三 簡單曲線的極坐標(biāo)方程

1、編輯ppt1編輯ppt23 3、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)1、極坐標(biāo)系的四要素、極坐標(biāo)系的四要素2 2、點與其極坐標(biāo)一一對應(yīng)的條件、點與其極坐標(biāo)一一對應(yīng)的條件極點；極軸；長度單位；角度單位極點；極軸；長度單位；角度單位及它的正方向。及它的正方向。) 0(tan,222 xxyyx sin,cos yx)2 , 0, 0 編輯ppt32 2、點、點 M M 關(guān)于極點的對稱點為關(guān)于極點的對稱點為 3 3、點、點 M M 關(guān)于極軸的對稱點的為關(guān)于極軸的對稱點的為 4 4、極坐標(biāo)系內(nèi)兩點極坐標(biāo)系內(nèi)兩點 的距離公式的距離公式),(),(2211 QP)cos(2|P

2、Q|21212221 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)編輯ppt4曲線的極坐標(biāo)方程曲線的極坐標(biāo)方程一、定義：一、定義：如果曲線上的點與方程如果曲線上的點與方程f( , )=0有如下關(guān)系有如下關(guān)系()曲線上任一點的坐標(biāo)曲線上任一點的坐標(biāo)(所有坐標(biāo)中所有坐標(biāo)中至少有一個至少有一個)符合方程符合方程f( , )=0 ；()方程方程f( , )=0的所有解為坐標(biāo)的點的所有解為坐標(biāo)的點都在曲線上。都在曲線上。 則曲線的方程是則曲線的方程是f( , )=0 。編輯ppt5探 究如圖，半徑為如圖，半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為的圓的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a0)，你能用一個等式表示，你能用一個等式表示圓上任意一點的極坐標(biāo)圓上任意一點的極

3、坐標(biāo)( , )滿足滿足的條件？的條件？xC(a,0)O編輯ppt6。x（a,0）o。),(MA圓經(jīng)過極點圓經(jīng)過極點O,設(shè)圓和極軸的另設(shè)圓和極軸的另一個交點是一個交點是A，那么，那么|OA|=2a,設(shè)設(shè) 為圓上除點為圓上除點O外，外，A以外的任意一點，則以外的任意一點，則OM AM,在在 Rt 中中, |OM|=|OA| ),( M AMOMOAcos即即cos2a(1)等式等式(1)是圓上任意一點的極坐標(biāo)滿足的條件是圓上任意一點的極坐標(biāo)滿足的條件編輯ppt7例例1 求下列圓的極坐標(biāo)方程求下列圓的極坐標(biāo)方程()中心在極點，半徑為中心在極點，半徑為2；()中心在中心在(a,0)，半徑為，半徑為a；

4、()中心在中心在(a, /2)，半徑為，半徑為a；()中心在中心在( 0, )，半徑為，半徑為r。 2 2acos 2asin 2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2思考思考 已知圓已知圓O的半徑為的半徑為r，建立怎樣的坐，建立怎樣的坐標(biāo)系，可以使圓的極坐標(biāo)方程更簡單？標(biāo)系，可以使圓的極坐標(biāo)方程更簡單？編輯ppt8練習(xí)1以極坐標(biāo)系中的點以極坐標(biāo)系中的點(1,1)為圓心，為圓心，1為為半徑的圓的方程是半徑的圓的方程是 .2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC編輯ppt95 3cos5sin已知一個圓的方程是 求圓心坐思考：標(biāo)和半徑。222225 3cos5sin5 3

5、 cos5 sin5 355 35()()25225 35(,),522xyxyxy解： 兩邊同乘以 得即化為直角坐標(biāo)為即所以圓心為半徑是你可以用極坐標(biāo)方程直接來求嗎？你可以用極坐標(biāo)方程直接來求嗎？編輯ppt103110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化為所以圓心為半徑為Oaaaa此圓過極點圓的極坐標(biāo)方程為半徑為圓心為論結(jié))cos(2)0)(,(編輯ppt11方程是什么？化為直角坐標(biāo)、曲線的極坐標(biāo)方程sin414)2(22 yx圓的圓心距是多少？的兩個和、極坐標(biāo)方程分別是sincos21cos( ,0)2sincos()cos()2212sin( ,),2 22解：

6、圓 圓心的坐標(biāo)是圓圓 的圓心坐標(biāo)是所以圓心距是題組練習(xí)題組練習(xí)2 2編輯ppt123cos()4、極坐標(biāo)方程所表示的曲線是（ ）A、雙曲線、雙曲線 B、橢圓、橢圓 C、拋物線、拋物線 D、圓、圓D為半徑的圓。為圓心，以解：該方程可以化為21)4,21()4cos(編輯ppt1341)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即解：編輯ppt14410cos()3、圓 的圓心坐標(biāo)是)0 , 5( 、A)3, 5(、B)3, 5(、C)32, 5(、D（ ）C5(2,)2A、寫出圓心在點處且過極點的圓的極坐標(biāo)方程，并把它化成直角坐標(biāo)方程。2222

7、24cos()4sin24 sin4(2)4xyyxy解： 化為直角坐標(biāo)系為即編輯ppt152126:2cos ,:2 3 sin20,CC、已知圓圓試判斷兩圓的位置關(guān)系。所以兩圓相外切。半徑為，圓心半徑為圓心坐標(biāo)方程為解：將兩圓都化為直角21)3, 0(1)3(:1)0 , 1 (, 1) 1( :2122221221OOOyxCOyxC編輯ppt1678cosOCONON、從極點 作圓 ： 的弦，求的中點的軌跡方程。ONMC(4,0)(4,0),4,4cosCrOCCMMONCMONM解：如圖，圓 的圓心半徑連結(jié)，是弦的中點所以，動點的軌跡方程是 編輯ppt17化為直角坐標(biāo)方程?；癁橹苯亲?/p>

8、標(biāo)方程。把極坐標(biāo)方程把極坐標(biāo)方程練習(xí)練習(xí) cos2481648316844)4(4424cos22222222yxxxxyxxx兩邊平方得：即解：方程可化為編輯ppt18 *小結(jié)小結(jié)*1. 曲線的極坐標(biāo)方程概念曲線的極坐標(biāo)方程概念2. 怎樣求曲線的極坐標(biāo)方程怎樣求曲線的極坐標(biāo)方程3. 圓的極坐標(biāo)方程圓的極坐標(biāo)方程編輯ppt19編輯ppt20新課引入：新課引入：思考：在平面直角坐標(biāo)系中思考：在平面直角坐標(biāo)系中1、過點、過點(3,0)且與且與x軸垂直的直線方程軸垂直的直線方程為為 ;過點過點(3,3)且與且與x軸垂直的直軸垂直的直線方程為線方程為 x=3x=32、過點（、過點（a,b）且垂直于）且

9、垂直于x軸的直線方軸的直線方程為程為_x=a特點：所有點的橫坐標(biāo)都是一樣，特點：所有點的橫坐標(biāo)都是一樣，縱坐標(biāo)可以取任意值?？v坐標(biāo)可以取任意值。編輯ppt21答：與直角坐標(biāo)系里的情況一樣，求答：與直角坐標(biāo)系里的情況一樣，求曲線的極坐標(biāo)方程就是找出曲線上動曲線的極坐標(biāo)方程就是找出曲線上動點的坐標(biāo)點的坐標(biāo) 與與 之間的關(guān)系，然后列之間的關(guān)系，然后列出方程出方程 ( , )=0 ，再化簡并討論。，再化簡并討論。怎樣求曲線的極坐標(biāo)方程？怎樣求曲線的極坐標(biāo)方程？編輯ppt22例題例題1：求過極點，傾角為：求過極點，傾角為 的的射線射線的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。4 oMx4 分析：分析：如圖，所求的射線

10、如圖，所求的射線上任一點的極角都上任一點的極角都是是 ，其，其/ 4 極徑可以取任意的非負數(shù)。故所求極徑可以取任意的非負數(shù)。故所求直線的極坐標(biāo)方程為直線的極坐標(biāo)方程為(0)4 新課講授新課講授編輯ppt231、求過極點，傾角為、求過極點，傾角為 的的射線射線的極的極坐標(biāo)方程。坐標(biāo)方程。54 易得易得5(0)4 思考：思考：2、求過極點，傾角為、求過極點，傾角為 的的直線直線的極的極坐標(biāo)方程。坐標(biāo)方程。4 544 或或編輯ppt24 和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標(biāo)系里的的表示形式比較起來，極坐標(biāo)系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射直線表示起來

11、很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？線組合而成。原因在哪？0 為了彌補這個不足，可以考慮允許為了彌補這個不足，可以考慮允許極徑可以取全體實數(shù)。則上面的直極徑可以取全體實數(shù)。則上面的直線的極坐標(biāo)方程可以表示為線的極坐標(biāo)方程可以表示為()4R 或或5()4R 編輯ppt25例例1. .求過點求過點A（a,0）(a0),且垂且垂直于極軸的直直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程。線的極坐標(biāo)方程。）0aAXM解：設(shè)解：設(shè)M( ， )為直線上為直線上除除A外的任意一點，連接外的任意一點，連接 OM，在三角形，在三角形MOA中中， 即即 （1）|cos|OAMOAOM cos式（式（1）就是所求直線的極坐標(biāo)方程

12、）就是所求直線的極坐標(biāo)方程編輯ppt261、根據(jù)題意畫出草圖；、根據(jù)題意畫出草圖；2、設(shè)點、設(shè)點 是直線上任意一點；是直線上任意一點；( , )M 3、連接、連接MO；4、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于 的方的方 程，并化簡；程，并化簡；, 5、檢驗并確認所得的方程即為所求。、檢驗并確認所得的方程即為所求。解解 題題 基基 本本 步步 驟驟編輯ppt27 練習(xí)練習(xí)1 求過點求過點A (a, /2)(a0)，且平行于，且平行于極軸的直線極軸的直線L的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。解：如圖，建立極坐標(biāo)系，解：如圖，建立極坐標(biāo)系，設(shè)點設(shè)點 為直線為直線L上除點上除點A外的任意一點，連接外的任

13、意一點，連接OM( , )M 在在 中有中有 Rt MOA 即即可以驗證，點可以驗證，點A的坐標(biāo)也滿足上式。的坐標(biāo)也滿足上式。Mox A sin aIOMI sinAMO=IOAI編輯ppt28練習(xí)練習(xí)2：設(shè)點設(shè)點P的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為A ，直，直線線 過點過點P且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ,求直求直線的極坐標(biāo)方程。線的極坐標(biāo)方程。 ( ,0)a ll解：如圖，設(shè)點解：如圖，設(shè)點( , )M 為直線為直線 上異于的點上異于的點l連接連接OM， oMx A在在 中有中有 MOA sin()sin()a 即即sin()sina 顯然顯然A點也滿點也滿足上方程。足上方程。編輯ppt29例題

14、例題3設(shè)點設(shè)點P的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為 ，直線，直線 過點過點P且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ,求直線求直線 的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。 11(,) ll解：如圖，設(shè)點解：如圖，設(shè)點( , )M 點點P外的任意一點，連接外的任意一點，連接OM為直線上除為直線上除則則 由點由點P的極坐標(biāo)知的極坐標(biāo)知 ,OMxOM1OP 1xOP 在在設(shè)直線設(shè)直線L與極軸交于點與極軸交于點A。則。則MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理得由正弦定理得11sin()sin() 11sin()sin() 顯然點顯然點P的坐標(biāo)也是它的解。的坐標(biāo)也是它的解。XMO)11)pA編輯ppt30直線的幾種極坐標(biāo)方程直

15、線的幾種極坐標(biāo)方程1、過極點、過極點2、過某個定點垂直于極軸、過某個定點垂直于極軸4、過某個定點、過某個定點 ，且與極軸成的角度，且與極軸成的角度a3、過某個定點平行于極軸、過某個定點平行于極軸ox AMMox Alo oxMP 1 1 A)(0Rcosa sin a11sin()sin() 11(,) 編輯ppt31例例4. .把下列的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程把下列的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程 (1)2x+6y-1=0 (2)x2 -y2=25解：將公式解：將公式 代入代入所給的直角坐標(biāo)方程中，得所給的直角坐標(biāo)方程中，得cosxsiny(1)2 cos6 sin1 0 2222(2)cos

16、sin25化簡得化簡得2cos225編輯ppt32的的直直線線的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程。且且斜斜率率為為、求求過過2)3 , 2(1 A程程這這就就是是所所求求的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方得得代代入入直直線線方方程程將將為為直直線線上上的的任任意意一一點點，設(shè)設(shè)角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系內(nèi)內(nèi)直直線線方方程程為為解解：由由題題意意可可知知，在在直直07sincos2072sin,cos),(072 yxyxMyx編輯ppt33表表示示的的曲曲線線是是、極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程)(31sin2R A、兩條相交的直線、兩條相交的直線B、兩條射線、兩條射線C、一條直線、一條直線D、一條射線、一條射線所以是兩條相交直線所以是

17、兩條相交直線兩條直線兩條直線即即所以得所以得可得可得解：由已知解：由已知042:, 042:4242tan322cos31sin21 yxlyxlxy A編輯ppt344cos24cos2,sin2sin2,2sinABCD 、直線關(guān)于直線 對稱的直線方程為、 3、( )B2sin22 化化為為極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程為為即即的的對對稱稱直直線線的的問問題題關(guān)關(guān)于于線線解解：此此題題可可以以變變成成求求直直yxyx編輯ppt354cos, 4cos2cos, 2sinsin44 、直線的方程是直線的方程是相切的一條相切的一條、在極坐標(biāo)系中，與圓、在極坐標(biāo)系中，與圓DCBA( )B2cos24)2(

18、04sin42222 化化為為極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程為為圓圓的的方方程程為為那那么么一一條條與與此此圓圓相相切切的的即即的的化化為為直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程是是解解：圓圓xyxyyx編輯ppt363cos3cos33sin33sin)6sin(125 、直直線線的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程是是的的，則則過過圓圓心心與與極極軸軸垂垂直直一一個個圓圓的的方方程程為為、在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中，已已知知DCBA( )C編輯ppt371.圓的極坐標(biāo)方程的概念圓的極坐標(biāo)方程的概念； 2.如何求圓的極坐標(biāo)方程如何求圓的極坐標(biāo)方程；3.會將直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程會將直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程; 4.直線的極坐

19、標(biāo)方程的幾種情況直線的極坐標(biāo)方程的幾種情況:(1)過極點過極點(2)過某個定點，且垂直于極軸過某個定點，且垂直于極軸(4)過某個定點，且與極軸成一定過某個定點，且與極軸成一定的角度的角度(3)過某個定點，且平行于極軸過某個定點，且平行于極軸編輯ppt386.將下列直角坐標(biāo)方程化成極坐標(biāo)方程系將下列直角坐標(biāo)方程化成極坐標(biāo)方程系(1)y5( 2 )x1022(4)xy16(3)3x2y10 7.將下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程將下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程(1)10cos (2)2cos4sin(3) (2cos5sin ) 4 0 2522)5( yx5)2()1(22 yx0452 yx5s

20、in 01cos 01sin2cos3 162cos2 編輯ppt390,(0)54 5A .2 25B.2 25C.6 25D.8 1（2007年高考）年高考）線線 ,所所圍成的圖形面積是（圍成的圖形面積是（ ）和D2(2005年高考年高考)在極坐標(biāo)系中在極坐標(biāo)系中,以以 為圓心為圓心, 以以 半徑的圓的方程為半徑的圓的方程為_ )2,2(a2aasin編輯ppt402.解解:1(R)3 （ ）2cos =1（ ）3= 2cos(-)4（ ）4 = 2asin（ ）1.解解:(1)表示圓心在極點，半徑為表示圓心在極點，半徑為5的圓；的圓；(2)表示過極點，傾斜角為表示過極點，傾斜角為 的直線

21、的直線；(3)表示過極點，圓心在表示過極點，圓心在 半徑為半徑為1 1的圓的圓65)2, 1 (編輯ppt413.解解:4cos)1( 2sin)2( 01sin3cos2)3( 162cos)4(2 4.解：解：（1） （2） （3） （4）y2;2x+5y-4 = 022+=5(x-1)(y+2)22+=255(x+ ) y編輯ppt42把點把點A 的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，得的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，得22)4sin( 化為直角坐標(biāo)方程，得化為直角坐標(biāo)方程，得1 yx)2,2( 在平面直角坐標(biāo)系中，由點到直線的在平面直角坐標(biāo)系中，由點到直線的距離公式，得點距離公式，得點A 到直線到直線 的距離的距離)2,2( 1 yx22d所以點所以點A到這條直線的距離為到這條直線的距離為22d5.解：以極點為直角坐標(biāo)原點解：以極點為