函數(shù)的單調(diào)性例題

1、用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性步驟：取值*乍差變形定號 下結論題型一、利用函數(shù)的圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1.作出下列函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)y = x21；(2) y = x2+2x+3;(3) y = x+11+£x-2)2 ；(4) y = Cx2 -6x+9+Jx2 +6x + 9相應作業(yè)1 :課本P32第3題.題型二、用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性取值，即;作差變形,作差，變形手段有、定號，即下結論，即。例2.用定義法證明下列函數(shù)的單調(diào)性(1 )證明：f (x) = X3十1在(一9,十元)上是減函數(shù).定義法證明單調(diào)性的等價形式：設 x1、x2 w B, b x1 #x2，

2、那么(x1 - x2) f (x1) - f (x2) 1 0f (x1)一f (x2)0 = f (x)在 la,b 1 上是增函數(shù);xi -x2(xi x2)f (xi) f (x2)】<0。f (xi)-f (x2) <0 f (x)在 a,b】上是減函數(shù).xi -x2(2)證明：f (x) = Jx2 +i -x在其定義域內(nèi)是減函數(shù);、一一 一、 1 .(3)證明：f(x)= = 在(叼0 )上是增函數(shù); x法二：作商法一： 作差(4)已知函數(shù)y = f(x)在9 y )上為增函數(shù)，且f (x) <0(x A0),試判斷F(x)=，在 f(x)。也 比的單調(diào)性，并給出

3、證明過程；方法技巧歸納判斷函數(shù)單調(diào)性的方法:1、直接法：熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等；如，練習冊P27 (2)P31 (上 5、1)2、圖象法；3、定義法；4、運算性質(zhì)法：當a >0時，函數(shù)af (x)與f(x)有相同的單調(diào)性；當a < 0時，函數(shù)af (x)與f (x)有相反的單調(diào)性；當函數(shù)f(x)恒不等于零時，f(x)與，單調(diào)性相反； f(x)若f(x)20,則f (x)與“； f (x)具有相同的單調(diào)性;若f(x)、g(x)的單調(diào)性相同，則 f(x) + g(x)的單調(diào)性與之不變；即：增+增=增減+減=減若f(x)、g(x)的單調(diào)性相反，則 f (x) -

4、g(x)的單調(diào)性與f(x)同.即：增-減=增減-增=增注意：(1)可熟記一些基本的函數(shù)的單調(diào)性，一些較復雜的函數(shù)可化為基本函數(shù)的組合形式，再利用上述結論判斷；(2) f (x)g(x)與上區(qū) 的單調(diào)性不能確定.g(x)ax 一相應作業(yè)2： (1)討論函數(shù)f (x)=-在(-1,1)上的單倜性(a=0)；x2 -1k八 (2)務必記住“對勾”函數(shù)f(x) =x+ (k >0)的單調(diào)區(qū)間(見練習冊 P29探究之窗.探 x究1)知識拓展一一復合函數(shù)單調(diào)性(難點)一、復習回顧：復合函數(shù)的定義：如果函數(shù)y = f的定義域為A,函數(shù)t = g(x)的定義域為D,值域為C , 則當C = A時，稱函數(shù)

5、y = f(g(x)為f與g在D上的復合函數(shù)，其中t叫做中間變量， t =g(x)叫內(nèi)層函數(shù)，y = f (x)叫外層函數(shù)。二、引理1 已知函數(shù)y=f g(x).若t=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，其值域為(c, d),又 函數(shù)y=f(t)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，那么，原復合函數(shù) y=f g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).引理2 已知函數(shù)y=f g(x).若t=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，其值域為(c, d),又函數(shù) y=f(t)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，復合函數(shù)y=f g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).引理1的證明：重要結論1 ：復合法則若 t =g(x)y =

6、 f (t)則 y = f 6 (x)增增增減減增增減減減增減規(guī)律可簡記為“"（四個字）重要結論2:若一個函數(shù)是由多個簡單函數(shù)復合而成的，則此復合函數(shù)的單調(diào)性由簡單函數(shù)中減函數(shù)的個數(shù)決定：若減函數(shù)有偶數(shù)個，則復合函數(shù)為增函數(shù)；若減函數(shù)有奇數(shù)個，則復合函數(shù)為減函數(shù).規(guī)律可簡記為“"（四個字）題型三、求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例3.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（1）y=17_6x x2（2）y=1x2 -2x-3小結：1、注意：（1）求單調(diào)區(qū)間必先求定義域;(2)單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集;(3)寫多個單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間之間不能用“ U”并起來，應用;隔開2、判斷復合函數(shù)單調(diào)性步驟：求函數(shù)的

7、定義域；將復合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：y = f(t)與t=g(x);確定兩個函數(shù)的單調(diào)性；由復合法則“同增異減”得出復合函數(shù)單調(diào)性.相應作業(yè)3:求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 y =V8 -2x -x2(2) y1.x2 -2x-3/、1y=F單調(diào)性的應用題型四、比較函數(shù)值的大小例4.已知函數(shù)y = f(x)在0," 比是減函數(shù)，試比較 f (9)與f (a2 - a +1)的大小.4題型五、已知單調(diào)性，求參數(shù)范圍例 5.已知函數(shù) f (x) =x2 -2(x -a)x +2(1)若f(x)的減區(qū)間是(8,4，求實數(shù)a的值;(2)若f(x)在(笛,4】上單調(diào)遞減，求實數(shù) a的取值范圍例6.若

8、函數(shù)f (x)=(2b -1)X+b-1,X>0在R上為增函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍.-x2 +(2 -b)x, x <0題型六、利用單調(diào)性，求解抽象不等式2例7.已知函數(shù)y = f(x)是(-1,1)上的減函數(shù)，且f (1 a) > f(a2 1),求實數(shù)a的取值范圍.x例8.已知f(x)是定義在(0,y 比的增函數(shù)，且f() = f(x) f(y),且f(2)=1,解不 yi等式 f (x) - f (),2.x -3相應作業(yè)4：已知f(x)是定義在(0,口)上的增函數(shù),且f(xy)= f(x)+f(y),且f (2)=1,解不等式 f (x) + f(x-2) <3

9、.題型七、抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷一一定義法解決此類問題有兩種方法：“湊”湊定義或湊已知條件，從而使用定義或已知條件得出結論；賦值法，給變量賦值要根據(jù)條件與結論的關系，有時可能要進行多次嘗試例9.已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y都有f (x+ y) = f (x) + f (y),且當x > 0時f(x) >0,求證：f(x)在R上單調(diào)遞增例10.已知定義在(0,收)上的函數(shù)f(x)對任意x、yW (0/Hc ),恒有f(xy) = f(x) +f(y),且當 0<x<1 時 f(x)>0,判斷 f(x)在(0+=c)上單調(diào)性.相應作業(yè)5：定義在(0,收)±

10、的函數(shù)f(x)對任意x、yW(0,z ),滿足f (mn) = f (m) + f (n),且當 x >1時 f (x) >0.(1)求f(1)的值;求證：f (m) = f (m) f (n)； n(3)求證：f(x)在(0/Hc止是增函數(shù)；(4)若 f(2) =1 ,解不等式 f(x+2) f (2x)>2;函數(shù)的最大(小)值1、函數(shù)的最大(小)值定義2、利用單調(diào)性求最值常用結論(1)若函數(shù)y = f(x)在閉區(qū)間B,b】上單調(diào)遞增，則 ymin = f(a) , ymax = f (b);(2)若函數(shù)y = f(x)在閉區(qū)間6,b】上單調(diào)遞減，則 ymin=f(b),

11、ymax = f(a)；(3)若函數(shù)y = f(x)在開區(qū)間(a,b )上單調(diào)遞增，則函數(shù)無最值，但值域為(f(a), f(b);(4)若函數(shù)y = f(x)在閉區(qū)間bb】上單調(diào)遞增，在閉區(qū)間b,c】上單調(diào)遞減，那么函數(shù)y = f (x), x w a,c % x = b處有最大值，即 ymax = f (b);(5)若函數(shù)y = f(x)在閉區(qū)間 Ab】上單調(diào)遞減，在閉區(qū)間b,c】上單調(diào)遞增，那么函數(shù)y = f (x), x w a,c 注 x =b處有最小值，即 ymin = f (b).題型八、單調(diào)性法求函數(shù)最值(值域)例11、(1)函數(shù)f(x)= 在1,5】上的最大值為 ，最小值為 ;

12、 2x -1 函數(shù)y =四土1在2,4】上的最大值為 ，最小值為 ； x 1(3)函數(shù) y =2x -5 -2x的值域為 ;(4)函數(shù)y = Jx +dx -1的值域為(5)函數(shù)y = x -2x +2的值域為1 x一，y =(6)函數(shù)Jx的值域為二次函數(shù)的區(qū)間最值的求法二次函數(shù)在給定區(qū)間 m, n 1上求最值，常見類型：(1)定軸定區(qū)間：對稱軸與區(qū)間m, n 均是確定的；(2)動軸定區(qū)間：(3)定軸動區(qū)間：(4)動軸動區(qū)間：1、定軸定區(qū)間可數(shù)形結合，較易解決，注意對稱軸與區(qū)間位置關系。2例12.當2 Mx M2時，求函數(shù)y = X2 2x3的最值.相應作業(yè)6:求函數(shù)y = -x2 +4x+5在1,5】上的最值.2、動軸定區(qū)間例13.已知函數(shù)f (x) =x2 +2ax +2,求f (x)在-5,5上的最值.動軸定區(qū)間問題一般解法：對對稱軸在區(qū)間左側、右側、內(nèi)部三種情況進行討論，從而確定最值在區(qū)間端點處還是在頂點處取得.相應作業(yè)7 ：求函數(shù)f (x) = x2 - 2ax -1在b,2】上的最值.3、定軸動區(qū)間例14.