2017考研數(shù)學(xué)三真題答案

1、2017 全國研究生入學(xué)考試考研數(shù)學(xué)三本試卷滿分 150，考試時(shí)間 180 分鐘一、選擇題：18 小題，每小題 4 分，共 32 分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.ì1- cosx ,ïx > 0,x £ 0,在 x = 0 ，處連續(xù)，則（ ）（1）若函數(shù) f (x) =íïîax b,11（A） ab =（B） ab =- 22（C） ab = 0（D） ab = 2】（A）【】由 f (x) 在 x = 0 連續(xù)可得lim f (x) =f (0)【x®

2、01 xlim 1 - cosx= lim 2=， f (0) = b Þ ab = 11axax2a2x®0x®0（2）二元函數(shù) z = xy(3 - x - y) 的極值點(diǎn)是（ ）（A） (0,0)（B） (0, 3)（C） (3, 0)（D） (1,1)【】 zx¢ = y(3 - x - y) - xy = y(3 - 2x - y)z¢y = x(3 - x - y) - xy = x(3 - x - 2y)zx¢¢x = -2 y ， zx¢¢y = 3 - 2x - 2 y ， z¢

3、;y¢y = -2x【ì zx¢ = 0驗(yàn)證可得（ A ）、（ B ）、（ C ）、（ D ）四個(gè)選項(xiàng)均滿足íz¢= 0îy其中（ D ）選項(xiàng)對(duì)應(yīng)A = zx¢¢x (1,1) = -2 ， B = zx¢¢y (1,1) = -1， C = z¢y¢y (1,1) = -2滿足 AC - B2 = 3 > 0 ，所以該點(diǎn)為極值點(diǎn).。（3）設(shè)函數(shù) f (x) 可導(dǎo)，且 f (x) f ¢(x) > 0，則（ ）（A）f (1) > f (-1)（B

4、）f (1) < f (-1)>f (-1)<f (-1)（C） f (1)（D） f (1)1【】（C）】令 F(x) = f 2 (x) ，則有 F¢(x) = 2 f (x) f ¢(x) ，故 F (x) 單調(diào)遞增，則 F(1) = F(-1) ，即【 f (1)2 > f (-1)2 ，即>f (-1)f (1)，故選 C。¥éæ1 öù1å（4）設(shè)級(jí)數(shù)sin- k ln 1-收斂，則k =（ ）êç÷únènø&#

5、251;n=2 ë（C） -1（D） -2（A）1【】（C）（B） 21111 111k1【】由sin- k ln(1 - ) =-+ o() + k+ o()nn6 n3n3n2n2n2n= (1+ k) 1 +-+ o() ，n2k11n2n26n3¥11å又sin- k ln(1- ) 收斂，故有k +1 = 0 ，即k = -1，故選C。nn列n=2（5）設(shè)a 是 n 維， E 為 n 階矩陣，則（A） E -aaT 不可逆（B） E +aaT 不可逆（C） E + 2aaT 不可逆（D） E - 2aaT 不可逆【】選項(xiàng) A :由(E -aaT )a =

6、 a -a = 0 可知，(E -aaT ) X = 0 有非零解，故E -aaT= 0 ,即 E -aaT 不可逆。選項(xiàng) B :由r(aaT ) = 1知，aa T 的特征值為0, 0,0,1，(n-1)個(gè)故 E+aaT 的特征值為1,1,1, 2 ，因此(n-1)個(gè)E+aaT= 2 ¹ 0 ，可逆。選項(xiàng)C :同理可得 E+2aaT 的特E+2 aaT3=0¹，可逆。選項(xiàng) D :同理可得 E - 2aaT 的特征值為1,1,1, -1，(n-1)個(gè)征值為1,1,1, 3 ，故(n-1)個(gè)E - 2aaT= -1 ¹ 0 ，可逆。故é20200ù

7、;é21200ùé10200ù（6）設(shè)矩陣 A = ê01ú ， B = ê00ú ， C = ê00ú ，則êêë0ú1úûêêë0ú1úûêêë0ú2úû（A） A 與C 相似， B 與C 相似（C） A 與C 不相似， B 與C 相似（B） A 與C 相似， B 與C 不相似（D） A 與C 不相似， B 與C

8、不相似2【】（B）】由（lE - A）=0 可知 A 的特征值為 2,2,1?！?#230; 10 0 öç 00 ÷3 - r(2E - A) = 1。 A 可相似對(duì)角化，且A20ç÷ç 02 ÷èø由 lE - B= 0 可知 B 的特征值為 2,2,1。3 - r(2E - B ) = 2 。B 不可相似對(duì)角化，顯然 C 可相似對(duì)角化， AC。且 B 不相似于 C。， B 與C 相互，則 A È B 與C 相互（7）設(shè) A, B,C 為三個(gè)隨機(jī)，且 A 與C 相互的充要條件是（A） A 與

9、 B 相互（C） AB 與C 相互（B） A 與 B 互不相容（D） AB 與C 互不相容【】（C）】由 A È B 與C ，得P( A + B)C) = P( A + B)P(C)P( AC + BC) = (P( A) + P(B) - P( AB)P(C)P( AC) + P(BC) - P( ABC) = (P( A) + P(B) - P( AB)P(C)又由 A 與C ， B 與C得 P(ABC) = P(A)P(B)P(C) 。由此驗(yàn)證（A）（B）（C）（D）四項(xiàng)，又（C）選項(xiàng)可得 P(ABC) = P(A)P(B)P(C) 。n= 1 å(n ³

10、2) 為來自總體 N (m,1) 的簡單隨機(jī)樣本，記 XX ，則下列結(jié)論中（8）設(shè)nini=1不正確的是n（A） å( X - m)2 服從 c 2 分布（B） 2( X - X )2 服從 c 2 分布in1i=1n（C） å( X - X )2 服從 c 2 分布（D） n( X - m)2 服從 c 2 分布ii=1【】（B）nN(0,1) 故å( X - m)2c 2 (n) ；】（A） X - m【iii=13(0,1)（B）2ö2- xæ xc 2 (1)Þ ç n1 ÷èø2(x

11、- x )2c 2 (1) 。即 n121nnåi=1- X ) , (n -1)S = å( Xi - X )c (n -1) 。（C）由 S =22222( Xn -1ii=1æ1 ö（D） ( X - m)，則 n( X - m)N(0,1) ，所以n(X - m)2c 2 (1) 。N 0,çn ÷èø二、填空題：9-14 小題，每小題 4 分，共 24 分，請(qǐng)將寫在答題紙指定位置上.pò）(sin3 x + p 2 - x2 )dx =。（9-pp 3【】。2】由對(duì)稱區(qū)間上積分的性質(zhì)可知，【p

12、32ppò-p (sin x + p - x )dx =ò-pp - x dx =32222。（10）差分方程 y- 2y = 2t 的通解為 y =。t +1tt【】 y = C2t + 1 t × 2t ,C Î R 。t2【】由 y- 2y = 2t 可得齊次特征方程為 r - 2 = 0 ，得 r = 2 ，故其齊次方程的通解為t +1ty = C × 2t ，設(shè) y* = at2t ，代入得a = 1 ，故通解為 y = C2t + 1 t × 2t ,C Î R 。t22的平均成本C (Q) = 1+ e-Q ，

13、其中Q 為產(chǎn)量，則邊際成本為。（11）設(shè)生產(chǎn)某【】C¢(Q) = 1+ e-Q (1- Q) 。【】 C(Q) = 1+ e-Q 得C(Q) = Q(1+ e-Q ) ，Q4則邊際成本為： C¢(Q) = 1+ e-Q (1- Q) 。（12）設(shè)函數(shù) f (x, y) 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且df (x, y) = yeydx + x(1+ y)eydy ， f (0, 0) = 0 ，則f (x, y) =?！?xyey ?！緁 ( x, y) = ò yeydx = xyey + c( y)f y = x (1 + y)e¢y¢yfx = y

14、e【】 由 題 可 知 ，¢yyyyfy = xe + xye + c¢( y) = xe + xye ，即f (0, 0) = 0 ，故f x(y, eyx) =c¢( )y 0=y。c( y) = c ，c = 0 ，即，即æ 11 ö0(13)設(shè)矩陣 A= ç 112 ÷ ，a ,a ,a 為線性無關(guān)的 3 維列組 Aa , Aa , Aa組，則的ç÷123123ç 01 ÷1èø秩為?！尽?【】由 于 a1,a ,a2線 性 無 關(guān) ， 可 知 矩 陣(a1

15、,a2,a3)可 逆 ， 故r(Aa1, Aa2, Aa3) = r(A(a1,a2,a3) = r( A) ，不難計(jì)算的r( A) = 2 ，故r( Aa1, Aa2, Aa3) = 2 。(14)設(shè)隨量 X 的概率分布為 Px = -2 = 1 ， Px = 1 = a ， Px = 3 = b ，若 EX = 0 ，則2DX =。92【】【】11性可知+ a + b = 1 ， 又由于 EX = 0 ， 可知 -2´+1+ a + 3b = 0 ，解得由分布律的22a = 1 , b = 1 ，從而 EX 2 = (-2)2 + 1 +12 ´ 1 + 32 

16、0; 1 = 9 , DX = EX 2 - (EX)2 = 9 。4424422三、解答題：1523 小題，共 94 分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過演算步驟.xòx - tetdt(15)(本題滿分 10 分)求 lim0。x®0+x3xò】先對(duì)變上限積分x - tet dt 作變量代換u = x - t ，得【05x0xòòòx - te dt =ue(-du) = ex-uue-udutx0x0則由洛必達(dá)法則可知：xòue-u du +xxe原式= lim032x®0+xx2&#

17、242;ue-u du230+lim 3 x®0+=xe-xxe- x223+lim=- x 2xxe- x223+= lim- x223y3òò (1+ x2 + y4 )dxdy ，其中 D 是第一象限中以曲線 y =x 與 x 軸(16) (本題滿分 10 分)計(jì)算積分D為邊界的區(qū)域。【】，選用直接坐標(biāo)計(jì)算該積分，先對(duì) y 積分，后對(duì) x 積分得積分區(qū)域6y =xy3dy+¥x原式= ò0 dxò0(1+ x2 + y4 )2dy4= 1+¥xòdxò0(1+ x2 + y4 )240=- 11+&

18、#165;ò| x dx4(1+ x2 + y4 )20011+¥ò=)410= 1 (arctan x -412arctan2x) |+¥0= p (1-)182nkk(本題滿分 10 分)求lim å 2 ln(1+) 。(17)n®¥ k =1 n】由定積分的定義式可知n【lim 1 å k ln æ1+ k ö =x ln 1+ x dxn1()ò原式=çn ÷，再由分 部 積分 法 可 知 ：n®¥ nnèø0k =

19、11)ò222000= - 121211()()òx -1 dx = -x -1| =104401- 1 = k 在區(qū)間(0,1) 內(nèi)有實(shí)根，試確定常數(shù)k 的取值范圍。(18) (本題滿分 10 分)已知方程ln(1+ x)x【】1x令 f，12f ¢= (1+2) - x2 ，可得令 g(7g¢(g¢¢() - 2xÎ (0,1)故 g¢(x) 在0,1 上單調(diào)遞減，從而 x Î(0,1) 時(shí) g¢(x) < g¢(0) = 0故 g(x) 在0,1 上單調(diào)遞減，從而 x &#

20、206;(0,1) 時(shí) g(x) < g(0) = 01因 此 有 f ¢(x)<減 ， 從 而 f (1) =-1 ，ln 2， 可 知 f (x)(0,1在上 單調(diào) 遞ö111=，則要使得 f (x) = k 在(0,1)內(nèi)有實(shí)根，必有-1 < k <。lim f (÷x2ln 22ø1分）設(shè) a0 = 1， a1 = 0 ， an+1 = n +1 (nan + an-1 )(n = 1, 2,) ， S(x) 為冪級(jí)數(shù)（19）（本題滿分 10¥å a xn 的和函數(shù)，nn=0¥å n

21、xn 的收斂半徑不小于1；（I）證明冪級(jí)數(shù)a n=0（II）證明(1- x)S¢(x) - xS(x) = 0 （ x Î(-1,1) ），并求 S(x) 的表。1】（I）由a=(na + a)a【nn-1 ，兩邊同時(shí)減去 n 可知n+1n +1-1a- a =(a - a)n+1nnn-1n +1-1-1(-1)n(-1)n進(jìn)而有an+1 - an=n + 1n×(an-1 - an-2 ) =(a1 - a0 ) =(n +1)!(n + 1)!(-1)n-1(-1)n-2(-1)n-1(-1)k-1n= åk =1從而有an = an-1 += a

22、n-2 + (n -1)! +n!=n!k !11£ lim n 1 +£ lim n n = 1 ，故收斂半徑 R ³ 1；則lim n2!n!n®¥n®¥n®¥¥å（II）由逐項(xiàng)求導(dǎo)定理可知 S (x) =na¢xn-1nn=1¥¥¥故(1 - x)S ¢(x) = (1 - x)åna= åna xn-1 - ånaxn-1xnnnnn=1n=1n=18an¥¥¥=(n

23、+ 1)axn - ånaåå=(n + 1)a- nax + a xxnn+n 1nn 1n1n=0n=1n=1¥¥xS(x) = åaå n 1xn+1=axn-nn=0n=1¥則(1 - x)S ¢(x) - xS(x) = å(n +1)a- na - ax + a xnn+1nn-11n=11=(na + a)由 a(n +1)a- na - a= 0 ，nn-1 可知n+1n+1nn-1n +1又由于a1 = 0 ，故(1- x)S¢(x) - xS(x) = 0ce- x

24、解此微分方程可得 S (x) =1 - xe- x又由于 S(0) = a0 = 1，可知c = 1，從而 S (x) = 1 - x 。（20）（本題滿分 10 分）設(shè)三階矩陣 A = (a1,a2,a3) 有3 個(gè)不同的特征值，且a3 = a1 + 2a2 ，（I） 證明r( A) = 2 ；（II） 若 b = a1 +a2 +a3 ，求方程組 Ax = b 的通解?！尽?I) 由a3 = a1 + 2a2 可知a1,a2,a3 線性相關(guān)，從而 r( A) £ 2 ，可知0 為 A 的一個(gè)特征值， 設(shè) A 的另外兩個(gè)特征值為l1, l2 ，由于 A 有三個(gè)互不相同特征值，可知

25、A 可以相似對(duì)角化，從而 Aæ l1ö相似于對(duì)角矩陣L = çl÷ ，由于l , l ¹ 0 ，可知r(L) = 2 ，從而r(A) = r(L) = 2 。ç÷212ç0 ÷èø(II) 先求 Ax = 0 的通解：由于r( A) = 2 ，可知 Ax = 0 的基礎(chǔ)解系中僅含有一個(gè)，從而 Ax = 0æ 1 ö的任何一個(gè)非零解均為 Ax = 0 的基礎(chǔ)解系。由于a = a + 2a ，可知 Aç 2 ÷ = a + 2a -a = 0 ，&#

26、231;÷123312ç -1÷èøæ 1 öæ 1 ö因此ç 2 ÷ 即為 Ax = 0 的基礎(chǔ)解系， Ax = 0 的通解為 k ç 2 ÷, k Î R 。再求 Ax = b 的特解：顯然ç÷ç÷ç -1÷ç -1÷èøèø9æ1öæ1öæ 1 öæ1ö

27、Aç1÷ = b ，因此ç1÷ 即為 Ax = b 的特解，綜上所述， Ax = b 的通解為k ç 2 ÷ + ç1÷, k Î Rç ÷ç ÷ç÷ç ÷ç1÷ç1÷ç -1÷ç1÷è øè øèøè ø) = 2x2 - x2 + a-8（21）（本題滿分 10 分

28、）設(shè)二次型 f (x 在正交變換31222 3x = Qy 下標(biāo)準(zhǔn)形為l y + l y2 ，求a 的值及一個(gè)正交矩陣Q 。21 12 2-4 ö÷æ21-1 1【】二次型的矩陣為 A = ç 11，由于二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為l y+ l y 2 ，2ç÷1 12 2ç -4÷aè可知0 為 A 的一個(gè)特征值，從而øA = -3a + 6 = 0 ，可得a = 2 。要計(jì)算正交矩陣Q ，先求 A 的特l - 2-1-1l +14-1l - 2征值，則由 lE - A = l(l - 6)(

29、l + 3) = 0 ，得 A 的特征值為0, 6, -3 。-14æ 1 öæ 1 ö先求0 的特征： Ax = 0 的基礎(chǔ)解系為a = ç 2 ÷ ，1ç 2 ÷ ，化得 b =ç ÷6 ç ÷11ç 1 ÷ç 1 ÷è øè øæ -1öæ -1ö= ç0 ÷ ，1ç0 ÷ ，再求6 的特征： (A - 6E)x

30、 = 0 的基礎(chǔ)解系為a化得 b =ç÷2 ç÷22ç 1 ÷ç 1 ÷èøæ 1 öèøæ 1 ö再求 -3 的特征： (A + 3E)x = 0 的基礎(chǔ)解系為 a = ç -1÷ ，化得 b =ç -1÷ ， 故1ç÷3 ç÷33ç 1 ÷ç 1 ÷èøèøæ -6

31、 ö22333333ççç÷6÷6 ÷Q = (b2 , b3, b1) = çççç-0÷3÷6 ÷22÷6èø，且 X 的概率分布為 PX = 0 = PX = 2 = 1 ，2（22）（本題滿分 11 分）設(shè)隨量 X ,Y 相互100 < y < 1,其他,ì2 y,Y 的概率密度為 f ( y) =í0,î（I） 求 PY £ EY；（II） 求 Z = X +Y 的

32、概率密度。23+¥1òòEY =yf ( y)dy =2 y dy =2【】（）由數(shù)字特征的計(jì)算公式可知：。-¥0232ì2 ü49òò則 PY £ EY = P íY £=f ( y)dy =2 ydy =ý3。î3 þ-¥0（）先求 Z 的分布函數(shù)，由分布函數(shù)的定義可知： FZ (z) = PZ £ z = PX + Y £ z。由于 X 為離散型隨量，則由全概率公式可知= PX = 0PX + Y £ z | X = 0 + PX = 1PX + Y £ z | X = 1F (z) = PX + Y £ z =