高中數學-不等式選講各年高考題

1、五年高考真題分類匯編：不等式選講一.選擇題1.（2014·安徽高考文科·9）與（2014·安徽高考理科·9）相同若函數的最小值為3，則實數的值為（ ）A.5或8 B.或5 C.或 D.或8【解題提示】 以a為目標進行分類討論，去掉絕對值符號。【解析】選D.（1）當a<2時， ；（2）當a>2時，由（1）（2）可得，解得a=-4或8。2（2012湖北高考理）設a，b，c，x，y，z是正數，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，則 ()A. B. C. D.【解析】選C 由柯西不等式得，(a2b2c2)(x2y2z2)(axby

2、cz)2400，當且僅當時取等號，因此有.3（2011山東高考理）不等式|x5|x3|10的解集是 ()A5,7 B4,6C(，57，) D(，46，)【解析】選D |x5|x3|表示數軸上的點到3,5的距離之和，不等式|x5|x3|10的解集是(，46，)二.填空題4. （2014· 湖南高考理科·13）若關于的不等式的解集為，則 【解題提示】求解絕對值不等式?！窘馕觥坑傻玫?，又知道解集為所以。答案：5.(2014·廣東高考理科)不等式+5的解集為.【解析】方法一:由得x-3;由無解;由得x2.即所求的解集為x|x-3或x2.方法二:在數軸上,點-2與點1的距離

3、為3,所以往左右邊界各找距離為1的兩個點,即點-3到點-2與點1的距離之和為5,點2到點-2與點1的距離之和也為5,原不等式的解集為x|x-3或x2.答案:x|x-3或x2.【誤區(qū)警示】易出現解集不全或錯誤.對于含絕對值的不等式不論是分段去絕對值號還是利用幾何意義,都要不重不漏.6.(2014·陜西高考文科·T15)（文理共用）A.(不等式選做題)設a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,則的最小值為.【解題指南】本題考查運用柯西不等式求最值的問題.【解析】由柯西不等式得(a2+b2)(m2+n2)(ma+nb)2,即5(m2+n2)25,(m2+n2)5,所以

4、的最小值為.答案:7.(2014·江西高考文科·T15)x,yR,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2,則x+y的取值范圍為.【解題指南】利用絕對值不等式及絕對值的幾何意義求解.【解析】由|a|+|b|a-b|知,|x|+|x-1|x-(x-1)|=1,同理|y|+|y-1|1,故|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,所以0x1且0y1,即0x+y2.答案:0,28（2013湖南高考理）已知a，b，cR，a2b3c6，則a24b29c2的最小值為_【解析】本小題主要考查應用柯西不等式求最小值由柯西不等式，得(a24b29c2)·(121212)(a&#

5、183;12b·13c·1)236，故a24b29c212，從而a24b29c2的最小值為12.【答案】129（2013陜西高考文）設a，bR，|ab|>2，則關于實數x的不等式|xa|xb|2的解集是_【解析】本題主要考查絕對值不等式的解法、絕對值的幾何意義和絕對值不等式的性質，該題實質是給定條件最值的題目的變形呈現|xa|xb|ab|2，|xa|xb|2恒成立，則解集為R.【答案】(，)10（2013重慶高考理）若關于實數x的不等式|x5|x3|<a無解，則實數a的取值范圍是_【解析】本題主要考查絕對值不等式問題，意在考查考生轉化與化歸的能力|x5|x3|(

6、x5)(x3)|8，故a8.【答案】(，811（2013陜西高考理）已知a，b，m，n均為正數，且ab1，mn2，則(ambn)(bman)的最小值為_【解析】本題考查使用基本不等式求最值的技巧和方法，意在考查考生的轉化化歸能力和運算能力(ambn)·(bman)ab(m2n2)mn(a2b2)2abmnmn·(a2b2)4ab2(a2b2)2(2aba2b2)2(ab)22(當且僅當mn時取等號)【答案】212（2013江西高考理）在實數范圍內，不等式|x2|1|1的解集為_【解析】本題考查絕對值不等式的解法，意在考查考生的轉化與化歸能力依題意得1|x2|11，即|x2|

7、2，解得0x4.【答案】0,413（2012江西高考理）在實數范圍內，不等式|2x1|2x1|6的解集為_【解析】 原不等式可化為或或解得x，即原不等式的解集為x|x【答案】x|x14（2012陜西高考理）若存在實數x使|xa|x1|3成立，則實數a的取值范圍是_【解析】|xa|x1|a1|，則只需要|a1|3，解得2a4.【答案】2a415（2011江西高考理）對于實數x，y，若|x1|1，|y2|1，則|x2y1|的最大值為_【解析】|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值為5.【答案】516（2011湖南高考理）設x，yR，且xy0，則

8、(x2)(4y2)的最小值為_.【解析】(x2)(4y2)144x2y21429，當且僅當4x2y2時等號成立，即|xy|時等號成立【答案】917（2011陜西高考）若關于x的不等式|a|x1|x2|存在實數解，則實數a的取值范圍是_【解析】由于|x1|x2|(x1)(x2)|3，所以只需|a|3即可，所以a3或a3.【答案】(，33，)三.解答題18. (2014·福建高考理科·21)不等式選講已知定義在上的函數的最小值為(1)求的值；(2)若是正實數，且滿足，求證：【解析】(1)，當且僅當時，等號成立，的最小值為；3分(2)由(1)知，又是正實數，即.7分19. (20

9、14·新課標全國卷高考文科數學·T24)(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講設函數f(x) =+ (a>0)(1)證明:f2.(2)若f<5,求a的取值范圍.【解題提示】(1)利用絕對值不等式和均值不等式的性質證明.(2)通過討論脫去絕對值號,解不等式求得a的取值范圍.【解析】(1)由a0，有f（x）= +|x-a| = +a2.所以f(x)2.（2）f(3)= +|3-a|.當a3時，f(3)=a+,由f(3)5,得3a.當0a3時，f(3)=6-a+,由f(3)5，得a3.綜上，a的取值范圍是.20.(2014·新課標全國卷高考理科數學

10、83;T24)(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講設函數f(x) =+ (a>0)(1)證明:f2.(2)若f<5,求a的取值范圍.【解題提示】(1)利用絕對值不等式和均值不等式的性質證明.(2)通過討論脫去絕對值號,解不等式求得a的取值范圍.【解析】(1)由a0，有f（x）= +|x-a| = +a2.所以f(x)2.（2）f(3)= +|3-a|.當a3時，f(3)=a+,由f(3)5,得3a.當0a3時，f(3)=6-a+,由f(3)5，得a3.綜上，a的取值范圍是.21（2013江蘇高考）已知ab>0，求證：2a3b32ab2a2b.證明：2a3b3(2ab2a

11、2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因為ab>0，所以ab0，ab>0,2ab>0，從而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.22（2013新課標全國高考文）設a，b，c均為正數，且abc1，證明：(1)abbcac；(2)1.證明：本題主要考查不等式的證明與均值不等式的應用，意在考查考生的運算求解能力與推理論證能力(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由題設得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因為b

12、2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.23（2013新課標全國高考文）已知函數f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當a2時，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)設a>1，且當x時，f(x)g(x)，求a的取值范圍解：本題主要考查絕對值不等式的解法，分段函數等，考查考生分析問題、解決問題的能力(1)當a2時，不等式f(x)<g(x)化為|2x1|2x2|x3<0.設函數y|2x1|2x2|x3，則y其圖像如圖所示從圖像可知，當且僅當x(0,2)時，y<0.所以原不等式的解集是x|0<x<2(2)當x時，f(x)

13、1a.不等式f(x)g(x)化為1ax3.所以xa2對x都成立故a2，即a.從而a的取值范圍是.24（2013遼寧高考文）已知函數f(x)|xa|，其中a1.(1)當a2時，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值解：本題主要考查分段函數、絕對值不等式及其運用，考查分類討論思想在解題中的靈活運用(1)當a2時，f(x)|x4|當x2時，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；當2x4時，f(x)4|x4|無解；當x4時，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5.所以f(x)4|x4|的解集為x|x1或x5(2)記h(x

14、)f(2xa)2f(x)，則h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集為x|1x2，所以于是a3.25（2013福建高考理）設不等式|x2|<a(aN*)的解集為A，且A，A.求a的值；求函數f(x)|xa|x2|的最小值解：本小題主要考查絕對值不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想因為A，且A，所以<a，且a，解得<a.又因為aN*，所以a1.因為|x1|x2|(x1)(x2)|3，當且僅當(x1)(x2)0，即1x2時取到等號所以f(x)的最小值為3.26（2013遼寧高考理）已知函數f(x)|xa|，其中a>1.(1)當a2時，求

15、不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值解：本題主要考查了絕對值不等式的解法以及逆向求參數問題，也考查了逆向思維能力的應用以及分類討論思想(1)當a2時，f(x)|x4|當x2時，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；當2<x<4時，f(x)4|x4|無解；當x4時，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5.所以f(x)4|x4|的解集為x|x1或x5(2)記h(x)f(2xa)2f(x)，則h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集為x|1x2，所以于是a3.27（2013新課標全國高考

16、理）已知函數f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當a2時，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)設a1，且當x時，f(x)g(x)，求a的取值范圍解：本題主要考查絕對值不等式的解法和含參數的不等式恒成立問題，意在考查考生運用分類討論思想解決問題的能力(1)當a2時，不等式f(x)g(x)化為|2x1|2x2|x30.設函數y|2x1|2x2|x3，則y其圖象如圖所示從圖象可知，當且僅當x(0,2)時，y<0.所以原不等式的解集是x|0x2(2)當x時，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化為1ax3.所以xa2對x都成立故a2，即a.從而a的取值范圍是.28（2013新課標全

17、國高考理）設a，b，c均為正數，且abc1.證明：(1) abbcac；(2) 1.證明：本題考查不等式的基本知識以及運用基本不等式進行簡單的不等式證明等知識，旨在考查考生靈活運用知識分析問題、解決問題的能力以及轉化與化歸的能力(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由題設得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因為b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.29（2012遼寧高考文）已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集為x|2x1(1)求a的值；(

18、2)若|f(x)2f()|k恒成立，求k的取值范圍解：(1)由|ax1|3得4ax2.又f(x)3的解集為x|2x1，所以當a0時，不合題意當a>0時，x，得a2.(2)法一：記h(x)f(x)2f()，則h(x)所以|h(x)|1，因此k的取值范圍是k1.法二：|f(x)2f()|21，由|f(x)2f()|k恒成立，可知k1所以k的取值范圍是k1.30（2012新課標高考文）已知函數f(x)|xa|x2|.(1)當a3時，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍解：(1)當a3時，f(x)當x2時，由f(x)3得2x53，解得x1；當2<

19、;x<3時，f(x)3無解；當x3時，由f(x)3得2x53，解得x4；所以f(x)3的解集為x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.當x1,2時，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由條件得2a1且2a2，即3a0. 故滿足條件的a的取值范圍為3,031（2012遼寧高考理）已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集為x|2x1|(1)求a的值；(2)若|f(x)2f()|k恒成立，求k的取值范圍解：(1)由|ax1|3得4ax2.又f(x)3的解集為x|2x1，所以當a0時，不合題意當a>0時，x，得a2.(2)記h(x)f(x)2f

20、()，則h(x)所以|h(x)|1，因此k1.32（2012江蘇高考）已知實數x，y滿足：|xy|，|2xy|，求證：|y|.解：因為3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由題設知|xy|，|2xy|，從而3|y|，所以|y|.33（2012福建高考理）已知函數f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求證：a2b3c9.解：(1)因為f(x2)m|x|，所以f(x2)0等價于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm又f(x2)0的解集為1,1，故m1.(2)由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)()(···)29.34（2012新課標高考理）已知函數f(x)|xa|x2|.(1)當a3時，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍解：(1)當a3時，f(x)當x2時，由f(x)3得2x53，解得x1；當2x3時，f(x)3無解；當x3時，由f(x)3得2x53，解得x4；所以f(x)3的解集為x|x1或x4(2)f(x)