將軍飲馬問題

1、將軍飲馬問題第一講將軍飲馬問題:C、.學習要點與方法點撥一、主要內容 （1）將軍飲馬問題的概念。（2）將軍飲馬問題在坐標系、一次函數、三角形、 正方形中的應用。（3）將軍飲馬問題與勾股定理。二、本章重點 掌握將軍飲馬問題的概念和解題 思路，能解決將軍飲馬問題和一次函數、坐標系、 幾何圖形和勾股定理等的綜合習題。課前預習軸對稱的性質與作法；一次函數的性質；勾股 定理的性質；三角形、矩形、正方形的性質；三角形的 三邊關系、平移的性質。旱模塊精講、將軍飲馬問題的概念和基本思路起源：古希臘亞里山大里亞城有一位久負盛 名的學者，名叫海倫。有一天，有位將軍不遠千 里專程前來向海倫求教一個百思不得其解的問

2、題：如圖，有一位將軍從位于A點的軍營，返回 位于B點的家中，途中需要到達一條小河 MN邊, 讓馬去河里喝水。那么，該如何選擇路徑，才能 使將軍回家的過程中，走過的路程最短？精通數理的海倫稍加思索，便作了完善的回初一看，這個問題好像沒有什么思路，那我們 先把問題的概念轉換一下。這個問題中 A點和B 點在河MN勺同一側，那么，如果A點和B點在河 MN勺不同側呢？這時我們好像有一點眉目了，我們要利用的定 理就是：兩點之間直線最短，先找線路再找點。那我們再回到最開始時的問題，是不是有了啟 發(fā)呢？思路為了找線路，可以利用軸對稱的原理， 先做對稱，再轉化成三角形的三邊關系。例1,如圖，一匹馬從S點出發(fā)，先

3、去河0P邊喝 水，再去草地0Q吃草，然后再回到S點。該如何選OQ草地O M例1圖例2圖、將軍飲馬與坐標系例 2，已知 A(2,3)、B(3,2)，M是 x 軸上的一個動點，N是y軸上的一個動點，求AN+NM+B的最小值，并求出此時M N的坐標思路：作對稱 兩段折線 T作一次對稱 T轉 化折線三段折線 T作兩次對稱 T轉化折線 連線段T最小值例 3,已知 A(-3,4)、B(-2,-5) 、M(O,m)、 N(0,m+1)，求BM+MN+A的最小值，并求此時對應的 m的值。運用平移的性質例4，已知A(4,1)、B(-3,-2)，試在x軸上 找一點C,是|AC-BC|最大，求出點C的坐標和這個 最

4、大值。構造三角形，運用三角形的邊長關系三、將軍飲馬問題解題思路的歸納學習了幾個常見的例子，我們再來整理一下思路。首先明白幾個概念，動點、定點、對稱點。動點一 般就是題目中的所求點，即那個不定的點。定點即為 題目中固定的點。對稱的點，作圖所得的點，需要連 線的點。1. 怎么對稱，作誰的對稱？簡單說所有題目需要作對稱的點，都是題目的定 點?；蛘哒f只有定點才可以去作對稱的。(不確定的點 作對稱式沒有意義的）那么作誰的對稱點？首先要明 確關于對稱的對象肯定是一條線，而不是一個點。那 么是哪一條線？一般而言都是動點所在直線。2. 對稱完以后和誰連接？一句話：和另外一個頂點相連。絕對不能和一個動 點相連。

5、明確一個概念：定點的對稱點也是一個定點。3. 所求點怎么確定？首先一定要明白，所求點最后反應在圖上一定是個 交點。實際就是我們所畫直線和已知直線的交點。4. 將軍飲馬一定是求最短距離嗎？肯定不是?；蛘哒f求最短距離是將軍飲馬中的最簡 單一類題目。根據將軍飲馬的基本模型可以拓展出很 多題型。根本原因是因為在作軸對稱過程中不但是作 了點的對稱，還作了邊長和角度的對稱！或者說邊 和角度的對稱才是最關鍵。四、將軍飲馬與勾股定理例5,如圖，將軍的軍營在 A處，與河岸的距離0A=4km將軍的家在 B處。且QA=7krpQB=8km他下班回家的路上先把馬牽到小河邊去飲水，然后 再回到家中，求他下班回家要走的最

6、短路程。廠O 小河P例6,如圖，/ POQ = 20°, A為OQ上的點， B為OP上的點，且OA=1 OB=2在OB上取點Ai , 在OQh取點 A ,求AA + AiA + AB的最小值。例 7,Z AOB = 45 , P是/ AOB內一點，PO = 10, Q R分別是OA OB上的動點，求厶PQF周長 的最小值。五、三角形、正方形中的將軍飲馬例8,如圖，在等邊厶ABC中, AB=6 ADLBC, E是AC上的一點，M是AD上的一點，且 AE=2 求EM+EC勺最小值。例9圖例9,如圖，在銳角厶ABC中, AB=42 / BAC=45°,/ BAC的平分線交BC于點

7、D, M N分別是AD和AB上的動點，貝V BM+MI的最小值是例10,如圖，正方形 ABCD勺邊長為8, M在DC上,且DM= 2, N是AC上的一動點，DN+ MN的最小值為。AJDBc例10圖例11圖例11,在邊長為2 cm的正方形ABC沖，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PBPQ則厶PBC周長的最小值為 cm例12, 次函數y = kx + b 的圖象與x、y 軸分別交于點A (2, 0), B (0, 4).(1) 求該函數的解析式；(2) O為坐標原點，設OA AB的中點分別 為C D, P為OB上一動點，求PC+ PD的最小值， 并求取得最小值時P點坐標.y例1

8、3,如圖，在坐標系xOy中，有一條河,河岸分別為x軸和直線MN直線MN與 y軸 的P交點為A(0,2) , P、Q兩地位于河的兩岸，且 P(0,5)、Q(5,-1)?，F在需要在河上架一座橋，_(橋必須垂直于河岸),來溝通P、Q兩地，求 MABN橋的端點B、C的坐標，使得從P地到Q地的路程最短。O Cx丄I Q總結：將軍飲馬問題=軸對稱問題=最短距 離問題(軸對稱是工具，最短距離是題眼)。所謂軸對稱是工具，即這類問題最常用的做法 就是作軸對稱。而最短距離是題眼，也就意味著 歸類這類的題目的理由。比如題目經常會出現“線 段a+b的最小值”這樣的條件或者問題。一旦出10現可以快速聯想到將軍問題，然后

9、利用軸對稱解 題。忍學習效果能將實際問題中的“地點”、“河”、“草地” 抽象為數學中的“點”、“線”，把最短路徑問 題抽象為數學中的線段和最小問題，能利用軸對 稱將處在直線同側的兩點，變?yōu)閮牲c處在直線的 異側，能利用平移將兩條線段拼接在一起，從而 轉化為“兩點之間，線段最短”問題，能通過邏 輯推理證明所求距離最短，在探索問題的過程中， 體會軸對稱、平移的作用，體會感悟轉化的數學 思想課后鞏固習題1, 已知 A(-1,4) ,B(1,1)，在 x 軸上找一點 C,使 AC+BC最小。貝M C點的坐標是， AC+BC的最小值是112, 已知A(-1,3) , B(-3,1) , M是x軸上一動點，

10、N是y軸上一動點，則當AN+NM+M最小時，M的坐標是, N的坐標是。3, 已知 A(-4,4) , B(-1,-3), M(0,m), N(0,m+1)，當BM+MN+A最小時,點 M的坐標是，最小值是4, 已知A(-4,5) , B(2,-2)，在x軸上找一點 C則當|AC-BC|最大時，點C的坐標是，最大值是5, 如圖，點A,B位于直線I的同側，到直線I的距 離AC = 10 , BD = 30，且CD = 30，在直線I上找到一 點M 是AM+BI最短，則最短距離是 。直線1O NB題5圖題6圖6, 如圖，/ AOB= 45°,點 P在/ AOB內，且 OP= 3, 點M,N

11、分別為射線OA OB上的動點，則 PMN勺周長的 最小值為。7, 如圖，/ AOB = 40°，點 P，Q都在/ AOB內，/ AOP = / BOQ = 10°，且 OP = OQ = 6，作點 P 關于 OA 的對稱點Pi，作點Q關于OB的對稱點Q ,貝V PiQ =丨。OB題7圖題8圖8, 如圖，/ AOB = 60°,點 P, Q都在/ AOB內，/AOP = / BOQ = 15°,且 OP = 8 , OQ = 6。在射線 OAIOB上分別存在點 M N 是PM+MN+NQ值最小，則最小 值是。9, 如圖， ABC中，AB=2 / BAC=30，若在 ACAB上各取一點 M N,使BM+MI的值最小，則這個最小值例10圖1410, 如圖所示，正方形 ABCD勺面積為12,ABE是第一講吳老師FOREST等邊三角形，點E在正方形ABCD內,在對角線AC上有亠點P,使PD+ PE的和最小，則這個最小值為11, 如圖，若四邊形 ABCD是菱形，AB=10cm,/ ABC=45 , E為邊BC上的一個動點，P為BD上的一 個動點，求PC+PE的最小值.12, 如圖，在銳角厶 ABC中, AB = 4，/ BAC = 45°, / BAC的平分線交BC