立體幾何基本定義

1、側(cè)面積體積直棱柱正棱錐正棱臺(tái)圓柱圓錐圓臺(tái)球正多邊形的邊長(zhǎng)a、外接圓半徑R、內(nèi)切圓半徑r、面積S：知一求三邊長(zhǎng)a外接圓 外接圓半徑R 內(nèi)切圓半徑r 面積S正三角形 正方形 正六邊形相關(guān)棱柱幾何體系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的關(guān)系： 一、直四棱柱平行六面體=直平行六面體.幾類特殊的平行六面體：平行六面體直平行六面體長(zhǎng)方體正四棱柱正方體；1.3棱柱的性質(zhì)：側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等，側(cè)面與對(duì)角面是矩形。1.4長(zhǎng)方體的性質(zhì)：1.在長(zhǎng)方體中：體對(duì)角線長(zhǎng)為，外接球直徑；棱長(zhǎng)總和為；全(表)面積

2、為，體積；5.在立方體中：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則體對(duì)角線長(zhǎng)為，全面積為，體積，內(nèi)切球半徑為,外接球半徑為,與十二條棱均相切的球半徑為,則, 側(cè)面展開(kāi)圖：正n棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是由n個(gè)全等矩形組成的以底面周長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)為鄰邊的矩形.3.1棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。 正棱錐如果有一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。3.2棱錐的性質(zhì)：平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；正棱錐中六個(gè)元素，即側(cè)棱、高、斜高

3、、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影、斜高在底面的射影、底面邊長(zhǎng)一半，構(gòu)成四個(gè)直角三角形。）（如上圖：為直角三角形）二、（1）正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面正多邊形的中心.注：i. 正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正三角形，側(cè)棱與底棱不一定相等iii. 正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形在正三棱錐中：側(cè)棱長(zhǎng)相等(側(cè)棱與底面所成角相等)頂點(diǎn)在底上射影為底面外心；側(cè)棱兩兩垂直(兩對(duì)對(duì)棱垂直)頂點(diǎn)在底上射影為底面垂心；斜高長(zhǎng)相等(側(cè)面與底面所成角相等)且頂點(diǎn)在底上在底面內(nèi)

4、頂點(diǎn)在底上射影為底面內(nèi)心. （2）在正四面體中：設(shè)棱長(zhǎng)為，則正四面體中的一些數(shù)量關(guān)系全面積；體積；對(duì)棱間的距離；相鄰面所成二面角；外接球半徑；內(nèi)切球半徑；正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到各面距離之和為定值.外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.3）直角四面體的性質(zhì)：(直角四面體三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體).在直角四面體 中,兩兩垂直,令,則底面三角形為銳角三角形 直角頂點(diǎn)在底面的射影為三角形的垂心；外接球半徑R=.5.棱臺(tái)用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面與底面之間的部分為棱臺(tái).5.2正棱臺(tái)的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；正棱臺(tái)的兩個(gè)底面以及平行于底面的截面是正多邊形； 如右圖：四

5、邊形都是直角梯形棱臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成棱錐研究.如右圖：，注意考慮相似比.4.1圓錐以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐。4.2圓錐的性質(zhì)：平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；軸截面是等腰三角形；如右圖：如右圖：.4.3圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是以頂點(diǎn)為圓心，以母線長(zhǎng)為半徑的扇形。6.1圓臺(tái)用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái). 圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán)；6.2圓臺(tái)的性質(zhì)：圓臺(tái)的上下底面，與底面平行的截面都是圓；圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形；圓臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成圓錐來(lái)研究。如右圖

6、：，注意相似比的應(yīng)用.7.4球面積、體積公式：（其中R為球的半徑）三、球心與截面圓心的連線垂直于截面；（球心到截面的距離為d、球的半徑為R、截面的半徑為r）掌握球面上兩點(diǎn)、間的距離求法：計(jì)算線段的長(zhǎng)；計(jì)算球心角的弧度數(shù)；用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧的長(zhǎng).【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)上，某點(diǎn)的經(jīng)度是：經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的平面與本初子午線（經(jīng)線）和地軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。某點(diǎn)的緯度是：經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù)。如圖：圖（1）：經(jīng)度P點(diǎn)的經(jīng)度，也是的度數(shù)。圖（2）：緯度P點(diǎn)的緯度，也是的度數(shù)。（2005高考山東卷）設(shè)地球的半徑為，若甲地位于北緯東經(jīng)，乙地位于南緯東經(jīng)，則甲、乙兩地的球

7、面距離為（ ）（A） （B） （C） （D）答案：D如圖所示東經(jīng)與北緯線交于A點(diǎn)東經(jīng)與南緯線交于C點(diǎn),設(shè)球心為B點(diǎn)從而,以B點(diǎn)為圓心過(guò)A、C、D的大圓上即為所求. 如右圖, 設(shè)A、B、C、D為球O上四點(diǎn)，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且，則A、D兩點(diǎn)間的球面距離 。 【解析】因?yàn)锳B、AC、AD兩兩互相垂直，所以分別以AB、AC、AD為棱構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，在長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為球的直徑，球的直徑，所以球半徑為,在正三角形中，所以A、D兩點(diǎn)間的球面距離為.6.3（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖1.投影：區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。2.三視圖是觀察者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空

8、間幾何體而畫出的圖形；正視圖光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖；側(cè)視圖光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖；正視圖光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖；注：（1）俯視圖畫在正視圖的下方，“長(zhǎng)度”與正視圖相等；側(cè)視圖畫在正視圖的右邊，“高度”與正視圖相等，“寬度”與俯視圖。（簡(jiǎn)記為“正、側(cè)一樣高，正、俯一樣長(zhǎng)，俯、側(cè)一樣寬”. （2）正視圖，側(cè)視圖，俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。 3.1直觀圖是觀察著站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體而畫出的圖形。直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。 3.2斜二測(cè)法：step1：在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy，（即取 ）；ste

9、p2：畫直觀圖時(shí)，把它畫成對(duì)應(yīng)的軸，取，它們確定的平面表示水平平面；step3：在坐標(biāo)系中畫直觀圖時(shí)，已知圖形中平行于數(shù)軸的線段保持平行性不變，平行于x軸（或在x軸上）的線段保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸（或在y軸上）的線段長(zhǎng)度減半。結(jié)論：一般地，采用斜二測(cè)法作出的直觀圖面積是原平面圖形面積的倍. 1.空間直線的位置關(guān)系： 異面直線所成的角：（1）范圍：；2.直線與平面的位置關(guān)系： 直線與平面所成的角范圍：，3.平面與平面的位置關(guān)系：3.2面面斜交二面角：（1）定義：【如圖】范圍：作二面角的平面角的方法：（1）定義法；（2）三垂線法（常用）；（3）垂面法.(1)線面平行:思考途徑 I.轉(zhuǎn)化為直線與平

10、面無(wú)公共點(diǎn)；II.轉(zhuǎn)化為線線平行；III.轉(zhuǎn)化為面面平行ababaabaa支持定理 ； ； 配圖助記（2）線線平行：思考途徑 I.轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn)； II.轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；III.轉(zhuǎn)化為線面平行；IV.轉(zhuǎn)化為線面垂直；V.轉(zhuǎn)化為面面平行.支持定理 ；ababa配圖助記（3）面面平行：思考途徑 I.轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)；II.轉(zhuǎn)化為線面平行；III.轉(zhuǎn)化為線面垂直.支持定理 ；ababObaabag（4）線線垂直：思考途徑 I.轉(zhuǎn)化為相交垂直；II.轉(zhuǎn)化為線面垂直；III.轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；IV.轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.支持定理 ；勾股定理；(三垂線

11、及逆定理)；aabPAOa配圖助記（5）線面垂直：思考途徑 I轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；II轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；III轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；IV轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直. 支持定理 ；配圖助記albaOablabaaaba（6）面面垂直：思考途徑 I.轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；II.轉(zhuǎn)化為線面垂直.支持定理 二面角900；aabbaa配圖助記步驟：關(guān)鍵是做好“三步曲”：step1：做 取點(diǎn)連線；step2：指（指明出處）；step3：。證二、立體幾何常見(jiàn)題型歸納例講（2）線線平行：支持定理 ； 注：一線b為兩平面的公共線,而線a在其中一面內(nèi)，與

12、另一面平行。2014安徽卷 如圖15所示，四棱錐P ABCD的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2.點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH. (1)證明：GHEF；(2)若EB2，求四邊形GEFH的面積19解： (1)證明：因?yàn)锽C平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可證EFBC，因此GHEF.(2)連接AC，BD交于點(diǎn)O，BD交EF于點(diǎn)K，連接OP，GK.因?yàn)镻APC，O是AC的中點(diǎn)，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在平面ABCD內(nèi)，所以PO平面ABCD.

13、又因?yàn)槠矫鍳EFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因?yàn)槠矫鍼BD平面GEFHGK，所以POGK，所以GK平面ABCD.又EF平面ABCD，所以GKEF，所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，從而KBDBOB，即K是OB的中點(diǎn)再由POGK得GKPO，所以G是PB的中點(diǎn)，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3，故四邊形GEFH的面積SGK318.18）（本小題滿分12分）如圖所示，在三棱錐P-ABQ中，PB平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，AQ=2BD，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)

14、H，連接GH。（）求證：AB/GH；（1）因?yàn)镃、D為中點(diǎn)，所以CD/AB同理：EF/AB，所以EF/CD，EF平面EFQ，所以CD/平面EFQ，又CD平面PCD,所以CD/GH，又AB/CD，所以AB/GH.baa(1)線面平行:思考途徑 I.轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)；II.轉(zhuǎn)化為線線平行；III.轉(zhuǎn)化為面面平行支持定理 ； 2已知如圖幾何體，正方形和矩形所在平面互相垂直,為的中點(diǎn),。求證: ；注：發(fā)現(xiàn)M是中點(diǎn)，問(wèn)題1：M是誰(shuí)的中點(diǎn)， 2、AF與CF在那個(gè)三角形中3、第三邊是 連沒(méi)連？（若沒(méi)連，則連接），其中點(diǎn)是？（常用平行四邊形對(duì)角線得中點(diǎn) 連接兩中點(diǎn)，則在三角形 如圖，直三棱柱，點(diǎn)M，N

15、分別為和的中點(diǎn)。 ()證明：平面;注：有時(shí)中點(diǎn)會(huì)改成比例線段。如，四棱錐中，底面，面為梯形，且，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)在棱上的位置；【答案】21. 解：（）在梯形中，由，得，又，故為等腰直角三角形. 連接，交于點(diǎn)，則 平面,又平面,.在中，即時(shí)，平面. 平行四邊形的思路主要找周轉(zhuǎn)第三方證與平行，須找周轉(zhuǎn)第三方例：如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線.（I）已知G,H分別為EC，F(xiàn)B的中點(diǎn)，求證：GH平面AB證明：設(shè)的中點(diǎn)為,連接,在,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以又所以在中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又,所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?（18）在如圖所示的

16、幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EFDB. I）已知AB=BC，AE=EC.求證：ACFB；（II）已知G,H分別是EC和FB的中點(diǎn).求證：GH平面ABC.試題分析：（）根據(jù)，知與確定一個(gè)平面，連接，得到，從而平面，證得.（）設(shè)的中點(diǎn)為，連，在，中，由三角形中位線定理可得線線平行，證得平面平面，進(jìn)一步得到平面.albaO線面垂直： ； abla； 面面垂直找交線，（線在面內(nèi)，線線垂直）垂直交線垂直（另一）面。abla線線垂直： 異面直線垂直：證 ；ablaaabcOa: bcd.如證正方體的體對(duì)角線垂直于與之異面的面對(duì)角線面面垂直 思路一、看平面誰(shuí)的垂線好找，一般水平面或豎直面的垂線好找，（在哪兒找

17、，在對(duì)方中找），如如：正方體中，證：思路二、思路二、看平面誰(shuí)的垂面好找，一般水平面或豎直面的垂面好找，如，面面垂直找交線，垂直交線垂直面。例：如圖，已知平面ACD，DE/AB，ACD是正三角形，且F是CD的中點(diǎn).（I）求證：AF/平面BCE；（II）求證：平面.平面. (19)解：（）取中點(diǎn)，連結(jié)，為的中點(diǎn)，且=又，且 ，且=， 四邊形為平行四邊形， 又平面，平面，平面. （）為正三角形，,平面，/,平面, 又平面,.又，,平面. 又 平面.又平面, 平面平面. 體積：用三棱錐換頂點(diǎn)：若這4個(gè)點(diǎn)內(nèi)部無(wú)法解決時(shí)，可找外援例：正方體中，三棱錐的體積為_(kāi).【解析】法一：因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)

18、在線段上，所以點(diǎn)到平面的距離為1,即，所以.法二：使用特殊點(diǎn)的位置進(jìn)行求解，不失一般性令點(diǎn)在點(diǎn)處，點(diǎn)在點(diǎn)處，則。折疊問(wèn)題：注折疊前后，始終在同一個(gè)半平面的，關(guān)系不變。注意找折疊前后，與折線垂直的線。練習(xí)1、如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面 ABCD，E是PC的中點(diǎn)。 求證：（1）PA平面BDE ；（2）BD平面PAC 2已知如圖幾何體，正方形和矩形所在平面互相垂直,為的中點(diǎn),。求證: ；3、如圖，在直三棱柱ABC-中，D，E分別為BC，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，四邊形是邊長(zhǎng)為6的正方形.（1）求證：平面；（2）求證：平面；AA1BCDB1C1第4題圖4、已知直三棱柱中，點(diǎn)在上（1）若是中點(diǎn)，求證：平面;6、（2008安徽）如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)。證明：直線8、如圖，正方體中，棱長(zhǎng)為（1）求證：直線平面（2）求證：平面平面；（3）求三棱錐B-ACB1體積9 四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面已知，（）證明；10 (湖北)如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?（）求證： 證明：如右圖，過(guò)點(diǎn)A在平面A1ABB1內(nèi)作ADA