隨機(jī)變量及其分布列知識(shí)點(diǎn)資料講解

1、隨機(jī)變量及其分布列知識(shí)點(diǎn)如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量的分布列為：的分布列為：一、兩點(diǎn)分布列一、兩點(diǎn)分布列10Pp1-p這樣的分布列稱為這樣的分布列稱為兩點(diǎn)分布列兩點(diǎn)分布列(又稱又稱0-1分布分布),稱隨機(jī)變稱隨機(jī)變量量服從服從兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布,而稱而稱P(=1) =p為成功概率為成功概率.二、超幾何分布二、超幾何分布nNknMNkMCCCkXP )(k=0,1,2, , m則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量X的概率分布列如下：的概率分布列如下： 發(fā)發(fā)生生的的概概率率為為：件件次次品品數(shù)數(shù)，則則事事件件件件，其其中中恰恰有有件件產(chǎn)產(chǎn)品品中中，任任取取件件次次品品的的在在含含有有kXXnNM 像上面這樣的分布列稱為

2、像上面這樣的分布列稱為 超幾何分布列超幾何分布列. .如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，就稱的分布列為超幾何分布列，就稱X服從超服從超幾何分布。幾何分布。X01mPnNnMNMCCC00 nNnMNMCCC11 nNmnMNmMCCC *,minNNMnNMNnnMm 且且其其中中注注:超幾何分布的模型是不放回抽樣超幾何分布的模型是不放回抽樣三、二項(xiàng)分布三、二項(xiàng)分布),(,)1()(,pnBXXppCkXPknpknkkn記作記作二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布服從服從，這樣的隨機(jī)變量，這樣的隨機(jī)變量次的概率為次的概率為事件恰好發(fā)生事件恰好發(fā)生次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)那么在那么

3、在生的概率為生的概率為在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)在一次試驗(yàn)中某事件發(fā) .).,.,2 , 1 , 0(1)(:服服從從二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布所所以以稱稱這這樣樣的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量項(xiàng)項(xiàng)中中的的第第恰恰好好是是二二項(xiàng)項(xiàng)展展開開式式由由于于注注XnkkpqqpCnknkkn 于是得到隨機(jī)變量于是得到隨機(jī)變量X的概率分布如下：的概率分布如下：X X01knp00nnC p q111nnC p q kkn knC p q 0nnnC p q（即（即n=1的二項(xiàng)分布）的二項(xiàng)分布）四、正態(tài)分布四、正態(tài)分布 ,22DEN則則），（若若baN ），（若若性性質(zhì)質(zhì)2:),22 abaN （則則X落在區(qū)間(a,b的概率為:a

4、bXY,( )yx ,()( )baP aXbx dx 特殊區(qū)間的概率:-a+ax=,()( )aaPaXax dx 上述計(jì)算結(jié)果可用下表和圖來表示：上述計(jì)算結(jié)果可用下表和圖來表示： 區(qū)間區(qū)間 取值概率取值概率,2,23,36826. 09544. 09974. 06826. 09544. 09974. 0一般地，隨機(jī)變量一般地，隨機(jī)變量的概率分布列為的概率分布列為則稱則稱1122iinnEx px px px p 為為 的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望或均值，簡稱為或均值，簡稱為期望期望. . 它它反映了離散型隨反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平機(jī)變量取值的平均水平.P1x2xnx1p2pnp ixip

5、結(jié)論結(jié)論1： 則則 ; ;,ab 若若EaEb 結(jié)論結(jié)論2：若：若B(n，p)，則，則E= np.數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望的定義: :結(jié)論結(jié)論3:若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 服從幾何分布，則服從幾何分布，則E =1/p離散型隨機(jī)變量取值的方差和標(biāo)準(zhǔn)差離散型隨機(jī)變量取值的方差和標(biāo)準(zhǔn)差: :一般地一般地, ,若離散型隨機(jī)變量若離散型隨機(jī)變量 的概率分布列為：的概率分布列為：P1xix2x1p2pipnxnp 它們都是反映離散型隨機(jī)變量偏離于均值的它們都是反映離散型隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度平均程度的量的量，它們的值越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程它們的值越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小，即越集

6、中于均值度越小，即越集中于均值。.)(.)()(2222121的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量稱稱的的方方差差為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量則則稱稱 DpExpExpExDnn 為常數(shù)）為常數(shù)）：性質(zhì)性質(zhì)baDabaDEED,()()2()()1(1222 性質(zhì)性質(zhì)2：（1）若）若 兩點(diǎn)分布，則兩點(diǎn)分布，則D =p(1-p) ;（2）若）若 B(n,P),則則D =np(1-p) ;（3）若）若 幾何分布，則幾何分布，則D =(1-p)/p2 .易證離散型隨機(jī)變量的方差滿足以下性質(zhì)：易證離散型隨機(jī)變量的方差滿足以下性質(zhì)：_)(2 DXEXaXD練練習(xí)習(xí)：DXa2 ABAB條件概率：條件概率：相互獨(dú)立

7、事件的定義相互獨(dú)立事件的定義: : 設(shè)設(shè)A,BA,B兩個(gè)事件兩個(gè)事件, ,如果事件如果事件A A是否發(fā)生對(duì)事件是否發(fā)生對(duì)事件B B發(fā)發(fā)生的概率沒有影響生的概率沒有影響( (即即 ), ), 則稱則稱事件事件A A與事件與事件B B相互獨(dú)立相互獨(dú)立. .)()()(BPAPABP 顯然顯然:(1)必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件與任何事件與任何事件A相互獨(dú)立相互獨(dú)立.；與與 BAAB與與 ；.BA 與與(2)若事件若事件A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則以下三對(duì)事件也相互獨(dú)立則以下三對(duì)事件也相互獨(dú)立:(2)(2)相互獨(dú)立事件相互獨(dú)立事件: :指在指在不同試驗(yàn)不同試驗(yàn)下的兩個(gè)事件互不影響下的

8、兩個(gè)事件互不影響. .(1)(1)互斥事件互斥事件: :指指同一次試驗(yàn)同一次試驗(yàn)中的兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生中的兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生. .注：注：)()()(BPAPABPBA 相相互互獨(dú)獨(dú)立立、即即)().()().(2121nnAPAPAPAAAP (2)一般地一般地,如果事件如果事件A 1,A2,An 兩兩相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立,那么這那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率,等于等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即即注注: :(1)(1)若事件若事件 A1 1，A2 2 ， ，A An 中任意兩個(gè)事件相互中任意兩個(gè)事件相互獨(dú)立，獨(dú)立， 則稱事件則稱事件 A1 1

9、，A2 2 ， ，An 兩兩相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立. .n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn): 一般地一般地,在相同條件下，重復(fù)做的在相同條件下，重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).注注: 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜐M足以下三方面特征，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜐M足以下三方面特征， 第一：每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行第一：每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行;第二：各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的第二：各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的;第三第三:每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果,即事件要么發(fā)生即事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生要么不發(fā)生.n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式:次次的的概概率率為為恰恰好好

10、發(fā)發(fā)生生事事件件獨(dú)獨(dú)立立重重復(fù)復(fù)試試驗(yàn)驗(yàn)中中次次那那么么在在發(fā)發(fā)生生的的概概率率為為在在每每次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中事事件件為為發(fā)發(fā)生生的的次次數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)事事件件次次獨(dú)獨(dú)立立重重復(fù)復(fù)試試驗(yàn)驗(yàn)中中在在一一般般地地kAnpAXAn,)1(.,.,2 , 1 , 0,)1()(pqnkqpCppCkXPknkknknkkn 其中其中;)1(,:knkppknkAn 次次不不發(fā)發(fā)生生的的概概率率為為而而在在其其余余的的次次發(fā)發(fā)生生在在某某次次獨(dú)獨(dú)立立重重復(fù)復(fù)試試驗(yàn)驗(yàn)中中事事件件首首先先解解釋釋.,個(gè)個(gè)事事件件彼彼此此互互斥斥且且它它對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的種種有有式式次次發(fā)發(fā)生生的的不不同同的的發(fā)發(fā)生生方方次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中有有在在事事件件其其次次knknCCknA注注: