等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

1、2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1理解并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系(重點(diǎn))2熟練掌握等差數(shù)列的五個(gè)基本量a1，d，n，an，Sn之間的聯(lián)系，能夠由其中的任意三個(gè)求出其余的兩個(gè)(重點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)求和公式SnSnna1d2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特點(diǎn)Snna1dn2n.d0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且無(wú)常數(shù)項(xiàng)判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)公差為零的數(shù)列不能應(yīng)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式()(2)數(shù)列n2可以用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求其前n項(xiàng)和Sn.()(

2、3)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snan2bn，則an是等差數(shù)列()【解析】(1)任何等差數(shù)列都能應(yīng)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(2)數(shù)列n2不是等差數(shù)列，故不能用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(3)當(dāng)公差不為0時(shí)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)(常數(shù)項(xiàng)為0)【答案】(1)(2)(3)小組合作型與Sn有關(guān)的基本量的計(jì)算(1)已知等差數(shù)列an中，a1，d，Sn15，求n和an；(2)已知等差數(shù)列an中，S524，求a2a4；(3)數(shù)列an是等差數(shù)列，a11，an512，Sn1 022，求公差d；(4)已知等差數(shù)列an中，a2a519，S540，求a10.【精彩點(diǎn)撥】運(yùn)用方程的思想，根據(jù)已知條件建立方程或方程

3、組求解，另外解題時(shí)要注意整體代換【嘗試解答】(1)Snn15，整理得n27n600，解得n12或n5(舍去)，所以a12(121)4.(2)設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則S55a1d24，即5a110d24，所以a12d，所以a2a42(a12d)2.(3)因?yàn)閍na1(n1)d，Snna1d，又a11，an512，Sn1 022，所以把(n1)d513代入得nn(513)1 022，解得n4，所以d171.(4)由已知可得解得a12，d3，所以a10a19d29329.等差數(shù)列中基本計(jì)算的兩個(gè)技巧：(1)利用基本量求值等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中有五個(gè)量a1，d，n，an和Sn，

4、一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問(wèn)題解題時(shí)注意整體代換的思想(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若mnpq(m，n，p，qN)，則amanapaq，常與求和公式Sn結(jié)合使用再練一題1等差數(shù)列中：(1)a1105，an994，d7，求Sn；(2)an8n2，d5，求S20；(3)d，n37，Sn629，求a1及an.【解】(1)由ana1(n1)d且a1105，d7，得994105(n1)7，解得n128，Sn70 336.(2)an8n2，a110，又d5，S2020a152010101951 150.(3)將d，n37，Sn629代入ana1(n1

5、)d，Sn，得解得等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式在實(shí)際中的應(yīng)用為響應(yīng)教育部下發(fā)的關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知的要求，某市提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2011年起用10年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)據(jù)測(cè)算，2011年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬(wàn)元為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬(wàn)元那么從2011年起的未來(lái)10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？【精彩點(diǎn)撥】將該實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題求解，由于每年投入資金都比上一年增加50萬(wàn)元，故可考慮利用等差數(shù)列求解【嘗試解答】根據(jù)題意，從2011年2020年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上

6、一年增加50萬(wàn)元，所以，每年投入的資金依次組成等差數(shù)列an，其中，a1500，d50.那么，到2020年(n10)，投入的資金總額為S1010500507 250(萬(wàn)元)，即從2011年2020年，該市在“校校通”工程中的總投入是7 250萬(wàn)元有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題，應(yīng)首先通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的研究建立數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，最后求出符合實(shí)際的答案，可分以下幾步考慮：(1)問(wèn)題中所涉及的數(shù)列an有何特征；(2)是求數(shù)列an的通項(xiàng)還是求前n項(xiàng)和；(3)列出等式(或方程)求解再練一題2.如圖122，一個(gè)堆放鉛筆的V型架的最下面一層放1支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放1支最上面一層放120支，這個(gè)V型架上共放著多

7、少支鉛筆？圖122【解】由題意可知這個(gè)V型架自下而上各層的鉛筆數(shù)組成等差數(shù)列，記為數(shù)列an，其中a11，a120120.根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得S1207 260.即V型架上共放著7 260支鉛筆探究共研型等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)探究1設(shè)an是等差數(shù)列，公差為d，Sn是其前n項(xiàng)和，那么Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差數(shù)列嗎？如果是，它們的公差是多少？【提示】由Sma1a2am，S2mSmam1am2a2ma1mda2mdammdSmm2d，同理S3mS2ma2m1a2m2a3mS2mSmm2d，所以Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差數(shù)列，公差為m2d.探究2設(shè)Sn、Tn分別為兩個(gè)等差

8、數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和，那么與有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)證明之【提示】.【證明】.(1)等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，求數(shù)列an的前3m項(xiàng)的和S3m；(2)兩個(gè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，已知，求的值【精彩點(diǎn)撥】(1)利用Sm，S2mSm，S3mS2m成等差數(shù)列求解(2)利用前n項(xiàng)和結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)將項(xiàng)的比值轉(zhuǎn)化為和的比值求解【嘗試解答】(1)在等差數(shù)列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差數(shù)列，30,70，S3m100成等差數(shù)列，27030(S3m100)，S3m210.(2).巧妙應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)“片段和”性質(zhì)若an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為S

9、n，則Sn，S2nSn，S3nS2n，構(gòu)成公差為n2d的等差數(shù)列(2)項(xiàng)數(shù)(下標(biāo))的“等和”性質(zhì)Sn.(3)項(xiàng)的個(gè)數(shù)的“奇偶”性質(zhì)an為等差數(shù)列，公差為d.若共有2n項(xiàng)，則S2nn(anan1)；S偶S奇nd；.若共有2n1項(xiàng)，則S2n1(2n1)an1；S偶S奇an1；.(4)等差數(shù)列an中，若Snm，Smn(mn)，則Smn(mn)(5)等差數(shù)列an中，若SnSm(mn)，則Smn0.再練一題3已知兩個(gè)等差數(shù)列an與bn的前n(n1)項(xiàng)和分別是Sn和Tn，且SnTn(2n1)(3n2)，求的值【解】.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值探究1將等差數(shù)列前n項(xiàng)和Snna1d變形為Sn關(guān)于n的函數(shù)后，該函數(shù)

10、是怎樣的函數(shù)？為什么？【提示】由于Snna1dn2n，所以當(dāng)d0時(shí)，Sn為關(guān)于n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.探究2類比二次函數(shù)的最值情況，等差數(shù)列的Sn何時(shí)有最大值？最小值？【提示】由二次函數(shù)的性質(zhì)可以得出，當(dāng)d0時(shí)，Sn有最小值；當(dāng)d0時(shí)，有最大值，且n取值最接近對(duì)稱軸的正整數(shù)時(shí)，Sn取得最值在等差數(shù)列an中，a1018，前5項(xiàng)的和S515.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和的最小值，并指出何時(shí)取最小值【精彩點(diǎn)撥】(1)直接根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列關(guān)于首項(xiàng)a1和公差d的方程，求得a1和d，進(jìn)而得解；(2)可先求出前n項(xiàng)和公式，再利用二次函數(shù)求最值的方法求解，也可

11、以利用通項(xiàng)公式，根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性求解【嘗試解答】(1)由題意得得a19，d3，an3n12.(2)Sn(3n221n)2，當(dāng)n3或4時(shí)，前n項(xiàng)的和取得最小值S3S418.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題的三種解法：(1)利用an：當(dāng)a10，d0時(shí)，前n項(xiàng)和有最大值，可由an0且an10，求得n的值；當(dāng)a10，d0，前n項(xiàng)和有最小值，可由an0且an10，求得n的值(2)利用Sn：由Snn2n(d0)，利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值(3)利用二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱性再練一題4在等差數(shù)列an中，a125，S17S9，求Sn的最大值. 【解】利用前n項(xiàng)和公式和二次函數(shù)性質(zhì)，由S17S9得2517(1

12、71)d259(91)d，解得d2，Sn25n(n1)(2)(n13)2169，由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)n13時(shí)，Sn有最大值169.1設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S84a3，a72，則a9()A6 B4 C2 D2【解析】S84(a3a6)，又S84a3，所以a60，又a72，所以a84，a96.【答案】A2記等差數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，若S24，S420，則該數(shù)列的公差d等于()A2 B3 C6 D7【解析】由題意得解得【答案】B3在等差數(shù)列an中，a12，前三項(xiàng)和為15，則前6項(xiàng)和為()A57 B40 C57 D40【解析】由題意知a1a2a315，3a215，a25，da2a13，an3n1

13、，S657.【答案】A4在等差數(shù)列an中，已知a12，d2，則S20_.【解析】S2020a1d2022420.【答案】4205等差數(shù)列an中，a1030，a2050.(1)求通項(xiàng)公式an；(2)若Sn242，求n.【解】(1)由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程組解得所以an2n10.(2)由Snna1d，Sn242，得12n2242，解得n11或n22(舍去)，所以n11.學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(五)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1a3a53，則S5() A5 B7 C9 D11【解析】法一：a1a52a3，a1a3a53a33，a31

14、，S55a35，故選A.法二：a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，S55a1d5(a12d)5，故選A.【答案】A2已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項(xiàng)和，若S84S4，則a10()A. B. C10 D12【解析】公差為1，S88a118a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a16)，解得a1，a10a19d9.故選B.【答案】B3在等差數(shù)列an中，若S918，Sn240，an430，則n的值為()A14 B15 C16 D17【解析】S99a518，所以a52，Sn240，n(230)480，n15.【答案】B4設(shè)Sn是等差數(shù)列an的

15、前n項(xiàng)和，若，則等于()A. B. C. D.【解析】由題意S3，S6S3，S9S6，S12S9成等差數(shù)列.不妨設(shè)S31，S63，則S6S32，所以S9S63，故S96，S12S94，故S1210，.【答案】A5設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a111，a4a66，則當(dāng)Sn取得最小值時(shí)，n等于()A6 B7 C8 D9【解析】設(shè)公差為d，由a4a62a56，得a53a14d，解得d2，Sn11n2n212n，當(dāng)n6時(shí)，Sn取得最小值【答案】A二、填空題6已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和若a16，a3a50，則S6_.【解析】a3a52a4，a40.a16，a4a13d，d2.S66a1d

16、6.【答案】67已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和若a1a3，S510，則a9的值是_. 【解析】法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S510，知S55a1d10，得a12d2，即a122d.所以a2a1d2d，代入a1a3，化簡(jiǎn)得d26d90，所以d3，a14.故a9a18d42420.法二：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S510，知5a310，所以a32.所以由a1a32a2，得a12a22，代入a1a3，化簡(jiǎn)得a2a210，所以a21.公差da3a2213，故a9a36d21820.【答案】208等差數(shù)列an的前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和，若a11，aka40，則k_. 【解析】設(shè)an的公差為

17、d，由S9S4及a11得91d41d，所以d，又aka40，所以0，即k10.【答案】10三、解答題9一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和為100，前100項(xiàng)之和為10，求前110項(xiàng)之和【解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則Snna1d.由已知得10，整理得d，代入，得a1，所以S110110a1d110110110.故此數(shù)列的前110項(xiàng)之和為110.10已知等差數(shù)列an中，a19，a4a70.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列an的前n項(xiàng)和取得最大值？【解】(1)由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1(n1)d112n.(2)a19，d2，Sn9n

18、(2)n210n(n5)225，當(dāng)n5時(shí)，Sn取得最大值能力提升1在項(xiàng)數(shù)為2n1項(xiàng)的等差數(shù)列an中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則n()A9B10C11D12【解析】等差數(shù)列有2n1項(xiàng)，S奇，S偶.又a1a2n1a2a2n，n10.【答案】B2已知兩個(gè)等差數(shù)列an與bn的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是()A2B3C4D5【解析】7，n1,2,3,5,11.【答案】D3在等差數(shù)列an中，d2，an11，Sn35，則a1等于_【解析】因?yàn)镾nna1d，所以35na12na1n(n1)，又ana1(n1)da12(n1)，a12(n1)11，由可得a

19、2a130，解得a13或1.【答案】3或14從4月1日開(kāi)始，有一新款服裝投入某商場(chǎng)銷(xiāo)售，4月1日該款服裝銷(xiāo)售出10件，第二天銷(xiāo)售出25件，第三天銷(xiāo)售出40件，以后每天售出的件數(shù)分別遞增15件，直到4月12號(hào)日銷(xiāo)售量達(dá)到最大，然后，每天銷(xiāo)售的件數(shù)分別遞減10件(1)記該款服裝4月份日銷(xiāo)售與銷(xiāo)售天數(shù)n的關(guān)系為an，求an；(2)求4月份的總銷(xiāo)售量；(3)按規(guī)律，當(dāng)該商場(chǎng)銷(xiāo)售此服裝超過(guò)1 200件時(shí)，社會(huì)上就流行，而且銷(xiāo)售量連續(xù)下降，且日銷(xiāo)售低于100件時(shí)，則流行消失，問(wèn)：該款服裝在社會(huì)上流行是否超過(guò)10天？【解】(1)從4月1日起每天銷(xiāo)售量依次組成數(shù)列an，(n1,2，30)依題意，數(shù)列a1，a2

20、，a12是首項(xiàng)為10，公差為15的等差數(shù)列，an15n5(1n12)a13，a14，a15，a30是首項(xiàng)為a13a1210165，公差為10的等差數(shù)列，an165(n13)(10)10n295(13n30)，an(2)4月份的總銷(xiāo)售量為181652 550(件)，(3)4月1日至4月12日銷(xiāo)售總數(shù)為1 1101 200，4月12日前還沒(méi)有流行由10n295100得n，第20天流行結(jié)束，故該服裝在社會(huì)上流行沒(méi)有超過(guò)10天2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1理解并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系(重點(diǎn))2熟練掌握等差數(shù)列的五個(gè)基本量a1，d，n，an，Sn之

21、間的聯(lián)系，能夠由其中的任意三個(gè)求出其余的兩個(gè)(重點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)求和公式SnSnna1d2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特點(diǎn)Snna1dn2n.d0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且無(wú)常數(shù)項(xiàng)判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)公差為零的數(shù)列不能應(yīng)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式()(2)數(shù)列n2可以用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求其前n項(xiàng)和Sn.()(3)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snan2bn，則an是等差數(shù)列()【解析】(1)任何等差數(shù)列都能應(yīng)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(2)數(shù)列n2不是等差數(shù)列，故不能用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(

22、3)當(dāng)公差不為0時(shí)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)(常數(shù)項(xiàng)為0)小組合作型與Sn有關(guān)的基本量的計(jì)算(1)已知等差數(shù)列an中，a1，d，Sn15，求n和an；(2)已知等差數(shù)列an中，S524，求a2a4；(3)數(shù)列an是等差數(shù)列，a11，an512，Sn1 022，求公差d；(4)已知等差數(shù)列an中，a2a519，S540，求a10.【精彩點(diǎn)撥】運(yùn)用方程的思想，根據(jù)已知條件建立方程或方程組求解，另外解題時(shí)要注意整體代換【嘗試解答】(1)Snn15，整理得n27n600，解得n12或n5(舍去)，所以a12(121)4.(2)設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則S55a1d24，即5a11

23、0d24，所以a12d，所以a2a42(a12d)2.(3)因?yàn)閍na1(n1)d，Snna1d，又a11，an512，Sn1 022，所以把(n1)d513代入得nn(513)1 022，解得n4，所以d171.(4)由已知可得解得a12，d3，所以a10a19d29329.等差數(shù)列中基本計(jì)算的兩個(gè)技巧：(1)利用基本量求值等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中有五個(gè)量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問(wèn)題解題時(shí)注意整體代換的思想(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若mnpq(m，n，p，qN)，則amanapaq，常與求和公式

24、Sn結(jié)合使用再練一題1等差數(shù)列中：(1)a1105，an994，d7，求Sn；(2)an8n2，d5，求S20；(3)d，n37，Sn629，求a1及an.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式在實(shí)際中的應(yīng)用為響應(yīng)教育部下發(fā)的關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知的要求，某市提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2011年起用10年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)據(jù)測(cè)算，2011年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬(wàn)元為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬(wàn)元那么從2011年起的未來(lái)10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？【精彩點(diǎn)撥】將該實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題求解，由于每年投

25、入資金都比上一年增加50萬(wàn)元，故可考慮利用等差數(shù)列求解【嘗試解答】根據(jù)題意，從2011年2020年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬(wàn)元，所以，每年投入的資金依次組成等差數(shù)列an，其中，a1500，d50.那么，到2020年(n10)，投入的資金總額為S1010500507 250(萬(wàn)元)，即從2011年2020年，該市在“校校通”工程中的總投入是7 250萬(wàn)元有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題，應(yīng)首先通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的研究建立數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，最后求出符合實(shí)際的答案，可分以下幾步考慮：(1)問(wèn)題中所涉及的數(shù)列an有何特征；(2)是求數(shù)列an的通項(xiàng)還是求前n項(xiàng)和；(3)列出等式(或方程)求解再練

26、一題2.如圖122，一個(gè)堆放鉛筆的V型架的最下面一層放1支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放1支最上面一層放120支，這個(gè)V型架上共放著多少支鉛筆？圖122探究共研型等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)探究1設(shè)an是等差數(shù)列，公差為d，Sn是其前n項(xiàng)和，那么Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差數(shù)列嗎？如果是，它們的公差是多少？【提示】由Sma1a2am，S2mSmam1am2a2ma1mda2mdammdSmm2d，同理S3mS2ma2m1a2m2a3mS2mSmm2d，所以Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差數(shù)列，公差為m2d.探究2設(shè)Sn、Tn分別為兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和，那么與有怎樣的關(guān)

27、系？請(qǐng)證明之【提示】.【證明】.(1)等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，求數(shù)列an的前3m項(xiàng)的和S3m；(2)兩個(gè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，已知，求的值【精彩點(diǎn)撥】(1)利用Sm，S2mSm，S3mS2m成等差數(shù)列求解(2)利用前n項(xiàng)和結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)將項(xiàng)的比值轉(zhuǎn)化為和的比值求解【嘗試解答】(1)在等差數(shù)列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差數(shù)列，30,70，S3m100成等差數(shù)列，27030(S3m100)，S3m210.(2).巧妙應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)“片段和”性質(zhì)若an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n，構(gòu)成

28、公差為n2d的等差數(shù)列(2)項(xiàng)數(shù)(下標(biāo))的“等和”性質(zhì)Sn.(3)項(xiàng)的個(gè)數(shù)的“奇偶”性質(zhì)an為等差數(shù)列，公差為d.若共有2n項(xiàng)，則S2nn(anan1)；S偶S奇nd；.若共有2n1項(xiàng)，則S2n1(2n1)an1；S偶S奇an1；.(4)等差數(shù)列an中，若Snm，Smn(mn)，則Smn(mn)(5)等差數(shù)列an中，若SnSm(mn)，則Smn0.再練一題3已知兩個(gè)等差數(shù)列an與bn的前n(n1)項(xiàng)和分別是Sn和Tn，且SnTn(2n1)(3n2)，求的值等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值探究1將等差數(shù)列前n項(xiàng)和Snna1d變形為Sn關(guān)于n的函數(shù)后，該函數(shù)是怎樣的函數(shù)？為什么？【提示】由于Snna1dn2

29、n，所以當(dāng)d0時(shí)，Sn為關(guān)于n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.探究2類比二次函數(shù)的最值情況，等差數(shù)列的Sn何時(shí)有最大值？最小值？【提示】由二次函數(shù)的性質(zhì)可以得出，當(dāng)d0時(shí)，Sn有最小值；當(dāng)d0時(shí)，有最大值，且n取值最接近對(duì)稱軸的正整數(shù)時(shí)，Sn取得最值在等差數(shù)列an中，a1018，前5項(xiàng)的和S515.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和的最小值，并指出何時(shí)取最小值【精彩點(diǎn)撥】(1)直接根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列關(guān)于首項(xiàng)a1和公差d的方程，求得a1和d，進(jìn)而得解；(2)可先求出前n項(xiàng)和公式，再利用二次函數(shù)求最值的方法求解，也可以利用通項(xiàng)公式，根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性求解【嘗試解答

30、】(1)由題意得得a19，d3，an3n12.(2)Sn(3n221n)2，當(dāng)n3或4時(shí)，前n項(xiàng)的和取得最小值S3S418.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題的三種解法：(1)利用an：當(dāng)a10，d0時(shí)，前n項(xiàng)和有最大值，可由an0且an10，求得n的值；當(dāng)a10，d0，前n項(xiàng)和有最小值，可由an0且an10，求得n的值(2)利用Sn：由Snn2n(d0)，利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值(3)利用二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱性再練一題4在等差數(shù)列an中，a125，S17S9，求Sn的最大值. 1設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S84a3，a72，則a9()A6 B4 C2 D22記等差數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，若S24，S420，則該數(shù)列