初一數(shù)學(xué)競賽講座⑻

1、數(shù)學(xué)競賽教材系列初一數(shù)學(xué)競賽講座第8講 列方程解應(yīng)用題在小學(xué)數(shù)學(xué)中介紹了應(yīng)用題的算術(shù)解法及常見的典型應(yīng)用題。然而算術(shù)解法往往局限于從已知條件出發(fā)推出結(jié)論，不允許未知數(shù)參加計(jì)算，這樣，對于較復(fù)雜的應(yīng)用題，使用算術(shù)方法常常比較困難。而用列方程的方法，未知數(shù)與已知數(shù)同樣都是運(yùn)算的對象，通過找出“未知”與“已知”之間的相等關(guān)系，即列出方程（或方程組），使問題得以解決。所以對于應(yīng)用題，列方程的方法往往比算術(shù)解法易于思考，易于求解。列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：審題，設(shè)未知數(shù)，找出相等關(guān)系，列方程，解方程，檢驗(yàn)作答。其中列方程是關(guān)鍵的一步，其實(shí)質(zhì)是將同一個(gè)量或等量用兩種方式表達(dá)出來，而要建立這種相等關(guān)系必須

2、對題目作細(xì)致分析，有些相等關(guān)系比較隱蔽，必要時(shí)要應(yīng)用圖表或圖形進(jìn)行直觀分析。一、列簡易方程解應(yīng)用題分析：欲求這個(gè)六位數(shù)，只要求出五位數(shù)就可以了。按題意，這個(gè)六位數(shù)的3倍等于。解：設(shè)五位數(shù)，則六位數(shù)，六位數(shù)，從而有3（105+x）=10x+1， x42857。答：這個(gè)六位數(shù)為142857。說明：這一解法的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：抓住相等關(guān)系：六位數(shù)的3倍等于六位數(shù)；設(shè)未知數(shù)：將六位數(shù)與六位數(shù)用含的數(shù)學(xué)式子表示出來，這里根據(jù)題目的特點(diǎn)，采用“整體”設(shè)元的方法很有特色。（1）是善于分析問題中的已知數(shù)與未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系；（2）是一般語言與數(shù)學(xué)的形式語言之間的相互關(guān)系轉(zhuǎn)化。因此，要提高列方程解應(yīng)用題的能力，就應(yīng)

3、在這兩方面下功夫。例2 有一隊(duì)伍以1.4米/秒的速度行軍，末尾有一通訊員因事要通知排頭，于是以2.6米/秒的速度從末尾趕到排頭并立即返回排尾，共用了10分50秒。問：隊(duì)伍有多長？分析：這是一道“追及又相遇”的問題，通訊員從末尾到排頭是追及問題，他與排頭所行路程差為隊(duì)伍長；通訊員從排頭返回排尾是相遇問題，他與排尾所行路程和為隊(duì)伍長。如果設(shè)通訊員從末尾到排頭用了x秒，那么通訊員從排頭返回排尾用了（650-x）秒，于是不難列方程。解：設(shè)通訊員從末尾趕到排頭用了x秒，依題意得2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。解得x500。推知隊(duì)伍長為：（2.6-1.4）×500

4、=600（米）。答：隊(duì)伍長為600米。說明：在設(shè)未知數(shù)時(shí)，有兩種辦法：一種是設(shè)直接未知數(shù)，求什么、設(shè)什么；另一種設(shè)間接未知數(shù)，當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)不易列出方程時(shí)，就設(shè)與要求相關(guān)的間接未知數(shù)。對于較難的應(yīng)用題，恰當(dāng)選擇未知數(shù)，往往可以使列方程變得容易些。例3 鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車人同時(shí)向南行進(jìn)，行人速度為3.6千米/時(shí)，騎車人速度為10.8千米/時(shí)，這時(shí)有一列火車從他們背后開過來，火車通過行人用22秒，通過騎車人用26秒，這列火車的車身總長是多少？分析：本題屬于追及問題，行人的速度為3.6千米/時(shí)=1米/秒，騎車人的速度為10.8千米/時(shí)=3米/秒?；疖嚨能嚿黹L度既等于火車車

5、尾與行人的路程差，也等于火車車尾與騎車人的路程差。如果設(shè)火車的速度為x米/秒，那么火車的車身長度可表示為（x-1）×22或（x-3）×26，由此不難列出方程。解：設(shè)這列火車的速度是x米/秒，依題意列方程，得（x-1）×22=（x-3）×26。解得x=14。所以火車的車身長為：（14-1）×22=286（米）。答：這列火車的車身總長為286米。例4 如圖，沿著邊長為90米的正方形，按逆時(shí)針方向，甲從A出發(fā)，每分鐘走65米，乙從B出發(fā)，每分鐘走72米。當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)在正方形的哪一條邊上？分析：這是環(huán)形追及問題，這類問題可以先看成“直線”追及問題

6、，求出乙追上甲所需要的時(shí)間，再回到“環(huán)行”追及問題，根據(jù)乙在這段時(shí)間內(nèi)所走路程，推算出乙應(yīng)在正方形哪一條邊上。解：設(shè)追上甲時(shí)乙走了x分，則甲在乙前方3×90=270（米）。依題意故有：72x65x+270解得：在這段時(shí)間內(nèi)乙走了：（米）由于正方形邊長為90米，共四條邊，故由可以推算出這時(shí)甲和乙應(yīng)在正方形的DA邊上。答：當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)在正方形的DA邊上。例5 一條船往返于甲、乙兩港之間，由甲至乙是順?biāo)旭?，由乙至甲是逆水行駛。已知船在靜水中的速度為8千米/時(shí)，平時(shí)逆行與順行所用的時(shí)間比為21。某天恰逢暴雨，水流速度為原來的2倍，這條船往返共用9時(shí)。問：甲、乙兩港相距多少千米？分析：

7、這是流水中的行程問題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度-水流速度。解答本題的關(guān)鍵是要先求出水流速度。解：設(shè)甲、乙兩港相距x千米，原來水流速度為a千米/時(shí)根據(jù)題意可知，逆水速度與順?biāo)俣鹊谋葹?1，即（8-a）（8a）12，再根據(jù)暴雨天水流速度變?yōu)?a千米/時(shí)，則有 解得x=20。答：甲、乙兩港相距20千米。例6 某校組織150名師生到外地旅游，這些人5時(shí)才能出發(fā)，為了趕火車，6時(shí)55分必須到火車站。他們僅有一輛可乘50人的客車，車速為36千米/時(shí)，學(xué)校離火車站21千米，顯然全部路程都乘車，因需客車多次往返，故時(shí)間來不及，只能乘車與步行同時(shí)進(jìn)行。如果步行每小時(shí)能走4千米，那么應(yīng)如

8、何安排，才能使所有人都按時(shí)趕到火車站？分析：把150人分三批，每批50人，均要在115分鐘即（時(shí)）內(nèi)趕到火車站，每人步行時(shí)間應(yīng)該相同，乘車時(shí)間也相同。設(shè)每人步行x時(shí)，乘車時(shí)。列出方程，解出，便容易安排了，不過要計(jì)算一下客車能否在115分鐘完成。解：把150人分三批，每批50人，步行速度為4千米/時(shí)，車速為36千米/時(shí)。設(shè)每批師生步行用時(shí)，則解得x1.5（時(shí)），即每人步行90分，乘車25分。三批人5時(shí)同時(shí)出發(fā)，第一批人乘25分鐘車到達(dá)A點(diǎn)，下車步行；客車從A立即返回，在B點(diǎn)遇上步行的第二批人，乘25分鐘車，第二批人下車步行，客車再立即返回，又在C點(diǎn)遇到步行而來的第三批人，然后把他們直接送到火車站

9、。如此安排第一、二批人按時(shí)到火車站是沒問題的，第三批人是否正巧可乘25分鐘車呢？必須計(jì)算。第一批人到A點(diǎn)，客車已行（千米），第二批人已步行4×（千米），這時(shí)客車返回與第二批人步行共同行完（千米），需（時(shí)），客車與第二批人相遇，就是說客車第一次返回的時(shí)間是20分，同樣可計(jì)算客車第二次返回的時(shí)間也應(yīng)是20分，所以當(dāng)客車與第三批人相遇時(shí)，客車已用25×220×2=90（分），還有115-90=25（分），正好可把第三批人按時(shí)送到。 因此可以按上述方法安排。說明：列方程，解出需步行90分、乘車25分后，可以安排了，但驗(yàn)算不能省掉，因?yàn)檫@關(guān)系到第三批人是否可以按時(shí)到車站的問

10、題。通過計(jì)算知第三批人正巧可乘車25分，按時(shí)到達(dá)。但如果人數(shù)增加，或者車速減慢，雖然方程可以類似地列出，卻不能保證人員都按時(shí)到達(dá)目的地。二、引入?yún)?shù)列方程解應(yīng)用題對于數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜或已知條件較少的應(yīng)用題，列方程時(shí)，除了應(yīng)設(shè)的未知數(shù)外，還需要增設(shè)一些“設(shè)而不求”的參數(shù)，便于把用自然語言描述的數(shù)量關(guān)系翻譯成代數(shù)語言，以便溝通數(shù)量關(guān)系，為列方程創(chuàng)造條件。例7 某人在公路上行走，往返公共汽車每隔4分就有一輛與此人迎面相遇，每隔6分就有一輛從背后超過此人。如果人與汽車均為勻速運(yùn)動(dòng)，那么汽車站每隔幾分發(fā)一班車？分析：此題看起來似乎不易找到相等關(guān)系，注意到某人在公路上行走與迎面開來的車相遇，是相遇問題，人

11、與汽車4分所行的路程之和恰是兩輛相繼同向行駛的公共汽車的距離；每隔6分就有一輛車從背后超過此人是追及問題，車與人6分所行的路程差恰是兩車的距離，再引進(jìn)速度這一未知常量作參數(shù)，問題就解決了。解：設(shè)汽車站每隔x分發(fā)一班車，某人的速度是v1，汽車的速度為v2，依題意得由，得將代入，得 說明：此題引入v1，v2兩個(gè)未知量作參數(shù)，計(jì)算時(shí)這兩個(gè)參數(shù)被消去，即問題的答案與參數(shù)的選擇無關(guān)。本題的解法很多，可參考本叢書五年級數(shù)學(xué)活動(dòng)課第26講。例8 整片牧場上的草長得一樣密，一樣地快。已知70頭牛在24天里把草吃完，而30頭牛就得60天。如果要在96天內(nèi)把牧場的草吃完，那么有多少頭牛？分析：本題中牧場原有草量是

12、多少？每天能生長草量多少？每頭牛一天吃草量多少？若這三個(gè)量用參數(shù)a，b，c表示，再設(shè)所求牛的頭數(shù)為x，則可列出三個(gè)方程。若能消去a，b，c，便可解決問題。解：設(shè)整片牧場的原有草量為a，每天生長的草量為b，每頭牛一天吃草量為c，x頭牛在96天內(nèi)能把牧場上的草吃完，則有-，得36b=120C。 -，得96xc=1800c36b。 將代入，得96xc1800c+120c。解得x=20。答：有20頭牛。例9 從甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，沒有平路。一輛汽車上坡時(shí)每小時(shí)行駛20千米，下坡時(shí)每小時(shí)行駛35千米。車從甲地開往乙地需9時(shí)，從乙地到甲地需時(shí)。問：甲、乙兩地間的公路有多少千米？從甲地到乙

13、地須行駛多少千米的上坡路？解：從甲地到乙地的上坡路，就是從乙地到甲地的下坡路；從甲地到乙地下坡路，就是從乙地到甲地的上坡路。設(shè)從甲地到乙地的上坡路為x千米，下坡路為y千米，依題意得，得將y=210x代入式，得解得x140。答：甲、乙兩地間的公路有210千米，從甲地到乙地須行駛140千米的上坡路。三、列不定方程解應(yīng)用題有些應(yīng)用題，用代數(shù)方程求解，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)所設(shè)未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于所列方程的個(gè)數(shù)，這種情況下的方程稱為不定方程。這時(shí)方程的解有多個(gè)，即解不是唯一確定的。但注意到題目對解的要求，有時(shí)，只需要其中一些或個(gè)別解。例10 六（1）班舉行一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)，采用5級計(jì)分制（5分最高，4分次之，以此類推）。

14、男生的平均成績?yōu)?分，女生的平均成績?yōu)?.25分，而全班的平均成績?yōu)?.6分。如果該班的人數(shù)多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生參加了測驗(yàn)？解：設(shè)該班有x個(gè)男生和y個(gè)女生，于是有：4x+3.25y=3.6（x+y）化簡后得8x=7y。從而全班共有學(xué)生：在大于30小于50的自然數(shù)中，只有45可被15整除，所以推知x21，y=24。答：該班有21個(gè)男生和24個(gè)女生。例11 小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每個(gè)小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。問：小明至多套中小雞幾次？解：設(shè)套中小雞x次，套中小猴y次，則套

15、中小狗（10-x-y）次。根據(jù)得61分可列方程：9x+5y+2（10-x-y）=61，化簡后得7x=413y。顯然y越小，x越大。將y=1代入得7x=38，無整數(shù)解；若y=2，7x=35，解得x=5。答：小明至多套中小雞5次。例12 某縫紉社有甲、乙、丙、丁4個(gè)小組，甲組每天能縫制8件上衣或10條褲子；乙組每天能縫制9件上衣或12條褲子；丙組每天能縫制7件上衣或11條褲子；丁組每天能縫制6件上衣或7條褲子?，F(xiàn)在上衣和褲子要配套縫制（每套為一件上衣和一條褲子）。問：7天中這4個(gè)小組最多可縫制多少套衣服？分析：不能僅按生產(chǎn)上衣或褲子的數(shù)量來安排生產(chǎn)，應(yīng)該考慮各組生產(chǎn)上衣、褲子的效率高低，在配套下安

16、排生產(chǎn)。我們首先要說明安排做上衣效率高的多做上衣，做褲子效率高的多做褲子，才能使所做衣服套數(shù)最多。一般情況，設(shè)A組每天能縫制a1件上衣或b1條褲子，它們的比為；類似的，B組每天縫制上衣與褲子數(shù)量的比為。若，則應(yīng)在安排A組盡量多做上衣、B組盡量多做褲子的情況下，安排配套生產(chǎn)。這是因?yàn)椋舭才臕組做條褲子，則在這段時(shí)間內(nèi)可做件上衣；這些上衣若安排B組做，要用天時(shí)間。在這段時(shí)間內(nèi)B組可做條褲子，由于，因此A組盡量多做上衣，B組盡量多做褲子。解：甲、乙、丙、丁4組每天縫制上衣或褲子數(shù)量之比分別為，由于，所以丁組生產(chǎn)上衣和丙組生產(chǎn)褲子的效率高，故這7天全安排這兩組生產(chǎn)單一產(chǎn)品。設(shè)甲組生產(chǎn)上衣x天，生產(chǎn)褲

17、子（7-x）天，乙組生產(chǎn)上衣y天，生產(chǎn)褲子（7-y）天，則4個(gè)組分別共生產(chǎn)上衣、褲子各為6×78x+9y（件）和11×710（7x）12（7-y）（條）。依題意，得428x9y7770-10x84-12y，令u428x9y，則顯然x越大，u越大。故當(dāng)x=7時(shí)，u取最大值125，此時(shí)y的值為3。答：安排甲、丁組7天都生產(chǎn)上衣，丙組7天全做褲子，乙組3天做上衣，4天做褲子，這樣生產(chǎn)的套數(shù)最多，共計(jì)125套。說明：本題仍為兩個(gè)未知數(shù)，一個(gè)方程，不能有確定解。本題求套數(shù)最多，實(shí)質(zhì)上是化為“一元函數(shù)”在一定范圍內(nèi)的最值，注意說明取得最值的理由。練習(xí)81甲用40秒可繞一環(huán)形跑道跑一圈，

18、乙反方向跑，每隔15秒與甲相遇一次。問：乙跑完一圈用多少秒？2小明在360米長的環(huán)形跑道上跑了一圈，已知他前一半時(shí)間每秒跑5米，后一半時(shí)間每秒跑4米，那么小明后一半路程跑多少秒？3如右圖，甲、乙兩人分別位于周長為400米的正方形水池相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上，同時(shí)開始沿逆時(shí)針方向沿池邊行走。甲每分鐘走50米，乙每分鐘走44米，求甲、乙兩人出發(fā)后幾分鐘才能第一次走在正方形的同一條邊上（不含甲、乙兩人在正方形相鄰頂點(diǎn)的情形）。4農(nóng)忙假，一組學(xué)生下鄉(xiāng)幫郊區(qū)農(nóng)民收割水稻，他們被分配到甲、乙兩塊稻田去，甲稻田面積是乙稻田面積的2倍。前半小時(shí)，全隊(duì)在甲田；后半小時(shí)一半人在甲田，一半人在乙田。割了1時(shí)，割完了甲田的水

19、稻，乙田還剩下一小塊未割，剩下的這一小塊需要一個(gè)人割1時(shí)才能割完。問：這組學(xué)生有幾人？5若貨價(jià)降低8，而售出價(jià)不變，則利潤（按進(jìn)貨價(jià)而定）可由目前的P增加到（P10），求P。6甲、乙二人做同一個(gè)數(shù)的帶余除法，甲將其除以8，乙將其除以9，甲所得的商數(shù)與乙所得的余數(shù)之和為13。試求甲所得的余數(shù)。7某公共汽車線路中間有10個(gè)站。車有快車及慢車兩種，快車的車速是慢車車速的1.2倍。慢車每站都停，快車則只?？恐虚g1個(gè)站。每站停留時(shí)間都是3分鐘。當(dāng)某次慢車發(fā)出40分鐘后，快車從同一始發(fā)站開出，兩車恰好同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)。問：快車從起點(diǎn)到終點(diǎn)共需用多少時(shí)間？8甲車以160千米/時(shí)的速度，乙車以20千米/時(shí)的速度，在長為210千米的環(huán)形公路上同時(shí)、同地、同向出發(fā)。每當(dāng)甲車追上乙車1次，甲車減速而乙車則增速。問：在兩車的速度恰好相等的時(shí)刻，它們分別行駛了多少千