極大似然估計練習題

1、關(guān)于矩估計與極大似然估計的典型例題例1,設總體X具有分布律20 (1 - Q)()2 ,其中0 日 1為未知參數(shù)。已經(jīng)取得了樣本值 Xi = 1,X2 = 2,X3 = 1,試求參數(shù)9的矩估計與極大似然估計。解：(i )求矩估計量，列 矩方程(只有一個未知參數(shù))E(X) =。2 2 2.1-1) 3 (1 - )2 = 3- 2 =X-3- 3X 3x 3 3 5得廿矩=一2226(ii )求極大似然估計，寫出似然函數(shù)，即樣本出現(xiàn)的概率LG) = P(X1 = X1,X2 = X2,X3 = X3)=P(X1 =1,X2 =2X3 = 1)=P(X1 =1) P(X2 = 2) P(X3 =

2、1)=I2 2«1-)J = 2/(1、)對數(shù)似然In LG) = In 2 52 In(一)dlnLC)二 5ch11一得極大似然估計為例2,某種電子元件的壽命(以h記)X服從雙參數(shù)指數(shù)分布，其概 率密度為f (x)=1 exp90,其他-(x -)/ 7 x - J其中 N A 0均為未知參數(shù)，自一批這種零件中隨機抽取n件進行壽命試驗，設它們的失效時間分別為 Xi,X2, ,Xn.(1)求9, N的最大似然估計量;(2)求9, R的矩估計量 解：(1)似然函數(shù)，記樣本的聯(lián)合概率密度為nL()=f(%X2, ,%;)=" f(x)i=1n 1:-exp - (Xii =1

3、 "0,其他N),X1X2，。* N1 J-exp(-(Xi - n/)")J 三 xi =1在求極大似然估計時，L(%)= 0肯定不是最大值的似然函數(shù) 值，不考慮這部分，只考慮另一部分。取另一部分的對數(shù)似然函數(shù)nln LG ,)二一nln I 一 ("xi - n 1)/71, 1 - xi 4Mn L(。J)( dQnL()OP-n“ xi - n 1 n i=i ，I-，1口2 2flnLCJ) ncP eA0知可知關(guān)于% »的駐點不存在，但能判定單調(diào)性nln LQJ):nlnI -(“ xi - n)/三 x(1),i i關(guān)于R是增函數(shù)，故%=x

4、(i)將之代入到lnL（）n“xi - n 1n y=0中得4二又-%）則%="）, q=x-%）一定能使得似然函數(shù)達到最大，故%以的極大似然估計為(2)列矩方程組(兩個未知參數(shù))1E（X） = xexp（x-）八dx-XE（X2）= ： x21exp（x-）"dx=（D2 ”解出:（XX）2喙= xY"（xx）2例3,設總體XU0,其中8 > 0為未知參數(shù)，Xi,X2，Xn為 來自總體X的一組簡單隨機樣本，用,”,，天為樣本觀察值，求未 知參數(shù)9的極大似然估計。解：似然函數(shù)，即樣本的聯(lián)合概率密度nL（）咐也,”;> 口i-11八n,0",x2, f （x）一 口QelseLC) = 0肯定不是最大值，考慮另一部分的最大值, 取對數(shù)似然ln L, ) = - n ln - x(n)d ln Lt ) n-一0知 In L(9 ) = - n In 9 在日-X