第十一章馬氏鏈模型-清華大學數(shù)學模型電子教案

1、第十一章第十一章 馬氏鏈模型馬氏鏈模型11.1 健康與疾病健康與疾病11.2 鋼琴銷售的存貯策略鋼琴銷售的存貯策略11.3 基因遺傳基因遺傳11.4 等級結構等級結構馬氏鏈模型馬氏鏈模型 系統(tǒng)在每個時期所處的狀態(tài)是隨機的系統(tǒng)在每個時期所處的狀態(tài)是隨機的 從一時期到下時期的狀態(tài)按一定概率轉移從一時期到下時期的狀態(tài)按一定概率轉移 下時期狀態(tài)只取決于本時期狀態(tài)和轉移概率下時期狀態(tài)只取決于本時期狀態(tài)和轉移概率 已知現(xiàn)在，將來與過去無關（無后效性）已知現(xiàn)在，將來與過去無關（無后效性）描述一類重要的描述一類重要的隨機動態(tài)隨機動態(tài)系統(tǒng)（過程）的模型系統(tǒng)（過程）的模型馬氏鏈馬氏鏈 (Markov Chain)

2、時間、狀態(tài)均為離散的隨機轉移過程時間、狀態(tài)均為離散的隨機轉移過程通過有實際背景的例子介紹馬氏鏈的基本概念和性質通過有實際背景的例子介紹馬氏鏈的基本概念和性質例例1. 人的健康狀況分為健康和疾病兩種狀態(tài)，設對特人的健康狀況分為健康和疾病兩種狀態(tài)，設對特定年齡段的人，今年健康、明年保持健康狀態(tài)的概率定年齡段的人，今年健康、明年保持健康狀態(tài)的概率為為0.8, 而今年患病、明年轉為健康狀態(tài)的概率為而今年患病、明年轉為健康狀態(tài)的概率為0.7，11.1 健康與疾病健康與疾病 人的健康狀態(tài)隨著時間的推移會隨機地發(fā)生轉變?nèi)说慕】禒顟B(tài)隨著時間的推移會隨機地發(fā)生轉變 保險公司要對投保人未來的健康狀態(tài)作出估計保險公

3、司要對投保人未來的健康狀態(tài)作出估計, 以制以制訂保險金和理賠金的數(shù)額訂保險金和理賠金的數(shù)額 若某人投保時健康若某人投保時健康, 問問10年后他仍處于健康狀態(tài)的概率年后他仍處于健康狀態(tài)的概率, 1 , 0, 2 , 1,),(1njiiXjXPpnnij轉移概率Xn+1只取決于只取決于Xn和和pij, 與與Xn-1, 無關無關8 . 011p2 . 011112pp7 . 021p3 . 012122pp年疾病第年健康第狀態(tài)nnXn, 2, 1, 1 , 0, 2 , 1),()(niiXPnani狀態(tài)概率狀態(tài)狀態(tài)與與狀態(tài)轉移狀態(tài)轉移狀態(tài)轉移具狀態(tài)轉移具有無后效性有無后效性 2121111)()

4、() 1(pnapnana0.72221212)()() 1(pnapnana n 0a2(n) 0 a1(n) 1設投保設投保時健康時健康給定給定a(0), 預測預測 a(n), n=1,2設投保設投保時疾病時疾病a2(n) 1 a1(n) 0 n時狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值，穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無關時狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值，穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無關22212122121111)()()1()()()1(pnapnanapnapnana3 0.778 0.222 7/9 2/9 0.7 0.77 0.777 0.3 0.33 0.333 7/9 2/9 狀態(tài)狀態(tài)與與狀態(tài)轉移狀態(tài)轉移120.

5、80.221230.10.080.65例例2. 健康和疾病狀態(tài)同上，健康和疾病狀態(tài)同上，Xn=1 健康健康, Xn=2 疾病疾病333232131332322212123132121111)()()()1()()()()1()()()()1(pnapnapnanapnapnapnanapnapnapnanap11=0.8, p12=0.18, p13=0.02 死亡為第死亡為第3種狀態(tài)，記種狀態(tài)，記Xn=3健康與疾病健康與疾病 p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1 p31=0, p32=0, p33=1 n 0

6、 1 2 3 a2(n) 0 0.18 0.189 0.1835 a3(n) 0 0.02 0.054 0.0880 a1(n) 1 0.8 0.757 0.7285 設投保時處于健康狀態(tài)，預測設投保時處于健康狀態(tài)，預測 a(n), n=1,2 不論初始狀態(tài)如何，最終都要轉到狀態(tài)不論初始狀態(tài)如何，最終都要轉到狀態(tài)3 ； 一旦一旦a1(k)= a2(k)=0, a3(k)=1, 則對于則對于nk, a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即從狀態(tài)即從狀態(tài)3不會轉移到其它狀態(tài)。不會轉移到其它狀態(tài)。狀態(tài)狀態(tài)與與狀態(tài)轉移狀態(tài)轉移001 50 0.1293 0.0326 0.8381 ,

7、1 , 0, 2 , 1),()(nkiiXPnani狀態(tài)概率)(1iXjXPpnnij轉移概率), 1 , 0(, 2 , 1nkXn狀態(tài)馬氏鏈的基本方程馬氏鏈的基本方程1)(1nakiikippkjijij, 2 , 1, 1, 01）（非負，行和為轉移概率矩陣1kkijpPPnana)()1(kipnanakjjiji,2, 1,)()1(1基本方程基本方程狀態(tài)概率向量)(,),(),()(21nanananaknPana)0()(wwPw滿足馬氏鏈的兩個重要類型馬氏鏈的兩個重要類型 1. 正則鏈正則鏈 從任一狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉移從任一狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉移能以正概率到達另外任一狀態(tài)（如例

8、能以正概率到達另外任一狀態(tài)（如例1）。）。0,NPN正則鏈Pnana)() 1()()(,nwnaw正則鏈3 . 07 . 02 . 08 . 0. 1 P例)9/2 , 9/7(w2211213 . 02 . 07 . 08 . 0wwwwww11kiiww滿足121ww217 . 02 . 0ww w 穩(wěn)態(tài)概率穩(wěn)態(tài)概率QRIPrr0馬氏鏈的兩個重要類型馬氏鏈的兩個重要類型 2. 吸收鏈吸收鏈 存在吸收狀態(tài)（一旦到達就不會離存在吸收狀態(tài)（一旦到達就不會離開的狀態(tài)開的狀態(tài)i, pii=1）,且且從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉移能以正概率到達吸收狀態(tài)（如例限次轉移能以正概

9、率到達吸收狀態(tài)（如例2）。）。有有r個吸收狀態(tài)的吸收鏈個吸收狀態(tài)的吸收鏈的轉移概率陣標準形式的轉移概率陣標準形式R有非有非零元素零元素01)(ssQQIMTe)1 , 1 , 1 (Meyyyyrk),(21yi 從第從第 i 個非吸收狀態(tài)出發(fā)，被某個個非吸收狀態(tài)出發(fā)，被某個吸收狀態(tài)吸收前的平均轉移次數(shù)。吸收狀態(tài)吸收前的平均轉移次數(shù)。11.2 鋼琴銷售的存貯策略鋼琴銷售的存貯策略 鋼琴銷售量很小，商店的庫存量不大以免積壓資金鋼琴銷售量很小，商店的庫存量不大以免積壓資金 一家商店根據(jù)經(jīng)驗估計，平均每周的鋼琴需求為一家商店根據(jù)經(jīng)驗估計，平均每周的鋼琴需求為1架架存貯策略存貯策略：每周末檢查庫存量，

10、僅當庫存量為零時，：每周末檢查庫存量，僅當庫存量為零時，才訂購才訂購3架供下周銷售；否則，不訂購。架供下周銷售；否則，不訂購。 估計在這種策略下失去銷售機會的可能性有多大，估計在這種策略下失去銷售機會的可能性有多大，以及每周的平均銷售量是多少。以及每周的平均銷售量是多少。 背景與問題背景與問題問題分析問題分析 顧客的到來相互獨立，需求量近似服從波松分布，其顧客的到來相互獨立，需求量近似服從波松分布，其參數(shù)由需求均值為每周參數(shù)由需求均值為每周1架確定，由此計算需求概率架確定，由此計算需求概率 存貯策略是周末庫存量為零時訂購存貯策略是周末庫存量為零時訂購3架架 周末的庫存周末的庫存量可能是量可能是

11、0, 1, 2, 3，周初的庫存量可能是，周初的庫存量可能是1, 2, 3。用馬氏鏈描述不同需求導致的周初庫存狀態(tài)的變化。用馬氏鏈描述不同需求導致的周初庫存狀態(tài)的變化。動態(tài)過程中每周銷售量不同，失去銷售機會（需求動態(tài)過程中每周銷售量不同，失去銷售機會（需求超過庫存）的概率不同。超過庫存）的概率不同。 可按穩(wěn)態(tài)情況（時間充分長以后）計算失去銷售機可按穩(wěn)態(tài)情況（時間充分長以后）計算失去銷售機會的概率和每周的平均銷售量。會的概率和每周的平均銷售量。 模型假設模型假設 鋼琴每周需求量服從波松分布，均值為每周鋼琴每周需求量服從波松分布，均值為每周1架架 存貯策略存貯策略：當周末庫存量為零時，訂購：當周末

12、庫存量為零時，訂購3架，周架，周初到貨；否則，不訂購。初到貨；否則，不訂購。 以每周初的庫存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉移具有以每周初的庫存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉移具有無后效性。無后效性。 在穩(wěn)態(tài)情況下計算該存貯策略失去銷售機會的概在穩(wěn)態(tài)情況下計算該存貯策略失去銷售機會的概率，和每周的平均銷售量。率，和每周的平均銷售量。 模型建立模型建立 Dn第第n周需求量，均值為周需求量，均值為1的波松分布的波松分布 )2 , 1 , 0(!/)(1kkekDPnSn第第n周初庫存量周初庫存量(狀態(tài)變量狀態(tài)變量 )狀態(tài)轉狀態(tài)轉移規(guī)律移規(guī)律 nnnnnnnSDSDDSS, 3,1368. 0)0() 11(111n

13、nnDPSSPp0) 12(112nnSSPp632. 0) 1() 13(113nnnDPSSPp3 , 2 , 1nSDn 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019448. 0368. 0184. 0264. 0368. 0368. 0632. 00368. 0333231232221131211pppppppppP狀態(tài)轉移陣狀態(tài)轉移陣 448. 0) 3() 0() 33(133nnnnDPDPSSPp 模型建立模型建立 Pnana)()1(3 , 2 , 1),()(iiSPnani狀態(tài)概率狀態(tài)概率 )452. 0 ,263. 0 ,285. 0

14、(),(321wwww馬氏鏈的基本方程馬氏鏈的基本方程448. 0368. 0184. 0264. 0368. 0368. 0632. 00368. 0P正則鏈正則鏈 穩(wěn)態(tài)概率分布穩(wěn)態(tài)概率分布 w 滿足滿足 wP=w已知初始狀態(tài)，可預測第已知初始狀態(tài)，可預測第n周初庫存量周初庫存量Sn=i 的概率的概率0,NPN正則鏈02Pn , 狀態(tài)概率狀態(tài)概率 )452. 0 ,263. 0 ,285. 0()(na第第n周失去銷售機會的概率周失去銷售機會的概率 )(nnSDPn充分大時充分大時 inwiSP )(模型求解模型求解 105. 0452. 0019. 0263. 0080. 0285. 02

15、64. 0從長期看，失去銷售機會的可能性大約從長期看，失去銷售機會的可能性大約 10%。1. 估計在這種策略下失去銷售機會的可能性估計在這種策略下失去銷售機會的可能性)()(31iSPiSiDPninnD 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019321) 3() 2() 1(wDPwDPwDP)452. 0 ,263. 0 ,285. 0(w模型求解模型求解 第第n周平周平均售量均售量),(311innijniSjDPjR857. 0452. 0977. 0263. 0896. 0285. 0632. 0)( )()(311iSPiSiDiPiSjDPj

16、ninnnnij 從長期看，每周的平均銷售量為從長期看，每周的平均銷售量為 0.857(架架) n充分大時充分大時 inwiSP )(需求不超過存量需求不超過存量,銷售需求銷售需求需求超過存量需求超過存量,銷售存量銷售存量 思考：為什么這個數(shù)值略小于每周平均需求量思考：為什么這個數(shù)值略小于每周平均需求量1(架架) ?2. 估計這種策略下每周的平均銷售量估計這種策略下每周的平均銷售量),(iSiDiPnn敏感性分析敏感性分析 當平均需求在每周當平均需求在每周1 (架架) 附近波附近波動時，最終結果有多大變化。動時，最終結果有多大變化。 設設Dn服從均值為服從均值為 的波松分布的波松分布 )2 ,

17、 1 , 0(, !/)(kkekDPkneeeeeeeeP) 2/(12/)1 (11022狀態(tài)轉移陣狀態(tài)轉移陣 1.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139第第n周周(n充分大充分大)失去銷售機會的概率失去銷售機會的概率 )(nnSDPP當平均需求增長（或減少）當平均需求增長（或減少）10%時，失去銷售時，失去銷售機會的概率將增長（或減少）約機會的概率將增長（或減少）約12% 。11.3 基因遺傳基因遺傳背景背景 生物的外部表征由內(nèi)部相應的基因決定。生物的外部表征由內(nèi)部相應的基因決定。 基因分優(yōu)勢基因基因分優(yōu)勢基因d 和劣勢基因和劣勢基因r 兩種。兩種

18、。 每種外部表征由兩個基因決定，每個基因可以是每種外部表征由兩個基因決定，每個基因可以是d, r 中的任一個。形成中的任一個。形成3種基因類型：種基因類型：dd 優(yōu)種優(yōu)種D, dr 混種混種H, rr 劣種劣種R。 基因類型為優(yōu)種和混種基因類型為優(yōu)種和混種, 外部表征呈優(yōu)勢；基因外部表征呈優(yōu)勢；基因類型為劣種類型為劣種, 外部表征呈劣勢外部表征呈劣勢。生物繁殖時后代隨機地（等概率地）繼承父、母的生物繁殖時后代隨機地（等概率地）繼承父、母的各一個基因，形成它的兩個基因。父母的基因類型各一個基因，形成它的兩個基因。父母的基因類型決定后代基因類型的概率。決定后代基因類型的概率。完全完全優(yōu)勢優(yōu)勢基因基

19、因遺傳遺傳父母基因類型決定后代各種基因類型的概率父母基因類型決定后代各種基因類型的概率父母基因類型組合父母基因類型組合后代各種后代各種基因類型基因類型 的概率的概率DDRRDHDRHHHRDRH1000011 / 21 / 200101 / 41 / 21 / 401 / 21 / 23種基因類型：種基因類型：dd優(yōu)種優(yōu)種D, dr混種混種H, rr劣種劣種R完全優(yōu)勢基因遺傳完全優(yōu)勢基因遺傳P(D DH)=P(dd dd,dr)=P(d dd)P(d dr)P(R HH)=P(rr dr,dr)=P(r dr)P(r dr)=1 1/2=1/2=1/2 1/2=1/4隨機繁殖隨機繁殖 設群體中

20、雄性、雌性的比例相等，基因類設群體中雄性、雌性的比例相等，基因類型的分布相同（記作型的分布相同（記作D:H:R） 每一雄性個體以每一雄性個體以D:H:R的概率與一雌性個體交配，的概率與一雌性個體交配，其后代隨機地繼承它們的各一個基因其后代隨機地繼承它們的各一個基因 設初始一代基因類型比例設初始一代基因類型比例D:H:R =a:2b:c （a+2b+c=1), 記記p=a+b, q=b+c, 則群體中優(yōu)勢基因和則群體中優(yōu)勢基因和劣勢基因比例劣勢基因比例 d:r=p:q (p+q=1)。假設假設建模建模狀態(tài)狀態(tài)Xn=1,2,3 第第n代的一個體屬于代的一個體屬于D, H, R狀態(tài)概率狀態(tài)概率 ai

21、(n) 第第n代的一個體屬于狀態(tài)代的一個體屬于狀態(tài)i(=1,2,3)的概率。的概率。討論基因類型的演變情況討論基因類型的演變情況)()(1父基因類型后代基因類型iXjXPpnnijpddXddXPpnn)1)( 1(111）（父為后代為基因比例基因比例 d:r=p:qqddXdrXPpnn)1)(2(112）（父為后代為0)1)(3(113）（父為后代為ddXrrXPpnn2/2/ 1)2)( 1(121ppdrXddXPpnn）（父為后代為2/12/12/1)2)(2(122qpdrXdrXPpnn）（父為后代為qpqpqpP02/2/ 12/0轉移概率矩陣轉移概率矩陣狀態(tài)轉移概率狀態(tài)轉移概

22、率隨機繁殖隨機繁殖),2 ,()1 ()2(),2 ,()0()1 (2222qpqpPaaqpqpPaa12,cbacbqbap馬氏鏈模型馬氏鏈模型, 1 , 0,)() 1(nPnana),2 ,()0(cbaaqpqpqpP02/2/ 12/0),2 ,()0(22qpqpwPwa任意，穩(wěn)態(tài)分布自然界中通常自然界中通常p=q=1/2穩(wěn)態(tài)分布穩(wěn)態(tài)分布D:H:R=1/4:1/2:1/4基因類型為基因類型為D和和H, 優(yōu)勢表征優(yōu)勢表征綠色，綠色，基因類型為基因類型為R, 劣勢表征劣勢表征黃色。黃色。解釋解釋“豆科植物的莖，綠色豆科植物的莖，綠色:黃色黃色=3:1”(D+H):R=3:1隨機繁殖

23、隨機繁殖近親近親繁殖繁殖在一對父母的大量后代中在一對父母的大量后代中, 雄雌隨機配對繁殖，雄雌隨機配對繁殖，討論一系列后代的基因類型的演變過程。討論一系列后代的基因類型的演變過程。狀態(tài)定義為配對的基因類型組合狀態(tài)定義為配對的基因類型組合Xn=1,2,3,4,5,6配對基因組合為配對基因組合為DD,RR,DH,DR,HH,HR狀態(tài)轉移概率狀態(tài)轉移概率1) (111DDXDDXPpnn4/12/12/1) (131DHXDDXPpnn2/ 14/ 1004/ 104/ 14/ 18/ 14/ 116/ 116/ 101000004/ 102/ 104/ 1000010000001P馬氏鏈模型馬氏鏈

24、模型TMey654,325,326,6543/ 83/ 46/ 13/ 23/ 43/ 83/ 13/ 43/ 43/ 83/ 43/ 43/ 23/ 46/ 13/ 8)(1QIM2/ 14/ 1004/ 104/ 14/ 18/ 14/ 116/ 116/ 101000004/ 102/ 104/ 1000010000001PI0RQ狀態(tài)狀態(tài)1(DD), 2(RR)是吸收態(tài)，是吸收態(tài)，馬氏鏈是吸收鏈馬氏鏈是吸收鏈不論初不論初始如何，經(jīng)若干代近親繁殖，始如何，經(jīng)若干代近親繁殖，將全變?yōu)閮?yōu)種或劣種將全變?yōu)閮?yōu)種或劣種.計算從任一非吸收態(tài)計算從任一非吸收態(tài)出發(fā)，平均經(jīng)過幾代出發(fā)，平均經(jīng)過幾代被吸收

25、態(tài)吸收。被吸收態(tài)吸收。純種純種(優(yōu)種和劣種優(yōu)種和劣種)的的某些品質不如混種，某些品質不如混種，近親繁殖下大約近親繁殖下大約56代就需重新選種代就需重新選種.近親繁殖近親繁殖11.4 等級結構等級結構社會系統(tǒng)中的等級結構，適當、穩(wěn)定結構的意義社會系統(tǒng)中的等級結構，適當、穩(wěn)定結構的意義描述等級結構的演變過程，預測未來的結構；描述等級結構的演變過程，預測未來的結構；確定為達到某個理想結構應采取的策略。確定為達到某個理想結構應采取的策略。引起等級結構變化的因素：引起等級結構變化的因素： 系統(tǒng)內(nèi)部等級間的轉移：提升和降級；系統(tǒng)內(nèi)部等級間的轉移：提升和降級； 系統(tǒng)內(nèi)外的交流：調入和退出系統(tǒng)內(nèi)外的交流：調入

26、和退出(退休、調離等退休、調離等).用馬氏鏈模型描述確定性轉移問題用馬氏鏈模型描述確定性轉移問題 轉移比例視為概率轉移比例視為概率年總人數(shù)ttntNkii1)()()()()(tNtntaii基本模型基本模型1)(, 0)(1tatakiiia(t)等級結構等級結構等級等級 i=1,2,k（如助教、講師、教授）（如助教、講師、教授）數(shù)量分布數(shù)量分布 n(t)=(n1(t), n2(t), nk(t)ni(t) t 年屬于等級年屬于等級i 的人數(shù)，的人數(shù)， t =0,1, 比例分布比例分布 a(t)=(a1(t), a2(t), ak(t)轉移矩陣轉移矩陣 Q=pijk k, pij 是每年從是

27、每年從i 轉至轉至j 的比例的比例的比例每年調入調入比例irrrrrik),(21年退出總人數(shù)twtntnwtWkiTii)()()(1退出的比例每年從，退出比例iwwwwwik),(21基本模型基本模型kiwprrwpkjiijkiiiiij, 1, 11,0,11的人數(shù)年調入年調入總人數(shù)，ittRrttRi)()()()()() 1(tWtRtNtN總人數(shù))()() 1(1tRrtnptnjkijiijj人數(shù)等級基本模型基本模型1111kjiijkiiwpr)(tnwjjrtRQtntn)()() 1()()()()()(tMwtntMtWtRT)() 1()(tNtNtM總人數(shù)增量rtM

28、rwQtntnT)()()1()(,)(,)()(tRrtWwpQtNtnij調入退出轉移總人數(shù)分布 基本模型基本模型)(),0(),(,tnntMrwQ可預測已知 rwQPTrtMPtntn)()()1(基本模型基本模型rtMrwQtntnT)()()1(1, 1,11kiikjiijijrwppQ（隨機矩陣）的行和為1P0)() 1()(tNtNtM若總人數(shù)不變)()() 1(rwQtaPtataT等級結構一致與馬氏鏈基本方程Pnana)()1(等級結構等級結構a(t) 狀態(tài)概率狀態(tài)概率P轉移概率矩陣轉移概率矩陣.),()(1為穩(wěn)定結構稱，使若存在kTaaarwQaarkiiirrr11,

29、 0應滿足用調入比例進行穩(wěn)定控制用調入比例進行穩(wěn)定控制rwQPTPtata)()1(1,1kjiijijwppQ問題：給定問題：給定Q, 哪些等級結構可哪些等級結構可以用合適的調入比例保持不變以用合適的調入比例保持不變)(rwQaaTkiir11可驗證0raQaTawaQara為穩(wěn)定結構為穩(wěn)定結構為穩(wěn)定結構aaQa8 . 0003 . 06 . 0004 . 05 . 0Q用調入比例進行穩(wěn)定控制用調入比例進行穩(wěn)定控制323212118 . 03 . 06 . 04 . 05 . 0aaaaaaaaaQa求穩(wěn)定結構求穩(wěn)定結構 a=(a1,a2,a3) (a1+a2+a3=1)(0.5,0.5,0

30、)a2=a1a3=1.5a2(0,0.4,0.6)5 . 1:1:1:5 . 13212312aaaaaaa交點與a*穩(wěn)定域穩(wěn)定域BB(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)A可行域可行域A例例 大學教師大學教師(助教、講師、教授助教、講師、教授)等級等級 i=1,2,3，已知每年轉移比例，已知每年轉移比例)428. 0 ,286. 0 ,286. 0(*a23125 . 1 aaaa)0, 1,0(1iikiieerr記kjijiikiiimiMmmmmiM121),(行元素和的第記行的第記ikikiiiimrMerrM11用調入比例進行穩(wěn)定控制用調入比例進行穩(wěn)定控制研究穩(wěn)定域研究穩(wěn)定域B

31、的結構的結構rMawaT)(為穩(wěn)定結構aaQa尋求尋求a aQ 的另一種形式的另一種形式)(rwQaaTTawaQar1)(QIM對行求和rMawaT)(11)(kiiiTrawkiiikiiirmra11用調入比例進行穩(wěn)定控制用調入比例進行穩(wěn)定控制kiiisba100iibr.1, 01是穩(wěn)定結構時且的線性組合，為系數(shù)的能表為以當abbsbakiiiii穩(wěn)定域是穩(wěn)定域是k維空間中以維空間中以 si 為頂點的凸多面體為頂點的凸多面體研究穩(wěn)定域研究穩(wěn)定域B的結構的結構kjjjiiirrb1iiimskiib11可驗證kiiikiiirmra11用調入比例進行穩(wěn)定控制用調入比例進行穩(wěn)定控制8 . 0003 . 06 . 0004 . 05 . 0Q例例50075. 35 . 20322)(1QIMiiijijiiiiimsmimmm