調增函數，且 x 2 X2xx所以 f '(Jx1x2 )<0 .(3)依題意有 ex _ax +a =0 ,貝U a(Xi _1) =ex >0=> x > 1(i =1, 2).X1 x2于是e =aJ(X1 -1)(X2 -1),在等腰三角形 ABC中，顯然 CX1 X2X0 =-2 u(X1, X2),即 y0 = f(Xo) <0 ,由直角三角形斜邊的中線性質，可

7、知寫土 -y0,V VX1 X2V V所以 y0 + 2 2 1 =0,即 e (X +X2) +a +2 =0 ,所以 a (x1 1)(x2 1) - 2 (X1 X2) a ' 2- = 0，即 a. 1)(X2 -1) -|(X1 -1) +乂 1) +(X2 -1 =0 .X2 -1 1因為 X1 -1 =0 ,貝u a J -a(1 +二. X1 -1=0 , X1 -12X1 -12又夠2T ,所以 at -a (1 乜2)-1) =0X1 T22即 a =1 +潟,所以(a -1)(t -1) =2.7.已知函數 f (x) = XC(x W R)(I )求函數f(x)

8、的單調區(qū)間和極值;(n)已知函數y = g(x)的圖象與函數 y = f(x)的圖象關于直線 x = 1對稱，證明當xa1 時，f (x) >g(x)(出)如果 X1rx2 ,且 f(x)= f (X2),證明 X1 +x2 A 2(I)解：f' (x) = f'(1x)e”令 f ' (x)=0,解得 x=1當X變化時，f' (X) , f(x)的變化情況如下表X(-°0,1)1(1,f' (X)+0-f(x)極大值所以f(x)在(一的,1)內是增函數，在(1,+皿)內是減函數。1函數f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=e(

9、n)證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x) ex令 F(x)=f(x)-g(x), 即 F(x) =xe/十(x_2)ex/2x 2x于是 F '(x) =(x -1)(e-1)e當 x>1 時，2x-2>0,從而 e2x-2 -1 >0,又e/ >0,所以 F' (x)>0,從而函數 F (x)在1,+ °°)是增函數。又 F(1)= e-1 -e-1 =0,所以 x>1 時,有 F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x).m)證明：(1)若(x1 1)(x2 1) = 0，由(

10、D 及 f(x 1) = f(x 2)，則x1 = x2 = 1.與x1 豐 *2矛盾。(2)若(x1 1)(x2 -1) A0,由(D 及 f(x 1) =f(x 2),彳導x1 = x2.與x1 # x2矛盾。根據(1) (2)得(x1 1)(x2 -1) <0,不妨設 x1 < 1, x2 > 1.由(n)可知， f(x 2)>g(x2)，則 g(x2)=f(2-x 2)，所以 f(x 2) >f(2-x 2)，從而f(x 1)>f(2-x 2).因為x2 >1 ,所以2x2 <1,又由(I)可知函數 f(x)在區(qū)間(-8, 1) 內事增函

11、數，所以x1 >2x2，即為+x2>2.8.已知函數 f (x) =ln x-ax2 +(2-a)x(12 分) 討論f(x)的單調性；(II)設a>0,證明：當0 cx <1時，f (+x) > f(- -x)；a aa(III )若函數y= f(x)的圖像與x軸交于A、B兩點，線段AB中點的橫坐標為 布，證明：f'x0)<09.已知函數f(x) =1 -x1 x2(I)求f (x)的單調區(qū)間;(n )證明：當 f (x1) = f (x2) (x1 手 x2)時，x1 +x2 < 0解:(i )f'(x)(二 1_1 二x)ex (

12、1_x2)二(1 二x)ex_2x(1 x2)2x=xe二 3 二x2_2x(1 x2)2; A = 22 4 2 <0，當 x (-s,0時，f'(x) >0,y = f (x)單調遞增;當x0,+m)時，f'(x) M0,y = f(x)單調遞減.所以，y = f(x)在在(g,0上單調遞增；在xw0,十好)上單調遞減.(n)由(I)知，只需要證明：當 x>0時f(x)< f( x)即可。x1 - x x 1 x _xe2xf(x)-f(-x) =-_re -_re =-_r(1x)e -1-x°1 x 1 x 1 x令g(x) = (1

13、-x)e2x -1 -x,x 0= g'(x) = (1 -2x)e2x -1。令h(x) = (1 - 2x)e2x -1= h'(x) = (1 - 2x)e2x = -4xe2x :二 0,=y = h(x)在(0,十好)上單調遞減=h(x)<h(0)=0=y = g(x)在(0, + o°)上單調遞減=g(x)<g(0)=0-x=y = 2-(1 -x)e2x -1 - x在(0,+好)上單調遞減，但 乂 = 0時丫 = 0.1 x二 f(x) - f(-x)：二0= f (x):二 f (一x) 所以，當 f(x1)= f (x2)且x1

14、65;x2時，x1 + x2 < 0.210.已知函數 f(x)=alnxx .1(1)當a = 2時，求函數y = f(x)在1,2上的最大值；2 令g(x) = f (x) +ax,若y =g(x)在區(qū)間(0,3)上不單調，求a的取值范圍;當a=2時，函數h(x) = f一 m圖象與x軸交于兩點a(Xi,0), B(x2,0),且0 <X <x2 ,又/儀)是h(x)的導函數.若正常數% P滿足條件1M +P =1P之s .證明：h (: X: x2) : 022 _2y2解(1) - f (x) -2 -2x=, xx函數y=f(x)在1,1是增函數，在1,2是減函數，

15、 3分所以 f(x)max =f (1) =2ln1 12 =-1.4 分a(2)因為 g(x) =aln x -x2+ax ,所以 g (x) =2x + a ,5分x因為g(x)在區(qū)間(0,3)上不單調，所以g'(x)=0在(0, 3)上有實數解，且無重根，2丫219由 g，(x) =0 ,有 a =, = 2(x+1 +，)_4w(0,9) , ( xw(0,3) "x 1x 12又當a =當時，g '(x) =0有重根x = N ,、，9綜上a=(0,_)8分2一 '2(3) h (x) =2x m ,又 f (x) mx = 0有兩個實根 xl, x

16、",2八2 In x1 -x1 -mx1 =0 “一 , 口1121,兩式相減，得2ln x2 -x2 -mx2 =0 J22、2(1nxi-In x2)-(x1 -x2) =m(x1 - x2),10分11分要證：h'(ox1 +取2) 。，只需證:2_ 2(ln x1 一In x2)0：x1%x - x22(ln x1 - In x2) m =_(x1 +x2),x1 - x2，-2- 2(ln x1 - In x2)于是 h (:x1：x2)二：-2(:x1：x2) (x1x2)* x2x1 -x22 2(ln x1 -In x2)KT十.:眇二上,.2 一 <1,. (2： -1)(x2 一2)工0一 一、x -