小學(xué)奧數(shù)7-7-3幾何中的重疊問題.專項(xiàng)練習(xí)及答案解析

1、7-7-3.幾何中的重疊問題且Me教學(xué)目標(biāo)1 , 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2 .掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用.且碑I叵知識(shí)要點(diǎn)一、兩量重疊問題在一些計(jì)數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算.求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù)，不能簡(jiǎn)單地把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè)數(shù)，用式子可表示成：A|JB=A + B-Ap| B（其中符號(hào)“U ” 讀作“并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思；符號(hào)”讀作“交”，相當(dāng)于中文“且” 的意思.）則稱這一公式為包含與排除原理，簡(jiǎn)稱容斥原理.圖示如下：A表示小圓部分，B表示大圓部分，C

2、表示大圓與小圓的公共部分， 記為：API B,即陰影面積.圖示如下：A 表示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AB,即陰影面積./X廠先包含一一A + B（.）重疊部分Ap|B計(jì)算了 2次，多加了 1次；，二一 2.再排除一一A+B-Ap B一,把多加了 i次的重疊部分An b減去.包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合A B的并集AljB的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：第一步：分別計(jì)算集合 A B的兀素個(gè)數(shù)，然后加起來, 一切元素都“包含”進(jìn)來，加在一起 ）；第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去算的元素個(gè)數(shù)）.二、三量重疊問題A類、B類與C類元素個(gè)數(shù)的總和

3、 =A類元素的，即先求A+B （意思是把 A B的c=aP1b（意思是“排除” 了重復(fù)計(jì)個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)4c類元素個(gè)數(shù)既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù) -既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù) 既是A類又是C類的 元素個(gè)數(shù)+同時(shí)是A類、B類、C類的元素個(gè)數(shù).用符號(hào)表示為：A UB UC=A+B+CAflBBflCAnC+AClBDC .圖示如下:皿圖中小圓表示 A的元素的個(gè)數(shù)，中圓表示 B的元素的個(gè)數(shù), 大圓表示C的元素的個(gè)數(shù)."1 ,先包含：重疊部分2.再排除：重疊部分ABCAp|B、BP|C、Cd A重疊了 2次，多加了 1 次.ABC -AH B -BpC A|CAplBPlC重疊了 3次，但

4、是在進(jìn)行 A+B+C AnB-BPC-AriC計(jì)算時(shí)都被減掉了.再包含：A + B+C Afi B BOG Ad C +AC Bn C /一在解答有關(guān)包含排除問題時(shí)，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來幫助分析思考.例題精講【例1】把長(zhǎng)38厘米和53厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條.已知焊接部分長(zhǎng)4厘米，焊接后這根鐵條有多長(zhǎng)？【考點(diǎn)】幾何中的重疊問題【難度】1星 【題型】解答【解析】因?yàn)楹附硬糠譃閮筛F條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長(zhǎng) 38+53-4 =87（厘米）.【答案】87厘米【鞏固】 把長(zhǎng)23厘米和37厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條.已知焊接部分長(zhǎng)3厘米，焊接后這根鐵條有多長(zhǎng)？

5、【考點(diǎn)】幾何中的重疊問題【難度】1星 【題型】解答【解析】焊接部分為兩根鐵條的重合部分，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長(zhǎng)：23 +37 -3 =57（厘米）.【答案】57厘米【例2】?jī)蓮堥L(zhǎng)4厘米，寬2厘米的長(zhǎng)方形紙擺放成如圖所示形狀.把它放在桌面上，覆8蓋面積有多少平方厘米?【考點(diǎn)】幾何中的重疊問題【難度】1星【題型】解答圖3【解析】?jī)蓚€(gè)長(zhǎng)方形如圖擺放時(shí)出現(xiàn)了重疊（見圖中的陰影部分），重疊部分恰好是邊長(zhǎng)為 2厘米的正方形，如果利用兩個(gè)4父2的長(zhǎng)方形面積之和來計(jì)算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在兩個(gè)長(zhǎng)方形面積中各被計(jì)算了一次，而實(shí)際上這部分只需計(jì)算一次就可以了.所以，被覆蓋面積=長(zhǎng)方形面積之和-

6、重疊部分.于是，被覆蓋面積=4父2M22父2=12（平方厘米）.【答案】12厘米【鞏固】 如圖3, 一張長(zhǎng)8厘米，寬6厘米，另一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為 6厘米，它們中間重疊的部分是一個(gè)邊長(zhǎng)為 4厘米的正方形，求這個(gè)組合圖形的面積.【考點(diǎn)】幾何中的重疊問題【難度】1星【題型】解答圖3兩個(gè)圖形如圖擺放日出現(xiàn)了重疊 （見圖中的陰影部分），重疊部分恰好是邊長(zhǎng)為厘米的正方形，如果利用長(zhǎng)方形和正方形面積之和來計(jì)算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在長(zhǎng)方形和正方形面積中各被計(jì)算了一次，而實(shí)際上這部分只需計(jì)算一次就可以了.所以，組合圖形的面積 =長(zhǎng)方形面積+正方形面積重疊部分.于 是，組合圖形的面積：8父6+6黑64父4

7、 =68（平方厘米）.【答案】68平方厘米【鞏固】 一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)12厘米，寬8厘米，另一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng) 10厘米，寬6厘米，它們中間重疊的部分是一個(gè)邊長(zhǎng) 4厘米的正方形，求這個(gè)組合圖形的面積.【考點(diǎn)】幾何中的重疊問題【難度】1星【題型】解答【解析】?jī)蓚€(gè)長(zhǎng)方形如圖擺放時(shí)出現(xiàn)了重疊 （見圖中的陰影部分），重疊部分恰好是邊長(zhǎng)為4厘米的正方形，如果利用兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和來計(jì)算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在兩個(gè)長(zhǎng)方形面積中各被計(jì)算了一次，而實(shí)際上這部分只需計(jì)算一次就可以了.所以，組合圖形的面積 =長(zhǎng)方形面積之和重疊部分.于是，組合圖形 的面積 =12x8+10x64x4=140（平方厘米）.【答案】140

8、平方厘米【例3】三個(gè)面積均為50平方厘米的圓紙片放在桌面上（如圖），三個(gè)紙片共同重疊的面積是10平方厘米.三個(gè)紙片蓋住桌面的總面積是100厘米.問：圖中陰影部分面積之和是多少？【考點(diǎn)】幾何中的重疊問題【難度】2星【題型】解答B(yǎng)A10C【解析】 將圖中的三個(gè)圓標(biāo)上 A、B、C .根據(jù)包含排除法，三個(gè)紙片蓋住桌面的總面積=（A圓面積十B圓面積4圓面積）-（A與B重合部分面積 +A與C重合部分 面積將與C重合部分面積）十三個(gè)紙片共同重疊的面積，得： 100 =（50 +50 +50） -（A與B重合部分面積 +A與C重合部分面積 +B與C重合 部分面積）+10,得到A、B、C三個(gè)圓兩兩重合面積之和為

9、：160 -100=60平方厘米，而這個(gè)面積對(duì)應(yīng)于圓上的那三個(gè)紙片共同重疊的面積的三倍與陰影部分面積的和，即：60 =10 M3+陰影部分面積，則陰影部分面積為：60-30 = 30（平 方厘米）.【答案】30平方厘米【鞏固】如圖，已知甲、乙、丙 3個(gè)圓的面積均為 30,甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部 分的面積分別為 6, 8, 5,而3個(gè)圓覆蓋的總面積為 73.求陰影部分的面積.【考點(diǎn)】幾何中的重疊問題【難度】2星【題型】解答【解析】設(shè)甲圓組成集合 A,乙圓組成集合 B,丙圓組成集合 C.A = B|=C=30, |aP1b|=6, |BriC|=8, |ApC|=5, |aUbUc|=73,

10、 而 |aUbUc|= A 寸 B C -|aDb|-|B Dc| -|AAc|+|AHBnC .有73=30X 3-6-8-5+ |aQ bQc| , IP |aQ bAc|=2,即甲、乙、丙三者的公共面積（部分面積）為2 .那么只是甲與乙（），乙與丙（），甲與丙（）的公共的面積依次為6-2=4,8-2=6 , 5-2=3 ,所以有陰影部分（、部分之和）的面積為73-4-6-3-2=58 .【答案】58例4如圖，三角形紙板、正方形紙板、圓形紙板的面積相等， 都等于60平方厘米.陰 影部分的面積總和是 40平方厘米，3張板蓋住的總面積是 100平方厘米，3張 紙板重疊部分的面積是多少平方厘米？

11、【考點(diǎn)】幾何中的重疊問題【難度】3星【題型】解答【解析】陰影部分是有兩塊重疊的部分，被計(jì)算兩次，而三張紙重疊部分是被計(jì)算了三次.所以三張紙重疊部分的面積=（60x3100 -40） + 2=20（平方厘米）.【答案】20平方厘米【鞏固】如圖所示，A、B、C分別是面積為12、28、16的三張不同形狀的紙片，它們重疊在一起，露在外面的總面積為 38 .若A與B、B與C的公共部分的面積 分別為8、7, A、B、C這三張紙片的公共部分為 3.求A與C公共部分的面 積是多少？【考點(diǎn)】幾何中的重疊問題【難度】3星【題型】解答【解析】設(shè)A與C公共部分的面積為 x,由包含與排除原理可得： 先“包含"：把圖形 A、B、