第4章ADAMS軟件算法基本理論(共17頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第4章 ADAMS軟件基本算法本章主要介紹ADAMS軟件的基本算法，包括ADAMS建模中的一些基本概念、運(yùn)動(dòng)學(xué)分析算法、動(dòng)力學(xué)分析算法、靜力學(xué)分析及線性化分析算法以及ADAMS軟件積分器介紹。通過本章的學(xué)習(xí)可以對(duì)ADAMS軟件的基本算法有較深入的了解，為今后合理選擇積分器進(jìn)行仿真分析提供理論基礎(chǔ)，為更好地使用ADAMS打下良好的理論基礎(chǔ)。4.1 ADAMS建?；A(chǔ)ADAMS利用帶拉格朗日乘子的第一類拉格朗日方程導(dǎo)出最大數(shù)量坐標(biāo)的微分代數(shù)方程（DAE）。它選取系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)剛體質(zhì)心在慣性參考系中的三個(gè)直角坐標(biāo)和確定剛體方位的三個(gè)歐拉角作為笛卡爾廣義坐標(biāo)，用帶乘子的拉格朗日第

2、一類方程處理具有多余坐標(biāo)的完整約束系統(tǒng)或非完整約束系統(tǒng)，導(dǎo)出以笛卡爾廣義坐標(biāo)為變量的動(dòng)力學(xué)方程。4.1.1 參考標(biāo)架在計(jì)算系統(tǒng)中構(gòu)件的速度和加速度時(shí)，需要指定參考標(biāo)架，作為該構(gòu)件速度和加速度的參考坐標(biāo)系。在機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析過程中，有兩種類型的參考標(biāo)架地面參考標(biāo)架和構(gòu)件參考標(biāo)架。地面參考標(biāo)架是一個(gè)慣性參考系，它固定在一個(gè)“絕對(duì)靜止”的空間中。通過地面參考標(biāo)架建立機(jī)械系統(tǒng)的“絕對(duì)靜止”參考體系，屬于地面標(biāo)架上的任何一點(diǎn)的速度和加速度均為零。對(duì)于大多數(shù)問題，可以將地球近似為慣性參考標(biāo)架，雖然地球是繞著太陽旋轉(zhuǎn)而且地球還有自轉(zhuǎn)。對(duì)于每一個(gè)剛性體都有一個(gè)與之固定的參考標(biāo)架，稱為構(gòu)件參考標(biāo)架，剛性體上的

3、各點(diǎn)相對(duì)于該構(gòu)件參考標(biāo)架是靜止的。4.1.2 坐標(biāo)系的選擇機(jī)械系統(tǒng)的坐標(biāo)系廣泛采用直角坐標(biāo)系，常用的笛卡爾坐標(biāo)系就是一個(gè)采用右手規(guī)則的直角坐標(biāo)系。運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的所有矢量均可以用沿3個(gè)單位坐標(biāo)矢量的分量來表示。坐標(biāo)系可以固定在一個(gè)參考標(biāo)架上，也可以相對(duì)于參考框架而運(yùn)動(dòng)。合理地設(shè)置坐標(biāo)系可以簡(jiǎn)化機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析。在機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分析過程中，經(jīng)常使用3種坐標(biāo)系：（1）地面坐標(biāo)系（Ground Coordinate System）。地面坐標(biāo)系又稱為靜坐標(biāo)系，是固定在地面標(biāo)架上的坐標(biāo)系。ADAMS中，所有構(gòu)件的位置、方向和速度都用地面坐標(biāo)系表示。（2）局部構(gòu)件參考坐標(biāo)系（Local Part Refe

4、rence Frame，LPRF）。這個(gè)坐標(biāo)系固定在構(gòu)件上并隨構(gòu)件運(yùn)動(dòng)。每個(gè)構(gòu)件都有一個(gè)局部構(gòu)件參考坐標(biāo)系，可以通過確定局部構(gòu)件參考坐標(biāo)系在地面坐標(biāo)系的位置和方向，來確定一個(gè)構(gòu)件的位置和方向。在ADAMS中，局部構(gòu)件參考坐標(biāo)系缺省與地面坐標(biāo)系重合。（3）標(biāo)架坐標(biāo)系（Marker System）。標(biāo)架坐標(biāo)系又稱為標(biāo)架，是為了簡(jiǎn)化建模和分析在構(gòu)件上設(shè)立的輔助坐標(biāo)系，有兩種類型的標(biāo)架坐標(biāo)系：固定標(biāo)架和浮動(dòng)標(biāo)架。固定標(biāo)架固定在構(gòu)件上，并隨構(gòu)件運(yùn)動(dòng)?？梢酝ㄟ^固定標(biāo)架在局部構(gòu)件參考坐標(biāo)系中的位置和方向，確定固定標(biāo)架坐標(biāo)系的位置和方向。固定標(biāo)架可以用來定義構(gòu)件的形狀、質(zhì)心位置、作用力和反作用力的作用點(diǎn)、構(gòu)件

5、之間的連接位置等。浮動(dòng)標(biāo)記相對(duì)于構(gòu)件運(yùn)動(dòng)，在機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析過程中，有些力和約束需要使用浮動(dòng)標(biāo)架來定位。動(dòng)力學(xué)方程的求解速度很大程度上取決于廣義坐標(biāo)的選擇。研究剛體在慣性空間中的一般運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以用它的質(zhì)心標(biāo)架坐標(biāo)系確定位置，用質(zhì)心標(biāo)架坐標(biāo)相對(duì)地面坐標(biāo)系的方向余弦矩陣確定方位。為了解析地描述方位，必須規(guī)定一組轉(zhuǎn)動(dòng)廣義坐標(biāo)表示方向余弦矩陣。第一種方法是用方向余弦矩陣本身的元素作為轉(zhuǎn)動(dòng)廣義坐標(biāo)，但是變量太多，同時(shí)還要附加六個(gè)約束方程；第二種方法是用歐拉角或卡爾登角作為轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)，它的算法規(guī)范，缺點(diǎn)是在逆問題中存在奇點(diǎn)，在奇點(diǎn)位置附近數(shù)值計(jì)算容易出現(xiàn)困難；第三種方法是用歐拉參數(shù)作為轉(zhuǎn)動(dòng)廣義坐標(biāo)，它的變

6、量不太多，由方向余弦計(jì)算歐拉角時(shí)不存在奇點(diǎn)。ADAMS軟件用剛體 的質(zhì)心笛卡爾坐標(biāo)和反映剛體方位的歐拉角作為廣義坐標(biāo)，即，。由于采用了不獨(dú)立的廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程雖然是最大數(shù)量，但卻是高度稀疏耦合的微分代數(shù)方程，適用于稀疏矩陣的方法高效求解。42 ADAMS運(yùn)動(dòng)學(xué)分析4.2.1 ADAMS運(yùn)動(dòng)學(xué)方程利用ADAMS建立機(jī)械系統(tǒng)仿真模型時(shí)，系統(tǒng)中構(gòu)件與地面或構(gòu)件與構(gòu)件之間存在運(yùn)動(dòng)副的聯(lián)接，這些運(yùn)動(dòng)副可以用系統(tǒng)廣義坐標(biāo)表示為代數(shù)方程，這里僅考慮完整約束。設(shè)表示運(yùn)動(dòng)副的約束方程數(shù)為，則用系統(tǒng)廣義坐標(biāo)矢量表示的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束方程組為： （4-1）考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，為使系統(tǒng)具有確定運(yùn)動(dòng)，要使系統(tǒng)實(shí)際自由度為

7、零，為系統(tǒng)施加等于自由度（）的驅(qū)動(dòng)約束： (4-2)在一般情況下，驅(qū)動(dòng)約束是系統(tǒng)廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。驅(qū)動(dòng)約束在其集合內(nèi)部及其與運(yùn)動(dòng)學(xué)約束合集中必須是獨(dú)立和相容的，在這種條件下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)上是確定的，將作確定運(yùn)動(dòng)。由式（4-1）表示的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和式（4-2）表示的驅(qū)動(dòng)約束組合成系統(tǒng)所受的全部約束： (4-3)式（4-3）為nc個(gè)廣義坐標(biāo)的nc個(gè)非線性方程組，其構(gòu)成了系統(tǒng)位置方程。對(duì)式(4-3)求導(dǎo)，得到速度約束方程： (4-4)若令，則速度方程為： (4-5)對(duì)式(4-4)求導(dǎo)，可得加速度方程： (4-6)若令，則加速度方程為： (4-7)矩陣，為雅可比矩陣，如果的維數(shù)為m，q維數(shù)為n

8、，那么維數(shù)為矩陣，其定義為。在這里為（nh個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，ncnh個(gè)驅(qū)動(dòng)約束，nc個(gè)廣義坐標(biāo)）的方陣。4.2.2 ADAMS運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的求解算法在ADAMS仿真軟件中，運(yùn)動(dòng)學(xué)分析研究零自由度系統(tǒng)的位置、速度、加速度和約束反力，因此只需求解系統(tǒng)的約束方程： (4-8)運(yùn)動(dòng)過程中任一時(shí)刻位置的確定，可由約束方程的Newton-Raphson迭代法求得： (4-9)其中，表示第次迭代。時(shí)刻速度、加速度可以利用線性代數(shù)方程的數(shù)值方法求解，ADAMS中提供了兩種線性代數(shù)方程求解方法：CALAHAN方法（由Michigan 大學(xué) Donald Calahan 教授提出）與HARWELL方法（由HARWELL

9、 的Ian Duff 教授提出 ），CALAHAN方法不能處理冗余約束問題，HARWELL方法可以處理冗余約束問題，CALAHAN方法速度較快。 (4-10) (4-11)43 ADAMS動(dòng)力學(xué)分析4.3.1 ADAMS動(dòng)力學(xué)方程ADAMS中用剛體B的質(zhì)心笛卡爾坐標(biāo)和反映剛體方位的歐拉角作為廣義坐標(biāo)，即，令，。構(gòu)件質(zhì)心參考坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換矩陣為：（4-12）定義一個(gè)歐拉轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系的三個(gè)單位矢量分別為上面三個(gè)歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)的軸，因而三個(gè)軸并不相互垂直。該坐標(biāo)系到構(gòu)件質(zhì)心坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣為： （4-13）構(gòu)件的角速度可以表達(dá)為： （4-14）ADAMS中引入變量為角速度在歐拉

10、轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)系分量： （4-15）考慮約束方程，ADAMS利用帶拉格朗日乘子的拉格朗日第一類方程的能量形式得到如下方程: (4-16) T為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)表達(dá)的動(dòng)能，為廣義坐標(biāo)，為在廣義坐標(biāo)方向的廣義力，最后一項(xiàng)涉及約束方程和拉格朗日乘子表達(dá)了在在廣義坐標(biāo)方向的約束反力。ADAMS中近一步引入廣義動(dòng)量： (4-17) 簡(jiǎn)化表達(dá)約束反力為： （4-18）這樣方程(4-16）可以簡(jiǎn)化為： (4-19)動(dòng)能可以近一步表達(dá)為： (4-20)其中M為構(gòu)件的質(zhì)量陣，J為構(gòu)件在質(zhì)心坐標(biāo)系下的慣量陣。將(4-19)分別表達(dá)為移動(dòng)方向與轉(zhuǎn)動(dòng)方向有： (4-21) (4-22)其中，。(4-21)式可以簡(jiǎn)化為： (4-

11、23)，由于中包含歐拉角，為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)，ADAMS中并沒有進(jìn)一步推導(dǎo)，而是將其作一個(gè)變量求解。這樣ADAMS中每個(gè)構(gòu)件具有如下15個(gè)變量（而非12個(gè)）和15個(gè)方程（而非12個(gè)）。變量： (4-24)方程： (4-25)集成約束方程ADAMS可自動(dòng)建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程微分代數(shù)方程： (4-26)其中，P為系統(tǒng)的廣義動(dòng)量；H為外力的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。為了更好地說明ADAMS的建模過程下面以一個(gè)單擺為例進(jìn)行建模推導(dǎo)。圖4-1單擺示意圖如圖所示，單擺的質(zhì)量為M、慣量為I，桿長(zhǎng)為2L,并在O點(diǎn)以轉(zhuǎn)動(dòng)副與大地相連接約束在大地的OXY平面內(nèi)。在單擺質(zhì)心處建立單擺的跟隨坐標(biāo)系局部構(gòu)件參考坐標(biāo)系OpXpYp，其坐標(biāo)

12、在地面坐標(biāo)系OXY中為（x，y），單擺的姿態(tài)角為。系統(tǒng)的動(dòng)能表達(dá)式： （4-27）廣義動(dòng)量表達(dá)式： （4-28） 外力表達(dá)式： （4-29）約束方程： （4-30）約束方程的雅克比矩陣： （4-31）約束對(duì)應(yīng)的拉格朗日乘子： （4-32）力、力矩平衡方程： （4-33）動(dòng)量矩表達(dá)式： （4-34）運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系方程： （4-35）其方程集成表達(dá)為： （4-36）其中系統(tǒng)需求解變量為： （4-37）4.3.2 初始條件分析在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)、靜力學(xué)分析之前，ADAMS會(huì)自動(dòng)進(jìn)行初始條件分析，以便在初始系統(tǒng)模型中各物體的坐標(biāo)與各種運(yùn)動(dòng)學(xué)約束之間達(dá)成協(xié)調(diào)，這樣可以保證系統(tǒng)滿足所有的約束條件。初始條件分析通過求

13、解相應(yīng)的位置、速度、加速度的目標(biāo)函數(shù)的最小值得到。（1）對(duì)初始位置分析，需滿足約束最小化問題Minimize：Subject to ： q 為構(gòu)件廣義坐標(biāo)，W為權(quán)重矩陣，q0為用戶輸入的值，如果用戶輸入的值為精確值，則相應(yīng)權(quán)重較大，并在迭代中變化較小?？梢岳美窭嗜粘俗訉⑸鲜黾s束最小化問題變?yōu)槿缦聵O值問題： (4-38)取最小值，則由得： (4-39)因約束函數(shù)中存在廣義坐標(biāo)，該方程為非線性方程須用Newton-Raphson迭代求解，迭代方程如下： (4-40)（2）對(duì)初始速度分析，需滿足約束最小化問題Minimize：Subject to ： 其中，為用戶設(shè)定的準(zhǔn)確的或近似的初始速度值，

14、或者為程序設(shè)定的缺省速度值； 為對(duì)應(yīng)的權(quán)重系數(shù)矩陣。同樣可以利用拉格朗日乘子將上述約束最小化問題變?yōu)槿缦聵O值問題： (4-41)取最小值，得： (4-42)q為已知，該方程為線性方程組可求解如下方程： (4-43)（3）對(duì)初始加速度、初始拉氏乘子的分析，可直接由系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程和系統(tǒng)約束方程的兩階導(dǎo)數(shù)確定。4.3.3 ADAMS動(dòng)力學(xué)方程的求解對(duì)于式(4-26)微分代數(shù)方程的求解，ADAMS采用兩種方式求解，第一種為對(duì)DAE方程的直接求解，第二種為DAE方程利用約束方程將廣義坐標(biāo)分解為獨(dú)立坐標(biāo)和非獨(dú)立坐標(biāo)然后化簡(jiǎn)為ODE方程求解。關(guān)于具體求解器將在4.5節(jié)介紹。DAE方程的直接求解將二階微分方程

15、降階為一階微分方程來求解，通過引入，將所有拉格朗日方程均寫成一階微分形式，該方程為 Index 3微分代數(shù)方程。I3積分格式： (4-44)運(yùn)用一階向后差分公式，上述方程組對(duì)求導(dǎo)，可得其Jacobian矩陣，然后利用 Newton-Rapson 求解?？梢钥闯?，當(dāng)積分步長(zhǎng)減小并趨近于0時(shí)，上述Jacobian矩陣呈現(xiàn)病態(tài)。為了有效地監(jiān)測(cè)速度積分的誤差，可采用降階積分方法（Index reduction methods）。通常來說，微分方程的階數(shù)越少，其數(shù)值求解穩(wěn)定性就越好。ADAMS還采用兩種方法來降階求解，即SI2(Stabilized-Index Two)和SI1(Stabilized-I

16、ndex One)方法。SI2積分格式： (4-45)上式能同時(shí)滿足和求解不違約，且當(dāng)步長(zhǎng)趨近于0時(shí)，Jacobian矩陣不會(huì)呈現(xiàn)病態(tài)現(xiàn)象。SI1積分格式： (4-46)上式中，為了對(duì)方程組降階，引入和來替代拉格朗日乘子，即。這種變化有效地將上述方程組的階數(shù)降為1。因?yàn)橹恍枰⒎炙俣燃s束方程一次來顯示地計(jì)算表達(dá)式和。運(yùn)用SI1積分器，能夠方便地監(jiān)測(cè)，和的積分誤差，系統(tǒng)的加速度也趨向于更加精確。但在處理有明顯的摩擦接觸問題時(shí)，SI1積分器十分敏感并具有挑剔性。44 ADAMS靜力學(xué)及線性化分析4.4.1 靜力學(xué)分析在進(jìn)行靜力學(xué)、準(zhǔn)靜力學(xué)分析時(shí)，對(duì)動(dòng)力學(xué)方程的速度、加速度設(shè)置為零，則得到靜力學(xué)方程

17、如下： （4-47）該方程為非線性代數(shù)方程利用Newton-Rapson 迭代求解求解。4.4.2 線性化分析在系統(tǒng)的某點(diǎn)處， 可對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行線性化， （4-48）M，C，K為常數(shù)陣可對(duì)（4 .41）式求解得到系統(tǒng)的頻率和振動(dòng)模態(tài)。45 ADAMS求解器算法介紹4.5.1 ADAMS數(shù)值算法簡(jiǎn)介運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力學(xué)分析需求解一系列的非線性代數(shù)方程、線性代數(shù)方程，ADAMS采用了修正的Newton-Raphson迭代算法求解非線性代數(shù)方程，以及基于LU分解的CALAHAN方法和HARWELL方法求解線性代數(shù)方程。對(duì)動(dòng)力學(xué)微分方程，根據(jù)機(jī)械系統(tǒng)特性，選擇不同的積分算法；對(duì)剛性系統(tǒng)，采用變系數(shù)的

18、BDF(Backwards Differentiation Formulation)剛性積分程序，它是自動(dòng)變階、變步長(zhǎng)的預(yù)估校正法(PECE，Predict-Evaluate-Correct-Evaluate)，并分別為Index3、SI2、SI1積分格式，在積分的每一步采用了修正的Newton-Raphson迭代算法；對(duì)高頻系統(tǒng)(High-Frequencies)，采用坐標(biāo)分塊法(Coordinate-Partitioned Equation)將微分代數(shù)（DAE）方程簡(jiǎn)化為常微分（ODE）方程分別利用ABAM（Adams-Bashforth-Adams-Moulton）方法和龍格庫塔（RKF

19、45）方法求解。在ADAMS中具體如下：線性求解器(求解線性方程)，采用稀疏矩陣技術(shù)以提高效率。CALAHAN求解器與HARWELL求解器。 非線性求解器(求解代數(shù)方程)，采用了Newton-Raphson迭代算法。 DAE求解器(求解微分代數(shù)方程)，采用BDF剛性積分法。SI2：GSTIFF、WSTIFF與CONSTANT_BDF。SI1：GSTIFF、WSTIFF與CONSTANT_BDF。I3：GSTIFF、WSTIFF、 Dstiff與CONSTANT_BDF。 ODE求解器(求解非剛性常微分方程)ABAM求解器與RKF45求解器。4.5.2 動(dòng)力學(xué)求解算法介紹1微分代數(shù)（DAE）方程

20、的求解算法過程ADAMS中DAE方程的求解采用了BDF剛性積分法，以下為其步驟：（1）預(yù)估階段用Gear預(yù)估-校正算法可以有效地求解微分-代數(shù)方程。首先，根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)矢量值，用泰勒級(jí)數(shù)預(yù)估下一時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)矢量值： （4-49）其中，時(shí)間步長(zhǎng)。這種預(yù)估算法得到的新時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)矢量值通常不準(zhǔn)確，可以由Gear階積分求解程序(或其他向后差分積分程序)來校正。 （4-50）其中，為在時(shí)的近似值；和為Gear積分程序的系數(shù)值。上式經(jīng)過整理，可表示為： （4-51）（2）校正階段 求解系統(tǒng)方程，如，則方程成立，此時(shí)的為方程的解，否則繼續(xù)； 求解Newton-Raphson線性方程，得到，以更

21、新，使系統(tǒng)方程更接近于成立。 ，其中為系統(tǒng)的雅可比矩陣。 利用Newton-Raphson迭代，更新 重復(fù)以上步驟直到足夠小。（3）誤差控制階段 預(yù)估計(jì)積分誤差并與誤差精度比較，如積分誤差過大則舍棄此步。 計(jì)算優(yōu)化的步長(zhǎng)和階數(shù)。如達(dá)到仿真結(jié)束時(shí)間，則停止，否則，重新進(jìn)入第一步。2坐標(biāo)縮減的微分方程求解過程算法ADAMS程序提供ABAM(AdamsBashforth and Adams-Moulton)和RKF45積分程序，采用坐標(biāo)分離算法，將微分-代數(shù)方程減縮成用獨(dú)立廣義坐標(biāo)表示的純微分方程，然后用ABAM 或RKF45程序進(jìn)行數(shù)值積分。以下以ABAM為例介紹其求解過程。坐標(biāo)減縮微分方程的確定

22、及其數(shù)值積分過程按以下步驟進(jìn)行：（1）坐標(biāo)分離 將系統(tǒng)的約束方程進(jìn)行矩陣的滿秩分解，可將系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)列陣分解成獨(dú)立坐標(biāo)列陣和非獨(dú)立坐標(biāo)列陣，即。（2）預(yù)估 用Adams-Bashforth顯式公式，根據(jù)獨(dú)立坐標(biāo)前幾個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的值，預(yù)估時(shí)刻的獨(dú)立坐標(biāo)值，表示預(yù)估值。（3）校正用Adams-Moulton隱式公式對(duì)上面的預(yù)估值，根據(jù)給定的收斂誤差限進(jìn)行校正，以得到獨(dú)立坐標(biāo)的校正值，表示校正值。（4）確定相關(guān)坐標(biāo)確定獨(dú)立坐標(biāo)的校正值之后，可由相應(yīng)公式計(jì)算出非獨(dú)立坐標(biāo)和其他系統(tǒng)狀態(tài)變量值。（5）積分誤差控制與上面預(yù)估校正算法積分誤差控制過程相同，如果預(yù)估值與校正值的差值小于給定的積分誤差限，接受該解

23、，進(jìn)行下一時(shí)刻的求解。否則減小積分步長(zhǎng)，重復(fù)第二步開始的預(yù)估步驟。4.5.3 動(dòng)力學(xué)求解算法特性比較1微分代數(shù)（DAE）方程的求解三種積分格式比較I3積分格式僅監(jiān)控位移和其它微分方程的狀態(tài)變量的誤差。當(dāng)積分步長(zhǎng)變小時(shí)Jacobian矩陣不能保持穩(wěn)定，會(huì)出現(xiàn)奇異，積分易發(fā)散。積分過程不能監(jiān)控速度和約束反力。因而速度、加速度、約束反力計(jì)算精度差一些。SI2積分格式中考慮了速度約束方程，可以控制拉氏乘子的誤差、速度誤差，仿真結(jié)果更精確，可以給出速度、加速度較為精確解。Jacobian矩陣在步長(zhǎng)很小時(shí)仍能保持穩(wěn)定，Jacobian矩陣小步長(zhǎng)不會(huì)奇異、病態(tài)，增加了校正器在小步長(zhǎng)時(shí)的穩(wěn)定性和魯棒性。校正階

24、段不會(huì)象I3積分格式那樣容易失敗?？梢跃_處理高頻問題。但比I3積分格式慢，驅(qū)動(dòng)約束為速度時(shí)，輸入必須可微、光滑。非光滑驅(qū)動(dòng)約束運(yùn)動(dòng)輸入會(huì)產(chǎn)生無限加速度，而導(dǎo)致SI2積分失敗。位移驅(qū)動(dòng)約束輸入不能是變量的函數(shù)，速度、加速度輸入可以是變量的函數(shù)，而I3驅(qū)動(dòng)約束輸入可以是變量的函數(shù)，這給仿真帶來不便。SI1積分格式中考慮了速度約束方程，但并沒有引入加速度約束方程，相對(duì)應(yīng)引入了拉氏乘子的導(dǎo)數(shù)而使方程降階，可以控制拉氏乘子的誤差、速度誤差，仿真結(jié)果很精確，Jacobian矩陣在步長(zhǎng)很小時(shí)仍能保持穩(wěn)定，增加了校正器在小步長(zhǎng)時(shí)的穩(wěn)定性和魯棒性?？梢越o出速度、加速度較為精確解，可以監(jiān)控所有狀態(tài)變量如位移、速

25、度、拉氏乘子，比SI2精度高，但對(duì)具有摩擦、接觸的模型很敏感。三種積分方式比較如下表：表4-1 三種積分方式的比較Index 3SI2SI1求解精度位移精度高位移，速度，加速度精度高位移，速度，加速度，拉氏乘子精度高求解穩(wěn)定性一般好好求解速度快一般一般處理高頻問題中低頻問題適合高頻適合高頻適合2求解器的特點(diǎn)比較（1） GstiffGstiff求解器為剛性穩(wěn)定算法，采用多步、變階（最高階為6）、變步長(zhǎng)、固定系數(shù)算法?？芍苯忧蠼釪AE方程，有I3、SI2、SI1三種積分格式。在預(yù)估中采用泰勒級(jí)數(shù)，而且其系數(shù)是假設(shè)步長(zhǎng)不變而得到的固定系數(shù)，因而當(dāng)步長(zhǎng)改變時(shí)會(huì)產(chǎn)生誤差。其奇特點(diǎn)是計(jì)算速度快，位移精度高

26、，I3格式時(shí)速度、尤其加速度會(huì)產(chǎn)生誤差，可以通過控制最大步長(zhǎng)來控制求解中步長(zhǎng)的變化，從而提高精度使仿真運(yùn)行在定步長(zhǎng)狀態(tài)。當(dāng)步長(zhǎng)小時(shí)，Jacobian矩陣是步長(zhǎng)倒數(shù)的函數(shù)會(huì)變成病態(tài)，SI2及SI1積分格式時(shí)Jacobian矩陣可以步長(zhǎng)很小時(shí)仍能保持穩(wěn)定。該算法可以適應(yīng)很多仿真分析問題。（2） Wstiff Wstiff求解器為剛性穩(wěn)定算法，采用多步、變階（最高階為6）、變步長(zhǎng)、變系數(shù)算法。可直接求解DAE方程，有I3、SI2、SI1三種積分格式。在預(yù)估中采用NDF（Newton Divided Difference）公式用于預(yù)估，可以根據(jù)步長(zhǎng)信息修改相應(yīng)階的系數(shù)，而且步長(zhǎng)改變并不影響精度，因而更

27、具健壯性，更穩(wěn)定。但仿真時(shí)間比Gstiff長(zhǎng)。3 Dstiff（3）DstiffDstiff求解器為剛性穩(wěn)定算法，采用多步、變階（最高階為6）、變步長(zhǎng)、變系數(shù)（固定第一個(gè)系數(shù)）算法。可直接求解DAE方程，ADAMS中僅有I3一種積分格式。在預(yù)估中采用NDF（Newton Divided Difference）公式用于預(yù)估，固定第一個(gè)系數(shù)，從而第一個(gè)系數(shù)與步長(zhǎng)無關(guān)，其他變系數(shù)隨步長(zhǎng)變化而變化可以根據(jù)步長(zhǎng)信息修改相應(yīng)階的系數(shù)，較穩(wěn)定。但仿真時(shí)間比Gstiff長(zhǎng)?；贒ASSL積分器，由Petzold開發(fā)。（4）Constant_BDFConstant_BDF求解器為剛性穩(wěn)定算法，采用多步、變階（最

28、高階為6）、固定步長(zhǎng)算法?？芍苯忧蠼釪AE方程，有I3、SI2、SI1三種積分格式。在預(yù)估中采用NDF（Newton Divided Difference）公式用于預(yù)估，在SI2積分格式時(shí)小步長(zhǎng)時(shí)非常穩(wěn)定健壯，可以解Gstiff失敗的問題，位移、速度求解精度高，而且對(duì)加速度和力的不連續(xù)性沒有Gstiff求解器敏感，有些問題沒有Gstiff，Wstiff快，Hmax太大結(jié)果不準(zhǔn)，Hmax太小速度太慢。（5）ABAMABAM求解器為非剛性穩(wěn)定算法，采用多步、變階算法(最高階為12)、變步長(zhǎng)算法。適合求解低阻尼、瞬態(tài)系統(tǒng)，尤其適合求解非剛性系統(tǒng)但存在突變或高頻的系統(tǒng)，ABAM利用坐標(biāo)分塊技術(shù)將DAE方程變?yōu)镺DE方程，僅獨(dú)立坐標(biāo)被積分求解，其他非獨(dú)立坐標(biāo)利用約束方程（代數(shù)方程）求解。L.F.Shampine和M.K.Gordon開發(fā)。（6）RKF45RKF45非剛性穩(wěn)定算法，采用單步算法，是以上多步算法的補(bǔ)充，但在積分計(jì)算時(shí)計(jì)算導(dǎo)數(shù)費(fèi)時(shí)，而且與其他算法相比不能給出高精度結(jié)果，且速度比ABAM積分器慢。由L.FShampine H.A.Watts開發(fā)的DDERKF